Rozdział 8. Fale elektromagnetyczne 208
Spis treści Widmo fal elektromagnetycznych Równanie falowe Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych Wektor Poyntinga Podsumowanie z indukcji EM i fal EM Zadania z indukcji EM i fal EM
Widmo fal elektromagnetycznych Maxwell nie tylko połączył w jedną całość podstawowe równania opisujące zjawiska elektromagnetyczne, ale wyciągnął z tych równań szereg wniosków o znaczeniu fundamentalnym. Z równań wiążących ze sobą pola elektryczne i magnetyczne E dl ε dϕ B () oraz dϕ B dl ε E 0 + I (2) wynika, że każda zmiana w czasie pola elektrycznego wywołuje powstanie zmiennego pola magnetycznego, które z kolei indukuje wirowe pole elektryczne itd. Taki ciąg sprzężonych pól elektrycznych i magnetycznych tworzy falę elektromagnetyczną (zob. Widmo fal elektromagnetycznych-rys. ). Rysunek : Pole elektryczne E i magnetyczne B fali elektromagnetycznej o długości λ Maxwell wykazał, że wzajemnie sprzężone pola elektryczne i magnetyczne są do siebie prostopadłe i prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali, i że prędkość tych fal elektromagnetycznych w próżni jest dana wyrażeniem c ε 0 2.9979 0 8 m s (3) Pokazał też, że przyspieszony ładunek elektryczny będzie promieniować pole elektryczne i magnetyczne w postaci fali elektromagnetycznej oraz, że w wypromieniowanej fali stosunek amplitudy natężenia pola elektrycznego do amplitudy indukcji magnetycznej jest równy prędkości c c E 0 B 0 (4) Znany nam obecnie zakres widma fal elektromagnetycznych przedstawia Widmo fal elektromagnetycznych-rys. 2. Wszystkie wymienione fale są falami elektromagnetycznymi i rozchodzą się w próżni z prędkością c. Różnią się natomiast częstotliwością (długością) fal. Przedstawiony podział wiąże się z zastosowaniem określonych fal lub sposobem ich wytwarzania. Rysunek 2: Widmo fal elektromagnetycznych Poszczególne zakresy długości fal zachodzą na siebie, ich granice nie są ściśle określone. Równanie falowe Przypomnijmy sobie równanie ruchu falowego (zob. moduł Prędkość fal i równanie falowe) dla struny
2 y x 2 v 2 2 y t 2 (5) Równanie to opisuje falę poprzeczną rozchodzącą się w kierunku x (cząstki ośrodka wychylały się w kierunku y). Równanie falowe w tej postaci, stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzących się fal, np.: fal dźwiękowych i fal elektromagnetycznych. Możemy więc przez analogię napisać (pomijając wyprowadzenie) równanie falowe dla fali elektromagnetycznej (rozchodzącej się w kierunku osi x) 2 B z x 2 2 B z c 2 t 2 (6) Oczywiście pole elektryczne E spełnia takie samo równanie 2 E y x 2 2 E y c 2 t 2 (7) Pola E i B są do siebie prostopadłe. Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych Dla zilustrowania rozchodzenia się fal elektromagnetycznych i wzajemnego sprzężenia pól elektrycznych i magnetycznych rozpatrzymy jedną z najczęściej stosowanych linii transmisyjnych jaką jest kabel koncentryczny. Na Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych-rys. pokazany jest rozkład pola elektrycznego i magnetycznego w kablu koncentrycznym w danej chwili t. Pole elektryczne jest radialne, a pole magnetyczne tworzy współosiowe koła wokół wewnętrznego przewodnika. Pola te poruszają się wzdłuż kabla z prędkością c (zakładamy, że linia transmisyjna ma zerowy opór). Mamy do czynienia z falą bieżącą. Rysunek 3: Rozkład pól magnetycznego i elektrycznego w fali elektromagnetycznej w kablu koncentrycznym Rysunek pokazuje tylko jedną z możliwych konfiguracji pól odpowiadającą jednej z różnych fal jakie mogą rozchodzić wzdłuż kabla. Pola E i B są do siebie prostopadłe w każdym punkcie. Innym przykładem linii transmisyjnej (obok kabli koncentrycznych) są tzw. falowody, które stosuje się do przesyłania fal elektromagnetycznych w zakresie mikrofal. Falowody wykonywane są w postaci pustych rur metalowych o różnych kształtach przekroju poprzecznego (bez przewodnika wewnętrznego). Ściany takiego falowodu mają znikomą oporność. Jeżeli do końca falowodu przyłożymy generator mikrofalowy (klistron) to przez falowód przechodzi fala elektromagnetyczna. Przykładowy rozkład pól E, B takiej fali jest pokazany na Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych-rys. 2 dla falowodu, którego przekrój jest prostokątem. Fala rozchodzi się w kierunku zaznaczonym strzałką. Rysunek 4: Rozkład pól magnetycznego i elektrycznego fali elektromagnetycznej w prostokątnym falowodzie (dla polepszenia czytelności na rysunku górnym pominięto linie B a na dolnym linie E) Typ transmisji czyli rozkład pól (typ fali) w falowodzie zależy od jego rozmiarów. Zwróćmy uwagę, że rozkład pól nie musi być sinusoidalnie zmienny. Elektromagnetyczna linia transmisyjna może być zakończona w sposób umożliwiający wypromieniowanie energii
elektromagnetycznej do otaczającej przestrzeni. Przykładem takiego zakończenia jest antena dipolowa umieszczona na końcu kabla koncentrycznego pokazana na Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych-rys. 3. Rysunek 5: Elektryczna antena dipolowa na końcu kabla koncentrycznego Jeżeli różnica potencjałów pomiędzy między drutami zmienia się sinusoidalnie to taka antena zachowuje się jak dipol elektryczny, którego moment dipolowy zmienia się co do wielkości jak i kierunku. Energia elektromagnetyczna przekazywana wzdłuż kabla jest wypromieniowywana przez antenę tworząc falę elektromagnetyczną w ośrodku otaczającym antenę. Na rysunku Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych-rys. 4 oraz Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych-rys. 5 pokazane jest pole E wytwarzane przez taki oscylujący dipol (przez taką antenę) w dwu przykładowo wybranych chwilach. Rysunek przedstawia położenie ładunków dipola i pole elektryczne wokół niego. Rysunek 6: Fala elektromagnetyczna emitowana przez drgający dipol elektryczny Rysunek 7: Fala elektromagnetyczna emitowana przez drgający dipol elektryczny Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną bardzo istotną cechę fal elektromagnetycznych. Fale elektromagnetyczne mogą rozchodzić się w próżni w przeciwieństwie do fal mechanicznych, na przykład fal akustycznych, które wymagają ośrodka materialnego. Prędkość fal elektromagnetycznych w próżni jest dana wzorem c λv (8) lub ω c k E 0 B 0 (9)
gdzie v jest częstotliwością, λ długością fali, ω częstością kołową, a k liczbą falową. SYMULACJA Symulacja : Wizualizacja fali EM Pobierz symulację Program przedstawia spolaryzowaną liniowo falę elektromagnetyczną rozchodzącą się w kierunku y (Wektory pola elektrycznego są równoległe do osi z, a wektory pola magnetycznego do osi x). W programie można zmieniać długość fali i amplitudę pól. Autor: Zbigniew Kąkol, Jan Żukrowski SYMULACJA Symulacja 2: Fale radiowe i pole elektromagnetyczne Pobierz symulację Nadaj audycję radiową z KPhET. Poruszaj cyklicznie elektronem w nadajniku lub ustaw oscylacje automatyczne. Obserwuj pole elektryczne w postaci wektorów bądź linii. Położenie elektronu w nadajniku i odbiorniku w funkcji czasu można obserwować na dodatkowym wykresie. Autor: PhET Interactive Simulations University of Colorado Licencja: Creative Commons Attribution 3.0 United States Wektor Poyntinga Fale elektromagnetyczne posiadają zdolność do przenoszenia energii od punktu do punktu. Szybkość przepływu energii przez jednostkową powierzchnię płaskiej fali elektromagnetycznej opisujemy wektorem S zwanym wektorem Poyntinga. Wektor S definiujemy za pomocą iloczynu wektorowego S E B (0) W układzie SI jest on wyrażony w W/m 2, kierunek S pokazuje kierunek przenoszenia energii. Wektory E i B są chwilowymi wartościami pola elektromagnetycznego w rozpatrywanym punkcie.
PRZYKŁAD Przykład : Obliczanie natężenia sygnału, amplitudy pola elektrycznego oraz magnetycznego dla danej radiostacji Na zakończenie rozpatrzmy radiostację o mocy P 0 30 kw wysyłającą fale izotropowo (jednakowo w każdym kierunku). Obliczmy jakie natężenie sygnału (moc na jednostkę powierzchni) odbieramy w odległości r 0 km od nadajnika i jaka jest amplituda pola elektrycznego i pola magnetycznego docierającej fali elektromagnetycznej. Ponieważ moc emitowana jest we wszystkich kierunkach to znaczy jest równomiernie rozłożona na powierzchni sfery więc średnia wartość wektora Poyntinga w odległości r od źródła ma wartość S P 0 4πr 2 () Podstawiając dane, otrzymujemy S 24μW/ m 2. Na podstawie wyrażenia Widmo fal elektromagnetycznych-( 4 ) E cb, więc możemy zapisać średnią wartość wektora Poyntinga w postaci S EB E c 2 (2) Jeżeli natężenie pola E zmienia się sinusoidalnie to wartość średnia E 2 E 2 0 /2, a stąd S P 0 E0 4πr c 2 2 2 (3) na tej podstawie μ c E 0 0 P 0 r 2π (4) Podstawiając dane, otrzymujemy E 0 0.3V /m. Wreszcie obliczamy pole B 0 E B 0 0 c (5) Otrzymujemy wartość B 0 4 0 0 T. Zauważmy jak małe jest pole magnetyczne. Podsumowanie z indukcji EM i fal EM. Z prawa Faradaya wynika, siła elektromotoryczna indukcji zależy od szybkość zmian strumienia magnetycznego ε dϕ B. Prąd indukcyjny obserwujemy gdy źródło pola magnetycznego porusza się względem nieruchomej pętli (obwodu), ale również gdy przewód w kształcie pętli porusza się w obszarze pola magnetycznego 2. Reguła Lenza stwierdza, że prąd indukowany ma taki kierunek, że wytwarzany przez niego własny strumień magnetyczny przeciwdziała zmianom strumienia, które go wywołały. 3. W transformatorze stosunek napięcia w uzwojeniu pierwotnym do napięcia w uzwojeniu wtórnym jest równy stosunkowi U liczby zwojów 2 N 2. U N 4. Siła elektromotoryczna samoindukcji jest równa ε L di, gdzie L jest współczynnikiem indukcji własnej. B 5. Gęstość energii zgromadzonej w polu magnetycznym o indukcji B wynosi 2. 2 6. W obwodzie LC ładunek, natężenie prądu i napięcie oscylują sinusoidalnie z częstotliwością ω. LC 7. W obwodzie szeregowym RLC zasilanym sinusoidalnie zmiennym napięciem V (t) V 0 sin ωt płynie prąd V I I 0 sin(ωt φ) o amplitudzie I 0 0 i przesunięciu fazowym tgφ ωl ωc. Stała proporcjonalności Z R 2 2 R + (ωl ) ωc Z
pomiędzy V 0 i I 0 nosi nazwę zawady obwodu Z R 2 2 + (wl ). wc V 8. Średnia moc wydzielona w obwodzie wynosi P 0 I 0 I0 cos φ 2 R. Cała moc wydziela się na oporze R, na kondensatorze i 2 2 cewce nie ma strat mocy. 9. Prędkość fal elektromagnetycznych w próżni jest dana wyrażeniem c ε 0 0. Równanie falowe dla fali elektromagnetycznej rozchodzącej się wzdłuż osi x ma postać 2 B z 2 B z lub (dla pola E) x 2 c 2 t 2 2 E y 2 E y. Pola E i B są do siebie prostopadłe. x 2 c 2 t 2. Szybkość przepływu energii płaskiej fali elektromagnetycznej opisujemy wektorem Poyntinga S E B. 2. Równania Maxwella w postaci uogólnionej Prawo Tabela : Równania Maxwella Równanie prawo Gaussa dla elektryczności E ds Q/ε 0 prawo Gaussa dla magnetyzmu uogólnione prawo Faradaya uogólnione prawo Ampère'a Zadania z indukcji EM i fal EM B ds 0 E dl ε dϕ B dϕ B dl ε E 0 + I. Jaka siła elektromotoryczna indukuje się w metalowym pręcie o długości l 20 cm, jeżeli przewodnik ten obraca się w polu magnetycznym o indukcji B 0.5 T, w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola magnetycznego wokół osi przechodzącej przez koniec pręta? Pręt wykonuje 60 obrotów w ciągu sekundy. 2. W cewce o współczynniku samoindukcji L 0. H natężenie prądu maleje jednostajnie od wartości I 0.5 A do zera w czasie 0.0 s. Jaka siła elektromotoryczna indukcji powstaje podczas wyłączania prądu? 3. W kołowej pętli o średnicy 0 cm płynie prąd 00 A. Jaka jest gęstość energii w środku tej pętli? 4. Transformator osiedlowy dostarcza średnio 00 kw mocy przy napięciu skutecznym 220 V. Napięcie skuteczne po stronie pierwotnej transformatora wynosi 0 kv. Jaki jest stosunek zwojów N / N 2 w transformatorze i jaki jest wypadkowy opór obciążenia w uzwojeniu wtórnym? Zakładamy, że transformator jest idealny, a obciążenie czysto opornościowe. 5. Obwód drgający składa się z kondensatora o pojemności C pf oraz cewki o współczynniku samoindukcji L μh. Jaki jest okres, częstotliwość i częstość oscylacji w obwodzie? Jaka jestdługość fali elektromagnetycznej wypromieniowywanej przez ten obwód i z jakiego pasma pochodzi? 6. Obwód składa się z połączonych szeregowo oporu R 0Ω, cewki o współczynniku samoindukcji L H i kondensatora o pojemności C 0μF. Przy jakiej częstości ω napięcia zasilającego wystąpi rezonans, a przy jakiej prąd w obwodzie wyniesie połowę wartości maksymalnej? 7. Napięcie skuteczne w obwodzie prądu zmiennego o częstotliwości f 50 Hz wynosi 220 V. Natężenie skuteczne I A, a moc średnia P 0 W. Jakie jest przesunięcie w fazie pomiędzy prądem i napięciem w tym obwodzie? 8. Przedstaw równania Maxwella w postaci uogólnionej. Omów fakty doświadczalne związane z tymi prawami. 9. W jakim zakresie widma promieniowania elektromagnetycznego leżą fale o długościach m, cm, 0.5μm, 0 0 m? Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/. Data generacji dokumentu: 208--26 23:08:02