Algorytmy i Struktury Danych.
|
|
|
- Stefan Zając
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Algorytmy i Struktury Danych. Metoda Dziel i zwyciężaj. Problem Sortowania, cd. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 1 / 47
2 Metoda dziel i zwyciężaj Idea Metoda dziel i zwyciężaj (ang. divide and conquer) jest metoda projektowania algorytmów, w której dany problem jest dzielony na kilka mniejszych podproblemów podobnych do poczatkowego problemu. Problemy te sa rozwiazywane rekurencyjnie, a następnie rozwiazania wszystkich podproblemów sa łaczone w celu utworzenia rozwiazania całego problemu. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 2 / 47
3 Metoda dziel i zwyciężaj W podejściu dziel i zwyciężaj każdy poziom rekursji składa się z następujacych trzech etapów: Dziel: Dzielimy problem na podproblemy. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 3 / 47
4 Metoda dziel i zwyciężaj W podejściu dziel i zwyciężaj każdy poziom rekursji składa się z następujacych trzech etapów: Dziel: Dzielimy problem na podproblemy. Zwyciężaj: Rozwiazujemy podproblemy rekurencyjnie, chyba że sa one małego rozmiaru i już nie wymagaja zastosowania rekursji - używamy wtedy bezpośrednich metod. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 3 / 47
5 Metoda dziel i zwyciężaj W podejściu dziel i zwyciężaj każdy poziom rekursji składa się z następujacych trzech etapów: Dziel: Dzielimy problem na podproblemy. Zwyciężaj: Rozwiazujemy podproblemy rekurencyjnie, chyba że sa one małego rozmiaru i już nie wymagaja zastosowania rekursji - używamy wtedy bezpośrednich metod. Połacz: Łaczymy rozwiazania podproblemów, aby otrzymać rozwiazanie całego problemu. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 3 / 47
6 Dziel i Zwyciężaj - przykłady zastosowań Znajdowanie największego i najmniejszego elementu zbioru. Wyszukiwanie binarne Potęgowanie liczb Sortowanie szybkie Sortowanie przez scalanie Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 4 / 47
7 Element minimalny i maksymalny zbioru Definicja problemu: Dane: n - liczba elementów zbioru a 1, a 2, a 3,...,a n - ciag elementów Szukane: Elementy największy i najmniejszy zbioru. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 5 / 47
8 Element minimalny i maksymalny zbioru Require: tablica A o rozmiarze n {A=[0,...,n-1]} Algorytm: MIN 1: min = 0; 2: for all i = 1 to n do 3: if A[i] < A[min] then 4: min = i; 5: end if 6: i = i + 1; 7: end for 8: return min; Algorytm: MAX 1: max = 0; 2: for all i = 1 to n do 3: if A[i] > A[max] then 4: max = i; 5: end if 6: i = i + 1; 7: end for 8: return max; Naiwne rozwiazanie problemu: Najpierw wyszukujemy element największy metoda bezpośrednia, a potem element najmniejszy. Złożoność obliczeniowa: O(n) Algorytm MAX : n - 1 operacji porównania Algorytm MIN : n - 1 operacji porównania Razem MAX i MIN : 2n - 2 operacji porównania Przykład: porównań Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 6 / 47
9 Element minimalny i maksymalny zbioru Można spróbować usprawnić rozwiazanie naiwne, znajdujac najpierw kandydatów na Min i Max. Takie wyszukanie realizowane jest poprzez porównywanie elementów parami. Następnie stosowany jest algorytm MIN, a potem Max (lub odwrotnie), na odpowiednim zbiorze kandydatów. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 7 / 47
10 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47
11 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Porównywanie parami: 2 < 5, 3 < 1, 8 < 9, 1 < 5, 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47
12 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Porównywanie parami: 2 < 5, 3 < 1, 8 < 9, 1 < 5, 4 Kandydaci na MIN: 2, 1, 8, 1, 4. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47
13 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Porównywanie parami: 2 < 5, 3 < 1, 8 < 9, 1 < 5, 4 Kandydaci na MIN: 2, 1, 8, 1, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MIN. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47
14 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Porównywanie parami: 2 < 5, 3 < 1, 8 < 9, 1 < 5, 4 Kandydaci na MIN: 2, 1, 8, 1, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MIN. Kandydaci na MAX: 5, 3, 9, 5, 4. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47
15 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Porównywanie parami: 2 < 5, 3 < 1, 8 < 9, 1 < 5, 4 Kandydaci na MIN: 2, 1, 8, 1, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MIN. Kandydaci na MAX: 5, 3, 9, 5, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MAX. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47
16 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Porównywanie parami: 2 < 5, 3 < 1, 8 < 9, 1 < 5, 4 Kandydaci na MIN: 2, 1, 8, 1, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MIN. Kandydaci na MAX: 5, 3, 9, 5, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MAX. Ostatni - nieparzysty element został dodany do obu zbiorów. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47
17 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Porównywanie parami: 2 < 5, 3 < 1, 8 < 9, 1 < 5, 4 Kandydaci na MIN: 2, 1, 8, 1, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MIN. Kandydaci na MAX: 5, 3, 9, 5, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MAX. Ostatni - nieparzysty element został dodany do obu zbiorów. Wykorzystujemy tu własność podziału mówiac a, iż w każdym zbiorze skończonym zawsze znajduje się element największy i element najmniejszy. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47
18 Element minimalny i maksymalny zbioru Szacowanie: Przy rozdzielaniu elementów wykonano 4 porównania. Algorytm MIN na zbiorze {2, 1, 8, 1, 4} wykonał 4 porównania i zwrócił wartość 1. Algorytm MAX również na zbiorze {5, 3, 9, 5, 4} wykonał 4 porównania i zwrócił wartość 9. W sumie wykonano = 12 porównań, co oznacza 25% wzrost wydajności w porównaniu z podejściem naiwnym (tam potrzebnych było 16 porównań)! Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 9 / 47
19 Element minimalny i maksymalny zbioru Require: tablica A o rozmiarze n {A = [0,...,n 1]} Algorytm: MIN-MAX 1: min = 0; max = 0; 2: for i = 0 to n 2 do 3: if A[i] < A[i + 1] then 4: if A[i] < A[min] then 5: min = i; 6: end if 7: if A[i + 1] > A[max] then 8: max = i + 1; 9: end if 10: else 11: if A[i + 1] < A[min] then 12: min = i + 1; 13: end if 14: if A[i] > A[max] then 15: max = i; 16: end if 17: end if 18: i = i + 2; 19: end for 20: if n is odd then 21: if A[n 1] < A[min] then 22: min = n 1; 23: end if 24: if A[n 1] > A[max] then 25: max = n 1; 26: end if 27: end if 28: return A[min] and A[max]; Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 10 / 47
20 Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne pozwala na szybkie wyszukiwanie wartości w posortowanych zbiorach (np. tablicy). Skuteczność wyszukiwania binarnego wynika z tego, że zamiast przegladać wszystkie elementy posortowanego zbioru po kolei, wykorzystujemy informację o tym, że jest on uporzadkowany. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 11 / 47
21 Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne pozwala na szybkie wyszukiwanie wartości w posortowanych zbiorach (np. tablicy). Skuteczność wyszukiwania binarnego wynika z tego, że zamiast przegladać wszystkie elementy posortowanego zbioru po kolei, wykorzystujemy informację o tym, że jest on uporzadkowany. Algorytm: Dana jest tablica A oraz poszukiwany element key. Sprawdź środkowy element tablicy. Jeśli jest równy key, to koniec. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 11 / 47
22 Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne pozwala na szybkie wyszukiwanie wartości w posortowanych zbiorach (np. tablicy). Skuteczność wyszukiwania binarnego wynika z tego, że zamiast przegladać wszystkie elementy posortowanego zbioru po kolei, wykorzystujemy informację o tym, że jest on uporzadkowany. Algorytm: Dana jest tablica A oraz poszukiwany element key. Sprawdź środkowy element tablicy. Jeśli jest równy key, to koniec. Jeśli środkowy element jest większy niż key, to poszukiwany element jeśli jest w tablicy, to jest w jej lewej części. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 11 / 47
23 Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne pozwala na szybkie wyszukiwanie wartości w posortowanych zbiorach (np. tablicy). Skuteczność wyszukiwania binarnego wynika z tego, że zamiast przegladać wszystkie elementy posortowanego zbioru po kolei, wykorzystujemy informację o tym, że jest on uporzadkowany. Algorytm: Dana jest tablica A oraz poszukiwany element key. Sprawdź środkowy element tablicy. Jeśli jest równy key, to koniec. Jeśli środkowy element jest większy niż key, to poszukiwany element jeśli jest w tablicy, to jest w jej lewej części. Jeśli środkowy element jest mniejszy niż key, to poszukiwany element jeśli jest w tablicy, to jest w jej prawej części. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 11 / 47
24 Wyszukiwanie binarne - przykład Znaleźć liczbę 9 w ciagu: 3, 5, 7, 8, 9, 12, 15. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 12 / 47
25 Twierdzenie 1 Cormen T.H., Leiserson Ch.E., Rivest R.L. Wprowadzenie do algorytmów, Roz. 4 (str. 73) T(n) = a T(n/b)+f(n) n - rozmiar problemu; rozmiar danych wejściowych. a - liczba podproblemów w rekurencji. n/b - rozmiar każdego podproblemu; w zasadzie zakłada się, że wszystkie podproblemy sa tego samego rozmiaru. f(n) - koszt operacji poza rekurencyjnym wywołaniem zawierajacy koszt podziału probelmu na podproblemy i koszt operacji scalenia rozwiazań. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 13 / 47
26 Twierdzenie 1 Cormen T.H., Leiserson Ch.E., Rivest R.L. Wprowadzenie do algorytmów, Roz. 4 (str. 73) T(n) = a T(n/b)+f(n) n - rozmiar problemu; rozmiar danych wejściowych. a - liczba podproblemów w rekurencji. n/b - rozmiar każdego podproblemu; w zasadzie zakłada się, że wszystkie podproblemy sa tego samego rozmiaru. f(n) - koszt operacji poza rekurencyjnym wywołaniem zawierajacy koszt podziału probelmu na podproblemy i koszt operacji scalenia rozwiazań. A. f(n) = O(n logb(a) ǫ ) implikuje, że T(n) = Θ(n logb(a) ) dla pewnegoǫ > 0 B. f(n) = Θ(n logb(a) log2 k (n)) implikuje, że T(n) = Θ(n logb(a) log k+1 2 (n)) dla pewnego k 0. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 13 / 47
27 Wyszukiwanie binarne - złożoność n log b(a) = n log 2(1) = n 0 = 1 (Przypadek2) T(n) = Θ(log 2 (n)) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 14 / 47
28 Wyszukiwanie binarne - Koszt algorytmu Złożoność pesymistyczna: Operacja dominujaca: porównywanie elementów. Koszt: T(n) = O(log 2 (n)) Złożoność optymistyczna: Operacja dominujaca: porównywanie elementów. Koszt: T(n) = O(log 2 (n)). Złożoność pamięciowa: O(1). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 15 / 47
29 Wyszukiwanie binarne - implementacja i n t binsearch ( i n t a [ ], i n t n, i n t key ) { i n t l e f t = 0, r i g h t = n 1; while ( l e f t <= r i g h t ) { i n t c u r r = ( l e f t + r i g h t ) / 2; i f ( key == a [ c u r r ] ) { r e t u r n c u r r ; } else i f ( key < a [ c u r r ] ) { r i g h t = c u r r 1; } else { l e f t = c u r r + 1; } } r e t u r n ( 1); } Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 16 / 47
30 Wyszukiwanie binarne Uwagi o przeszukiwaniu liniowym i binarnym Niech n= Algorytm wyszukiwania liniowego czyli przegladaj acy cała tablicę element po elemencie wykona porównań. Algorytm przeszukiwania binarnego wykona tylko log 2 (20000) = 14 porównań. Algorytm wyszukiwania binarnego wymaga jednak przekazania posortowanych danych. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 17 / 47
31 Potęgowanie liczby Problem: Oblicz a n, dla n N. Algorytm naiwny: a n = a a... a }{{} n Złożoność: Θ(n) Algorytm dziel i zwyciężaj: { a n a n/2 a = n/2, gdy n jest parzyste a n 1/2 a n 1/2 a, gdy n jest nieparzyste Złożoność: T(n) = T(n/2)+Θ(1) θ(log 2 (n)) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 18 / 47
32 Sortowanie szybkie Algorytm sortowania szybkiego (ang. quick sort) opracowany przez C.A.R. Hoarea w Algorytm QuickSortjest typowym algorytmem rekurencyjnym, pracujacym w oparciu o technikę dziel i zwyciężaj. Algorytm zakłada dekompozycję tablicy na mniejsze podtablice, które łatwiej jest posortować. Najczęściej stosowany algorytm sortujacy w praktyce. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 19 / 47
33 Sortowanie szybkie Idea Rozdzielić elementy danego ciagu na dwie części względem pewnego ustalonego elementu, tzw. elementu osiowego (ang. pivot), tak aby na lewo od niego znajdowały się elementy mniejsze, a na prawo elementy większe. x xx x Rekurencyjnie posortować elementy na lewo i na prawo od elementu osiowego. Połaczyć posortowane podtablice. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 20 / 47
34 Sortowanie szybkie - przykład Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 21 / 47
35 Sortowanie szybkie W celu podzielenia tablicy konieczne jest wykonanie dwóch operacji: znalezienie elementu osiowego i podzieleniu tablicy na dwie podtablice. przejrzeniu tablicy w celu umieszczenia jej elementów we właściwych podtablicach. Wybór dobrego elementu osiowego nie jest zadaniem łatwym (obie podtablice powinny mieć zbliżona wielkość). Najczęściej stosowane strategie wyboru elementu osiowego: wybranie pierwszego elementu tablicy. wybranie elementu znajdujacego się pośrodku tablicy. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 22 / 47
36 Sortowanie szybkie - procedura podziału Require: tablica A[p..q] 1: PARTITION(A, p, q) 2: x = A[p]; {element osiowy = A[p]} 3: i = p; 4: for all j = p+1 to q do 5: if A[j] x then 6: i = i + 1; 7: zamien(a[i],a[j]); 8: end if 9: end for 10: zamien (A[p], A[i]); 11: return i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 23 / 47
37 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 24 / 47
38 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 24 / 47
39 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 24 / 47
40 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 24 / 47
41 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j i j i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 24 / 47
42 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 25 / 47
43 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 25 / 47
44 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 25 / 47
45 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 25 / 47
46 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j i j i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 25 / 47
47 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 26 / 47
48 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 26 / 47
49 Sortowanie szybkie - algorytm QuickSort (A, p, r) Jeśli p = r, to koniec Jeśli p < r, to q = PARTITION(A, p, r). QuickSort(A, p, q-1). QuickSort(A, q+1, r). Wywołanie: QuickSort(A, 1, n) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 27 / 47
50 Sortowanie szybkie - Złożoność pesymistyczna: Najgorszy przpadek dla algorytmu sortowania szybkiego to ciag danych już uporzadkowanych w kolejności odwrotnej do pożadanej. Jeśli Split jako medianę wybiera zawsze pierwszy element, to w wyniku rozdzielenia, jedna część młodsza będzie pusta, a druga starsza będzie zawierała o jeden element mniej niż w poprzednim kroku. Koszt Operacji rozdzielania dla n elementowego ciagu wynosi n 1 porównań. T(n) = T(n 1)+cn T(n 1) = T(n 2)+c(n 1) T(n 2) = T(n 3)+c(n 2). T(2) = T(1)+c(2) T(n) = T(1)+c n i=2 i = O(n2 ) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 28 / 47
51 Sortowanie szybkie - Złożoność optymistyczna: Podział jest zawsze perfekcyjnie zbalansowany. Element osiowy jest zawsze po środku. T(n) QuickSort (A, p, r) Θ(1) Jeśli p = r, to koniec Jeśli p < r, to Θ(n) (1) q = PARTITION(A, p, r). 2 T(n/2) (2) rekurencyjnie posortuj A[p..q 1] i A[q + 1..r]. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 29 / 47
52 Sortowanie szybkie - Złożoność optymistyczna: Podział jest zawsze perfekcyjnie zbalansowany. Element osiowy jest zawsze po środku. T(n) QuickSort (A, p, r) Θ(1) Jeśli p = r, to koniec Jeśli p < r, to Θ(n) (1) q = PARTITION(A, p, r). 2 T(n/2) (2) rekurencyjnie posortuj A[p..q 1] i A[q + 1..r]. { Θ(1) n = 1 T(n) = 2 T(n/2)+Θ(n) n > 1 Na podstawie Twierdzenia 1 można pokazać, że powyższe równanie rekurencyjne ma następujace rozwiazanie: Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 29 / 47
53 Sortowanie szybkie - Złożoność optymistyczna: Podział jest zawsze perfekcyjnie zbalansowany. Element osiowy jest zawsze po środku. T(n) QuickSort (A, p, r) Θ(1) Jeśli p = r, to koniec Jeśli p < r, to Θ(n) (1) q = PARTITION(A, p, r). 2 T(n/2) (2) rekurencyjnie posortuj A[p..q 1] i A[q + 1..r]. { Θ(1) n = 1 T(n) = 2 T(n/2)+Θ(n) n > 1 Na podstawie Twierdzenia 1 można pokazać, że powyższe równanie rekurencyjne ma następujace rozwiazanie: n log b(a) = n log 2(2) = n 1 = n (Przypadek2) T(n) = Θ(n log 2 (n)) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 29 / 47
54 Sortowanie szybkie - Koszt algorytmu Złożoność pesymistyczna: Operacja dominujaca: porównywanie elementów. Koszt: T(n) = O(n 2 ) Złożoność optymistyczna: Operacja dominujaca: porównywanie elementów. Koszt: T(n) = Θ(n log 2 (n)). Złożoność pamięciowa: O(1). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 30 / 47
55 Sortowanie szybkie - implementacja void q u icksort ( i n t a [ ], i n t l e f t, i n t r i g h t ) { i f ( l e f t < r i g h t ) { / / p o d z i a ł t a b l i c y i n t m = l e f t ; f o r ( i n t k = l e f t + 1 ; k <= r i g h t ; ++k ) { i f ( a [ k ] < a [ l e f t ] ) swap ( a[++m], a [ k ] ) ; } swap ( a [ l e f t ], a [m] ) ; / / Rekurencja q u icksort ( a, l e f t, m 1 ) ; q u icksort ( a, m + 1, r i g h t ) ; } } void swap ( i n t x, i n t y ) { i n t tmp = x ; x = y ; y = tmp ; } Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 31 / 47
56 Sortowanie przez scalanie Jeden z pierwszych algorytmów sortowania. Autor metody: John von Neumann Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 32 / 47
57 Sortowanie przez scalanie Jeden z pierwszych algorytmów sortowania. Autor metody: John von Neumann Idea: Dzielimy zadanie posortowania całego ciagu na dwa podzadania: posortowania jego lewej i prawej połowy. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 32 / 47
58 Sortowanie przez scalanie Jeden z pierwszych algorytmów sortowania. Autor metody: John von Neumann Idea: Dzielimy zadanie posortowania całego ciagu na dwa podzadania: posortowania jego lewej i prawej połowy. Gdy obie części tworza już ciagi uporzadkowane, wtedy scalamy je otrzymujac rozwiazanie. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 32 / 47
59 Sortowanie przez scalanie - przykład Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 33 / 47
60 Sortowanie przez scalanie - algorytm MergeSort A[1..n] Jeśli n = 1, to koniec Jeśli n 2, rekurencyjnie posortuj A[1..n/2] i A[n/2+1..n]. Scal obie połowy A w jedna posortowana tablicę. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 34 / 47
61 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 8 Minimum z 1 i 8 1 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 35 / 47
62 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 8 Minimum z 7 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 36 / 47
63 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 8 Minimum z 11 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 37 / 47
64 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 9 Minimum z 11 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 38 / 47
65 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 12 Minimum z 11 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 39 / 47
66 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 12 Minimum z 14 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 40 / 47
67 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 18 Minimum z 14 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 41 / 47
68 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 18 Minimum z 16 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 42 / 47
69 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Nieprzetworzone: 18 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 43 / 47
70 Sortowanie przez scalanie - implementacja MergeSort ( i n t A [ ], i n t l e f t, i n t r i g h t ) { i f ( r i g h t > l e f t ) { mid = ( l e f t + r i g h t ) / 2; MergeSort (A, l e f t, mid ) ; MergeSort (A, mid +1, r i g h t ) ; merge (A, l e f t, mid, r i g h t ) } } Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 44 / 47
71 Sortowanie przez scalanie - implementacja void merge (T a, i n t l e f t, i n t mid, i n t r i g h t ) { i n t t = c a l l o c ( r i g h t +1, s i z e o f ( i n t ) ) ; i n t n = r i g h t l e f t + 1 ; i n t i = l e f t, j = mid + 1, k = 0 ; while ( i <= mid && j <= r i g h t ) { i f ( a [ i ] < a [ j ] ) t [ k ++] = a [ i + + ] ; else t [ k ++] = a [ j + + ] ; } while ( i <= mid ) { / / Dolaczanie koncowki p i e rwszej p o d t a b l i c y t [ k ++] = a [ i + + ] ; } while ( j <= r i g h t ) { / / Dolaczanie koncowki d r u g i e j p o d t a b l i c y t [ k ++] = a [ j + + ] ; } / / Kopiowanie t a b l i c y pomocniczej f o r ( k = 0 ; k < n ; ++k ) a [ l e f t + k ] = t [ k ] ; f r e e ( t ) } Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 45 / 47
72 Sortowanie przez scalanie - Koszt algorytmu T(n) MergeSort A[1..n] Θ(1) Jeśli n = 1, to koniec 2 T(n/2) Jeśli n 2, rekurencyjnie posortuj A[1..n/2] i A[n/2+1..n]. Θ(n) Scal obie połowy A w jedna posortowana tablicę. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 46 / 47
73 Sortowanie przez scalanie - Koszt algorytmu T(n) MergeSort A[1..n] Θ(1) Jeśli n = 1, to koniec 2 T(n/2) Jeśli n 2, rekurencyjnie posortuj A[1..n/2] i A[n/2+1..n]. Θ(n) Scal obie połowy A w jedna posortowana tablicę. T(n) = { Θ(1) n = 1 2 T(n/2)+Θ(n) n > 1 Na podstawie Twierdzenia 1 można pokazać, że powyższe równanie rekurencyjne ma następujace rozwiazanie: Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 46 / 47
74 Sortowanie przez scalanie - Koszt algorytmu T(n) MergeSort A[1..n] Θ(1) Jeśli n = 1, to koniec 2 T(n/2) Jeśli n 2, rekurencyjnie posortuj A[1..n/2] i A[n/2+1..n]. Θ(n) Scal obie połowy A w jedna posortowana tablicę. T(n) = { Θ(1) n = 1 2 T(n/2)+Θ(n) n > 1 Na podstawie Twierdzenia 1 można pokazać, że powyższe równanie rekurencyjne ma następujace rozwiazanie: n log b(a) = n log 2(2) = n 1 = n (Przypadek2) T(n) = Θ(n log 2 (n)) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 46 / 47
75 Sortowanie przez scalanie - Koszt algorytmu Złożoność pesymistyczna: Operacja dominujaca: porównywanie elementów. Koszt: T(n) = Θ(n log 2 (n)) Złożoność optymistyczna: Operacja dominujaca: porównywanie elementów. Koszt: T(n) = Θ(n log 2 (n)). Złożoność pamięciowa: O(1). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 47 / 47
Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9
Wstęp do programowania 1 Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Element minimalny i maksymalny zbioru Element minimalny
Strategia "dziel i zwyciężaj"
Strategia "dziel i zwyciężaj" W tej metodzie problem dzielony jest na kilka mniejszych podproblemów podobnych do początkowego problemu. Problemy te rozwiązywane są rekurencyjnie, a następnie rozwiązania
Sortowanie przez scalanie
Sortowanie przez scalanie Wykład 2 12 marca 2019 (Wykład 2) Sortowanie przez scalanie 12 marca 2019 1 / 17 Outline 1 Metoda dziel i zwyciężaj 2 Scalanie Niezmiennik pętli - poprawność algorytmu 3 Sortowanie
Analiza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r 0 Jaka wartość zostanie zwrócona przez powyższą
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Organizacja wykładu. Problem Sortowania. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 1 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Problem Sortowania. Metoda Dziel i zwyciężaj. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy
Programowanie Proceduralne
Programowanie Proceduralne Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 1 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Programowanie Proceduralne Wykład 1 1 / 59 Cel wykładów z programowania
Algorytm selekcji Hoare a. Łukasz Miemus
Algorytm selekcji Hoare a Łukasz Miemus 1 lutego 2006 Rozdział 1 O algorytmie 1.1 Problem Mamy tablicę A[N] różnych elementów i zmienną int K, takie że 1 K N. Oczekiwane rozwiązanie to określenie K-tego
Definicja. Ciąg wejściowy: Funkcja uporządkowująca: Sortowanie polega na: a 1, a 2,, a n-1, a n. f(a 1 ) f(a 2 ) f(a n )
SORTOWANIE 1 SORTOWANIE Proces ustawiania zbioru elementów w określonym porządku. Stosuje się w celu ułatwienia późniejszego wyszukiwania elementów sortowanego zbioru. 2 Definicja Ciąg wejściowy: a 1,
Wstęp do programowania. Dziel i rządź. Piotr Chrząstowski-Wachtel
Wstęp do programowania Dziel i rządź Piotr Chrząstowski-Wachtel Divide et impera Starożytni Rzymianie znali tę zasadę Łatwiej się rządzi, jeśli poddani są podzieleni Nie chodziło im jednak bynajmniej o
Zadanie 1 Przygotuj algorytm programu - sortowanie przez wstawianie.
Sortowanie Dane wejściowe: ciąg n-liczb (kluczy) (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n ) Dane wyjściowe: permutacja ciągu wejściowego (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n) taka, że a 1 a 2 a 3... a n 1 a n. Będziemy
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Algorytm 1. Termin algorytm jest używany w informatyce
Sortowanie danych. Jolanta Bachan. Podstawy programowania
Sortowanie danych Podstawy programowania 2013-06-06 Sortowanie przez wybieranie 9 9 9 9 9 9 10 7 7 7 7 7 10 9 1 3 3 4 10 7 7 10 10 10 10 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 Gurbiel et al. 2000
Wykład 3. Metoda dziel i zwyciężaj
Wykład 3 Metoda dziel i zwyciężaj 1 Wprowadzenie Technika konstrukcji algorytmów dziel i zwyciężaj. przykładowe problemy: Wypełnianie planszy Poszukiwanie (binarne) Sortowanie (sortowanie przez łączenie
Struktury Danych i Złożoność Obliczeniowa
Struktury Danych i Złożoność Obliczeniowa Zajęcia 2 Algorytmy wyszukiwania, sortowania i selekcji Sortowanie bąbelkowe Jedna z prostszych metod sortowania, sortowanie w miejscu? Sortowanie bąbelkowe Pierwsze
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Metody konstrukcji algorytmów: Siłowa (ang. brute force), Dziel i zwyciężaj (ang. divide-and-conquer), Zachłanna (ang.
Analiza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe 15 stycznia 2019 Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r P Jaka wartość zostanie zwrócona
Rekurencja. Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)!
Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)! Pseudokod: silnia(n): jeżeli n == 0 silnia = 1 w przeciwnym
Algorytmy i Struktury Danych
Algorytmy i Struktury Danych Kopce Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 11 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych Wykład 11 1 / 69 Plan wykładu
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Problem Sortowania. Metoda Dziel i zwyciężaj - cd. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy
Wykład 5. Sortowanie w czasie liniowologarytmicznym
Wykład 5 Sortowanie w czasie liniowologarytmicznym 1 Sortowanie - zadanie Definicja (dla liczb): wejście: ciąg n liczb A = (a 1, a 2,, a n ) wyjście: permutacja (a 1,, a n ) taka, że a 1 a n 2 Zestawienie
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Problem Sortowania. Metoda Dziel i zwyciężaj - cd. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury
Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie
Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Metoda dziel i zwycięŝaj Dzielimy
Programowanie w VB Proste algorytmy sortowania
Programowanie w VB Proste algorytmy sortowania Sortowanie bąbelkowe Algorytm sortowania bąbelkowego polega na porównywaniu par elementów leżących obok siebie i, jeśli jest to potrzebne, zmienianiu ich
Podstawy algorytmiki i programowania - wykład 6 Sortowanie- algorytmy
1 Podstawy algorytmiki i programowania - wykład 6 Sortowanie- algorytmy Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com
Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy. Wykład 9. Karol Tarnowski A-1 p.
Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy Wykład 9 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji Zasada dziel i zwyciężaj Przykłady znajdowanie
Algorytmy i złożoność obliczeniowa. Wojciech Horzelski
Algorytmy i złożoność obliczeniowa Wojciech Horzelski 1 Tematyka wykładu Ø Ø Ø Ø Ø Wprowadzenie Poprawność algorytmów (elementy analizy algorytmów) Wyszukiwanie Sortowanie Elementarne i abstrakcyjne struktury
Teoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 4a: Rozwiązywanie rekurencji http://kiwi.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Czas działania programu Dla konkretnych
Wstęp do programowania
Wstęp do programowania Algorytmy na tablicach Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk (Wydział Fizyki) WP w. III Jesień 2013 1 / 23 Dwadzieścia pytań Zasady 1 Osoba 1 wymyśla hasło z ustalonej
Wstęp do programowania
Wstęp do programowania Rekurencja, metoda dziel i zwyciężaj Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2014 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. VIII Jesień 2014 1 / 27 Rekurencja Recursion See Recursion. P. Daniluk(Wydział
Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia
Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia 2017-10-13 Spis treści 1 Optymalne sortowanie 5 ciu elementów 1 2 Sortowanie metodą Shella 2 3 Przesunięcie cykliczne tablicy 3 4 Scalanie w miejscu dla ciągów
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie
Algorytmy sortujące i wyszukujące
Algorytmy sortujące i wyszukujące Zadaniem algorytmów sortujących jest ułożenie elementów danego zbioru w ściśle określonej kolejności. Najczęściej wykorzystywany jest porządek numeryczny lub leksykograficzny.
Programowanie proceduralne INP001210WL rok akademicki 2017/18 semestr letni. Wykład 3. Karol Tarnowski A-1 p.
Programowanie proceduralne INP001210WL rok akademicki 2017/18 semestr letni Wykład 3 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji (1) Co to jest algorytm? Zapis algorytmów Algorytmy
Podstawy Informatyki. Sprawność algorytmów
Podstawy Informatyki Sprawność algorytmów Sprawność algorytmów Kryteria oceny oszczędności Miara złożoności rozmiaru pamięci (złożoność pamięciowa): Liczba zmiennych + liczba i rozmiar struktur danych
Algorytmy i Struktury Danych. (c) Marcin Sydow. Introduction. QuickSort. Sortowanie 2. Limit. CountSort. RadixSort. Summary
Sortowanie 2 Zawartość wykładu: Własność stabilności algorytmów sortujących algorytm sortowania szybkiego () czy można sortować szybciej niż ze złożonością Θ(n log(n))? algorytm sortowania przez zliczanie
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 20
Informatyka A. Algorytmy
Informatyka A Algorytmy Spis algorytmów 1 Algorytm Euklidesa....................................... 2 2 Rozszerzony algorytm Euklidesa................................ 2 3 Wyszukiwanie min w tablicy..................................
Złożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to
Złożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to wprowadzili J. Hartmanis i R. Stearns. Najczęściej przez zasób rozumie się czas oraz pamięć dlatego
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Problem Sortowania, cd. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład
Laboratorium nr 7 Sortowanie
Laboratorium nr 7 Sortowanie 1. Sortowanie bąbelkowe (BbS) 2. Sortowanie przez wstawianie (IS) 3. Sortowanie przez wybieranie (SS) Materiały Wyróżniamy następujące metody sortowania: 1. Przez prostą zamianę
1. Analiza algorytmów przypomnienie
1. Analiza algorytmów przypomnienie T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein Wprowadzenie do algorytmów, rozdziały 1-4 Wydawnictwa naukowo-techniczne (2004) Jak mierzyć efektywność algorytmu?
Rekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie:
Rekurencje Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: T(n) = Θ(1) (dla n = 1) T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) (dla n
Techniki konstruowania algorytmów. Metoda dziel i zwyciężaj
Techniki konstruowania algorytmów Metoda dziel i zwyciężaj Technika dziel i zwyciężaj Aby rozwiązać problem techniką dziel i zwyciężaj musi on wykazywać własność podstruktury rozwiązanie problemu można
Problemy porządkowe zadania
Problemy porządkowe Problemy porządkowe zadania Problemy porządkowe to zbiór różnych zadań obliczeniowych związanych z porządkowaniem zbioru danych i wyszukiwaniem informacji na takim zbiorze. Rodzaje
[12] Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne).
![[12] Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne).](/thumbs/63/49952142.jpg "[12] Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne).")
[12] Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne). Tworzenie projektów informatycznych opiera się w dużej mierze na formułowaniu i implementacji algorytmów,
Podstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 7 i 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 7 i 8 1 / 44 Struktura danych - tablica
Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia
Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia 2015-10-09 Spis treści 1 Szybkie potęgowanie 1 2 Liczby Fibonacciego 2 3 Dowód, że n 1 porównań jest potrzebne do znajdowania minimum 2 4 Optymalny algorytm do
Sortowanie - wybrane algorytmy
Sortowanie - wybrane algorytmy Aleksandra Wilkowska Wydział Matematyki - Katedra Matematyki Stosowanej Politechika Wrocławska 2 maja 2018 1 / 39 Plan prezentacji Złożoność obliczeniowa Sortowanie bąbelkowe
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność
Zaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 5 część I 2 Iteracja Rekurencja Indukcja Iteracja Rekurencja Indukcja Algorytmy sortujące Rozwiazywanie
Algorytmy i Struktury Danych. (c) Marcin Sydow. Sortowanie Selection Sort Insertion Sort Merge Sort. Sortowanie 1. Listy dowiązaniowe.
1 Tematy wykładu: problem sortowania sortowanie przez wybór (SelectionSort) sortowanie przez wstawianie (InsertionSort) sortowanie przez złaczanie (MergeSort) struktura danych list dowiązaniowych Input:
Algorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne
Algorytmy i struktury danych Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Co dziś? Algorytmy zachłanne (greedyalgorithms) 2 Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Problem można podzielić na
Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s].
![Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s].](/thumbs/61/46207972.jpg "Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s].")
Zadanie 1. Wiązka zadań Od szczegółu do ogółu Rozważmy następujący algorytm: Dane: Algorytm 1: k liczba naturalna, A[1...2 k ] tablica liczb całkowitych. n 1 dla i=1,2,,k wykonuj n 2n s 1 dopóki s
Sortowanie. LABORKA Piotr Ciskowski
Sortowanie LABORKA Piotr Ciskowski main Zaimplementuj metody sortowania przedstawione w następnych zadaniach Dla każdej metody osobna funkcja Nagłówek funkcji wg uznania ale wszystkie razem powinny być
Luty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001
Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest
Zaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań praktycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania praktyczne z kolokwium zaliczeniowego z 19 czerwca 2014 (studia dzienne)
Programowanie dynamiczne cz. 2
Programowanie dynamiczne cz. 2 Wykład 7 16 kwietnia 2019 (Wykład 7) Programowanie dynamiczne cz. 2 16 kwietnia 2019 1 / 19 Outline 1 Mnożenie ciągu macierzy Konstruowanie optymalnego rozwiązania 2 Podstawy
Algorytmy i struktury danych Sortowanie IS/IO, WIMiIP
Algorytmy i struktury danych Sortowanie IS/IO, WIMiIP Danuta Szeliga AGH Kraków Spis treści I 1 Wstęp 2 Metody proste 3 Szybkie metody sortowania 4 Algorytmy hybrydowe Sortowanie hybrydowe Sortowanie introspektywne
Drzewa poszukiwań binarnych
1 Drzewa poszukiwań binarnych Kacper Pawłowski Streszczenie W tej pracy przedstawię zagadnienia związane z drzewami poszukiwań binarnych. Przytoczę poszczególne operacje na tej strukturze danych oraz ich
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Treści programowe. Złożoność obliczeniowa algorytmu na przykładach. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 1 Bożena Woźna-Szcześniak
Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek
Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Liniowe struktury danych - Lista Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych.
Złożoność algorytmów. Wstęp do Informatyki
Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa - liczba i rozmiar struktur danych wykorzystywanych w algorytmie Złożoność czasowa - liczba operacji elementarnych wykonywanych w trakcie przebiegu algorytmu Złożoność
Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne
Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii
Sortowanie bąbelkowe
1/98 Sortowanie bąbelkowe (Bubble sort) prosty i nieefektywny algorytm sortowania wielokrotnie przeglądamy listę elementów, porównując dwa sąsiadujące i zamieniając je miejscami, jeśli znajdują się w złym
Kolejka priorytetowa. Często rozważa się kolejki priorytetowe, w których poszukuje się elementu minimalnego zamiast maksymalnego.
Kolejki Kolejka priorytetowa Kolejka priorytetowa (ang. priority queue) to struktura danych pozwalająca efektywnie realizować następujące operacje na zbiorze dynamicznym, którego elementy pochodzą z określonego
Teoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 4: Iteracja, indukcja i rekurencja http://kiwi.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Słowem wstępu Iteracja, indukcja
Zasady analizy algorytmów
Zasady analizy algorytmów A więc dziś w programie: - Kilka ważnych definicji i opisów formalnych - Złożoność: czasowa i pamięciowa - Kategorie problemów - Jakieś przykłady Problem: Zadanie możliwe do rozwiązania
Algorytmy sortujące 1
Algorytmy sortujące 1 Sortowanie Jeden z najczęściej występujących, rozwiązywanych i stosowanych problemów. Ułożyć elementy listy (przyjmujemy: tablicy) w rosnącym porządku Sortowanie może być oparte na
Wykład 4: Iteracja, indukcja i rekurencja
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 4: Iteracja, indukcja i rekurencja Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Słowem wstępu Iteracja, indukcja i rekurencja to podstawowe zagadnienia pojawiające się przy
WYKŁAD 9. Algorytmy sortowania elementów zbioru (tablic) Programy: c4_1.c... c4_3.c. Tomasz Zieliński
WYKŁAD 9 Algorytmy sortowania elementów zbioru (tablic) Programy: c4_1.c... c4_3.c Tomasz Zieliński /* Przyklad 4.1 - SORTOWANIE TABLIC - metoda najprostsza */ #include #define ROZMIAR 11 void
Rekurencja. Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów.
Rekurencja Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów. Zgodnie ze znaczeniem informatycznym algorytm rekurencyjny to taki który korzysta z samego
INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH.
INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl SORTOWANIE Jest to proces ustawiania zbioru obiektów w określonym porządku. Sortowanie stosowane jest w celu ułatwienia późniejszego wyszukania
Wstęp do Programowania potok funkcyjny
Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline Zasada dziel i rządź i analiza złożoności 1 Zasada dziel i rządź i analiza złożoności Definition : Zbiór wartości: nieograniczonej
Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie
Więcej o sprawności algorytmów Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Załóżmy, że możemy wykonać dane zadanie przy użyciu dwóch algorytmów: jednego o złożoności czasowej
Laboratoria nr 1. Sortowanie
Laboratoria nr 1 Sortowanie 1. Sortowanie bąbelkowe (BbS) 2. Sortowanie przez wstawianie (IS) 3. Sortowanie przez wybieranie (SS) 4. Sortowanie przez zliczanie (CS) 5. Sortowanie kubełkowe (BS) 6. Sortowanie
5. Podstawowe algorytmy i ich cechy.
23 5. Podstawowe algorytmy i ich cechy. 5.1. Wyszukiwanie liniowe i binarne 5.1.1. Wyszukiwanie liniowe Wyszukiwanie jest jedną z najczęściej wykonywanych operacji na strukturach danych i dotyczy wszystkich,
Wstęp do programowania
Wstęp do programowania Złożoność obliczeniowa, poprawność programów Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. XII Jesień 2013 1 / 20 Złożoność obliczeniowa Problem Ile czasu
Sortowanie. Kolejki priorytetowe i algorytm Heapsort Dynamiczny problem sortowania:
Sortowanie Kolejki priorytetowe i algorytm Heapsort Dynamiczny problem sortowania: podać strukturę danych dla elementów dynamicznego skończonego multi-zbioru S, względem którego są wykonywane następujące
Algorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 5 i 6. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie
Algorytmy Grafowe dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie b.wozna@ujd.edu.pl Wykład 5 i 6 B. Woźna-Szcześniak (UJD) Algorytmy
Porządek symetryczny: right(x)
Porządek symetryczny: x lef t(x) right(x) Własność drzewa BST: W drzewach BST mamy porządek symetryczny. Dla każdego węzła x spełniony jest warunek: jeżeli węzeł y leży w lewym poddrzewie x, to key(y)
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 2 2 Problemy algorytmiczne Klasy problemów algorytmicznych Liczby Fibonacciego Przeszukiwanie tablic Największy
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 3 2 Złożoność obliczeniowa algorytmów Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Algorytm Hornera Przykłady rzędów
Jeszcze o algorytmach
Jeszcze o algorytmach Przykłady różnych, podstawowych algorytmów 11.01.2018 M. Rad Plan Powtórka Znajdowanie najmniejszego elementu Segregowanie Poszukiwanie przez połowienie Wstawianie Inne algorytmy
Zadanie projektowe 1: Struktury danych i złożoność obliczeniowa
Łukasz Przywarty 171018 Data utworzenia: 24.03.2010r. Mariusz Kacała 171058 Prowadzący: prof. dr hab. inż. Adam Janiak oraz dr inż. Tomiasz Krysiak Zadanie projektowe 1: Struktury danych i złożoność obliczeniowa
Wykład 2. Poprawność algorytmów
Wykład 2 Poprawność algorytmów 1 Przegląd Ø Poprawność algorytmów Ø Podstawy matematyczne: Przyrost funkcji i notacje asymptotyczne Sumowanie szeregów Indukcja matematyczna 2 Poprawność algorytmów Ø Algorytm
operacje porównania, a jeśli jest to konieczne ze względu na złe uporządkowanie porównywanych liczb zmieniamy ich kolejność, czyli przestawiamy je.
Problem porządkowania zwanego również sortowaniem jest jednym z najważniejszych i najpopularniejszych zagadnień informatycznych. Dane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb x 1, x 2,, x n. Wynik: Uporządkowanie
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze
Algorytmy i Struktury Danych
POLITECHNIKA KRAKOWSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ELEKTRYCZNEJ i KOMPUTEROWEJ Katedra Automatyki i Technik Informacyjnych Algorytmy i Struktury Danych www.pk.edu.pl/~zk/aisd_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew
Struktury danych i złozoność obliczeniowa. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złozoność obliczeniowa Prof. dr hab. inż. Jan Magott Formy zajęć: Wykład 1 godz., Ćwiczenia 1 godz., Projekt 2 godz.. Adres strony z materiałami do wykładu: http://www.zio.iiar.pwr.wroc.pl/sdizo.html
Sortowanie przez wstawianie Insertion Sort
Sortowanie przez wstawianie Insertion Sort Algorytm sortowania przez wstawianie można porównać do sposobu układania kart pobieranych z talii. Najpierw bierzemy pierwszą kartę. Następnie pobieramy kolejne,
Sylabus modułu: Matematyczne podstawy informatyki (kod modułu:03-mo2n-12-mpln)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia II stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Matematyczne podstawy informatyki (kod modułu:03-mo2n-12-mpln) 1. Informacje ogólne
Laboratoria nr 1. Sortowanie
Laboratoria nr 1 Sortowanie 1. Sortowanie bąbelkowe (BbS) 2. Sortowanie przez wstawianie (IS) 3. Sortowanie przez wybieranie (SS) 4. Sortowanie przez zliczanie (CS) 5. Sortowanie kubełkowe (BS) 6. Sortowanie
np. dla p=1 mamy T1(N) N/2 średni czas chybionego wyszukiwania z prawdopodobieństwem q:
Wykład 4 Wyszukiwania w tablicach posortowanych 1. Wyszukiwanie sekwencyjne w tablicy posortowanej 2. Wyszukiwanie binarne bez powtórzeń 3. Wyszukiwanie binarne z powtórzeniami 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
koordynator modułu dr hab. Michał Baczyński rok akademicki 2012/2013
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia II stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Matematyczne podstawy informatyki (03-MO2S-12-MPIn) 1. Informacje ogólne koordynator
Drzewa binarne. Drzewo binarne to dowolny obiekt powstały zgodnie z regułami: jest drzewem binarnym Jeśli T 0. jest drzewem binarnym Np.
Drzewa binarne Drzewo binarne to dowolny obiekt powstały zgodnie z regułami: jest drzewem binarnym Jeśli T 0 i T 1 są drzewami binarnymi to T 0 T 1 jest drzewem binarnym Np. ( ) ( ( )) Wielkość drzewa
Podstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Rekurencja. skomplikowane zadanie. Rekurencja
Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Rekurencja z łacińskiego oznacza to przybiec z powrotem - osiągniesz rzecz wielką, jeśli zawrócisz po to, by osiągnąć rzeczy małe Małe dziecko otrzymuje polecenie
Podstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 5 Rekurencja
Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Wykład 5 Rekurencja Rekurencja z łacińskiego oznacza to przybiec z powrotem - osiągniesz rzecz wielką, jeśli zawrócisz po to, by osiągnąć rzeczy małe Przykład: Małe