Ekonometria - 3. Sformuùowanie modelu ETAPY BUDOWY MODELU EKONOMETRYCZNEGO a. wbór zmiennch:, x, x,... b. wbór postaci matematcznej modelu: liniowa, potêgowa,.... Zebranie danch statstcznch (ró ne êródùa) 3. Selekcja zmiennch objaœniaj¹cch 4. Estmacja parametrów modelu: 5. Werfikacja modelu a. parametrów strukturalnch: a, a, a,... b. parametrów stochastcznch: s(a i ), s(), R, R MODEL BEZ WERYFIKACJI NIE MA ÝADNEJ WARTOÚCI NIE NALEÝY Y KORZYSTAÃ Z PROGRAMÓW W KOMPUTEROWYCH NIE DAJ CYCH MOÝLIWO LIWOÚCI WERYFIKACJI 6. Interpretacja modelu
Ekonometria - 3 ETAP a. WYBÓR R ZMIENNYCH zmienna objaœniana Y: zmienne objaœniaj¹ce X i (jak najwiêcej dla modelu przcznowo-skutkowego) z nastêpuj¹cch êródeù (w kolejnoœci): teoria danej dziedzin wiedz doœwiadczenie zleceniodawc i statstka metoda prób i bùêdów (intuicjnie) wbrane zmienne musz¹ mieã du ¹ zmiennoœã (V>3%) najczêstsz bù¹d masùo maœlane prowadz¹ce do zwi¹zku funkcjnego i nie daj¹ce adnej informacji o zmiennej objaœnianej ETAP b. WYBÓR R POSTACI MATEMATYCZNEJ modele przcznowo-skutkowe najbardziej zalecane jest równoczesne prowadzenie obliczeñ dla dwu postaci: liniowej potêgowej = åa i xi x a = Õ x i i e ln = åai lnxi x stosuje siê te modele nieliniowe o narzuconej postaci nieliniowej, którch parametr ustala siê przez programowanie liniowe lub innmi metodami modele tendencji rozwojowej: funkcja liniowa proste funkcje nieliniowe wielomian modele kombinowane: trend wahania okresowe
Ekonometria 3 ETAP. GROMADZENIE DANYCH STATYSTYCZNYCH rodzaje danch: dane przekrojowe i szeregi czasowe êródùa danch: roczniki statstczne, ró ne dziaù przedsiêbiorstwa, badania marketingowe, wwiad itd. wiargodnoœã danch: do jakiego celu zostaù one przgotowane? porównwalnoœã danch: inflacja (cen bie ¹ce a cen staùe), zmian procesów technicznch zmiennoœã zjawisk: trzeba sprawdziã, cz wbrana w etapie a zmienna jest rzeczwiœcie zmienn¹ losow¹ s(x) V x % x = V x musi wnosiã co najmniej 3-4% ETAP 3. SELEKCJA ZMIENNYCH OBJAÚNIAJ NIAJ CYCH KAÝD ZMIENN X WYTYPOWAN W ETAPIE a TRAKTUJEMY JAKO KANDYDATKÆ NA ZMIENN OBJAÚNIAJ NIAJ C w modelu nie mo e bã zbt wielu zmiennch (nieczteln) kanddatka mo e nie mieã wpùwu na zmienn¹ Y kanddatka mo e wnosiã prawie tê sam¹ informacjê o Y co inna kanddatka dwie bardzo podobne kanddatki mog¹ sobie nawzajem przeszkadzaã (efekt katalitczn) Krteria, jakie musi speùniaã kanddatka X i, ab nadawaùa siê do modelu: musi bã silnie powi¹zana ze zmienn¹ Y nie mo e bã powi¹zana z inn¹ kanddatk¹ X j
Ekonometria 33 Metod selekcji zmiennch objaœniaj¹cch: badanie istotnoœci korelacji grafowa Hellwiga (pojemnoœci informacji) taksonomiczne (clustering) r x i x j Przkùad Macierz powi¹zania zmiennch ze sob¹ przedstawia tabela (n=). Jak j¹ mo na zinterpretowaã? Które zmienne s¹ powi¹zane ze sob¹ w sposób istotn? Y X X X 3 Y,5,64 -, X,5,8 -,8 X,64,8,8 X 3 -, -,8,8 Macierz wspóùcznników korelacji Testowanie istotnoœci wspóùcznnika korelacji H : r = H : r ¹ Mo na przeprowadziã testem Studenta (t); Wallace a-snedecora (R)
Ekonometria 34 TEST Wallece a-snedecora Fragment tablic rozkùadu Wallece a-snedecora Stopnie Liczba zmiennch swobod 3 4,5,,5,,5, 8,63,765,76,87,777,86 8,444,56,53,633,587,678 8,36,463,439,53,49,573 Reguùa deczjna: je eli r obl >R tabl, odrzucam H (korelacja istotna) je eli r obl <R tabl, przjmujem H (brak korelacji) W przkùadzie, je eli przjmiem a =,5, to R tabl =,444. Y X X X 3 Y,5,64 -, X,5,8 -,8 X,64,8,8 X 3 -, -,8,8 Pozostan¹ zatem tlko trz istotne powi¹zania: -x, -x, x -x Test Studenta (t) H : r = H : r ¹ r kr = ta n - t a n - rx i x j, rx i Reguùa deczjna: je eli r ij >r kr, odrzucam H (korelacja istotna) je eli r ij <r kr, przjmujem H (brak korelacji) W przkùadzie, je eli przjmiem a =,5, to r kr =,3778. Pozostan¹ równie tlko trz istotne powi¹zania:-x, -x, x -x
Ekonometria 35 Metoda grafowa obliczenie macierz wspóùcznników: rxi x, r j xi wùowienie z macierz powi¹zañ istotnch budowa grafu z powi¹zañ istotnch wbranie zmiennch na podstawie grafu DO MODELU WYBIERA SIÆ ZMIENNE: ka d graf zerow (jeœli r x >,) po jednej reprezentantce grafu spójnego; - reprezentantk¹ grafu jest zmienna, która ma najwiêcej powi¹zañ z innmi kanddatkami - je eli kilka zmiennch ma tê sam¹ maksmaln¹ liczbê powi¹zañ, wbiera siê tê, która jest najsilniej powi¹zana ze zmienn¹ Y (max r x ) - je eli graf jest rozlegù, mo e mieã dwie reprezentantki, ale musz¹ one le eã na przeciwlegùch stronach grafu BUDOWA GRAFU graf zerow graf spójn Przkùad grafu x 3 x x x 4
Ekonometria 36 Przkùad cd. Wbierzem zmienn¹ x (reprezentantka grafu spójnego) i zmienn¹ x 3 (graf zerow) Y X X X 3 Y,5,64 -, X,5,8 -,8 X,64,8,8 X 3 -, -,8,8 BUDOWA GRAFU graf zerow graf spójn x x 3 Metoda Hellwiga wpisujem wszstkie mo liwe kombinacje kanddatek; x jest ich l= m obliczam pojemnoœã indwidualn¹ noœnika informacji (dla ka dej zmiennej w ka dej kombinacji) hlj = f(rx,r ) j xixj h lj,j r = å r i,j =,, m l = m m iloœã kanddatek r j wsp. korelacji j-tej kanddatki ze zmienn¹ objaœnian¹ r ij wsp. korelacji i-tej i j-tej zmiennej i¹j ij obliczam pojemnoœã caùkowit¹ dla ka dej kombinacji H l = åh lj j wbieram kombinacjê o najwiêkszej pojemnoœci H l = max
Ekonometria 37 Metod taksonomiczne Taksonomia wrocùawska (cluster analsis) to metoda grupowania obiektów (zmiennch) w grup jednorodne pod wzglêdem n cech (wmiarów) ù¹cznie. Podstaw¹ grupowania jest odlegùoœã euklidesowa, która w przpadku zmiennch d ij = f(r x ) i x j WSZYSTKIE METODY TO SELEKCJA WSTÆPNA ETAP 4. ESTYMACJA PARAMETRÓW W MODELU Cel etapu: wznaczenie parametrów strukturalnch i stochastcznch Estmacja: szacowanie parametrów populacji na podstawie próbki Metod estmacji: analiza regresji i korelacji (KMNK i inne) Zaùo enia dla KMNK. Zmienne losowe s¹ zmiennmi nie powi¹zanmi ze sob¹ (nie wstêpuje wspóùliniowoœã). Skùadnik losow x jest zmienn¹ losow¹: E(x)=; V =const (staùa wariancja, niezale na od zmiennej x lub t) 3. Skùadnik losow x nie jest powi¹zan ze zmiennmi objaœniaj¹cmi 4. Wartoœci reszt u i s¹ niezale ne od siebie 5. m - liczba zmiennch objaœniaj¹cch; n licznoœã prób: m<n u = - ŷ i i i
Ekonometria 38 Skutki niedotrzmania zaùo eñ i œrodki zaradcze. Model nieprzdatn; niekied absurdaln (êle uwarunkowane dane). Stosuje siê: du ¹ próbkê (n>), regresjê grzbietow¹ (ridge regression) Lewa czêœã zbioru ma du ¹ wariancjê, a prawa wariancjê maù¹. Stosuje siê specjaln wariant MNK z korekt¹ na ró ne wariancje Y reszta u i u t = t - ŷ t u t - u ¾ u u u 3 u u 4 u 3 u 5 u 4 X 3. Jeœli reszt u i s¹ ze sob¹ powi¹zane (skorelowane) tzn. e wstêpuje autokorelacja skùadnika losowego (najczêœciej zjawisko wstêpuje prz szeregach czasowch). Oznacza to, e istnieje istotna zale noœã: ut = f(ut-k ) t =,,... Przczn autokorelacji: zakùócenia (dodatnie lub ujemne) w jednm okresie wpùwaj¹ na poziom zjawiska w nastêpnch okresach Wstêpowanie autokorelacji powoduje nieprzdatnoœã modelu 4. Skùadnik losow jest skorelowan ze zmienn¹ objaœniaj¹c¹, wted gd zostaùa pominiêta jakaœ wa na zmienna przczna. Model taki nie ma adnej wartoœci; trzeba dbaã o jak najw sz wspóùcznnik determinacji (R >,9)
Ekonometria 39 ETAP 5. WERYFIKACJA MODELU Cele:. opis rzeczwistoœci (populacji generalnej). dokùadna (ostateczna) selekcja zmiennch objaœniaj¹cch 3. poznanie skùadnika losowego (speùnienie zaùo eñ KMNK) Narzêdzia: hipotez i test statstczne Metodka: ka de równanie oddzielnie; werfikacja obejmuje 9 etapów (od najmniej do najbardziej pracochùonnego) WYKAZ ETAPÓW WERYFIKACJI MODELU 5.. Badanie istotnoœci korelacji 5.. Badanie wrazistoœci modelu 5.3. Badanie istotnoœci parametrów 5.4. Badanie smetrii skù. losowego 5.5. Badanie losowoœci skù. losowego 5.6. Badanie stacjonarnoœci skù. los. 5.7. Badanie wartoœci oczekiwanej skù. los. 5.8. Badanie autokorelacji skù. losowego 5.9. Badanie normalnoœci skù. losowego
ETAP 5.. Badanie istotnoœci korelacji Ekonometria 4 Celem etapu jest sprawdzenie, cz istnieje w populacji generalnej powi¹zanie pomiêdz zmienn¹ Y i wszstkimi zmiennmi objaœniaj¹cmi 5 Przedziaù ufnoœci dla nieznanego wspóùcznnika korelacji r dla populacji buduje siê prz u ciu bùêdu zmienna Y 5 5 populacja próbka 3 4 5 s - R R = n - k R obl., r ñ zmienna X Istotnoœã korelacji werfikuje siê przez postawienie nastêpuj¹cch hipotez dla wspóùcznnika korelacji dla populacji generalnej: zmienna Y 5 5 5 populacja próbka 3 4 5 H H : r = : r ¹ Brak korelacji, nie ma powi¹zania... Korelacja istotna, jest powi¹zanie... zmienna X
Ekonometria 4 Hipotez te mo na werfikowaã trzema równowa nmi testami: testem t Studenta (tlko dla regresji dwu zmiennch) testem F Fishera testem R Wallace a-snedecora UWAGA! W przpadku regresji wielorakiej, gd liczba zmiennch objaœniaj¹cch jest du a w porównaniu z liczb¹ obserwacji (n), wspóùcznnik determinacji R mo e dawaã zaw on¹ ocenê stopnia wjaœnienia zmiennoœci zmiennej objaœnianej; dlatego wprowadzono skorgowan wspóùcznnik determinacji k iloœã parametrów w modelu regresji R a (i korelacji): æ n - öæ SSE ö æ ö ç = - - ç s = - ç (n ) è n - k øè TOSS ø ç è TOSS ø R a R a = - å(ŷi - ) n - k å(i - ) n - adjusted coefficient of multiple determination (wdruki komputerowe) jeœli k jest maùe, nie ma wiêkszej ró nic pomiêdz normalnm a skorgowanm R
Ekonometria 4 TEST STUDENTA n - r obl = r = ttabl = t {n - } a - r s t / r TEST FISHERA MSTR R n - k Fobl = = Ftabl = Fa {k -,n - k} MSE - R k - ródùo zmiennoœci Model (cznniki) Bù¹d (reszta) Liczba stopni swobod k- n-k Suma kwadratów SSTR SSE Razem n- SSTO Úredni kwadrat MSTR MSE Statstka F F obl = MSTR MSE TEST WALLACE A-SNEDECORA Robl = R Rtabl = Ra{k,n - k} Zmienna (cznnik) Wraz woln Cznnik X Cznnik X Wartoœã oszacowana a a a Bù¹d oszacowania s(a ) s(a ) s(a ) Statstka t obl t(a ) t(a ) t(a ) Rzeczwist poziom istotnoœci P P(a ) P(a ) P(a ) Wspóùcznniki: determinacji R, zbie noœci j, bù¹d resztow s() i inne
Ekonometria 43 Odczt R tabl z tablic testu R Wallace a-snedecora Stopnie Liczba zmiennch swobod 3 4,5,,5,,5, 8,63,765,76,87,777,86 8,444,56,53,633,587,678 8,36,463,439,53,49,573 Wnioski rozkùadu R Wallace a-snedecora: im w sz poziom istotnoœci, tm ni sze R tabl im wiêksza liczba zmiennch w modelu, tm w sze R tabl im w sza liczba stopni swobod (wiêksza próbka), tm ni sze R tabl tablica R powstaùa z przeliczenia tablic t oraz F (odwrócenie wzorów) Tablica testu R jest najszbszm i najwgodniejszm narzêdziem do werfikacji istotnoœci korelacji Reguùa a deczjna (podsumowanie etapu 5..): je eli R obl >R tabl, model jest poprawn, mo na przejœã do etapu 5. je eli R obl <R tabl, model jest niepoprawn, trzeba zmieniã albo zestaw zmiennch objaœniaj¹cch albo jego postaã matematczn¹ ETAP 5.. OBOWI ZUJE DLA WSZYSTKICH MODELI ETAP 5.. PRZEPROWADZA SIÆ DLA TRANSFORMATY (dla postaci pierwotnej mo na uzskaã R>) Rola wspóùcznnika determinacji R korelacja mo e bã istotna prz maùm R i bardzo maùm R maùe R oznacza niski stopieñ wjaœnienia rzeczwistoœci i stanowi zagro enie dla modelu nale d¹ ã (poprzez odpowiedni dobór zmiennch-przczn i postaci matematcznej modelu) do jak najwiêkszego R (dla postaci pierwotnej) wsoka wartoœã R œwiadcz o dobrm poznaniu badanego zjawiska wsoka wartoœã R bardzo czêsto wnika jednak ze zùego dobrania zmiennch objaœniaj¹cch
Ekonometria 44 ETAP 5.. Badanie wrazistoœci modelu Celem etapu jest kontrola rozrzutu danch Y s( ) e i Wrazistoœã modelu dana jest wzorem s() V obl = % Wspóùcznnik zmiennoœci losowej V obl <3% x X (w przeciwnm przpadku rozrzut danch jest zbt du ) Uwaga: gd` jest bliskie trudnoœci w ustaleniu cz model poprawn cz niepoprawn ETAP 5.. OBOWI ZUJE DLA WSZYSTKICH MODELI (ale nie ma on charakteru statstcznego) ETAP 5.. PRZEPROWADZA SIÆ DLA POSTACI PIERWOTNEJ ETAP 5.3. Badanie istotnoœci parametrów (wspóùcznników) modelu Celem etapu jest sprawdzenie: cz poszczególne zmienne objaœniaj¹ce maj¹ istotn wpùw na zmienn¹ objaœnian¹? cz zmienne objaœniaj¹ce s¹ wbrane prawidùowo? cz wraz woln ró ni siê istotnie od zera?
Ekonometria 45 W etapie 5.3. nastêpuje ostateczna selekcja zmiennch objaœniaj¹cch: je eli wszstkie a i oka ¹ siê istotne, model jest poprawn: model przcznowo-skutkow: do interpretacji model tendencji rozwojowej: do etapu 5.4 je eli choã jedno a i oka e siê nieistotne, model jest niepoprawn i wmaga popraw przez usuniêcie nieistotnch zmiennch: zmienne nale usuwaã po jednej (ze wzglêdu na efekt katalitczn) usuwa siê zawsze zmienn¹ o najni szej wartoœci t(a i ) [max P(a i )] usuniêcie ostatniej zmiennej nieistotnej koñcz proces selekcji kanddatek na zmienne, selekcja nie jest ostateczna, gd zawsze istnieje mo liwoœã zamian zmiennch, które s¹ powi¹zane ze sob¹ ETAP 5.3. OBOWI ZUJE DLA WSZYSTKICH MODELI ETAP 5.3 PRZEPROWADZA SIÆ DLA TRANSFORMATY ETAP 5.4. Badanie smetrii skùadnika losowego Badanie smetrii: dla n>3 test z (r-d normaln); dla n<3 test t-studenta H H m : = n m : ¹ n m liczba reszt dodatnich (lub ujemnch) n - licznoœã prób m n - t obl = ta, n= n- m æ m ö ç - n è n ø n - Brak smetrii wmaga zmian matematcznej postaci modelu ETAP 5.4. OBOWI ZUJE DLA MODELI TENDENCJI ROZWOJOWEJ ETAP 5.4. PRZEPROWADZA SIÆ DLA POSTACI PIERWOTNEJ
Ekonometria 44 Zmienna (cznnik) Wartoœã oszacowana Bù¹d oszacowania Statstka t obl Rzeczwist poziom istotnoœci P Wraz woln Cznnik X Cznnik X Cznnik X 3 a a a a 3 s(a ) s(a ) s(a ) s(a 3 ) t(a ) t(a ) t(a ) t(a 3 ) P(a ) P(a ) P(a ) P(a 3 ) Wspóùcznniki: determinacji R, zbie noœci j, bù¹d resztow s() i inne Istotnoœã parametrów a i mo na sprawdzaã (tak jak problem œredniej dla populacji) na dwa sposob: konstruuj¹c przedziaù ufnoœci dla nieznanej wartoœci a i werfikuj¹c hipotezê H : a i = wobec H : a i ¹ P(ai - ta / {n - k}s(ai ) < ai < ai ta / {n - k}s(ai ) = - a W praktce stosuje siê hipotez: Badanie istotnoœci przeprowadza siê dla ka dego a i oddzielnie: t (a ) i obl i = ttabl = ta / {n - k} s(ai ) je eli t obl (a i ) >t tabl (a i ), odrzucam hipotezê zerow¹; parametr jest istotn z bùêdem równm co najw ej a je eli t obl (a i ) <t tabl (a i ), nie ma podstaw do odrzucenia hipotez zerowej; parametr jest nieistotn lub porównujem rzeczwist poziom istotnoœci P(a i ) z przjêtm a priori a a - Je eli P(a i ) jest mniejsze od a odrzucam H Odrzucaj¹c H ZMIENNA X i MA WP YW NA ZMIENN Y
Ekonometria 45 ETAP 5.5. Badanie losowoœci skùadnika losowego Badanie losowoœci przeprowadza siê testem t-studenta lub testem serii Test serii: Wartoœciom u t > nadajem smbol a (liczba smboli a: n ), wartoœciom u t < smbol b (liczba smboli b: n ). Otrzmujem podci¹gi czli serie z kolejnch smboli a lub b. Liczbê wszstkich serii (podci¹gów) oznaczm jako K. W tablic liczb serii (dla n ; n ; a) odcztujem liczbê krtczn¹ K a. P P ( K Ka ) = a ( K > K ) = - a a H : xt jest skladnikiem losowm H Gd K> Ka nie ma podstaw do odrzucenia H Gd K<= Ka odrzucam H Brak losowoœci wmaga zmian matematcznej postaci modelu ETAP 5.5. OBOWI ZUJE DLA MODELI TENDENCJI ROZWOJOWEJ ETAP 5.5. PRZEPROWADZA SIÆ DLA POSTACI PIERWOTNEJ : x t nie jest losow ETAP 5.6. Badanie stacjonarnoœci skùadnika losowego W etapie tm sprawdzam niezale noœã wariancji skùadnika losowego od zmiennej objaœniaj¹cej t (warunek stosowalnoœci KMNK) Bada siê istotnoœã wspóùcznnika korelacji reszt i zmiennej czasowej t Stosuje siê test istotnoœci t (slajd: badanie wspóùcznnika korelacji) Przczn braku stacjonarnoœci: niewùaœciwa postaã analitczna modelu niewùaœciwa metoda szacowania parametrów strukturalnch modelu ETAP 5.6. OBOWI ZUJE DLA MODELI TENDENCJI ROZWOJOWEJ ETAP 5.6 PRZEPROWADZA SIÆ DLA TRANSFORMATY r u t,t
Ekonometria 46 ETAP 5.7. Badanie wartoœci oczekiwanej skùadnika losowego Z zaùo eñ KMNK wnika, e parametr skùadnika losowego: E( x) = { å u = } V( x) = const i Po retransformacji do postaci pierwotnej mam nowe reszt u, dla którch ' å u ' i ¹ u i ¹ Celem etapu jest sprawdzenie, cz odchlenie od nie jest zbt du e (sùu do tego test Studenta) ETAP 5.7. OBOWI ZUJE DLA MODELI TENDENCJI ROZWOJOWEJ ETAP 5.7. PRZEPROWADZA SIÆ DLA POSTACI PIERWOTNEJ ETAP 5.8. Badanie autokorelacji skùadnika losowego Skùadnik losow î nie jest czsto losow, lecz zale od wskaênika i, czli zmienne losowe î i s¹ zale ne od poprzednich wartoœci î t-ô. Autokorelacja to korelacja wartoœci zmiennej î z jej wartoœciami z okresów wczeœniejszch o jeden lub wiêcej okresów. x f(,,..., ) Na ogóù autokorelacjê mo na wraziã w postaci relacji: i = xi- xi- xi-t ut = f(ut-k ) t =,,... W praktce przjmuje siê, e funkcja f jest funkcj¹ liniow¹, a maksmalne opóênienie czasowe ô wnosi jeden lub dwa. n Estmator wspóùcznnika autokorelacji ñ (rzêdu pierwszego): å(ui - ui )(ui- - ui-) r = i= n n å (ui - ui ) å(ui- - ui-) i= i=
Ekonometria 47 Przczn autokorelacji: zakùócenia (dodatnie lub ujemne) w jednm okresie wpùwaj¹ na poziom zjawiska w nastêpnch okresach: skutki niektórch zdarzeñ rozci¹gaj¹ siê na wiele okresów (natura procesów gospodarczch, spoùecznch); pschologia i sposób podejmowania deczji, na które du wpùw maj¹ zdarzenia z najbli szej przeszùoœci; niepoprawna postaã funkcjna modelu (model nie uwzglêdnia cklicznoœci zjawiska, aproksmacja zale noœci nieliniowej przez funkcjê liniow¹); wadliwa struktura dnamiczna modelu: w roli zmiennej objaœniaj¹cej nie wstêpuje a powinna opóêniona zmienna objaœniana; brak opóênionch zmiennch niezale nch lub zmiennej czasowej; pominiêcie w modelu istotnej zmiennej objaœniaj¹cej (reszt mog¹ ukùadaã siê seriami, nawet mieã tendencjê do staùego zwiêkszania swej wartoœci bezwzglêdnej); interpolacja, wgùadzanie oraz agregacja (np. przeksztaùcanie danch miesiêcznch w kwartalne). Badanie autokorelacji mo na przeprowadziã: testem R istotnoœci korelacji testem Durbina-Watsona r u t, ut-k Test Durbina-Watsona sùu do sprawdzenia hipotez: H : r = H : r < lub H : r > Statstka d: d = n å(u - u i= i n åui i= i-) d = (-r ) Z relacji wnika, e d [,4]: je eli r = to d= (brak autokorelacji) je eli r = to d= (silna autokorelacja dodatnia) je eli r =- to d=4 (silna, ujemna autokorelacja)
Ekonometria 48 Rozkùad statstki d prz zaùo eniu, e H jest prawdziwa i skùadniki losowe maj¹ rozkùad normaln N(; ó) zale od liczb obserwacji n oraz liczb zmiennch objaœniaj¹cch i d Î<d L ; d U >. Wartoœci krtczne d L i d U zawiera tablica testu Durbina-Watsona dla poziomu istotnoœci a. Reguùa deczjna: H : r = H : r < je eli d d L to H odrzucam je eli d L <d<d U? je eli d d U nie ma podstaw do odrzucenia H Reguùa deczjna: : r = H : r > je eli d 4 - d L to H odrzucam je eli 4 - d U <d<4 - d L? je eli d 4 - d U nie ma podstaw do odrzucenia H H W przpadku stwierdzenia autokorelacji mam trz mo liwoœci: usun¹ã przczn autokorelacji; zastosowaã procedur estmacji w warunkach autokorelacji, ab zapewniã wsok¹ efektwnoœã estmatorów (usuwanie autokorelacji); pozostaã prz KMNK godz¹c siê z mniejsz¹ efektwnoœci¹ estmatorów. ETAP 5.8. OBOWI ZUJE DLA MODELI TENDENCJI ROZWOJOWEJ ETAP 5.8. PRZEPROWADZA SIÆ DLA TRANSFORMATY
Ekonometria 49 Etap 5.9. Badanie normalnoœci skùadnika losowego Celem etapu jest stwierdzenie, cz reszt maj¹ rozkùad normaln Stosuje siê znane ze statstki test nieparametrczne: l - Koùmogorowa lub test c Analiza reszt oddzieln dziaù analiz regresji i korelacji ETAP 6. INTERPRETACJA MODELU Celem etapu jest wdobcie z modelu caùej nowej wiedz, której nie widaã goùm okiem Interpretacja modelu przcznowo-skutkowego Polega na okreœleniu wpùwu poszczególnch cznników na badane zjawisko: podziaù wszstkich cznników na trz grup A cznniki nie maj¹ce wpùwu na Y B cznniki maj¹ce wpùw na Y i wprowadzone do modelu C cznniki maj¹ce wpùw na Y, ale nie wstêpuj¹ce w modelu ocena jakoœciowa wpùwu cznników B i C ocena iloœciowa wpùwu cznników B i C Ocena jakoœciowa Na podstawie znaków stoj¹cch prz wspóùcznnikach r oraz a i Ocena iloœciowa
Ekonometria 5 FUNKCJA PRODUKCJI Model potêgow FUNKCJA PRODUKCJI COBBA-DOUGLASA a a a P = a X X e a,a > g x a Wspóùcznniki elastcznoœci produkcji wzglêdem X i X K = a a Efekt skali produkcji Funkcja produkcji to specjaln model, okreœlaj¹c zale noœã pomiêdz produkcj¹ (P), a cznnikami produkcji: maj¹tkiem produkcjnm (X ) i nakùadami prac wej (X ). Metoda estmacji parametrów strukturalnch funkcji Cobba-Douglasa (jak dla modelu potêgowego) to MNK Graficznm obrazem funkcji jest krzwa wpukùa do pocz¹tku ukùadu wspóùrzêdnch X, X. Poruszaj¹c siê po krzwej P otrzmujem ten sam wolumen produkcji P prz ró nch kombinacjach cznnikównakùadów X i X. Ustalanie ró nch proporcji cznników X i X w celu otrzmania tej samej wielkoœci produkcji P jest mo liwe ze wzglêdu na wzajemn¹ substtucjê tch cznników. Wspóùcznnik elastcznoœci ci substtucji: X e = DX / D X X Elastcznoœã e to wspóùcznnik okreœlaj¹c reakcjê zmian jednej zmiennej na inn¹ zmienn¹ na przkùad elastcznoœã cenowa poptu (jak popt zmienia siê wraz z cen¹ towaru). Z ekonomicznego punktu widzenia elastcznoœã produkcji okreœla o ile nale zwiêkszã nakùad na œrodki trwaùe X, ab nakùad prac X zmniejszã o jednostkê (prz staùm poziomie produkcji P). e
Ekonometria 5 FUNKCJA PRODUKCJI Izolinie funkcji produkcji X T T Wartoœã produkcji P mo na osi¹gn¹ã prz ró nch proporcjach pomiêdz maj¹tkiem X i nakùadami siù roboczej X: T technika kapitaùochùonna, np. peùna automatzacja T poœredni poziom techniki T3 niski poziom techniki, produkcja pracochùonna T 3 P = const Efekt popraw zarz¹dzania bez zmian techniki (lepsze wkorzstanie ludzi i sprzêtu): zmniejszenie kapitaùochùonnoœci X X P P Inna proporcja X i X to inna funkcja P zmniejszenie pracochùonnoœci zwiêkszenie produkcji (przejœcie z funkcji P na P) Krañcowa stopa substtucji tg j = R j j X
Ekonometria 5 FUNKCJA PRODUKCJI Przkùad. Zinterpretuj zwerfikowan¹ funkcjê produkcji Cobba-Douglasa Pi, 65, 73, 4 = 45, Mi Zi e x wartoœci 45, nie interpretuje siê wartoœã,65 to wspóùcznnik elastcznoœci maj¹tkowej (kapitaùowej) produkcji: zmiana maj¹tku o % daje œrednio zmianê produkcji o 6,5% (prz staùm zatrudnieniu = pozostaùe cznniki cateris paribus) wartoœã,73 to wspóùcznnik elastcznoœci zatrudnieniowej produkcji: zmiana zatrudnienia o % daje zmianê produkcji œrednio o 7,3% (prz staùm maj¹tku) suma obu wspóùcznników K=,65,73=,38 to wspóùcznnik skali produkcji: je eli K<, to firma rozwija siê ekstenswnie (szbsze tempo wzrostu cznników produkcji ani eli przrostu produkcji) je eli K>, to firma rozwija siê intenswnie (szbsze tempo przrostu produkcji ani eli wzrostu cznników produkcji) wartoœã g =,4 to wspóùcznnik postêpu organizacjnego: je eli g >O, to miaù miejsce postêp organizacjn je eli g <, to miaù miejsce regres organizacjn
Ekonometria - 53 MODEL TENDENCJI ROZWOJOWEJ Model tendencji rozwojowej to konstrukcja teoretczna (równanie lub ukùad równañ) opisuj¹ca ksztaùtowanie siê okreœlonego zjawiska jako funkcji: zmiennej czasowej t wahañ okresowch (periodcznch) wahañ przpadkowch (nieregularnch). Czli na zmiennoœã zjawiska w czasie ma wpùw: tendencja rozwojowa (trend) wahania tpu okresowego wahania tpu przpadkowego (losowego). MODEL ADDYTYWNY Y t = F(t) G(t) x(t) MODEL MULTIPLIKATYWNY Y t = F(t) G(t) x(t) gdzie: Yt - poziom badanego zjawiska F(t) funkcja trendu G(t) funkcja wahañ okresowch - skùadnik losow o rozkùadzie normalnm, E(x)=, V(x)=const x(t) Te trz czêœci trzeba zidentfikowaã, a potem zùo ã razem w model: addtwn (jeœli amplituda wahañ jest staùa) multiplikatwn (jeœli amplituda wahañ roœnie lub maleje regularnie)
Ekonometria Ekonometria - 54 54 WYZNACZANIE TRENDU Metod mechaniczne: wskaêniki bezwzglêdne (staù przrost = postêp artmetczn = funkcja liniowa) wskaêniki wzglêdne (przrost o staù procent = postêp geometrczn = funkcja potêgowa) œrednia ruchoma (wgùadzanie danch lini¹ ùaman¹) t t ) f(t x = - = n x... x x n chr n g x i x P = k... k, k / = 5 a nastêpnie k... k, k / 5 = itd. dla k=3: 3 3 4 3 3 3 = = itd. Úrednia ruchoma: maj¹c szereg czasow,,..., n, przjmujem dùugoœã kroku k = 3, lub 5, lub 7 itd. i liczm Dla k=5 5 5 4 3 3 = 5 6 5 4 3 4 = itd. 4 5 4 3 3 = Gd k jest liczb¹ parzst¹ to uzskujem tzw. œrednie scentrowane Np. k=4 CECHY ÚREDNIEJ RUCHOMEJ: TRACI SIÆ k- DANYCH IM WIÆKSZE k, TYM BARDZIEJ SZTYWNY TREND
Ekonometria - 55 Przkùad. Wznacz trend metod¹ œredniej ruchomej dla nastêpuj¹cch danch: okres t 3 4 5 6 7 8 wartoœã t 5 4 7 6 8 9 8 8 6 4 k=5 3 4 5 6 3 = = 6 5 35 = = 7 5 39 = = 6, 6 5 4 = = 8, 5 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 k=3 5 4 7 = = 5, 33 3 4 7 6 = = 5, 67 3 7 6 8 = = 7, 3 6 8 = = 8, 3 8 9 = = 9, 3 9 8 = = 9, 3 czas, t
Ekonometria - 56 Wgùadzanie wkùadnicze Dla dowolnego momentu t operatorem wrównania rzêdu pierwszego dla szeregu t jest wra enie: S t = a t ( - a) St- < a < a - staùa wgùadzania S = Ogólnie operator wgùadzania mo na zapisaã wra eniem: S t = a t- i= t å ( - a) t-i ( - a) t-
Ekonometria - 57 t t ŷt Model: Brown's linear exp. smoothing with alpha =, 7, 7, 7, 69, 3 69, 69, 4 68, 68,9 5 64, 68,3 6 65, 66,3 7 7, 65,3 8 78, 67,5 9 75, 7,5 75, 73, 75, 74, 7, 74,9 3 75, 73,4 4 75, 74,3 5 74, 74,9 6 78, 74,9 7 86, 76,4 8 8, 8,7 9 75, 8, 73, 8, Wgùadzanie wkùadnicze trendu dla a=, 9 8 7 6 3 4 actual forecast 95,% limits
Ekonometria - 58 B. Metod analitczne B Funkcja liniowa t = a b t Funkcja potêgowa t b = a t Funkcja wkùadnicza Funkcja logistczna Wielomian I rzêdu t = a b t a t= b e -g t t = a b t g t Parametr strukturalne funkcji oszacowwane MNK
Ekonometria - 59 Mierniki stopnia dopasowania modelu do danch empircznch: Bù¹d przeciêtn (Mean Error) M.E. = å(t - ŷt ) n Úredni bù¹d kwadratow (Mean Square Error) M.S.E. = å(t - ŷ n t ) Úredni bù¹d absolutn (Mean Absolute Error) M.A.E. = å t - ŷt n n liczba reszt
Ekonometria - 6 B. Wrównwanie szeregów czasowch za pomoc¹ wielomianów Lagrange a Zakùada siê, e w szeregu czasowm nie wstêpuj¹ silne wahania regularne. Y t =f(t) zastêpujem wielomianem stopnia p. Wted interpolacjn wielomian Lagrange a: t = f(t f(t n (t - t )(t t ) - (t - t )(t -t (t - t )(t t )...(t t ) - - n (t - t )(t - t )...(t - t n n )...(t - tn) (t - t f(t) )...(t - t ) (t - t n - n ) n- ) )(t - t)...(t - tn)... )(t - t )...(t - t ) n Liczba czùonów wielomianu i stopieñ zale od liczb wrazów szeregu. Metoda bardzo pracochùonna
Wznaczanie wahañ okresowch Ekonometria - 6 (dobowch, tgodniowch, miesiêcznch, kwartalnch, rocznch, wieloletnich) Przez wahania okresowe (sezonowe) nale rozumieã powtarzaj¹ce siê z roku na rok w tch samch jednostkach kalendarzowch doœã regularne zmian iloœciowe. Cech wahañ okresowch: roczn ckl z podokresami miesiêcznmi, kwartalnmi, póùrocznmi sstematczne powtarzanie siê wahañ w ka dm roku okreœlona regularnoœã (staùe ckle zmian powtarzaj¹cch siê) DWIE METODY: metoda wskaêników sezonowoœci metoda harmoniczna Wszstkie metod maj¹ jeden cel: uzskanie przeciêtnego obrazu jednego cklu
Ekonometria - 6 METODA WSKA NIK NIKÓWW SEZONOWOÚCI obliczenie surowch wskaêników sezonowoœci (weliminowanie trendu): obliczenie oczszczonch wskaêników sezonowoœci (weliminowanie wahañ losowch): Najprostszm sposobem wodrêbnienia wahañ sezonowch jest metoda oparta na œrednich okresach jednoimiennch. Wskaêniki sezonowoœci oblicza siê wg wzoru: gdzie: Si wskaênik sezonowoœci dla i-tegoi podokresu (zwkle w %) S i = d i d å i i= i d œrednia artmetczna dla jednoimiennch podokresów liczba podokresów w (podokres( miesiêczne d=; kwartalne d=4; póùroczne d=) åsi i= = 4 åsi i= = 4 åsi i= = Wskaêniki speùniaj¹ce pow sze relacje to oczszczone wskaêniki sezonowoœci. Wskaêniki nie speùniaj¹ce tch relacji to surowe wskaêniki sezonowoœci. Wspóùcznnik korguj¹c k: k = Suma skorgowanch wskaênik ników: d d ås i i= pozwala sprowadziã surowe wskaêniki do oczszczonch wg reguù: k i = k S i S
Ekonometria - 63 Metoda harmoniczna (szeregi Fouriera) Wahania okresowe przedstawia siê jako sumê okreœlonej liczb drgañ harmonicznch (sinusoid i cosinusoid) przesuniêtch w fazie, lecz o jednakowm okresie t = a a t m / å b i i= m / åb i i= p sin it m p cos it x m Ogólnie, w przpadku m obserwacji liczba harmonik nie przekracza m/. Zmian przebiegu funkcji okresowej dobrze daje siê opisaã za pomoc¹ kilku pocz¹tkowch harmonik (i numer harmoniki).