Przekształcenie Z. Krzysztof Patan

Przekształcenie Z Krzysztof Patan

Wprowadzenie Przekształcenie Laplace a można stosować do sygnałów i systemów czasu ciągłego W przypadku sygnałów czy systemów czasu dyskretnego do wyznaczenia transmitancji należy użyć przekształcenia Z Dwustronne przekształcenie Z X(z) = n= x[n]z n = Z {x[n]}

Obszar zbieżności z = re jω, r = z Pozwiązanie z transformatą Fouriera czasu dyskretnego X(re jω ) = x[n](re jω ) n ( = x[n]r n ) e jωn = F d {x[n]r n } n= n= Obszar Zbieżności (OZ) OZ = { z = re jω, n= x[n]r n < Jeśli koło jednostkowe (r = ) leży wewnątrz OZ to transformata Fouriera istnieje }

Przykład x[n] = a n [n] X(z) = x[n]z n = a n z n = (az ) n n= n=0 n=0 X(z) = an z n a z = z a z = z z a Szereg jest zbieżny gdy a z < z > a Obszar zbieżności leży poza okręgiem o promieniu a Im(z) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 0 0.5 Re(z)

Przykład 2 x[n] = a n [ n ] X(z) = x[n]z n = a n z n n= n = a n z n n= n= n= X(z) = n=0 Szereg zbieżny, gdy z a <, ( ) n zn a z = a n z a z < a Obszar zbieżności leży wewnątrz okręgu o promieniu a = a a z = z z a X(z) identyczna jak w przykładzie, ale 0.8 0.5 0 inny OZ! Re(z) 0.5 Im(z) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6

Powiązanie transformaty Z z przekształceniem Laplace a Przekształcenie Laplace a X(s) = Załóżmy, że t = nt wtedy X(s) = lim T 0 Przekształcenie Z x(t)e st dt = L{x(t)} ( ) x(nt ) e st n T = lim T T 0 X(z) = n= x[n]z n = Z {x[n]} x[n] (e ) st n Można rozważać przekształcenie Z jako przekształcenie Laplace a czasu dyskretnego z z = e st

2 Im(s).5 0.5 0 0.5.5 Im(z) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 2 2.5 0.5 0 0.5.5 2 Re(s) 0.5 0 0.5 Re(z) oś jω w przestrzeni s odpowiada okręgowi jednostkowemu w przestrzeni z 2 lewa strona przestrzeni s, Re(s) < 0 wnętrze koła jednostkowego z = e st < 3 prawa strona przestrzeni s, Re(s) > 0 przestrzeń na zewnątrz koła jednostkowego z = e st >

Ad. s = σ + jω, σ = 0, czyli z = e st = e jωt, stąd z = Ad. 2 s = σ + jω, σ < 0 czyli z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt, wiadomo, że e σt < więc z < Ad. 3 s = σ + jω, σ > 0 czyli z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt, wiadomo, że e σt > więc z >

Własności przekształcenia Z Liniowość gdzie a i b stałe Z {ax [n] + bx 2 [n]} = ax (z) + bx 2 (z) 2 Różniczkowanie w dziedzinie z Z {nx[n]} = z dx(z) dz 3 Mnożenie przez czynnik z0 n w dziedzinie czasu ( ) z Z {z0 n x[n]} = X z0 gdzie z 0 stała

4 Opóźnienie czasowe sygnału i Z {x[n i]} = x[ k]z i+k + z i X(z) k= dla i = Z {x[n ]} = x[ ] + z X(z) 5 Wyprzedzenie czasowe sygnału ) i Z {x[n + i]} = z (X(z) i x[k]z k k=0 dla i = Z {x[n + ]} = z(x(z) x[0])

6 Przesunięcie czasowe sygnału Z {x[n i][n i]} = z i X(z) 7 Transformata splotu y[n] = x[n] v[n] Y (z) = X(z)V (z)

Przykład 3 Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = e αnt Wprowadzamy zmienną a = e αt, wtedy x[n] = a n Na mocy przykładu otrzymujemy Przykład 4 X(z) = z z a = z z e αt Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = cos(ω 0 nt ) Wykorzystując wzór Eulera oraz właściwość liniowości uzyskujemy Z {cos(ω 0 nt )} = 2 Z {ejω0nt } + 2 Z {e jω0nt } Na mocy przykładu 3 otrzymujemy Z {cos(ω 0 nt )} = z 2 z e jω0t + z 2 z e jω0t

Przykład 5 Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = na n Wiadomo, że Z {a n } = Stosując własność 2 otrzymujemy Z {na n } = z d dz z z a ( z ) z a Z {na n } = z z a z (z a) 2 = az (z a) 2

Przykład 6 Obliczyć transformatę Z sygnału y[n] = x[n] cos(ω 0 nt ) Wykorzystując wzór Eulera oraz właściwość liniowości uzyskujemy Z {x[n] cos(ω 0 nt )} = 2 Z {x[n]ejω 0nT } + 2 Z {x[n]e jω 0nT } Z {y[n]} = {x[n] (e ) 2 Z jω n } 0T + { 2 Z x[n] (e ) jω n } 0T Na mocy przykładu 3 oraz wykorzystując własność 3 otrzymujemy Z {y[n]} = 2 X ( z e jω 0T ) + ( ) z 2 X e jω 0T

Przykład 7 Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = n[n] Obliczamy transformatę z definicji Z {x[n]} = x[n]z n = nz n = z n=0 X(z) = z ( + 2 z + 3 z 2 +... ) Szereg w nawiasie jest zbieżny, gdy z >, wtedy X(z) = z (z ) 2 nz n+ Uwaga! Wyznaczanie sumy szeregu może okazać się kłopotliwe. Prościej skorzystać z właściwości transformaty n= Policzyć transformatę wykorzystując wynik z przykładu 5 2 Policzyć transformatę na podstawie Z {[n]} i własności 2

Przykład 8 Wyznaczyć transformatę sygnału x[n] = ( ) n a n [n] X(z) = x[n]z n = ( ) n a n z n = ( az ) n n= n=0 n=0 X(z) = ( a ) n z + a z = z + a z = z z + a

Wyznaczanie odwrotnej transformaty Z Sygnał x[n] można wyznaczyć na podstawie transmitancji sygnału X(z) i znajomości obszaru zbieżności Definicja transformaty odwrotnej x[n] = Z (X(z)) = X(z)z n dz, n 0 () 2πj C Całkowanie odbywa się wzdłuż krzywej zamkniętej C całkowicie zawartej w obszarze zbieżności transformaty Wzór () rzadko jest wykorzystywany W praktyce wykorzystuje się specjalnie przygotowane procedury numeryczne

Metoda szeregów potęgowych Jeśli X(z) ma postać analityczną to można rozwinąć ją w szereg Taylora względem z gdzie X(z) = x[0] + x[]z + x[2]z 2 + + x[n]z n x[n] = [ d n ] n! dz n X (z) z=0, X (z) = X(z) z=z Metoda nie wymaga znajomości biegunów transmitancji

Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik 3 + 7 9 z + 23 8 z 3 +... z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z 2 2 3 z 3 7 3 z+ 5 3 7 3 z 4 9 7 9 z 9 7 9 z 9 2 27 z 23 27 z

Otrzymaliśmy szereg X(z) = 3 + 7 9 z + 23 8 z 3 Porównujemy z rozwinięciem w szereg Taylora i na tej podstawie x[0] = 3, x[] = 7 9, x[2] =, x[3] = 23 27 8

Metoda rozkładu na ułamki proste Metoda analogiczna do metody stosowanej w przypadku przekształcenia Laplace a Jeżeli X(z) jest funkcją wymierną to można ją przedstawić w postaci sumy ułamków prostych X(z) = X (z) + X 2 (z) + + X n (z) Oryginał transformaty X(z) jest sumą oryginałów poszczególnych ułamków prostych

Przykład 0 Wyznaczyć oryginał transformaty X(z) = metodą rozkładu na ułamki proste 2z 2 + 3z z 4 3z 3 + z 2 + 3z 2 Transformata posiada trzy bieguny z = 2, z 2 = i z 3 = przy czym z 2 jest podwójny, stąd X(z) = A z 2 + B z + C (z ) 2 + D z + Sprowadzamy do wspólnego mianownika i licznik porównujemy z postacią oryginalną Po rozwiązaniu układu równań dostajemy A = 4, 66, B = 4, 75, C = 2, 5, D = 0, 0833

X (z) = 4, 66 na podstawie przykładu i własności 6 z 2 x [n] = 4, 662 n [n ] X 2 (z) = 4, 75 z x 2[n] = 4, 75[n ] X 3 (z) = 2, 5 na podstawie przykładu 7 i własności 6 (z ) 2 x 3 [n] = 2, 5(n )[n ] X 4 (z) = 0, 0833 (z + ) własności 6 na podstawie przykładu 8 i x 4 [n] = 0, 0833( ) n [n ]

Metoda residuów Fundamentalnym wzorem tej metody jest wzór Cauchy ego x[n] = i { res X(z)z n } z=z i gdzie z i są biegunami transformaty X(z) W przypadku biegunów jednokrotnych x[n] = k i=0 L(z) M (z) zn i, M (z) = d dz M(z) z=zi (2) gdzie X(z) = L(z) M(z) W przypadku biegunów wielokrotnych { res X(z)z n } { } = z=a (l )! lim d l z a dz l X(z)(z a)l z n (3)

Przykład Wyznaczyć oryginał X(z) = L(z) M(z) = 2z 2 + 3z z 4 3z 3 + z 2 + 3z 2 metodą residuów Są trzy bieguny z = 2, z 2 = i z 3 = przy czym z 2 podwójny dla biegunów pojedynczych: M (z) = 4z 3 9z 2 + 2z + 3 M (2) = 3, M ( ) = 2, L(2) = 4, L( ) = na mocy wzoru (2) otrzymujemy x [n] = 4 3 ( 2)n + 2 ( )n = 4, 66( 2) n + 0.0833( ) n

dla bieguna dwukrotnego na podstawie (3) { } d x 2 [n] = (2 )! lim z dz X(z)(z )2 z n Ostatecznie { d x 2 [n] = lim z dz 2z n+ + 3z n } z 2 = 0 z 2 4 n 9 4 x[n] = 4, 66( 2) n + 0.0833( ) n 2, 5n 2, 25 x[n] = 4, 66( 2) n + 0.0833( ) n 2, 5(n ) 4, 75 Uwaga! Porównać z wynikiem uzyskanym w przykładzie 0

Zastosowanie transformaty Z do rozwiązywania równań różnicowych Przykład 2 Przeprowadzić analizę systemu wygładzającego wykładniczo opisanego równaniem różnicowym y[n] = ay[n ] + ( a)x[n], a <, n = 0,,... Obliczamy transformatę Z obu stron równania oraz stosujemy własność 4 oraz podstawiamy y = y[ ] po uporządkowaniu Y (z) = ay + az Y (z) + ( a)x(z) Y (z) = a az X(z) + a az y

wiemy, że } Z {( a) az = ( a)a n } Z {a az = a a n = a n+ następnie korzystamy z właśności 7 (transformata splotu) jeśli to wtedy ostatecznie V (z) = ( a) az Z {V (z)x(z)} = v[n] x[n] y[n] = ( a)a n x[n] + y a n+

Przykład 3 Przeprowadzić analizę ruchomego okna uśredniającego o długości 4 próbek opisanego równaniem różnicowym y[n] y[n ] = (x[n] x[n 4]), x[n] = 0, dla n < 0 4 Obliczamy transformatę Z obu stron równania oraz podstawiamy y = y[ ] po uporządkowaniu Y (z)( z ) y = 4 ( z 4 )X(z) Y (z) = z 4 X(z) 4 z + y z

Y (z) = 4 X(z) ( + z + z 2 + z 3) + y z rozwiązanie w dziedzinie czasu y[n] = 4 (x[n] + x[n ] + x[n 2] + x[n 3]) + y, n 0

Przykład 4 Podać rozwiązanie schematu spłaty pożyczki bankowej o stałej stopie procentowej d i stałej wysokości miesięcznej spłaty c opisuje równanie różnicowe y[n + ] = ( + d)y[n] c, y[0] = P, dla n = 0,,... gdzie P jest wysokością pożyczki, a y[n] oznacza wysokość zadłużenia na koniec n-tego miesiąca Obliczamy transformatę Z obu stron równania oraz stosujemy własność 5 z z(y (z) y[0]) = ( + d)y (z) c z z z(y (z) P ) = ( + d)y (z) c z

po uporządkowaniu z Y (z)(z d) = zp c z zp Y (z) = z d c z ( z)(z d) obliczamy transformatę odwrotną y[n] = ( + d) n P c d ( ( + d)n ), n = 0,,...

Rozwiązywanie równania różnicowego za pomocą transformaty Z wymaga większej liczby kroków niż metoda rozwiązywania bezpośredniego Zaletą jest to, że kłopotliwa procedura rozwiązywania równań różnicowych zastąpiona jest znacznie prostszą procedurą rozwiązywania równać algebraicznych Wadą jest zastąpienie obliczeń na liczbach rzeczywistych operacjami na liczbach zespolonych