LABORATORIUM SYMSE Układy liniowe

Podobne dokumenty
Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 4. iωα. Własności przekształcenia Fouriera. α α

Teoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 7 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Analiza częstotliwościowa dyskretnych sygnałów cyfrowych

16, zbudowano test jednostajnie najmocniejszy dla weryfikacji hipotezy H

5. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

L6 - Obwody nieliniowe i optymalizacja obwodów

Ćwiczenia 11_12 KLASYCZNY MODEL REGRESJI LINIOWEJ

Teoria Sygnałów. II Inżynierii Obliczeniowej. Wykład /2019 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ANALIZA OBWODÓW DLA PRZEBIEGÓW SINUSOIDALNYCH METODĄ LICZB ZESPOLONYCH

Propagacja wielodrogowa. Paweł Kułakowski

$y = XB KLASYCZNY MODEL REGRESJI LINIOWEJ Z WIELOMA ZMIENNYMI NIEZALEŻNYMI

Wykład 6. Klasyczny model regresji liniowej

OCHRONA PRZECIWPOŻAROWA BUDYNKÓW

Permutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2

15. CAŁKA NIEOZNACZONA cz. I

Regresja REGRESJA

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa

przegrody (W ) Łukasz Nowak, Instytut Budownictwa, Politechnika Wrocławska, lukasz.nowak@pwr.wroc.pl 1

gdzie E jest energią całkowitą cząstki. Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego Wprowadźmy do lewej i prawej strony równania Schrödingera

f (3) jesli 01 f (4) Rys. 1. Model neuronu

Weryfikacja modelu. ( ) Założenia Gaussa-Markowa. Związek pomiędzy zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi ma charakter liniowy

Zastosowanie metody najmniejszych kwadratów do pomiaru częstotliwości średniej sygnałów o małej stromości zboczy w obecności zakłóceń

ĆWICZENIE 5 BADANIE WYBRANYCH STRUKTUR NIEZAWODNOŚCIOWYCH

Badania symulacyjne efektywności kompensacji mocy biernej odbiorów nieliniowych w oparciu o teorię składowych fizycznych prądu TSFP

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

c 2 + d2 c 2 + d i, 2

X, K, +, - przestrzeń wektorowa

MODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część

Teoria Sygnałów. II Inżynieria Obliczeniowa. Wykład 13

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

Politechnika Wrocławska Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych. Materiał ilustracyjny do przedmiotu. (Cz. 2)

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

ROZDZIAŁ I. WPROWADZENIE DO METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Propagacja wielodrogowa

System finansowy gospodarki

x t 1 (x) o 1 : x s 3 (x) Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera

ZASTOSOWANIE ZMODYFIKOWANEGO ROZMYTEGO FILTRU KALMANA W STEROWANIU ADAPTACYJNYM UKŁADU DWUMASOWEGO

Niezawodność. systemów nienaprawialnych. 1. Analiza systemów w nienaprawialnych. 2. System nienaprawialny przykładowe

Hipotezy ortogonalne

wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info

cos(ωt) ω ( ) 1 cos ω sin(ωt)dt = sin(ωt) ω cos(ωt)dt i 1 = sin ω i ( 1 cos ω ω 1 e iωt dt = e iωt iω II sposób: ˆf(ω) = 1 = e iω 1 = i(e iω 1) i ω

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

FILTRY FILTR. - dziedzina pracy filtru = { t, f, ω } Filtr przekształca w sposób poŝądany sygnał wejściowy w sygnał wyjściowy: Filtr: x( ) => y( ).

... MATHCAD - PRACA 1/A

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

PODSTAWY EKSPLOATACJI

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Transformacja Hilberta. sgn( + = + = + lim.

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

Przekształcenia liniowe

LABORATORIUM DYNAMIKI MASZYN

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

PRZYKŁADOWE TEMATY ZADAŃ PROJEKTOWYCH

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

III. Funkcje rzeczywiste

2. Schemat ideowy układu pomiarowego

1 n 0,1, exp n

MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

Statystyka Inżynierska

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu

Powinowactwo chemiczne Definicja oraz sens potencjału chemicznego, aktywność Termodynamiczne funkcje mieszania







STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

Szeregi trygonometryczne Fouriera. sin(

METODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński

Współczynnik korelacji rangowej badanie zależności między preferencjami

Funkcja wiarogodności

1. Relacja preferencji

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. Strona 1

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa

Służą opisowi oraz przewidywaniu przyszłego kształtowania się zależności gospodarczych.

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające

Podprzestrzenie macierzowe

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Automatyzacja Statku

Transkrypt:

Tomasz Czarck, Warszawa, 2017 LABORATORIUM SYMSE Układy low Dyskrt systmy low, zm względm przsuęca Wśród systmów prztwarzaa sygałów ważą rolę odgrywają systmy low, zm względm przsuęca. Dcyduj o tym ch względa prostota oraz fakt, ż okazują sę często dogodym modlm, opsującym użytcz praktycz prztworza sygałów. Ćwcz jst pośwęco przdstawu właścwośc oraz mtod opsu dyskrtych systmów lowych (fltrów) zmych względm przsuęca. Dyskrty systm prztwarzaa, który będzmy azywać krótko systmm prztwarzaa, jst przkształcm T[.], jakmu poddaj sę dyskrty sygał wjścowy {x }, zway sygałm prztwarzaym, prowadząc do wytworza sygału wyjścowgo {y }, azyway sygałm prztworzoym. Rys.1. Przkształc odwzorowując cąg wjścowy {x } w cąg wyjścowy {y } {y } = T[{x }] 1 Załóżmy, ż systm prztwarzaa T{.}, pobudzay a wjścu sygałm {x 1 } lub {x 2 }, wytwarza a swym wyjścu odpowdo sygały {y 1 } lub {y 2 }. {y 1 } = T[{x 1 }] {y 2 } = T[{x 2 }] 2 Dfcja 1 Systm prztwarzaa jst azyway systmm lowym jśl pobudzoy sygałm a{x 1 }+ b{x 2 } wytwarza a wyjścu sygał a{y 1 }+ b{y 2 } (Rys.2). Dyskrty systm lowy moż być opsay lowym rówam różcowym o stałych współczykach, wążącym z sobą cąg sygału wjścowgo {x } wyjścowgo{y }.

M y = a x + N b y k k k k = 0 k=1 3 Wśród klasy systmów lowych wyróża sę systmy zm względm przsuęca. W przypadku, gdy wskaźk dtyfkuj sę z czasm, systmy t charaktryzują sę zmoścą właścwośc w czas Rys. 2. Odpowdź systmu lowgo a pobudz - suprpozycja. 2

Dfcja 2 Systm ragujący sygałm {y } a pobudz {x } jst zmy względm przsuęca jśl, pobudzoy sygałm {x -0 }, wytwarza a wyjścu sygał {y -0 } (Rys.3). W systmach lowych zmych względm przsuęca zwązk mędzy sygałm wjścowym {x } wyjścowym {y } przyjmuj astępującą postać y {y } = {x }*{h } = xkhk = hk xk 4 k= k= Rys. 3. Odpowdź systmu a pobudz - zmość względm przsuęca. gdz cąg {h }, zway odpowdzą mpulsową, jst rakcją systmu a pobudz sygałm jdostkowym {d } 3

d 0; = 1; = 0 0 5 Rys. 4. Sygał jdostkowy Systm prztwarzaa jst systmm przyczyowym jśl jgo odpowdź mpulsowa jst cągm przyczyowym, a węc jśl h = 0 dla < 0. Systm prztwarzaa jst stably jśl sygał wjścowy {x } o ograczoym co wartośc bzwzględj lmtach wywołuj powsta a jgo wyjścu sygału wyjścowgo {y }, którgo lmty mają rówż ograczo wartośc bzwzględ x < M y N 6 < Aby systm lowy był stably w tym ss jgo odpowdź mpulsowa powa być bzwzględ sumowala h < S 7 = Przkształc Fourra pozwala przyporządkować fukcjom czasu, spłającym okrślo waruk, odpowd fukcj zmj, zwa trasformatam Fourra. W przypadku cągu {f } przkształc Fourra przyporządkowuj mu fukcję F( j ) w postac: F( j ) = = f j 8 Borąc to pod uwagę, moża przyjąć zalżośc (4) rówoważy zwązk Y( j ) = X( j ) H( j ) 9 gdz 4

X ( Y ( j j ) = ) = = = x y j j 10 H ( j ) = = h j Zakłada sę oczywśc, ż wszystk trasformaty (8) stją, ż wszystk sumy w (8) są skończo. Nasuwa sę zatm oczywsty wosk, ż właścwośc systmów lowych zmych względm przsuęca mogą być opsywa za pomocą ch odpowdz mpulsowych {h } lub jdozacz przyporządkowywaych m trasformat H( j ), azywaych trasmtacjam systmu. Trasmtacja systmu jst fukcją przyjmującą wartośc zspolo jst z rguły przdstawaa za pomocą dwóch rówoważych jj fukcj A( j ) F( j ) o wartoścach rzczywstych H ( j j j jφ( ) ) = A( ) 11 Fukcj A( j ) F( j ) są azywa odpowdo charaktrystyką ampltudową fazową systmu. 5

Rys. 5. Przykładow charaktrystyk częstotlwoścow (okrsow) systmu doloprzpustowgo, pasmowgo góroprzpustowgo. Trasmtacja, jako fukcja okrsowj fukcj j, jst okrsową fukcją pulsacj kołowj z okrsm 2π. W koskwcj, rówż charaktrystyk częstotlwoścow A( j ) F( j ) są okrsow. Pojęc doloprzpustowośc, góroprzpustowośc pasmowośc systmów wąż sę z pokazaym a rysuku 5 charaktrystykam częstotlwoścowym. 6

7 W przypadku systmów lowych zmych względm przsuęca trasmtacja (9) przyjmuj postać fukcj wymrj ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) b N z M b N b b z M z z j H = = Π Π = = 1 1 2 1 2 1...... ) ( 12 Rozmszcz puktów osoblwych (zr z bguów b ) trasmtacj (10) a płaszczyź z pozwala z dokładoścą do samgo współczyka okrślć jj postać. Jśl odpowdź mpulsowa systmu {h } jst cągm przyczyowym, a systm jst stably, to wszystk pukty osoblw zajdują sę wwątrz okręgu jdostkowgo z =1. Rys. 6.

Odpowdź mpulsowa systmu jst rzczywsta jdy w przypadku, gdy bguy jgo trasmtacj H( j ) zajduj sę a os rzczywstj lub są param sprzężo. Wtym przypadku zachodzą zawsz astępując zwązk H ( A( Φ ( ) = H ( j * j ) = A( j j ) = Φ( j j ) ) ) 13 Projktowa systmów lowych (w szczgólośc fltrów lowych) polga w ogólym przypadku a pożądaym ukształtowau jgo charaktrystyk częstotlwoścowych. Rys. 7. Płaszczyza z, koło jdostkow, bguy sprzężo rzczywst (x), zra (o) Są o okrśla za pomocą: - pasm przpustowych zaporowych - dopuszczalych zma wartośc charaktrystyk w tych pasmach - strf przjścowych mędzy sąsadującym z sobą pasmm przpustowym zaporowym Procs projktowaa moża grafcz ztrprtować wymagam, aby charaktrystyka ampltudowa mścła sę wwątrz pwj strfy, pokazaj przykładowa a rysuku 8. 8

Rys. 8. Procs projktowaa fltru Kształtowa to moż być ralzowa przz okrśl lczby puktów osoblwych trasmtacj oraz ch rozmszcza a płaszczyź z. Bardzo często projktowa systmów prztwarzaa moża sprowadzć do projktowaa dwóch lub węcj prostych systmów, któr współdzląc z sobą, jaką wypłać ma systm projktoway. Rys.9. Układ o takch samych odpowdzach Idę przdstawoą a rysuku 9 moża wykorzystać przkształcając trasmtację H( j ) do postac sumacyjj lub loczyowj, wyrażoj przz sumy lub loczyy prostych składków lub czyków. H ( ) = H ( ) j j j j H ( ) = ( H ( ) 14 Fukcj wymr, których postać przyjmują trasmtację systmów lowych zmych względm przsuęca; mogą być, po zaczych modyfkacjach, 9

traktowa jak trasmtacj loczyow a po rozłożu a ułamk prost jak trasmtacj sumacyj. Podjśc to jst wykorzystywa przy poszukwau tak zwaych kaoczych postac trasmtacj. 10

Clm ćwcza jst bada zwązków zachodzących mędzy postacam odpowdz mpulsowj trasmsj systmu lowgo zmgo względm przsuęca bada ch wpływu a właścwośc systmu. Wykorzystując środowsko Matlab: 1. Dla ustalogo sygału wjścowgo, w zalżośc od położa bguów a płaszczyź Z, jak zma sę odpowdź mpulsowa. Rozpatrzyć przypadk: a. bguy położo a os rzczywstj, b. bguy sprzężo, c. bguy położo a kol jdostkowym, d. bguy położo blżj lub dalj od środka układu współrzędych,. bguy położo poza kołm jdostkowym, f. w jakch przypadkach odpowdź jst wykładczo rosąca lub maljąca, a kdy oscylacyjo rosąca, maljąca lub stała. 2. Zbadać jak zma sę charaktrystyka trasmtacj (ampltudy fazy) w zalżośc od rozkładu bguów zr a płaszczyź Z. Badaa przprowadzć dla przypadków: a. sygał wykładczy h() = -a, przy różych paramtrach a, b. sygał oscylacyjo-gasący h() = -a cos(), przy różych paramtrach a. 11

Ltratura 1. Ophm A., Schafr R.: Cyfrow prztwarza sygałów WKŁ, Warszawa 1979 2. S. Hayk: Systmy Tlkomukacyj Tom 1 2, WKŁ, Warszawa 2004 12