Rozwi zania zada«z pierwszych zaj.

Rozwi zania zada«z pierwszych zaj. Ze wzgl du na bª d w jednym ze wzorów, które podaªem na wiczeniach, poni»ej podaj poprawne wersje rozwi za«zada«przerobionych na wiczeniach i zrobionych jako zadanie domowe zanim zauwa»yªem bª dy. Chodzi tu o wzór przygotowawczy III: je±li stopa brutto (przed opodatkowaniem) wynosi r, to stopa netto (po opodatkowaniu) wynosi (1 t)r = 0, 81r (t to stopa opodatkowania - 0, 19 w przypadku polskich banków). Poza tym wzorem, zadania na wiczeniach byªy zrobione dobrze, wi c nie ma co zanadto si przejmowa, ale niektórzy lubi zna poprawne wyniki zada«, wi c na wszelki wypadek je tu przedstawiam. Ogólne zastrze»enie: wszystkie zadania da si rozwi za na wiele sposobów - przedstawione poni»ej rozwi zania s tylko sugestiami. Ponadto, ze wzgl du na bª dy zaokr gle«, wyniki rozwi zywania ró»nymi sposobami (a nawet ró»- nymi kalkulatorami) mog si odrobin ró»ni. Zadanie 1. Klient umie±ciª 800 jp na lokacie z kapitalizacj miesi czn z doªu. Po 1,5 roku na lokacie znajdowaªo si 1080 jp. Ile wynosiªa nominalna roczna stopa procentowa? Po 2 latach od zaªo»enia lokaty, kapitalizacja zmieniªa si na ci gª, a póª roku po zmianie klient wypªaciª z lokaty 250 jp. Jaka kwota znalazªa si na lokacie po 3 latach i 8 miesi cach od jej zaªo»enia? Rozwi zanie: Zaczynam od wyznaczenia danych, szukanych i oznacze«jakich b dziemy u»ywa w zadaniu - nale»y to zrobi w takiej formie by byªo to wygodne w korzystaniu. Ja polecam zapis na osi czasu, na przykªad taki: Dzi ki takiemu zapisowi, nie musimy co chwil odwoªywa si do tre±ci zadania, a sprawdzaj cy widzi, jakich oznacze«u»ywamy - np.»e przez K 1 oznaczamy kapitaª na lokacie po 1, 5 roku, a r 2 to jest stopa u»ywana na lokacie po zmianie kapitalizacji (nie jest to wyra¹nie napisane w zadaniu, ale jak na zaj ciach ustalili±my, zakªadamy,»e w takim razie stopa nominalna si nie zmieniªa). Oczywi±cie, oznaczenia dobieramy sobie tak,»eby byªo nam wygodnie. Zadanie rozwi zujemy chronologicznie: obliczymy najpierw nominaln stop procentow obowi zuj c na lokacie. Korzystamy ze wzoru dla kapitalizacji zªo»onej: K N = K 0 (1 + r) N (bo taka na lokacie obowi zuje). W tym przypadku potrzebujemy jeszcze N 1 - liczby okresów kapitalizacji mi dzy rozpocz ciem lokaty, a momentem 1, 5 roku. Skoro OK = miesi c, a 1, 5 roku to 18 miesi cy, wi c N 1 = 18 dla tego etapu oblicze«. Zatem: K 1 = K 0 (1 + r 1 ) N 1 1080 = 800(1 + r 1 ) 18 r 1 = 0, 0168. Ten wzór dziaªa jednak przy pewnych zaªo»eniach: stopa r 1, któr obliczyli±my musi by po opodatkowaniu, przy kapitalizacji z doªu i zgodna (czyli miesi czna, bo OK = miesi c). Nominalna roczna stopa procentowa, której poszukujemy, speªnia tylko drugie z tych zaªo»e«- w szczególno±ci jest roczna (a wi c niezgodna) i podawana przed opodatkowaniem. Zatem musimy cofn operacje przygotowawcze III i I (w tej kolejno±ci), by 1

2 ze stopy, któr uzyskali±my ze wzoru zrobi stop nominaln roczn. Najpierw obliczamy stop miesi czn netto (przed opodatkowaniem) r 1n, wiedz c,»e: 0, 81r 1n = r 1 = 0, 0168 r 1n = 0, 0207. Teraz mo»emy przeliczy wzorem na stop wzgl dn stop miesi czn r 1n na stop nominaln roczn r nom. Jako,»e = 12: miesic rok r nom 12 = r 1n = 0, 0207 r nom = 0, 2484. Teraz obliczamy K 2 - kapitaª po dwóch latach. Wiemy,»e po 1, 5 roku na lokacie byªo K 1 = 1080, a zgodna stopa miesi czna po opodatkowaniu wynosiªa r 1 = 0, 0168. Pomi dzy 1,5 roku a 2 latami od rozpocz cia kapitalizacji upªywa N 2 = 6 miesi cy (OK=miesi c), wi c obliczamy zgodnie ze wzorem na kapitalizacj zªo»on : K 2 = K 1 (1 + r 1 ) N 2 = 1080(1, 0168) 6 = 1193, 5400. W tym momencie zmienia si model kapitalizacji (na kapitalizacj ci gª ) - jednak stopa nominalna roczna zostaje taka sama, wi c i stopa miesi czna po opodatkowaniu b dzie taka sama. Zatem, je±li jako jednostk czasu i okres stopy procentowej wybierzemy miesi c, to nadal we wzorach mo»emy u»y stopy r 1. Od momentu zmiany kapitalizacji (2 lata), do wypªaty cz ±ci ±rodków min ªo t 3 = 6 miesi cy, wi c kapitaª po wypªacie mo»emy obliczy ze wzoru na kapitalizacj ci gª : K 3 = K 2 e r 1t 3 250 = 1193, 5400 e 0,0168 6 250 = 1070, 1214. Wreszcie mi dzy wypªat cz ±ci ±rodków, a momentem zako«czenia zadania (po 3 latach i 8 miesi cach od zaªo»enia lokaty), min ªo t 4 = 14 miesi cy, wi c znów korzystaj c ze wzoru na kapitalizacj ci gª otrzymujemy: K 4 = K 3 e r 1t 4 = 1070, 1214 e 0,0168 14 = 1353, 8767. Pami tamy o zapisaniu odpowiedzi sªownej np. Odp: Nominalna roczna stopa procentowa na lokacie wynosiªa 24, 84%, a po 3 latach i 8 miesi cach na lokacie znajdowaªo si 1353, 8767 jp. Zadanie 2. W pewnym banku obowi zywaªa zasada: w razie zerwania lokaty przed terminem kapitalizacji, odsetki od ostatniej kapitalizacji s naliczane wedªug kapitalizacji prostej z kapitalizacj dzienn i dzienn stop procentow 0, 01%. Na lokat w tym banku z kapitalizacj kwartaln z doªu przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% wpªacono pewn kwot. Po upªywie 2,5 roku zmieniono kapitalizacj na lokacie na póªroczn z góry, a nominaln roczn stop procentow na 14%. Po 4 latach i 2 miesi cach lokata zostaªa zerwana. Klientowi wypªacono 1100 jp. Jak sum wpªacono na lokat przy jej zakªadaniu? Rozwi zanie: Rysunek do tego zadania prawdopodobnie powstawaªby w trakcie jego rozwi zywania, wi c wymaga komentarza. Na tym rysunku pojawiª si punkt po 4 latach, który nie

zostaª wspomniany bezpo±rednio w tre±ci zadania. Jednak jest to wa»ny moment, gdy» w tym momencie zmienia si model kapitalizacji. Dlaczego? Otó» od momentu 2,5 roku obowi zuje kapitalizacja póªroczna. Ostatnia kapitalizacja wedªug tego modelu odbywa si wªa±nie po 4 latach od rozpocz cia lokaty, gdy» nast pna odbyªaby si dopiero po 4,5 roku, a lokata wcze±niej zostaªa zerwana. Od momentu ostatniej kapitalizacji póªrocznej do momentu zerwania obowi zuje inny model kapitalizacji, opisany pierwszym zdaniem zadania. Zadanie zrobimy antychronologicznie - obliczaj c najpierw K 2, potem K 1, a na ko«cu K 0. Do obliczenia K 2 potrzebujemy: a) stopy procentowej zgodnej z doªu brutto w ostatnich 2 miesi cach obowi zywania lokaty. Stopa r 3 jest ju» zgodna i z doªu (domy±lnie), musimy tylko j opodatkowa. Zatem we wzorze u»yjemy stopy: 3 r 3b = 0, 81r 3 = 0, 81 0, 0001, (w tym miejscu odst pujemy od zasady zaokr glania do 4 miejsc po przecinku, bo mamy do czynienia ze zbyt maªymi liczbami). b) Liczby okresów kapitalizacji (czyli dni). Korzystamy w tym celu z reguªy bankowej 1m = 30 dni, zatem 2m = 60 dni. Zatem N 3 = 60. Korzystamy ze wzoru kapitalizacji prostej (która obowi zuje w tym okresie) i dostajemy: K 3 = K 2 (1 + N 3 r 3b ) 1100 = K 2 (1 + 60 0, 81 0, 0001) K 2 = 1094, 6799. Teraz obliczamy K 1. W tym celu musimy u»y stopy r 2, pami taj c,»e kapitalizacja nie jest ani zgodna, ani z doªu, ani nie jest wliczone opodatkowanie. Dlatego musimy u»y wszystkich trzech wzorów przygotowawczych: a) uzgadniamy stop : r 2 = 0,14 = 0, 07/póª roku; 2 b) doªujemy stop : 1 + r 2d = 1 1 r 2 r 2d = 0, 0753; c) odliczamy podatek: r 2db = 0, 81r 2d = 0, 0610. Zwracam uwag,»e operacje te musimy wykona w tej wªa±nie kolejno±ci, bo opodatkowanie lokat z góry dziaªa inaczej ni» lokat z doªu! Dodatkowo, od momentu 2,5 roku do momentu 4 lata mijaj 3 póªrocza, wi c liczba okresów kapitalizacji N 2 = 3. Teraz mo»emy ju» u»y wzoru na kapitalizacj zªo»on : K 2 = K 1 (1 + r 2db ) N2 1094, 6799 = K 1 (1, 0610) 3 K 1 = 916, 5180. Przez pierwsze 2,5 roku trwania lokaty obowi zywaªa kapitalizacja kwartalna. Jako,»e 2, 5 roku to 10 kwartaªów, wi c liczba okresów kapitalizacji wynosi N 1 = 10. Stopa r 1 obowi zuj ca w tym okresie dziaªa przy kapitalizacji niezgodnej, z doªu, bez wliczonego opodatkowania, wi c by przygotowa j do u»ycia we wzorze musimy u»y 2 wzorów przygotowawczych (bo kapitalizacja ju» jest z doªu): a) uzgadniamy stop r 1 = 0,12 = 0, 03/kwartaª; 4 b) odliczamy podatek r 1b = 0, 81 r 1 = 0, 0243. Teraz mo»emy ju» u»y wzoru na kapitalizacj zªo»on : K 1 = K 0 (1 + r 1b ) N1 916, 5180 = K 0 (1, 0243) 10 K 0 = 720, 8904. Odp: W momencie zakªadania lokaty wpªacono 720, 8904 jp.

4 Zadanie 3. Po jakim czasie warto± kapitaªu na lokacie podwoi si, je±li najpierw obowi - zywaªa na niej kapitalizacja miesi czna z góry, a po roku i 5 miesi cach zostaªa zmieniona na roczn z doªu? Przez caªy czas obowi zywaªa nominalna roczna stopa procentowa 15%. Rozwi zanie: W zadaniu nie mamy danej ani kwoty wpªaconej na pocz tku na lokat, ani jej warto±ci na ko«cu, ale mamy zale»no±c pomi dzy nimi, wi c oznaczamy je jako K 0 i 2K 0 (w trakcie oblicze«to si upro±ci). Pierwszy okres lokaty trwa przez rok i 5 miesi cy, czyli przez 17 okresów kapitalizacji (miesi cy). Mo»emy oznaczy N 1 = 17. By obliczy zale»no± mi dzy K 1 i K 0 musimy przystosowa stop r 1 do stosowania we wzorach. Stopa ta jest niezgodna, z góry i nieopodatkowana, wi c po kolei stosujemy 3 wzory przygotowawcze: a) uzgadniamy stop : r 1 = 0,15 = 0, 0125/miesi c; 12 b) doªujemy stop : 1 + r 1d = 1 1 r 1 r 2d = 0, 0127; c) odliczamy podatek: r 1db = 0, 81r 1d = 0, 0103. Teraz u»ywamy wzoru dla kapitalizacji zªo»onej: K 1 = K 0 (1 + r 1db ) N1 K 1 = K 0 (1, 0103) 17 K 1 = 1, 1903K 0. W drugim okresie stopa jest z doªu i zgodna, wi c musimy uwzgl dni tylko opodatkowanie: r 2b = 0, 81 0, 15 = 0, 1215. Obliczamy liczb okresów kapitalizacji (lat) N 2 w drugiej cz ±ci lokaty ze wzoru na kapitalizacj zªo»on : 2K 0 = K 1 (1+r 2b ) N2 2K 0 = 1, 1903K 0 (1, 1215) N2 ln 1, 6802 = N 2 ln 1, 1215 N 2 4, 5253. Nad tym wynikiem musimy si zastanowi : zgodnie z denicj kapitalizacji, warto± kapitaªu na lokacie zmienia si tylko w caªkowitych wielokrotno±ciach okresu kapitalizacji. Dlatego wynik 4, 5253 nie mo»e by prawidªowy - N 2 musi by liczb caªkowit. Wynik ten oznacza,»e po 4 kapitalizacjach na lokacie jeszcze nie byªo wystarczaj cego kapitaªu - pojawi si on dopiero po pi tej kapitalizacji (nawet jakby wynik wynosiª 4, 0001, to i tak wnioskowanie byªoby takie samo - zawsze wynik zaokr glamy w gór, chyba,»e kapitalizacja jest ci gªa). Dlatego tak naprawd N 2 = 5. Ostatecznie mo»emy obliczy szukany czas T dokªadaj c do wyniku pierwszy okres trwania lokaty: T = N 2 + 1 rok i 5 miesi cy=6 lat i 5 miesi cy. Odp: Kapitaª na lokacie podwoi si po 6 latach i 5 miesi cach.

Zadanie 4. Bank oferuje 3 lokaty: a) Z kapitalizacj miesi czn z doªu i nominaln roczn stop procentow 18%. b) Z kapitalizacj ci gª i nominaln roczn stop procentow 17%. c) Z kapitalizacj póªroczn z góry i nominaln roczn stop procentow 16, 5%. Obliczy efektywn roczn stop zwrotu dla tych lokat i wskaza, która z nich jest najkorzystniejsza pod tym wzgl dem dla klienta. Rozwi zanie: Jako,»e tutaj mamy po prostu 3 ró»ne lokaty, a nie jakie± zmiany warunków oprocentowania w czasie, nie b d wypisywaª danych na osi czasu - s one wyra¹nie podane w warunkach zadania. eby rozwi za zadanie - wystarczy zastosowa wzory na stopy efektywne, uwzgl dniaj c wcze±niej wzory przygotowawcze. a) Mamy tutaj stop r 1 = 18%/rok, niezgodn, z doªu, nieopodatkowan. Musimy zatem zastosowa I i III wzór przygotowawczy,»eby móc stosowa wzory wªa±ciwe. I. uzgadniamy stop : r 1 = 0,18 = 0, 015/miesi c; 12 III. odliczamy podatek: r 1b = 0, 81 r 1 = 0, 01215. Stopa, któr otrzymali±my ma OS = OK=miesi c. Chcemy uzyska stop efektywn r ef1 o OS ef = OK ef =rok. W takim razie mo»emy u»y wzoru na efektywn stop zwrotu w sytuacji, gdy obydwie stopy nie s ci gªe i m = OK ef = 12. St d: OK r ef1 = (1 + r 1b ) 12 1 = 0, 1559. b) Mamy tutaj stop r 2 = 17%/rok, nieopodatkowan, z kapitalizacj ci gª. Dla kapitalizacji ci gªej nie ma znaczenia, czy jest z doªu, czy z góry, ani zgodno± okresu stopy, który mo»emy sobie wybra, wi c musimy tylko odliczy podatek: III. odliczamy podatek: r 2b = 0, 81r 2 = 0, 1377. Stopa, któr otrzymali±my ma OS=rok. Chcemy uzyska stop efektywn r ef2 o OS ef = OK ef =rok. W takim razie mo»emy u»y wzoru na efektywn stop zwrotu w sytuacji, gdy chcemy przej± z kapitalizacji ci gªej na roczn (bo OS = OS ef ). St d: r ef2 = e r 2b 1 = 0, 1476. c) Mamy tutaj stop r 3 = 16, 5%/rok, niezgodn, z góry, nieopodatkowan. Musimy zatem zastosowa I, II i III wzór przygotowawczy,»eby móc stosowa wzory wªa±ciwe. I. uzgadniamy stop : r 3 = 0,165 = 0, 0825/póª roku; 2 II. doªujemy stop : 1 + r 3d = 1 1 r 3 r 3d = 0, 0899; III. odliczamy podatek: r 3db = 0, 81r 3d = 0, 0728. Stopa, któr otrzymali±my ma OS = OK=póª roku. Chcemy uzyska stop efektywn r ef3 o OS ef = OK ef =rok. W takim razie mo»emy u»y wzoru na efektywn stop zwrotu w sytuacji, gdy obydwie stopy nie s ci gªe i m = OK ef = 2. St d: OK r ef3 = (1 + r 3db ) 2 1 = 0, 1509. By wskaza najkorzystniejsz lokat zauwa»amy,»e r ef1 > r ef3 > r ef2. Odp: Efektywna roczna stopa zwrotu dla pierwszej lokaty wynosi 15, 59%, dla drugiej - 14, 76%, a dla trzeciej 15, 09%. Najkorzystniejsza dla klienta jest pierwsza z tych lokat. 5

6 Zadanie 5. Na lokacie A przy kapitalizacji 4-miesi cznej z doªu warto± kapitaªu potraja si po 10 latach. Jaka byªa nominalna roczna stopa procentowa na tej lokacie? Na lokat B, równie rentown co lokata A, na której obowi zywaªa kapitalizacja ci gªa, klient wpªaciª 1000 jp. Wiedz c,»e po roku obowi zywania klient dopªaciª do lokaty jeszcze 150 jp, wyznaczy czas, po którym na lokacie znajdzie si 1800 jp. Rozwi zanie: Ze wzgl du na brak czasu, nie b d tu robi rysunków - zreszt byª na zaj ciach. Obliczmy najpierw 4-miesi czn, efektywn stop na lokacie A, któr oznacz r A. W ci gu 10 lat mamy 30 4-miesi cznych okresów, wi c N = 30: K 0 (1 + r A ) 3 0 = 3K 0 (1 + r A ) 3 0 = 3 r A = 0, 0373. To jest stopa po opodatkowaniu i 4- miesi czna, wi c by otrzyma nominaln stop roczn najpierw musimy j odpodatkowa : 0, 373 = 0, 046, 0, 81 a nast pnie przemno»y przez 3 (bo zmieniamy tylko OS, nie OK, a w roku s 3 okresy 4-miesi czne): r Anom = 3 0, 046 = 0, 138. Wiedz c,»e stopa efektywna na lokacie B jest taka sama, jak stopa efektywna na lokacie A (r A ) obliczmy 4-miesi czn stop nominaln na lokacie B ze wzoru: r B = ln(1 + r A ) = ln 1, 0373 = 0, 0366. Zwró my uwag,»e jest to stopa o okresie 4 miesi ce bo wzór na przej±cie z kapitalizacji dyskretnej na ci gª (r ef = ln(1 + r)) zachowuje okres stopy, a okres stopy r A wynosiª 4 miesi ce. Teraz, pami taj c,»e jednostk czasu w której liczymy t s 4 miesi ce (wi c rok jest równy 3 okresom stopy), mo»emy obliczy,»e najpierw po roku na lokacie B byªo: a po dopªacie: K 1 = 1000 e 3r B = 1116, 0548, K 1 = 1116, 0548 + 150 = 1266, 0548. Niech t b dzie liczb wielokrotno±ci 4- miesi cy która upªynie od ko«ca pierwszego roku lokaty do momentu, gdy na lokacie b dzie 1800 jp. Rozwi zujemy teraz równanie: K k = 1800 = 1266, 0548 e 0,0366t ln 1, 4217 = 0, 0366t t = 9, 6142. Zamieni wynik t = 9, 6142 okresów 4-miesi cznych na 9, 6142 4 = 38, 4568 miesi cy (bo wynik podany w okresach 4-miesi cznych wygl da gªupio). Pami tamy,»e musimy do wyniku doda rok (bo od tego czasu obliczali±my t), czyli 12 miesi cy, co daje nam ostateczny rezultat: 38, 4568 + 12 = 50, 4568 miesi ca. Zauwa»my,»e w przeciwie«stwie do zadania 3 wyniku nie musimy zaokr gla : kapitalizacja jest ci gªa wi c w ka»dym momencie na lokacie jest dokªadnie tyle pieni dzy ile wynika z oblicze«. Odp: Nominalna roczna stopa procentowa na lokacie A wynosiªa 13, 8%, a 1800 jp znalazªo si na lokacie B po 50,4568 miesi cach.

Zadanie 6. Na pewn lokat z kapitalizacj 2-miesi czn z góry o nominalnej rocznej stopie procentowej 9% klient wpªaciª 1500 jp. Po roku bank zmieniª kapitalizacj na kwartaln z doªu, nie zmieniaj c opªacalno±ci lokaty. Po kolejnych 2 latach i 3 miesi - cach, bank podniósª obowi zuj c wtedy nominaln roczn stop procentow o 2 punkty procentowe i przeszedª na kapitalizacj ci gª. Wreszcie 2 lata po tej ostatniej zmianie kapitalizacj zmieniono na póªroczn z góry, nie zmieniaj c opªacalno±ci lokaty. Ile wynosiªa nominalna roczna stopa procentowa po tych wszystkich zmianach? Ile kapitaªu znalazªo si na lokacie po 6 latach i 9 miesi cach od jej zaªo»enia? Rozwi zanie: Najpierw oblicz wszystkie stopy procentowe jakie po kolei obowi zywaªy na lokacie. Na pocz tku mieli±my do czynienia z r 1 = 9%, OS = 1 rok OK = 1 roku, kapitalizacja z 6 góry, bez podatku. Zatem po kolei musimy stop r 1 uzgodni, zamieni na stop z doªu i opodatkowa. Otrzymujemy: 1 + r d = r 1 = 0, 09 6 = 0, 015. 1 1 0, 015 r d = 0, 0152. r 1 = 0, 0152 0, 81 = 0, 0123. Nast pnie zmieniamy t stop na efektywn kwartaln stop w drugim etapie lokaty r 2 (bo opªacalno± si nie zmienia, wi c stopy efektywne s takie same). Stosunek nowego okresu kapitalizacji do starego kwartaª/2 miesi ce to m = 3 2, wi c: r 2 = (1, 0123) 3 2 1 = 0, 0185, gdzie r 2 jest efektywn stop kwartaln. eby przej± do trzeciego etapu lokaty, potrzebujemy nominalnej stopy rocznej w drugim etapie. Kapitalizacja ju» jest z doªu, wi c stop r 2 musimy tylko odpodatkowa i zmieni jej okres na rok: r 2 0, 81 = 0, 0228, r 2nom = 0, 0228 4 = 0, 0912. Zatem w trzecim etapie lokaty, nominalna roczna stopa procentowa wynosiªa: r 3nom = 0, 0912 + 0, 02 = 0, 1112. Poniewa» za chwil b dziemy zmienia t stop na efektywn póªroczn, a przy zmianie stopy ci gªej na dyskretn okres stopy si nie zmienia, trzeba okres tej stopy zmieni na póªroczny: 0, 1112 r 3pol = = 0, 0556 2 Uwzgl dniaj c podatek, otrzymujemy póªroczn stop po podatku: r 3polt = 0, 0556 0, 81 = 0, 0450. Zatem póªroczna stopa efektywna w 3 etapie, równa póªrocznej stopie efektywnej w 4 etapie wynosi: r 4 = e 0,0450 1 = 0, 0460. eby uzyska stop nominaln roczn w 4 etapie, musimy cofn wszystkie kroki przygotowywania stopy do zadania, czyli kolejno odpodatkowa, przeliczy na stop z góry i wreszcie przeliczy okres stopy z póªrocznego na roczny (czyli pomno»y stop przez 2): 7

8 0, 0460 = 0, 0568. 0, 81 1 = 1 + 0, 0568 r g = 0, 0537. 1 r g 0, 0537 2 = 0, 1074, co jest wynikiem tej cz ±ci zadania. eby obliczy ko«cow warto± kapitaªu, musimy obliczy liczby okresów kapitalizacji, w których obowi zywaªa ka»da stopa. Stopa r 1 = 0, 0123 obowi zywaªa przez 6 okresów 2-miesi cznych, stopa r 2 = 0, 0185 obowi zywaªa przez 9 okresów kwartalnych, a stopa r 3polt = 0, 0450 obowi zywaªa przez 4 okresy póªroczne. Czwarty etap zacz ª si po 5 latach i 3 miesi cach, a zako«czyª po 6 latach i 9 miesi cach wi c trwaª 1,5 roku, czyli 3 póªroczne okresy ze stop póªroczn r 4 = 0, 0460. St d: K k = 1500(1, 0123) 6 (1, 0185) 9 e 4 0,045 (1, 0460) 3 = 2608, 3390. Odp: Nominalna roczna stopa procentowa w ostatnim etapie lokaty wynosiªa 10, 74%, a po 6 latach i 9 miesi cach na lokacie byªo 2608,3390 jp.