Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP064, 2008/09 Wydział Elektroniki Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Listy zadań nr 7-9 Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Literatura: [] A. Plucińska, E. Pluciński, Rachunek prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. Procesy stochastyczne, WNT, Warszawa, 2000 [2] T. Inglot, T. Ledwina, Z. Ławniczak, Materiały do ćwiczeń z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 979 [3] W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część I, PWN, Warszawa, 995 [4] J. Ombach, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Instytutu Matematyki AGH, Kraków, 997 [5] W. Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2002 [6] H. Jasiulewicz, W. Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 2003 [7] Y. Viniotis, Probability and Random Processes for Electrical Engineers, McGraw-Hill, Boston, 998 [8] J. Jakubowski,, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa SCRIPT, Warszawa, 200 [9] J. Stojanow, I. Mirazczijski, C. Ignatow, M. Tanuszew Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa, 99 [0] A. Papoulis, Prawdopodobieństwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne, WNT, Warszawa, 972

2 Lista 7. Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego. Zadanie 7. (a) Niech X oznacza wynik rozmowy kwalifikacyjnej w skali - (kandydat odrzucony), 0 (kandydat do powtórnej rozmowy), (kandydat przyjęty) z losowo wybranym kandydatem z dużej grupy chętnych. Rozkład tej zmiennej losowej podany jest w tabeli: n 2 3 x n - 0 p n 2C C 0, Wyznacz stałą C i oblicz prawdopodobieństwo, że kandydat nie zostanie od razu odrzucony. n (b) Dla jakiej wartości stałej c ciąg p n = c, n =, 2, 3,..., określa rozkład pewnej zmiennej (n + )! losowej? Podać dwa różne przykłady takiej zmiennej losowej i wyliczyć dla obu prawdopodobieństwo, że zmienna ta jest większa od 6,3 i mniejsza od 9,99. (c) W pewnej grze wygrana X wynosi n zł z prawdopodobieństwem proporcjonalnym do n!, n = 0,, 2,.... Oblicz prawdopodobieństwo wygrania co najmniej 5 zł. (d) Punkt startuje z początku układu współrzędnych i porusza się po prostej, przy czym przesuwa się o jednostkę w prawo z prawdopodobieństwem 0,5 i o jednostkę w lewo z prawdopodobieństwem 0,5 (błądzenie losowe po prostej). Poszczególne przesunięcia są niezależne. Jaki rozkład ma zmienna losowa Y będąca położeniem cząstki po 6 ruchach? Zadanie 7.2 (a) Wiadomo, że 2% skrzynek cytryn psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób losowy pobiera się 8 skrzynek i transport ten jest odrzucany, gdy więcej niż badana skrzynka zawiera popsute owoce. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia transportu? (b) Na podstawie pewnych badań stwierdzono, że zmienna losowa X opisująca procent zanieczyszczeń w próbce rudy miedzi ma rozkład o dystrybuancie 0 dla x 0, F (x) = x 2 dla 0 < x, dla x >. Wybrano niezależnie pięć próbek. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że więcej niż dwie próbki zawierają ponad 75% zanieczyszczeń. (c) W centrali telefonicznej jest n = 20 linii. Wezwania nadchodzą niezależnie od siebie i nadchodzące wezwanie może zająć którąkolwiek z wolnych linii. Szansa na to, że linia jest wolna, wynosi 0,4. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że liczba linii zajętych jest nie większa niż 4.

3 (d) Rzucamy dwiema kostkami do gry. Sukcesem jest wyrzucenie pary szóstek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w 0 rzutach liczba sukcesów będzie dodatnia, ale nie przekroczy 3. (e) Szansa wygrania nagrody na loterii wynosi 0,. W loterii uczestniczy 20 grających. Oblicz prawdopodobieństwo, że wygra co najmniej jeden. (f) Rzucamy symetryczną kostką tak długo aż wypadnie liczba oczek podzielna przez 3. Jaki rozkład ma zmienna losowa X oznaczająca liczbę wykonanych rzutów? Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że będzie potrzebna nieparzysta liczba rzutów. (g) Gra polega na zarzucaniu krążków na kołek. Gracz otrzymuje ich pięć i rzuca je aż do pierwszego celnego rzutu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że po zarzuceniu krążka zostanie graczowi jeszcze co najmniej jeden krążek, jeżeli prawdopodobieństwo trafienia na kołek przy każdym rzucie wynosi 0,2. Zadanie 7.3 (a) Prawdopodobieństwo, że dowolna osoba odpowie na przesłaną pocztą reklamę i zamówi towar, wynosi 0,03. Reklamę wysłano do 200 osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że () dokładnie 5 osób, (2) mniej niż 5 osób przyśle zamówienia. Obliczenia wykonać metodą dokładną oraz przybliżoną z tw. Poissona. Porównać wyniki. (b) Przy badaniach na nosicielstwo pewnego wirusa prawdopodobieństwo natrafienia na nosiciela wynosi 0,005. Na podstawie przybliżenia Poissona oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 000 badanych będzie mniej niż 4 nosicieli. Oszacować błąd przybliżenia. (c) Licznik Geigera-Millera i źródło promieniowania umieszczono względem siebie tak, że szansa zarejestrowania cząstki wynosi 0,00. W czasie obserwacji ciało radioaktywne wypromieniowało 2000 cząstek. Na podstawie przybliżenia Poissona oszacować prawdopodobieństwo zarejestrowania przez licznik () braku cząstek; (2) mniej niż 4 cząstek; (3) więcej niż 2 cząstek. Oszacować błąd przybliżenia. (d) Książkę wydano w nakładzie 5000 egzemplarzy. Szansa na to, że egzemplarz zostanie źle oprawiony jest równa 0,00. Na podstawie przybliżenia Poissona oszacować prawdopodobieństwo tego, że w nakładzie pojawią się co najmniej 3 wybrakowane oprawy.

4 Zadanie 8. Lista 8. Zmienne losowe typu ciągłego. Gęstość prawdopodobieństwa. Rozkład jednostajny, normalny, wykładniczy. Transformacje zmiennej losowej. (a) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = rozkładu probabilistycznego? Odpowiedź uzasadnić. (b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = 0 dla x, c x 2 dla x > 0 dla x, c x /2 dla x > rozkładu probabilistycznego? Odpowiedź uzasadnić. 0 dla x / [a, b], (c) Czy można dobrać stałe a, b tak, aby funkcja f(x) = dla x [a, b] x pewnego rozkładu probabilistycznego? Odpowiedź uzasadnić. Zadanie 8.2 była gęstością pewnego była gęstością pewnego była gęstością (a) Funkcja f(x) = jest gęstością pewnej zmiennej losowej X. π( + x 2 ) Wyliczyć P (0, 5 X <, 5) i P (X 0, 5). Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej. 0 dla x, (b) Dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = c(x 2 była gęstością pewnej 5) dla x < zmiennej losowej X. Wyliczyć P (0, 5 X <, 5) i P (X 0, 5). Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej. cx dla 0 x, (c) Dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = 2 x dla < x 2, była gęstością pewnej 0 dla pozostałych x zmiennej losowej X. Wyliczyć P (0, 5 X <, 5) i P (X 0, 75). Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej. Zadanie 8.3 0 dla x /2, (a) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F (x) = A + B arc sin(x) dla /2 < x /2, była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym. Znaleźć gęstość f(x) tego dla /2 < x rozkładu. 0 dla x 0, (b) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F (x) = A B była dystrybuantą dla x > 0 +x 2 pewnej zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym. Znaleźć gęstość f(x) tego rozkładu.

5 Zadanie 8.4 (a) Pewien informatyk oferuje w tej samej cenie dwa algorytmy A i B, generujące hasła dostępu. Zdolność pojedynczego algorytmu do ochrony dostępu określana jest poprzez rozkład zmiennej losowej T reprezentującej czas potrzebny na złamanie hasła. Gęstości rozkładu zmiennej T odpowiednio dla algorytmów A i B przedstawione są na rysunku. Który algorytm byś wybrał? Odpowiedź uzasadnić. (b) Na rysunku 2 znajdują się gęstości rozkładu opóźnienia w przesyłaniu plików dla dwóch programów ftp A i B. Dla którego programu małe opóźnienia są bardziej prawdopodobne? Dla którego jest bardziej prawdopodobne opóźnienie równe 30 jednostkom czasu? Dla którego jest bardziej prawdopodobne opóźnienie krótsze niż 5 jednostek czasu? Odpowiedzi uzasadnij. Rysunek. Rysunek 2. f(t) A B 35 70 t f(t) A B 35 70 t Zadanie 8.5 (a) Liczba cząstek wpadających do pewnego licznika to zmienna losowa X o rozkładzie Poissona P(2). Definiujemy nową zmienną losową Y : Y = Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y. X, gdy X < 0, 0, gdy X 0. (b) Załóżmy, że napięcie U = U max sin φ prądu zmiennego ma losową fazę φ o rozkładzie jednostajnym U ( π 2, π 2 ) i amplitudę Umax =. Znaleźć rozkład losowego napięcia U. (c) Bok sześcianu B ma rozkład jednostajny U(2, 9; 3, ) cm. Sześcian wykonano z żelaza o gęstości 7,88 g/cm 3. Wyznaczyć rozkład masy M tego sześcianu. (d) Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy Exp(2). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y = e 2X. (e) Niech X będzie zmienną o rozkładzie normalnym N (0, 2). Znaleźć rozkłady zmiennych losowych Y = X i Z = X 2.

6 Lista 9. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Standaryzacja rozkładu normalnego. Zadanie 9. Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle dyskretnego rozkładu zmiennej losowej X, (a) podanego w tabeli n 2 3 x n - 0 p n 0, 6 0, 3 0,. (b) zadanego ciągiem (x n, p n ), n =, 2,...}, gdzie x n = n, p n = n, n =, 2,.... (n + )! (c) gdzie X to losowa wygrana, która wynosi n zł z prawdopodobieństwem e, n = 0,, 2,..., n! (patrz też zadanie 7. (c)). Czy zagrałbyś w tę grę? Odpowiedź uzasadnij. (d) podanego w tabeli (e) podanego w tabeli n 0 2 3 4 5 6 x n 6 4 2 0 2 4 6 p n 2 6 6 2 6 5 2 6 20 2 6 5 2 6 6 2 6 2 6 x n = n 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 p n e 2 2e 2 2e 2 4 3 e 2 2 3 e 2 4 5 e 2 4 45 e 2 8 35 e 2 2 35 e 2 4 2835 e 2 20947 2835 e 2 (f) gdzie X to losowa wygrana w grze, w której gracz wyciąga z talii (52 kart) trzy karty (bez zwracania) i jeśli są to 3 asy, wygrywa 00 zł. Jeśli są wśród nich dokładnie 2 asy, gracz wygrywa 50 zł. Jeśli są to 3 figury, gracz wygrywa 0 zł, a w pozostałych przypadkach płaci zł (patrz zadanie 6. (a)). Czy zagrałbyś w tę grę? Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 9.2 Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle ciągłego rozkładu zmiennej losowej X 0 dla x, (a) o gęstości f(x) = 3 28 (x2 5) dla x <.. x dla 0 x, (b) o gęstości f(x) = 2 x dla < x 2, 0 dla pozostałych x. (c) o gęstosci f(x) = π( + x 2 ). (d) o gęstości f(x) = (3/π)/ x 2 dla /2 < x < /2, 0 poza tym. 0 dla x 0, (e) o gęstości f(x) = 2x dla x > 0. (+x 2 ) 2 0 dla x 0, (f) o dystrybuancie F (x) = x 2 dla 0 < x, dla x >

7 Zadanie 9.3 (a) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję napięcia U = U max sin φ prądu zmiennego, które ma losową fazę φ o rozkładzie jednostajnym U ( π 2, π 2 ) i amplitudę Umax =. Wykorzystać przy tym rozkład losowej fazy φ. (b) Bok sześcianu B ma rozkład jednostajny U(2, 9; 3, ) cm. Sześcian wykonano z żelaza o gęstości 7,88 g/cm 3. Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję losowej masy M tego sześcianu, wykorzystując rozkład losowego boku B. (c) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y = e 2X, gdzie X ma rozkład wykładniczy Exp(2). Wykorzystać przy tym rozkład zmiennej losowej X. Zadanie 9.4 (a) Błąd pomiaru długości śruby ma standardowy rozkład normalny. Znaleźć prawdopodobieństwo, że błąd zawarty będzie w przedziale [0; 0,25], [-,2;,2], [-2,3;,78]. (b) Długość produkowanych detali ma rozkład N (2; 0, 02). Norma przewiduje wyroby o wymiarach 2 ± 0, 05. Jaki procent produkowanych detali spełnia wymogi normy? (c) Asystent prowadzący zajęcia ze statystyki przychodzi do sali na ogół minutę przed wyznaczoną godziną rozpoczęcia zajęć. Zakładając, że czas przyjścia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z σ = 0 minut, określić, jakie jest prawdopodobieństwo spóźnienia się tego asystenta na zajęcia o więcej niż 5 minut.

8 Odpowiedzi i wskazówki: Lista nr 7: 7. (a) C = 0, 3; P (X ) = 0, 4; (b) c =, przykład : x n = n dla n = 2, 3, 4,..., szukane prawd. to wtedy 79 0, 00098, przykład 2: x 0! n = 2 + n 2 dla n = 2, 3, 4,..., szukane prawd. to 0; (c) x n = n, p n = c z c = e, n = 0,,...; P (X 5) = 65 0, 0037; n! 24e (d) k 0 2 3 4 5 6 y k 6 4 2 0 2 4 6 6 5 20 5 6 p k 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 = 0, 05625 0, 09375 0, 234375 0, 325 0, 234375 0, 09375 0, 05625 7.2 (a), 4 (0, 98) 7 0, 003; (b) p = 7 74 73, szukane prawd. wynosi 0, 384; 6 6 5 (c) 26 4634 0, 0003; (d) 357 3945 0, 2454; (e) (0, 9) 20 0, 8784; 5 20 36 0 (f) X ma rozkład Geo ( ) 3, szukane prawd. to 0,6; (g) 0,5904. 7.3 (a) wzory dokładne z tw. Poissona () 0,622 0,606 ; (b) 0,2650; błąd przybl. nie przekracza 0,025; (2) 0,280 0,285 (c) () 0,353; (2) 0,857; (3) 0,3233; błąd przybl. nie przekracza 0,002; (d) 0,8754; błąd przybl. nie przekracza 0,005. Lista nr 8: 8. (a) tak, c = ; (b) nie, całka nie jest zbieżna; (c) tak, a > 0 i b = e a albo a < 0 i b = e a. 8.2 (a) P (0, 5 X <, 5) = (arctg(, 5) arctg(0, 5)) 0, 62 π P (X 2, 5) = ( arctg(2, 5) + ) 0, 2, F (x) = arctgx + ; π 2 π 2 (b) c = 3 28, F (x) = P (0, 5 X <, 5) = 53 224 0 dla x <, x(5 x 2 ) 28 + 2 dla x <, dla x, 0, 2366, P (X 0, 5) = 7 224 0 dla x 0, x 2 2 dla 0 < x, (c) c =, F (x) = 2x x2 dla < x 2, 2 dla 2 < x, P (0, 5 X <, 5) = 0, 75, P (X 0, 75) = 23 32 = 0, 7875; 3 8.3 (a) A =, B = 3, f(x) = π dla /2 < x < /2, x 2 2 π 0 poza tym, 0 dla x 0, (b) A = B = ; f(x) = 2x dla x > 0 (+x 2 ) 2 0, 7634; 8.4 (a) Algorytm A zapewnia lepszą ochronę. Jednak po chwili 35 prawdopodobieństwo złamania hasła w czasie t jest niższe w przypadku algorytmu B. (b) Małe opóźnienia są bardziej prawdopodobne dla A. Opóźnienie równe 30 jednostkom czasu ma prawdopod. 0 dla obu algorytmów. Opóźnienie krótsze niż 5 jednostek czasu jest bardziej prawdopodobne dla A.

9 8.5 (a) y k = k 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 p k e 2 2e 2 2e 2 4 3 e 2 2 3 e 2 4 5 e 2 4 45 e 2 8 35 e 2 2 35 e 2 4 2835 e 2 20947 2835 e 2 0,354 0,2707 0,2707 0,804 0,0902 0,036 0,02 0,0034 0,0009 0,0002 0,000 (wartości p k w przybliżeniu na podstawie tablic rozkładu Poissona); 0, gdy u / (, ), (b) U ma rozkład o gęstości f U (u) = π, gdy u (, ); u 2 (c) M ma rozkład o gęstości f M (m) = 5 (7,88) /3 (d) Y ma rozkład jednostajny U(0, ); 0, gdy y 0, (e) Y ma rozkład o gęstości f Y (y) = 4 8π ye y4 8, gdy y > 0, Lista nr 9: 3 m 2/3, gdy m [93, 8532; 234, 75308], 0, poza tym, Z ma rozkład gamma G (, ) 8 2. 9. (a) EX = 0, 5, D 2 X = 0, 45, x 0,5 =, x 0,25 =, x 0,75 = 0; (b) EX = e, 783, D 2 X = e(3 e) 5, 4366, x 0,5 - dowolna liczba z przedziału [, 2), x 0,25 =, x 0,75 = 2; (c) EX =, D 2 X =, x 0,5 =, x 0,25 = 0, x 0,75 = 2; (d) EY = 0, D 2 Y = 6, y 0,5 = 0, y 0,25 = 2, x 0,75 = 2; (e) EY = 0 67584, 9999, D 2 Y = 00 833034 (EY ) 2 8, 496, y 2835e 2 2835e 2 0,5 = 2, y 0,25 =, y 0,75 = 3; (f) EX = 47 0, 2 zł, 5525 D2 X = 0864036 36, 32, x (5525) 2 0,5 =, x 0,25 =, x 0,75 =. 9.2 (a) EX = 0, D 2 X = 0, 343, x 35 0,5 = 0, x 0,25 0, 46875 (jest to rozwiązanie równania x 3 5x 7 = 0 należące do przedziału (, )), x 0,75 = x 0,25 0, 46875 (jest to rozwiązanie równania x 3 5x + 7 = 0 należące do przedziału (, )); (b) EX =, D 2 X =, x 6 0,5 =, x 0,25 = 2 0, 707, x 2 0,75 = 2 2, 2929; 2 (c) EX nie istnieje, D 2 X nie jest zdefiniowana, x 0,5 = 0, x 0,25 =, x 0,75 = ; (d) EX = 0, D 2 X = 2π 3 3 0, 0865, x 4π 0,5 = 0, x 0,25 = sin π 0, 2588, 2 x 0,75 = sin π 0, 2588; 2 (e) EX = π, 5708, 2 D2 X =, x 0,5 =, x 0,25 = 3 0, 5773, x 3 0,75 = 3, 7320; (f) ER = 2, 3 D2 X =, x 8 0,5 = 2 0, 707, x 2 0,25 =, x 2 0,75 = 3 0, 8660. 2 9.3 (a) EU = 0, D 2 U = ; (b) EM = 7,88 5(3,4 2,9 4 ) 23 g, 2 4 D 2 M = 7,882 5(3,7 2,9 7 ) (EM) 2 5 g 2 ; 7 (c) EY =, 2 D2 Y = 2. 9.4 (a) odpowiednio 0,0987; 0,7698; 0,952; (b) 98,76%; (c) 0,0548.