Technika regulacji automatycznej Wykład 5 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 38
Plan wykładu Kompensator wyprzedzający Kompensator opóźniający 2 z 38
Plan wykładu Kompensator wyprzedzający Kompensator opóźniający 2 z 38
Kształtowanie charakterystyki częstotliwościowej Podstawowe założenia: kształtujemy charakterystykę układu otwartego aby uzyskać: pożądane (duże) wzmocnienie w zakresie niskich częstotliwości aby minimalizować błąd w stanie ustalonym i minimalizację wpływu zakłóceń odpowiednią częstotliwość graniczną wzmocnienia aby otrzymać pożądane pasmo przenoszenia (szybkość odpowiedzi) odpowiednie zapasy fazy i wzmocnienia 3 z 38
Kompensator wyprzedzający Transmitancja gdzie α < 1. C(s) = 1 + st 1 + sαt Zadanie Dobrać parametry α i T tak aby uzyskać dla układu otwartego założony zapas fazy PM = ϕ. Dzięki temu możliwa będzie redukcja oscylacji na wykresie odpowiedzi skokowej. 4 z 38
Kompensator wyprzedzający Własności kompensatora maksymalne przesuniecie fazy w przód to ( ) 1 α φ m = sin 1 1 + α maksymalne przesuniecie fazy w przód dla częstotliwości ω m = 1 αt maksymalne wzmocnienie dla ω m wynosi 20 log( α) = 10 log(α) 5 z 38
Kompensator wyprzedzający (T = 1, α = 0.125) 20 Bode Diagram Magnitude (db) 15 10 5 0 60 Phase (deg) 30 0 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 6 z 38
Kompensator wyprzedzający Własności kompensatora 1 T ω m 1 αt maksymalne wzmocnienie dla ω m to połowa sumy wzmocnienia początkowego i końcowego w praktyce możemy użyć tabeli α 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/8 1/10 φ m 19.5 30 38.9 41.8 45.6 51.1 54.9 G m [db] 3.01 4.77 6.02 6.99 7.78 9.03 10.0 7 z 38
Kompensator wyprzedzający Procedura projektowania dla wymaganego PM=ϕ wyznacz zapas fazy układu bez kompensatora φ biorąc pod uwagę margines bezpieczeństwa ɛ, określ wymagany zapas fazy do uzyskania przez kompensator gdzie ɛ = 5 18 φ m = ϕ φ + ɛ Dobierz parametr α z odpowiednich równań lub tabeli Wyznacz wartość 10 log α (albo odczytaj z tabeli) i określ częstotliwość gdzie wzmocnienie układu bez kompensatora jest 10 log α [db]. Ta częstotliwość to ω BW wykreśl wykresy Bode go i ewentualnie powtórz całą procedurę 8 z 38
Kompensator wyprzedzający - przykład Dana jest transmitancja obiektu Dla tego obiektu: G(s) = Zapas fazy jest mały, PM=15 [deg] 6 s(1 + 0.5s)(1 + 0.1s) Pożądane jest zwiększenie PM do ok. 40 [deg] (przeregulowanie η = 25%) 9 z 38
Kompensator wyprzedzający - przykład 50 Bode Diagram Gm = 6.02 db (at 4.47 rad/sec), Pm = 15.6 deg (at 3.1 rad/sec) Magnitude (db) 0 50 100 150 90 Phase (deg) 135 180 225 270 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 10 z 38
Kompensator wyprzedzający - przykład Projektowanie kompensatora Wymagane przesuniecie fazowe to ok. 40 [deg] (40 15.6 + ɛ) = 40 gdy ɛ = 15.6 i kompensator musi przesuwać fazę o 40 [deg]. ɛ = 5 10 [deg] dla obiektów względnego stopnia 2, ɛ = 12 18 [deg] dla obiektów względnego stopnia 3. Z tabeli α może być 1/4 lub 1/5. Przykładowo wybieramy α = 1/5 czyli ɛ = 17.4 i wzmocnienie to 6.99[dB]. 11 z 38
Kompensator wyprzedzający - przykład Projektowanie kompensatora Z charakterystyki obiektu (G(s)) odczytujemy, że G(jω) 7[dB] dla ω = 4.74 Oznacza to, że 4.74 = 1 T 1/5 transmitancja kompensatora to czyli T = 0.472 C(s) = 1 + 0.472s 1 + 0.094s 12 z 38
Kompensator wyprzedzający - przykład 20 Bode Diagram Gm = 11 db (at 10.2 rad/sec), Pm = 39.6 deg (at 4.72 rad/sec) 0 Magnitude (db) 20 40 60 Phase (deg) 80 90 135 180 225 z kompensacja bez kompensacji 270 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 13 z 38
Kompensator wyprzedzający - przykład Step Response 1.8 1.6 bez kompensacji z kompensacja 1.4 1.2 Amplitude 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (sec) 14 z 38
Kompensator wyprzedzający Metoda analityczna Cel metody Chcemy aby układ otwarty C(s)G(s) miał wzmocnienie C(s)G(s) = 1 i przesunięcie fazowe ϕ 180 o + PM dla częstotliwości s = jω gc K(jω gc )G(jω gc ) = K c jω gc τ z + 1 jω gc τ p + 1 M G e jθ G = 1e j( 180+PM) gdzie M G i θ G to wzmocnienie (ale nie w db) i faza G(jω) dla ω = ω gc 15 z 38
Kompensator wyprzedzający Metoda analityczna Cel metody Dokonując separacji równania na część rzeczywistą i urojoną otrzymujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi: τ z i τ p Rozwiązanie: τ z = 1 + K cm G cos(pm θ G ) ω gc K c M G sin(pm θ G ) τ p = cos(pm θ G ) + K C M G ω gc sin(pm θ G ) 16 z 38
Kompensator wyprzedzający Metoda analityczna-przykład Dany jest obiekt G(s) = 400 s(s 2 + 30s + 200) Należy zaprojektować kompensator wyprzedzający tak aby uzyskać następujące wskaźniki jakościowe: e ssramp 10% - błąd w stanie ustalonym dla sygnału liniowo narastającego ω gc = 14 [rad/sec] PM = 45 o 17 z 38
Kompensator wyprzedzający Metoda analityczna-przykład Błąd w stanie ustalonym e ssramp = 1 K v gdzie K v = lim s 0 s(k c G) Aby e ssramp 0.1 to K v = 10. Oznacza to, że K c = 5, gdyż 400 lim s(g) = s 0 200 = 2 18 z 38
Kompensator wyprzedzający Metoda analityczna-przykład Dla ω = ω gc = 14[rad/sec] M G = 0.068 θ G = 180 o Wynik obliczeń: τ z = 0.227 τ p = 0.038 Kompensator C(s) = 5 0.227s + 1 0.038s + 1 19 z 38
Kompensator wyprzedzający Metoda analityczna-przykład 50 Bode Diagram Magnitude (db) 0 50 100 150 45 90 bez kompensacji z kompensatorem Phase (deg) 135 180 225 270 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 20 z 38
Kompensator wyprzedzający Metoda analityczna-przykład Step Response 1.4 1.2 bez kompensacji z kompensatorem 1 Amplitude 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Time (sec) 21 z 38
PD versus kompensator wyprzedzający Idealny i rzeczywisty PD W przypadku rzeczywistego PD Wnioski: K p + K d s K p + K ds std + 1 PD(s) = K p ( T d + K d K p ) s + 1 Tds + 1 PD jest bardzo podobny do kompensatora wyprzedzającego PD ma biegun w nieskończoności 22 z 38
Kompensator opóźniający Transmitancja gdzie α > 1. Własności: C(s) = 1 + st 1 + sαt wprowadza opóźnienie więc zmniejsza PM (tendencja destabilizacji) nie używamy dla układów niestabilnych zmniejsza błąd w stanie ustalonym zmniejsza częstotliwość graniczną wzmocnienia (ω gc ) - spowolnienie odpowiedzi układu. 23 z 38
Kompensator opóźniający Metoda analityczna Cel metody Chcemy aby układ otwarty C(s)G(s) miał wzmocnienie C(s)G(s) = 1 i przesunięcie fazowe ϕ 180 o + PM dla częstotliwości s = jω gc K(jω gc )G(jω gc ) = K c jω gc τ z + 1 jω gc τ p + 1 M G e jθ G = 1e j( 180+PM) gdzie M G i θ G to wzmocnienie (ale nie w db) i faza G(jω) dla ω = ω gc 24 z 38
Kompensator opóźniający Metoda analityczna Dokonując separacji równania na część rzeczywistą i urojoną otrzymujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi: τ z i τ p Rozwiązanie: τ z = 1 + K cm G cos(pm θ G ) ω gc K c M G sin(pm θ G ) τ p = cos(pm θ G ) + K C M G ω gc sin(pm θ G ) 25 z 38
Kompensator opóźniający Metoda analityczna-przykład Dany jest obiekt G(s) = 10 s(s + 5) Należy zaprojektować kompensator opóźniający, tak aby uzyskać następujące wskaźniki jakościowe: e ssramp 5% - błąd w stanie ustalonym dla sygnału liniowo narastającego ω gc = 2 [rad/sec] PM = 40 o 26 z 38
Kompensator opóźniający Metoda analityczna-przykład Błąd w stanie ustalonym e ssramp = 1 K v gdzie K v = lim s 0 s(k c G) Aby e ssramp 0.05 to K v = 20. Oznacza to, że K c = 10, gdyż 10 lim s(g) = s 0 5 = 2 27 z 38
Kompensator opóźniający Metoda analityczna-przykład Dla ω = ω gc = 2[rad/sec] M G = 0.9285 θ G = 111.8014 o Wynik obliczeń: τ z = 0.8186 τ p = 8.8920 Kompensator C(s) = 10 0.8186s + 1 8.8920s + 1 28 z 38
Kompensator opóźniający Metoda analityczna-przykład Bode Diagram Magnitude (db) 100 50 0 50 bez kompensacji z kompensatorem 100 90 Phase (deg) 135 180 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) 29 z 38
PI versus kompensator opóźniający Transmitancja regulatora PI K p + K i s Sprowadzając do wspólnego mianownika otrzymujemy Wnioski: PI (s) = K ps + K i s = K p s + K i K p s PI jest bardzo podobny do kompensatora opóźniającego PI ma biegun w zerze 30 z 38
Projektowanie kompensatora Metoda analityczna 2 Metoda dla kompensatora postaci C(s) = 1 + αts 1 + Ts gdzie α < 1 daje wyprzedzenie a α > 1 opóźnienie. Własności: Przesunięcie fazowe dla częstotliwości ω p = tg φ = αωt ωt 1 + (ωt ) 2 α Wzmocnienie (w [db]) dla częstotliwości ω 31 z 38 c = 10 M 10 = 1 + (ωαt ) 2 1 + (ωt ) 2
Projektowanie kompensatora Metoda analityczna 2 Możemy sprawdzić, że (p 2 c + 1)α 2 + 2p 2 cα + p 2 c 2 + c 2 c = 0 gdzie wymagane jest aby c > p 2 + 1. Rozwiazując powyższe równanie otrzymujemy T = 1 1 c ω c α 2 Uwaga! dla opóźnienia φ < 0, M < 0 i c < 1 1+p 2 32 z 38
Projektowanie kompensatora Metoda analityczna 2 Procedura postępowania (wyprzedzenie) 1. Wybrać częstotliwość ω = ω gc 2. Określić wymagany PM a przez to wymagany φ 3. Sprawdzić czy φ > 0 i M > 0 4. Sprawdzić zależność c > p 2 + 1 5. Określić parametr α 6. Określić parametr T 7. Powtórzyć całą procedurę jeśli to jest wymagane 33 z 38
Projektowanie kompensatora Metoda analityczna 2 - przykład Dany jest układ Wymagania jakościowe: PM = 45 o G(s) = 10 s 2 Częstotliwość graniczna fazy ω gc = 5[rad/sec] 34 z 38
Projektowanie kompensatora Metoda analityczna 2 - przykład 30 Bode Diagram 20 Magnitude (db) 10 0 10 20 179 Phase (deg) 179.5 180 180.5 181 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Frequency (rad/sec) 35 z 38
Projektowanie kompensatora Metoda analityczna 2 - przykład Wymagane φ = 45 o i M = 8[dB] p = tg(45 o ) = 1; c = 10 8 10 = 6.31 Rozwiązując odpowiednie równania otrzymujemy Transmitancja kompensatora α = 5.84; T = 0.087 C(s) = 1 + 0.515s 1 + 0.087s 36 z 38
Kompensator wyprzedzający Metoda analityczna 2 - przykład 100 Bode Diagram Magnitude (db) 50 0 50 100 120 bez kompensacji z kompensatorem Phase (deg) 150 180 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) 37 z 38
Kompensator wyprzedzający Metoda analityczna 2 - przykład Step Response 2 1.8 bez kompensacji z kompensatorem 1.6 1.4 Amplitude 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time (sec) 38 z 38