Fale elektromagnetyczne Katarzyna Weron Matematyka Stosowana
Kiedy mówimy myślimy Mechanika klasyczna Isaac Newton (1687) Elektrodynamika James Clerk Maxwell (1861) Teoria względności Albert Einstein (1905) Polecam! James Clerk Maxwell (1831-1879) Źródło: pl.wikipedia.org
Równania Maxwella w próżni Postać różniczkowa Postać całkowa Znaczenie E = ρ ε 0 Φ E = E da = Q ε 0 Źródłem pola elektrycznego jest ładunek (prawo Gaussa dla elektryczności) B = 0 E = B B = μ 0 ε 0 E + μ 0J Φ B = B da = 0 E dl = dφ B dt B dl = μi + με 0 dφ E dt Pole magnetyczne jest bezźródłowe (prawo Gaussa dla magnetyzmu) Zmienne pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne (prawo Faradaya) Prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne.
Pole elektryczne i magnetyczne jako fale Składowa elektryczna i magnetyczna fali indukują się wzajemnie zmieniające się pole elektryczne wytwarza zmieniające się pole magnetyczne zmieniające się pole magnetyczne wytwarza zmienne pole elektryczne Równania Maxwella prowadzą do wniosku, że pole E i B spełniają równanie falowe: 1 2 c 2 t 2 2 E B = 0
Fala elektromagnetyczna Rozchodzące się w przestrzeni zaburzenie pola elektromagnetycznego Nie potrzebuje ośrodka Fala rozchodzi się w próżni z prędkością światła c = λλ 1 c 2 2 t 2 2 E B = 0 Zanim to pokażemy
Kilka pytań Dlaczego jabłko jest czerwone? Dlaczego dziura jest czarna? Dlaczego niebo jest niebieskie? c = λλ
Dlaczego niebo jest niebieskie? https://www.youtube.com/watch?v=0b1fqodmzj0 Obejrzyj również: https://www.youtube.com/watch?v=og-ibvdymti
Równania Maxwella: elektrostatyka Postać różniczkowa Znaczenie E = ρ ε 0 B = 0 E = B = 0 B = μ 0 ε 0 E + μ 0J Źródłem pola elektrycznego jest ładunek (prawo Gaussa dla elektryczności) Pole magnetyczne jest bezźródłowe (prawo Gaussa dla magnetyzmu) Zmienne pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne (prawo Faradaya) Prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne.
Powtórka ze szkoły: prawo Coulomba UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Ładunek elektryczny elementarny Ładunek jest skwantowany (najmniejsza porcja) Pieniądze są skwantowane Wartość ładunku elektrycznego protonu = wartość bezwzględna ładunku elektrycznego elektronu e = 1.602176487 10 19 C (ccccccc) Kwarki mają ładunki ± 1 e, ± 2 e, ale nie 3 3 występują samodzielnie w przyrodzie
Siły dalekozasięgowe Oddziaływanie grawitacyjne (prawo powszechnego ciążenia Newtona): F 1 = F 2 = G m 1m 2 r 2 Oddziaływanie elektrostatyczne (prawo Coulomba) F 1 = F 2 = k Q 1Q 2 r 2 Source: http://www.brighthub.com
Przykład: Siły grawitacyjne i elektryczne Cząstka α ma masę m = 6.64 10 27 kk i ładunek q = +2e = 3.2 10 19 C. Porównaj siłę oddziaływania odpychania elektrycznego z grawitacyjnym przyciąganiem pomiędzy dwiema takimi cząstkami. F g = G m2 r 2, F e = k q2 r 2, F e F g = 3.1 10 35 UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Pole sił grawitacyjnych h F = mg M r = mg r2 Natężenie pola: R z g = G M r 2 r Wartość na wys. h: M g = G (R z + h) 2
Natężenie pola grawitacyjnego w pobliżu Ziemi Dla h R z GM g = (R z + h) 2 = GG R 2 z (1 + h/r 2 z ) 2 GG R2 z 9.81m/s 2 Wartość natężenia pola grawitacyjnego przyśpieszenie grawitacyjne h
Pola sił M. Faradaya, 1831 Przestrzeń nie jest pusta
Pole elektryczne F 0 = 1 4πε F 0 = q 0 E, Qq 0 r 2 r = q 0k Q r 2 r E k Q r 2 r UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Obliczanie sił i pól elektrycznych F = F 1 + F 2 + F 3 + = q 0 E 1 + q 0 E 2 + q 0 E 3 + E = F q 0 = E 1 + E 2 + E 3 +
Pole skalarne - temperatura qjegh.lyellcollection.org
Pole skalarne φ = φ r = φ(x, y, z) Temperatura, potencjał elektrostatyczny, gęstość Poziomnice (pow. ekwiskalarne, ekwipotencjalne): φ x, y, z = ccccc Izotermy, izobary, izohipsy Linie blisko siebie szybkie zmiany
Operator Nabla gggg U = U =, y, z =,, Jeśli to jest wektor to możemy zadziałać tym operatorem na inny wektor!
Pole wektorowe: prędkości, grawitacyjne, elektryczne, magnetyczne https://scipython.com/blog/visualizing-a-vector-field-with-matplotlib/
Dywergencja Pole wektorowe h: =,, = x, y, z h = h x, h y, h z h = x h x + y h y + z h z = h x + h y + h z
Geometryczna interpretacja dywergencji (rozbieżności, źródłowości) Nazwa dywergencja nie jest przypadkowa Divergence od diverge czyli rozchodzić (rozbiegać) się Jak rozbiega się wektor w zadanym punkcie v a = xx + yy + zz v b = z v c = zz
Wyobraź sobie Stoisz na brzegu oczka wodnego lub jeziora Rozsypujesz na powierzchni igły sosnowe lub trociny Jeśli rozprzestrzeniają (uciekają) od punktu, w którym zostały rozsypane dywergencja pozytywna Jeśli skupiają się tzn., że w tym punkcie dywergencja negatywna h > 0 źródło h < 0 dren (zlew, ściek)
Rotacja h = wwwwww =,,, h = h x, h y, h z h = x y z h x h y h z
Interpretacja geometryczna rotacji Rotacja lub wirowość wskazuje wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego
Dywergencja i rotacja Kody matlabowe: http://www.math.umd.edu/~petersd/241/html/ex27b.html#2
Co można zrobić z nablą? T = gggg T = wektor h = dddh = skalar h = rrr h = wektor Równania Maxwella: E = ρ ε 0 E = B B = 0 c 2 B = E + j ε 0 Cała teoria elektromagnetyzmu zawarta jest w tych równaniach!
Konsekwencje dla fizyki T = 0 Jeśli A = 0 (pole bezwirowe) to istnieje takie ψ, że A = ψ h = 0 Jeśli D = 0 to istnieje takie C, że D = C
Elektrostatyka Przypadek statyczny nie ma zmian w czasie Położenia wszystkich ładunków są określone i niezmienne w czasie E = ρ ε 0 E = B = 0 E = φ Potencjał elektryczny
Pola sił zachowawczych (potencjalnych) Grawitacyjne, elektrostatyczne Pole sił F = F r = F x x, y, z i + F y x, y, z j + F z x, y, z k Zachowawcze jeśli: rot F = F = 0 ψ = 0
Pola sił zachowawczych W każdym punkcie przestrzeni określona siła (wektor wartość, kierunek, zwrot) Praca potrzebna na potrzebna na przesunięcie ciała z A do B nie zależy od drogi praca W=0 po drodze zamkniętej: Pola centralne h
Pola sił w fantastyce naukowej czy to jest to samo? Cienka, niewidoczna (przeźroczysta, błękitnawa) nieprzepuszczalna bariera Odbija rakiety, lasery Odgradza od próżni
Czy to są dobrzy kandydaci na pola sił znane z SF? Grawitacja bardzo słaba, działa na olbrzymie odległości, tylko przyciąga Elektrostatyczne łatwo zneutralizować (plastikowe pociski); dalekozasięgowe h
Może inni kandydaci? Plazma? Zajrzyj do Michio Kaku, Fizyka rzeczy niemożliwych Plazma gaz zjonizowanych atomów Czwarty stan materii Najpowszechniejszy we wszechświecie, ale nie na Ziemi Łatwo nią sterować przy pomocy pól elektrycznych i magnetycznych Ogrzej gaz do bardzo wysokiej temperatury
Okna plazmowe Andy Herschcovitch, 1995 Long Island Problem próżni układy scalone (zespolenie metali) Gaz ogrzewa się do temperatury 6650 0 C Pojedyncza warstwa plazmy zbyt słaba na pociski Przeźroczysta nie zatrzyma wiązki laserowej
Nadprzewodniki i lewitacja magnetyczna Lewitacja magnetyczna - maglev Efekt Meissnera Święty Graal fizyki ciała stałego nadprzewodnik w temp. pokojowej Obecny rekord: tlenek rtęci talu baru wapnia i miedzi T*=138K
Lewitujące żaby Lewitacja diamagnetyków Andre Geim Anty Nobel (Ig Nobel) w 2000 za lewitujące żaby Andre Geim Nobel Prize w 2010 za odkrycie grafenu Kreatywność jest bardzo ważna!
Całki w elektrodynamice Całki krzywoliniowe wzdłuż pewnej ścieżki Całka okrężna całka po krzywej zamkniętej Całki powierzchniowe wzdłuż wektora prostopadłego do powierzchni Całki objętościowe
Przykład Praca W = F Jeśli siła zachowawcza to: C dl W = F dl = 0
Całka powierzchniowa strumień przez powierzchnię Konwencja orientacja na zewnątrz jest dodatnia v d S a Nieskończenie mała łatka w kierunku prostopadłym do powierzchni Zadana powierzchnia Funkcja wektorowa Przykład: Oblicz całkę powierzchniową zadanej funkcji przez 5 ścian prostopadłościanu (z wykluczeniem spodu)
Całka objętościowa Td V τ Nieskończenie mały element objętości, w kartezjańskim dd = dddddd Zadana objętość Skalar (temperatura, gęstość) Przykład: Oblicz całkę objętościową po pryzmie z funkcji skalarnej T
Podstawowe twierdzenia dla dywergencji Bardzo ważne twierdzenie Tak ważne, że funkcjonuje kilka nazw, w tym: Twierdzenie Gaussa Twierdzenie Greena vdτ = vda V Z tego można pokazać tożsamość: S E = ρ ε 0, Φ E = E da = Q ε 0
Strumień pola elektrycznego Φ E = E da Φ E = E da E dd da
Strumień pola elektrycznego Φ E = E da Wprowadzamy umowną zamkniętą powierzchnię (powierzchnię Gaussa) Dobrze wybrać kształt zachowujący symetrię układu Prawo Gaussa: strumień przez zamkniętą powierzchnię jest miarą całkowitego ładunku wewnątrz tej powierzchni Φ E = E da = Q www /ε 0
Prawo Gaussa Postać różniczkowa krótsza, wygląda lepiej E = ρ ε 0 Postać całkowa najprostszy sposób na wyliczenie natężenia pola (symetrie) E da = Q www /ε 0
Prawo Gaussa postać całkowa E da = Q www /ε 0 Poznaliśmy prawo dla dywergencji: Edτ = Eda V Dodatkowo dla ciągłego rozkładu ładunku S Q www = ρρρ V
Prawo Gaussa postać różniczkowa E da = Q www /ε 0 Edτ = Eda V S, Q www = ρρτ V Edd = V ρ ε 0 dd V E = ρ ε 0
Prawo Gaussa - zastosowania Prawo Gaussa jest zawsze prawdziwe Nie zawsze jednak jest użyteczne Pracuje wyjątkowo efektywnie dla 3 rodzajów symetrii: Sferyczna Cylindryczna Płaszczyznowa