Tablice trwania życia

ROZDZIAŁ 3 Tablice trwania życia 1 Przyszły czas życia Osobę, która ukończyła x lat życia, będziemy nazywać x-latkiem i oznaczać symbolem x Jej przyszły czas życia, tzn od chwili x do chwili śmierci, będziemy oznaczać przez T x Wartości T x są nieujemne, ale nie muszą być całkowite! Oczywiście T x dla danej osoby x żyjącej nie jest znane Zakładamy zatem, że T x jest zmienną losową i że dany jest jej rozkład dystrybuanta F x t = PT x t, t Inaczej, F x t jest prawdopodobieństwem, że x-latek umrze przed upływem czasu t, tzn przed chwilą x + t Będziemy zawsze zakładać, że F x ma gęstość f x, tzn że dla dowolnych a b Pa T x b = lub równoważnie b F xt = f x t dla prawie wszystkich t Przez s x oznaczymy funkcję przeżycia s x t = PT x > t = Będziemy używać następujących oznaczeń: a x f x tdt, f x tdt prawdopodobieństwo, że x umrze przed upływem czasu t tq x = F x t; prawdopodobieństwo, że x przeżyje jeszcze t lat tp x = 1 F x t = s x t; Oczywiście t q x + t q x = 1 prawdopodobieństwo, że x przeżyje jeszcze s lat, a następnie umrze w ciągu czasu t s tq x = Ps < T x s + t = F x s + t F x s = s+t q x s q x = s p x s+t p x ; 15

16 3 TABLICE TRWANIA życia prawdopodobieństwo, że x przeżyje kolejne t lat, pod warunkiem, że przeżyje najpierw co najmniej s lat oraz tp [x]+s = PT x > s + t T x > s = = 1 F xs + t 1 F x s przeciwne prawdopodobieństwo warunkowe = s+t p x sp x, tq [x]+s = PT x s + t T x > s = = F xs + t F x s 1 F x s = s t q x sp x Uwaga Jeżeli jakiś indeks jest równy 1, to można go pominąć, np 1p x = p x, t 1q x = t q x Przykład 8 Niech x = 5, t = 5 oraz s = 1 Wtedy: q x = q 5 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letnia umrze w ciągu kolejnego roku; p x = p 5 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 5-letnia przeżyje kolejny rok; t q x = 5 q 5 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letnia umrze przed osiągnięciem 55 lat; t p x = 5 p 5 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letnia dożyje wieku 55 lat; s t q x = 1 5 q 5 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letnia umrze pomiędzy 6 a 65 rokiem życia; t q [x]+s = 5 q [5]+1 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letnia umrze przed osiągnięciem 65 lat, pod warunkiem, że dożyła ona 6 lat t p [x]+s = 5 p [5]+1 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letnia dożyje wieku 65 lat, pod warunkiem, że dożyła ona 6 roku życia; Uwaga t p x+s = 5 p 6 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 6 letnia dożyje 65 roku życia Jest to inne prawdopodobieństwo niż t p [x]+s = 5 p [5]+1, chociaż na pierwszy rzut oka mówią one o tym samym: w obydwu przypadkach chodzi o przeżycie od 6 do 65 roku życia Ale dotyczą one różnych populacji: 5 p 6 dotyczy 6-latków, a 5 p [5]+1 dotyczy 5-latków Zachodzą następujące równości s+tp x = s p x t p [x]+s s tq x = s p x t q [x]+s,

1 PRZYSZ Y CZAS życia 17 a więc k 1 kp x = p x i=1 p [x]+i Wartością oczekiwaną przyszłego czasu życia T x nazywamy e x = ET x = tf x tdt Zakładamy, że e x < dla każdego x Zauważmy, że a więc całkując przez części Ostatecznie f x t = d tp x, dt e x = [ t t p x ] e x = + tp x dt tp x dt Podobnie ETx 2 = t 2 f x tdt = 2 t t p x dt, a więc wariancję przyszłego czasu trwania życia można obliczyć ze wzoru Var T x = ET 2 x ET x 2 = 2 t t p x dt e x 2 Natężeniem śmiertelności x-latka w chwili t liczonego od chwili obecnej tzn w chwili x + t nazywamy wielkość µ [x]+t = f xt 1 F x t Rozważmy prawdopodobieństwo warunkowe śmierci x w krótkim przedziale czasu [t, t + h] pod warunkiem, że x przeżyje do czasu t hq [x]+t = PT x t + h T x > t = F xt + h F x t 1 F x t Na mocy twierdzenia o wartości średniej mamy dla pewnego θ [, 1], a więc F x t + h F x t = hf x t + θh, hq [x]+t h = f xt + θh 1 F x t Jeżeli gęstość jest ciągła w p-cie t, to dostajemy hq [x]+t lim = µ [x]+t h + h Zatem prawdopodobieństwo śmierci x-latka w krótkim przedziale czasu [t, t + h] jest proporcjonalne do długości tego przedziału ze współczynnikiem proporcjonalności µ [x]+t

18 3 TABLICE TRWANIA życia a więc oraz Dalej zauważmy, że µ [x]+t = 1 d t p x tp x dt = dlog tp x dt t 1 F x t = exp µ [x]+s ds t F x t = s p x µ [x]+s ds Inaczej mówiąc natężenie śmiertelności wyznacza rozkład przyszłego czasu życia Obciętym czasem życia nazywamy zmienną losową K x = T x, gdzie a oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej a, czyli największą liczbę całkowitą niewiększą niż a Inaczej a = k wtedy, i tylko wtedy, gdy k a < k + 1 Zatem K x oznacza liczbę ukończonych przyszłych lat życia x-latka Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej K x dana jest wzorem PK x = k = Pk T x < k + 1 = k 1 q x = k p x q [x]+k Zatem oczekiwany obcięty przyszły czas życia jest dany wzorem K x e x = kpk x = k = k k p x q [x]+k k=1 k=1 jest zmienną losową o wartościach całkowitych nieujemnych, a więc jej wartość oczekiwaną można również obliczyć ze wzoru Wariancja K x wyraża się wzorem e x = PK k = kp x k=1 k=1 Var K x = EK 2 x EK x 2 lub Var K x = 2 k k p t e x 2 k= Rozważmy pewną populację grupę ludzi urodzonych w tym samym roku złożoną z l osób Zwykle l = 1 Typowa tablica trwania życia jest to zbiór par postaci x,, dla x =, 1,, 1, gdzie oznacza oczekiwaną liczbę osób z populacji, które żyją w chwili x Zauważmy, że dla całkowitych k l k l = PT k = PK k = k p,

2 HIPOTEZY AGREGACYJNE 19 a więc z tablic trwania życia można wyznaczyć bezpośrednio rozkład zmiennej losowej K, czyli rozkład obciętego przyszłego czasu trwania życia noworodka Rozważymy teraz problem jak przy znanych wartościach k p, k =, 1, 2, wyznaczyć t p x dla dowolnych wartości x i t W tym celu o badanej populacji musimy dokonać pewnych założeń zwanych hipotezami Zajmiemy się najpierw problemem wyznaczenia rozkładu K x gdy znany jest rozkład K lub ogólniej wyznaczenia rozkładu T x gdy znany jest rozkład T Problem ten sprowadza się do problemu wyznaczenia prawdopodobieństw t p x dla dowolnych x, gdy znane są t p Problemu tego dotyczą hipotezy agregacyjne: hipoteza jednorodnej populacji HJP hipoteza agregacyjna HA Następnie zajmiemy się problemem wyznaczenia wartości t p x, dla dowolnego t, gdy znane są tylko k p x dla k =, 1, 2 Problemu tego dotyczą hipotezy interpolacyjne: hipoteza jednostajności HU; hipoteza wykładnicza HCFM; hipoteza Balducciego HB Hipoteza jednorodnej populacji 2 Hipotezy agregacyjne Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób w chwili urodzin otrzymała losowy czas życia T o ustalonym, ale jednakowym rozkładzie opisanym funkcja przeżycia Jeżeli spełniony jest warunek st = PT > t PT x > t = PT > x + t T > x dla wszystkich x, t, to mówimy, że populacja ta spełnia hipotezę jednorodnej populacji HJP Warunek ten oznacza, że przyszły czas życia T x osoby, która dożyła wieku x jest taki sam jak rozkład T x przy warunku T > x Zauważmy jeszcze, że PT > x + t T > x = PT > x + t PT > x a więc HJP jest równoważna warunkowi tp x = x+t p xp = x+t p xp, dla wszystkich x, t Inaczej mówiąc, przy założeniu HJP, rozkład T x dla x, wyraża się przez rozkład T

2 3 TABLICE TRWANIA życia Niech µ t = s t, t, st będzie natężeniem zgonów związanym ze zmienną T Wiemy już, że t st = exp µ u du Twierdzenie 1 Hipoteza HJP jest równoważna następującym warunkom: tp [x]+u = t p x+u * lub µ [x]+t = µ x+t ** Dowód Jeśli zachodzi HJP, to W drugą stronę a więc jeśli t p [x]+u = t p x+u, to tp x+u = x+u+t p = x+u+tp / x p x+up x+up / x p tp [x]+u = t+u p x up x, = t+up x up x = t p [x]+u tp x+u = t+u p x up x Kładąc x = otrzymujemy HJP Zatem warunek jest równoważny HJP Dalej mamy a więc jeżeli zachodzi HJP, to µ [x]+t = x p d x+tp dt Z drugiej strony, jeżeli µ [x]+t = µ x+t, to tp x = exp µ [x]+t = 1 d t p x tp x dt x+tp = 1 d x+tp xp x+tp dt = exp = exp t t x+t Zatem jest również równoważny HJP x µ [x]+u du µ x+u du µ u du = x+t p xp = µ []+x+t = µ x+t oraz Wniosek 1 Jeżeli zachodzi HJP, to tp x = exp x+t x µ u du e x = 1 sydy sx x

2 HIPOTEZY AGREGACYJNE 21 Dowód Pierwszą równość wykazaliśmy w dowodzie Tw 1 Druga równość wynika z następujących przekształceń e x = tp x dt = Przykłady rozkładów zmiennej T sx + t dt = 1 sx + tdt sx sx Rozkład de Moivre a 1729, który postulował istnienie maksymalnego wieku jednostki ω = 1 lat Rozkład T miał być jednostajny na przedziale [, ω], a więc oraz st = 1 t, t ω, ω µ t = 1, t ω ω t Przy dodatkowym założeniu HJP rozkład T x jest rozkładem jednostajnym na [, ω x], a więc tp x = 1 t ω x Rozkład Gompertza 1824, który postulował, że natężenie zgonów jest wykładnicze postaci gdzie B > i c > 1 µ t = Bc t, t >, Rozkład Makehama 186, który zaproponował, że gdzie B > i c > 1 oraz A B µ t = A + Bc t, t >, Rozkład Weibulla 1939, który zakładał, że gdzie k >, n > Hipoteza agregacji µ t = kt n, t, Przypomnijmy, że jeżeli T x oznacza przyszły czas trwania życia x-latka, to K x = T x oznacza liczbę pełnych lat, które przeżyje jeszcze x-latek Zatem oczywiście dla k N PK x k = PT x k Powiemy, że dla danej populacji spełniona jest hipoteza agragacji HA, jeżeli dla dowolnych x, k N zachodzi zależność PK x k = PK x + k K x HA

22 3 TABLICE TRWANIA życia Korzystając z powyższej równości łatwo pokazać, że jeżeli dana populacja spełnia HJP, to spełnia również HA, chociaż na odwrót tak być nie musi Rownoważnie zamiast zależności HA można zakładać warunek PK x = k = PK = x + k K x HA Twierdzenie 2 Hipoteza HA jest równoważna każdemu z następujących warunków: a k p []+x = k p x ; b k q []+x = k q x ; c p [x]+k = p x+k ; d p [x]+k = p x+k Dowód Oczywiście HA a i HA b Ponadto a b i c d Wystarczy zatem udowodnić, że a c HA Załóżmy zatem, że zachodzi a Wtedy p [x]+k = k+1 p x kp x a więc a c = k+1p []+x = PK x + k + 1 K x kp []+x PK x + k K x = PK x + k + 1 PK x + k Jeżeli zachodzi c, to Zatem c HA k 1 PK x k = k p x = p x = p = PK x + k + 1 K x + k = p x+k, i=1 x+k 1 i=1 p []+i p x 1 i=1 p []+i k 1 p [x]+i = p []+x = PK x + k K x Przypomnijmy teraz, że dla dowolnych s, t, x mamy s+tp x = s p x t p [x]+s Wniosek 2 Jeżeli zachodzi HA, to dla k, n, x N k+np x = k p x np x+k = n p x kp x+n p []+x+i i=1 oraz kp x = p x p x+1 p x+k 1 Mamy PK x = k = k p x q [x]+k, a więc jeśli dana jest tablica liczb p x, x = 1, 2,, to przy założeniu HA możemy wyznaczyć rozkład K x dla każdego x = 1, 2, bo q [x]+k = q x+k = 1 p x+k

równe 3 HIPOTEZY INTERPOLACYJNE 23 Przykład 9 Prawdopodobieństwo, że obcięty czas życia 5-latka wynosi 6 jest PK 5 = 1 = 1 p 5 1 p 6 = p 5 p 51 p 59 1 p 6 Twierdzenie 3 Przy założeniu HA dla każdego x =, 1, 2, zachodzi wzór e x = 1 xp k=x+1 kp Dowód Mamy e x = kp x = = k=1 1 PK x PK x k k=1 k=1 PK x + k = 1 xp k=1 x+kp = 1 xp k=x+1 kp Hipotezy HJP i HA nie zawsze muszą być spełnione Jeśli bowiem zachodzi np HA, to na mocy powyższego twierdzenia mamy na przykład p [5]+1 = p 51, a więc PT 5 > 2 T 5 > 1 = PT 51 > 1 Na pierwszy rzut oka wydaje się, że równość taka powinna zachodzić w każdej populacji, gdyż w obydwu przypadkach chodzi o przeżycie od 51 do 52 roku życia Ale pierwsze z tych prawdopodobieństwo dotyczy populacji 5-latków, a drugie populacji 51-latków Mogło się tak zdarzyć, że strsze pokolenie 51-latków przeżyło w pierwszym roku życia jakiś kataklizm, który ominął 5-latków, ale zdarzenie to może mieć wpływ na rozkład przyszłego czasu życia 3 Hipotezy interpolacyjne Załóżmy, że dany jest rozkład zmiennej losowej K x dla każdego x =, 1, 2,, a w szczególności dane są prawdopodobieństwa n p x dla n, x =, 1, 2, Hipotezy interpolacyjne umożliwiają wyznaczenie wartości funkcji t p x dla t [n, n + 1, n =, 1, 2, Oznaczmy przez S x ułamkowy czas życia, tzn S x = T x K x Zauważmy, że jeśli n =, 1, 2, oraz u [, 1, to PT x n + u = PK x + S x n + u = PS x u K x = npk x = n a więc n+up x = PS x u K x = n n p x n+1 p x

24 3 TABLICE TRWANIA życia Zatem przyjęcie pewnej hipotezy interpolacyjnej jest równoważne określeniu warunkowego rozkładu S x przy warunku K x = n Definicja 1 Powiemy, że rozkład T x spełnia hipotezę jednostajności HU, jeżeli funkcja t p x zmiennej t jest ciągła i liniowa na przedziałach [n, n + 1 Zatem n+up x = 1 u n p x + u n+1 p x, u < 1, n =, 1, 2, Zauważmy, że interpolacja jest dokonywana zawsze między kolejnymi latami Zatem znajomość 3 p 3 i 5 p 3 nie wystarczy do wyznaczenia 45 p 3 Ale prawdopodobieństwo to można wyznaczyć znając 4 p 3 i 5 p 3, ze wzoru 45 p 3 = 5 4 p 3 + 5 p 3 Podstawiając w powyższej definicji n = dostajemy up x = 1 u + u p x a więc przy założeniu HU dla u, 1 mamy up x = 1 uq x, uq x = uq x Twierdzenie 4 Niech będzie dany rozkład K x Wtedy HU jest równoważna warunkowi PS x u K x = n = u, dla u < 1 i n =, 1, 2, Dowód Jeżeli zachodzi HU, to PK x = n, S x u = Pn T x n + u = n p x n+u p x = n p x 1 u n p x u n+1 p x = u n p x n+1 p x = upk x = n Zatem co należało pokazać PS x u K x = n = PK x = n, S x u PK x = n = u, Powyższe twierdzenie mówi, że przy założeniu HU zmienne losowe K x i S x są niezależne i S x ma rozkład jednostajny na przedziale [, 1] stąd nazwa hipotezy W szczególności e x = e x + 1 2 oraz Var T x = Var K x + 1 12

3 HIPOTEZY INTERPOLACYJNE 25 Definicja 2 Powiemy, że rozkład T x spełnia hipotezę przedziałami stałego natężenia zgonów HCFM, jeżeli µ [x]+t jest funkcją stałą zmiennej t w przedziałach n, n + 1, n =, 1, 2,, tzn Przy założeniu HCFM mamy µ [x]+n+u = µ [x]+n, u < 1 µ [x]+n+u = µ [x]+n = log p [x]+n, u < 1, n =, 1, 2, Istotnie, korzystając ze wzoru mamy Stąd co daje szukaną równość t tp x = exp µ [x]+s ds np x = exp p [x]+n = n+1 p x np x n 1 µ [x]+k k= = exp µ [x]+n, Twierdzenie 5 Niech będzie dany rozkład K x Wtedy HCFM jest równoważna każdemu z następujących warunków: a n+u p x = n p x p[x]+n u; b PS x u K x = n = 1 p [x]+n u q [x]+n Dowód Mamy n+up x = exp n = exp np x exp Zatem jeżeli zachodzi HCFM, to n n+u n µ [x]+t dt n+u n µ [x]+t dt exp µ [x]+t dt µ [x]+t dt n+u µ [x]+t dt n n+up x = n p x exp u log p [x]+n = n p x p[x]+n u Korzystając teraz z a otrzymujemy PS x u K x = n = n p x n+u p x np x n+1 p x u = n p x n p x p[x]+n np x n+1 p x Dzieląc licznik i mianownik przez n p x dostajemy warunek b Jeśli zachodzi b, to zachodzi HCFM

26 3 TABLICE TRWANIA życia W szczególności przy założeniu HCFM zmienne losowe K x i S x nie są niezależne Zauważmy jeszcze, że z warunku a z n = dostajemy dla u < 1 up x = p x u, uq x = 1 p x u Definicja 3 Powiemy, że rozkład T x spełnia hipotezę Balducciego, jeżeli 1 uq [x]+n+u = 1 uq [x]+n, u < 1, n =, 1, 2, Zatem HB mówi, że prawdopodobieństwo tego, że x-latek umrze przed końcem n- trgo roku pod warunkiem, że przeżyje do chwili n + u jest proporcjonalne do pozostałej części roku, tj 1 u Twierdzenie 6 Jeżeli dany jest rozkład K x, to HB jest równoważna warukowi p [x]+n n+up x = n p x u + 1 up [x]+n Dowód Mamy n+1p x = n+u p x 1 u p [x]+n+u, co implikuje równoważność HB i wzoru z tezy twierdzenia Można pokazać, że również w przypadku HB zmienne losowe S x i K x nie są niezależne W szczególności kładąc n = otrzymujemy, że przy założeniu HB p x uq x up x =, uq x = u + 1 up x u + 1 up x Przykład 1 Zakładając, że zachodzi HJP oraz mając dane p 7 = 98288 oraz p 71 = 9812, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że osoba 7-letnia przeżyje jeszcze 1 rok i 3 miesiące przy założeniu HU, HCFM i HB Rozwiązanie Mamy PT 7 > 125 = 125 p 7 = p 7 25 p 71 Przy założeniu HU mamy u p x = 1 uq x, a więc Zatem PT 7 > 125 = 97822 25p 71 = 1 25 q 71 = 1 251 p 71 = 99525 Przy założeniu HCFM mamy u p x = p x u, a więc oraz PT 7 > 125 = 97818 Przy założeniu HB mamy 25p 71 = p 71 25 =, 99522 up x = p x u + 1 up x,

a więc 4 KONSTRUKCJA TABLIC TRWANIA życia 27 25p 71 = oraz PT 7 > 125 = 97815 p 71 25 + 75 p 71 =, 99519, 4 Konstrukcja tablic trwania życia Niech K x = T x oznacza obcięty przyszły czas trwania życia Tablicą trwania życia dla zmiennej K x nazywamy zbiór par liczb k, l k, k =, 1, 2,, gdzie l k = l PK x k, k =, 1, 2,, oraz l oznacza początkową liczebność populacji x-latków Zatem z TTŻ dla K x można odczytać prawdopodobieństwa kp x = PK x k = l k l, x, k =, 1, 2, Oczywiście w powyższej równości l i l k zależą od x W praktyce podaje się tylko TTŻ dla K, a tablice dla pozostałych wartości x wyznacza się korzystając z hipotezy agregacji PK x k = PK x + k K x Twierdzenie 7 Załóżmy, że zachodzi hipoteza agregacji HA Niech k, l k, k =, 1, 2,, będzie TTŻ dla zmiennej K Wtedy k, +k, k =, 1, 2,, jest TTŻ dla zmiennej losowej K x, x =, 1, 2,, tzn o ile > Dowód Mamy na mocy HA kp x = +k, kp x = PK x + k PK x Ale a więc PK x + k = +k l, PK x = l, kp x = +k l l = +k

28 3 TABLICE TRWANIA życia W praktyce w TTŻ dla K oprócz liczb l k, k =, 1, 2,, ω 1, gdzie ω jest wiekeim granicznym w populacji, wypisuje się inne wielkości które można wyrazić za pomocą l k, np p k, q k, e k oraz d k = l k l k+1, czyli oczekiwaną liczbę osób z początkowej populacji, które umarły w wieku k lat Twierdzenie 8 Niech k, l k, k =, 1, 2,, będzie TTŻ dla zmiennej losowej K przy założeniu HA Wtedy q x = d x = +1 ; p x = +1 ; e x = +1 + +2 + = + +1 + +2 + 1 Dowód Wzór na p x wynika z poprzedniego twierdzenia z k = 1 Dalej Ponadto e x = 1 xp q x = 1 p x = 1 +1 = +1 k=x+1 kp = l k=x+1 = d x l k l = 1 +1 + +2 + W Polsce tablice trwania życia publikuje corocznie Główny Urząd Statystyczny Z uwagi na znaczne różnice trwania życia mężczyzn i kobiet, podaje się TTŻ osobno dla każdej płci W tablicach tych ω = 1 oraz l = 1 i podane w nich są kolejno: x,, q x, d x, L x, T x oraz e x Wielkości, q x i d x oznaczają to samo co powyżej Wielkość L x zwana ludnością stacjonarną w wieku x obliczona jest ze wzoru Zauważmy, że L x = + +1 2 L x = p x + p x+1 l 2 a więc L x jest oczekiwaną liczbą członków populacji, którzy dożyli do chwili x + 5, przy założeniu HU Wielkość T x zwana skumulowaną ludnością stacjonarną w wieku x obliczona jest ze wzoru T x = y x L y = L x + L x+1 + L x+2 +

ru 4 KONSTRUKCJA TABLIC TRWANIA życia 29 Wielkość e x zwana przeciętnym dalszym trwaniem życia obliczona jest ze wzo- e x = T x Oznaczmy chwilowo przez ē x obcięty przyszły czas życia Wiemy, że a więc jak łatwo pokazać ē x = 1 k=x+1 l k, e x = ē x + 1 2 = e x Zatem przy założeniu HU welkość e x występująca w TTŻ GUS jest równa e x, czyli przyszłemu oczekiwanemu czasowi życia