Algorytmy i Struktury Danych.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Algorytmy i Struktury Danych."

Transkrypt

1 Algorytmy i Struktury Danych. Metoda Dziel i zwyciężaj. Problem Sortowania, cd. Bożena Woźna-Szcześniak Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 1 / 47

2 Metoda dziel i zwyciężaj Idea Metoda dziel i zwyciężaj (ang. divide and conquer) jest metoda projektowania algorytmów, w której dany problem jest dzielony na kilka mniejszych podproblemów podobnych do poczatkowego problemu. Problemy te sa rozwiazywane rekurencyjnie, a następnie rozwiazania wszystkich podproblemów sa łaczone w celu utworzenia rozwiazania całego problemu. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 2 / 47

3 Metoda dziel i zwyciężaj W podejściu dziel i zwyciężaj każdy poziom rekursji składa się z następujacych trzech etapów: Dziel: Dzielimy problem na podproblemy. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 3 / 47

4 Metoda dziel i zwyciężaj W podejściu dziel i zwyciężaj każdy poziom rekursji składa się z następujacych trzech etapów: Dziel: Dzielimy problem na podproblemy. Zwyciężaj: Rozwiazujemy podproblemy rekurencyjnie, chyba że sa one małego rozmiaru i już nie wymagaja zastosowania rekursji - używamy wtedy bezpośrednich metod. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 3 / 47

5 Metoda dziel i zwyciężaj W podejściu dziel i zwyciężaj każdy poziom rekursji składa się z następujacych trzech etapów: Dziel: Dzielimy problem na podproblemy. Zwyciężaj: Rozwiazujemy podproblemy rekurencyjnie, chyba że sa one małego rozmiaru i już nie wymagaja zastosowania rekursji - używamy wtedy bezpośrednich metod. Połacz: Łaczymy rozwiazania podproblemów, aby otrzymać rozwiazanie całego problemu. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 3 / 47

6 Dziel i Zwyciężaj - przykłady zastosowań Znajdowanie największego i najmniejszego elementu zbioru. Wyszukiwanie binarne Potęgowanie liczb Sortowanie szybkie Sortowanie przez scalanie Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 4 / 47

7 Element minimalny i maksymalny zbioru Definicja problemu: Dane: n - liczba elementów zbioru a 1, a 2, a 3,...,a n - ciag elementów Szukane: Elementy największy i najmniejszy zbioru. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 5 / 47

8 Element minimalny i maksymalny zbioru Require: tablica A o rozmiarze n {A=[0,...,n-1]} Algorytm: MIN 1: min = 0; 2: for all i = 1 to n do 3: if A[i] < A[min] then 4: min = i; 5: end if 6: i = i + 1; 7: end for 8: return min; Algorytm: MAX 1: max = 0; 2: for all i = 1 to n do 3: if A[i] > A[max] then 4: max = i; 5: end if 6: i = i + 1; 7: end for 8: return max; Naiwne rozwiazanie problemu: Najpierw wyszukujemy element największy metoda bezpośrednia, a potem element najmniejszy. Złożoność obliczeniowa: O(n) Algorytm MAX : n - 1 operacji porównania Algorytm MIN : n - 1 operacji porównania Razem MAX i MIN : 2n - 2 operacji porównania Przykład: porównań Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 6 / 47

9 Element minimalny i maksymalny zbioru Można spróbować usprawnić rozwiazanie naiwne, znajdujac najpierw kandydatów na Min i Max. Takie wyszukanie realizowane jest poprzez porównywanie elementów parami. Następnie stosowany jest algorytm MIN, a potem Max (lub odwrotnie), na odpowiednim zbiorze kandydatów. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 7 / 47

10 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47

11 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Porównywanie parami: 2 < 5, 3 < 1, 8 < 9, 1 < 5, 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47

12 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Porównywanie parami: 2 < 5, 3 < 1, 8 < 9, 1 < 5, 4 Kandydaci na MIN: 2, 1, 8, 1, 4. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47

13 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Porównywanie parami: 2 < 5, 3 < 1, 8 < 9, 1 < 5, 4 Kandydaci na MIN: 2, 1, 8, 1, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MIN. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47

14 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Porównywanie parami: 2 < 5, 3 < 1, 8 < 9, 1 < 5, 4 Kandydaci na MIN: 2, 1, 8, 1, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MIN. Kandydaci na MAX: 5, 3, 9, 5, 4. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47

15 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Porównywanie parami: 2 < 5, 3 < 1, 8 < 9, 1 < 5, 4 Kandydaci na MIN: 2, 1, 8, 1, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MIN. Kandydaci na MAX: 5, 3, 9, 5, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MAX. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47

16 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Porównywanie parami: 2 < 5, 3 < 1, 8 < 9, 1 < 5, 4 Kandydaci na MIN: 2, 1, 8, 1, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MIN. Kandydaci na MAX: 5, 3, 9, 5, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MAX. Ostatni - nieparzysty element został dodany do obu zbiorów. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47

17 Element minimalny i maksymalny zbioru Przykład: Zbiór wejściowy: 2, 5, 3, 1, 8, 9, 1, 5, 4 Porównywanie parami: 2 < 5, 3 < 1, 8 < 9, 1 < 5, 4 Kandydaci na MIN: 2, 1, 8, 1, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MIN. Kandydaci na MAX: 5, 3, 9, 5, 4. Na tym zbiorze stosowany jest algorytm MAX. Ostatni - nieparzysty element został dodany do obu zbiorów. Wykorzystujemy tu własność podziału mówiac a, iż w każdym zbiorze skończonym zawsze znajduje się element największy i element najmniejszy. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 8 / 47

18 Element minimalny i maksymalny zbioru Szacowanie: Przy rozdzielaniu elementów wykonano 4 porównania. Algorytm MIN na zbiorze {2, 1, 8, 1, 4} wykonał 4 porównania i zwrócił wartość 1. Algorytm MAX również na zbiorze {5, 3, 9, 5, 4} wykonał 4 porównania i zwrócił wartość 9. W sumie wykonano = 12 porównań, co oznacza 25% wzrost wydajności w porównaniu z podejściem naiwnym (tam potrzebnych było 16 porównań)! Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 9 / 47

19 Element minimalny i maksymalny zbioru Require: tablica A o rozmiarze n {A = [0,...,n 1]} Algorytm: MIN-MAX 1: min = 0; max = 0; 2: for i = 0 to n 2 do 3: if A[i] < A[i + 1] then 4: if A[i] < A[min] then 5: min = i; 6: end if 7: if A[i + 1] > A[max] then 8: max = i + 1; 9: end if 10: else 11: if A[i + 1] < A[min] then 12: min = i + 1; 13: end if 14: if A[i] > A[max] then 15: max = i; 16: end if 17: end if 18: i = i + 2; 19: end for 20: if n is odd then 21: if A[n 1] < A[min] then 22: min = n 1; 23: end if 24: if A[n 1] > A[max] then 25: max = n 1; 26: end if 27: end if 28: return A[min] and A[max]; Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 10 / 47

20 Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne pozwala na szybkie wyszukiwanie wartości w posortowanych zbiorach (np. tablicy). Skuteczność wyszukiwania binarnego wynika z tego, że zamiast przegladać wszystkie elementy posortowanego zbioru po kolei, wykorzystujemy informację o tym, że jest on uporzadkowany. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 11 / 47

21 Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne pozwala na szybkie wyszukiwanie wartości w posortowanych zbiorach (np. tablicy). Skuteczność wyszukiwania binarnego wynika z tego, że zamiast przegladać wszystkie elementy posortowanego zbioru po kolei, wykorzystujemy informację o tym, że jest on uporzadkowany. Algorytm: Dana jest tablica A oraz poszukiwany element key. Sprawdź środkowy element tablicy. Jeśli jest równy key, to koniec. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 11 / 47

22 Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne pozwala na szybkie wyszukiwanie wartości w posortowanych zbiorach (np. tablicy). Skuteczność wyszukiwania binarnego wynika z tego, że zamiast przegladać wszystkie elementy posortowanego zbioru po kolei, wykorzystujemy informację o tym, że jest on uporzadkowany. Algorytm: Dana jest tablica A oraz poszukiwany element key. Sprawdź środkowy element tablicy. Jeśli jest równy key, to koniec. Jeśli środkowy element jest większy niż key, to poszukiwany element jeśli jest w tablicy, to jest w jej lewej części. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 11 / 47

23 Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne pozwala na szybkie wyszukiwanie wartości w posortowanych zbiorach (np. tablicy). Skuteczność wyszukiwania binarnego wynika z tego, że zamiast przegladać wszystkie elementy posortowanego zbioru po kolei, wykorzystujemy informację o tym, że jest on uporzadkowany. Algorytm: Dana jest tablica A oraz poszukiwany element key. Sprawdź środkowy element tablicy. Jeśli jest równy key, to koniec. Jeśli środkowy element jest większy niż key, to poszukiwany element jeśli jest w tablicy, to jest w jej lewej części. Jeśli środkowy element jest mniejszy niż key, to poszukiwany element jeśli jest w tablicy, to jest w jej prawej części. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 11 / 47

24 Wyszukiwanie binarne - przykład Znaleźć liczbę 9 w ciagu: 3, 5, 7, 8, 9, 12, 15. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 12 / 47

25 Twierdzenie 1 Cormen T.H., Leiserson Ch.E., Rivest R.L. Wprowadzenie do algorytmów, Roz. 4 (str. 73) T(n) = a T(n/b)+f(n) n - rozmiar problemu; rozmiar danych wejściowych. a - liczba podproblemów w rekurencji. n/b - rozmiar każdego podproblemu; w zasadzie zakłada się, że wszystkie podproblemy sa tego samego rozmiaru. f(n) - koszt operacji poza rekurencyjnym wywołaniem zawierajacy koszt podziału probelmu na podproblemy i koszt operacji scalenia rozwiazań. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 13 / 47

26 Twierdzenie 1 Cormen T.H., Leiserson Ch.E., Rivest R.L. Wprowadzenie do algorytmów, Roz. 4 (str. 73) T(n) = a T(n/b)+f(n) n - rozmiar problemu; rozmiar danych wejściowych. a - liczba podproblemów w rekurencji. n/b - rozmiar każdego podproblemu; w zasadzie zakłada się, że wszystkie podproblemy sa tego samego rozmiaru. f(n) - koszt operacji poza rekurencyjnym wywołaniem zawierajacy koszt podziału probelmu na podproblemy i koszt operacji scalenia rozwiazań. A. f(n) = O(n logb(a) ǫ ) implikuje, że T(n) = Θ(n logb(a) ) dla pewnegoǫ > 0 B. f(n) = Θ(n logb(a) log2 k (n)) implikuje, że T(n) = Θ(n logb(a) log k+1 2 (n)) dla pewnego k 0. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 13 / 47

27 Wyszukiwanie binarne - złożoność n log b(a) = n log 2(1) = n 0 = 1 (Przypadek2) T(n) = Θ(log 2 (n)) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 14 / 47

28 Wyszukiwanie binarne - Koszt algorytmu Złożoność pesymistyczna: Operacja dominujaca: porównywanie elementów. Koszt: T(n) = O(log 2 (n)) Złożoność optymistyczna: Operacja dominujaca: porównywanie elementów. Koszt: T(n) = O(log 2 (n)). Złożoność pamięciowa: O(1). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 15 / 47

29 Wyszukiwanie binarne - implementacja i n t binsearch ( i n t a [ ], i n t n, i n t key ) { i n t l e f t = 0, r i g h t = n 1; while ( l e f t <= r i g h t ) { i n t c u r r = ( l e f t + r i g h t ) / 2; i f ( key == a [ c u r r ] ) { r e t u r n c u r r ; } else i f ( key < a [ c u r r ] ) { r i g h t = c u r r 1; } else { l e f t = c u r r + 1; } } r e t u r n ( 1); } Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 16 / 47

30 Wyszukiwanie binarne Uwagi o przeszukiwaniu liniowym i binarnym Niech n= Algorytm wyszukiwania liniowego czyli przegladaj acy cała tablicę element po elemencie wykona porównań. Algorytm przeszukiwania binarnego wykona tylko log 2 (20000) = 14 porównań. Algorytm wyszukiwania binarnego wymaga jednak przekazania posortowanych danych. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 17 / 47

31 Potęgowanie liczby Problem: Oblicz a n, dla n N. Algorytm naiwny: a n = a a... a }{{} n Złożoność: Θ(n) Algorytm dziel i zwyciężaj: { a n a n/2 a = n/2, gdy n jest parzyste a n 1/2 a n 1/2 a, gdy n jest nieparzyste Złożoność: T(n) = T(n/2)+Θ(1) θ(log 2 (n)) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 18 / 47

32 Sortowanie szybkie Algorytm sortowania szybkiego (ang. quick sort) opracowany przez C.A.R. Hoarea w Algorytm QuickSortjest typowym algorytmem rekurencyjnym, pracujacym w oparciu o technikę dziel i zwyciężaj. Algorytm zakłada dekompozycję tablicy na mniejsze podtablice, które łatwiej jest posortować. Najczęściej stosowany algorytm sortujacy w praktyce. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 19 / 47

33 Sortowanie szybkie Idea Rozdzielić elementy danego ciagu na dwie części względem pewnego ustalonego elementu, tzw. elementu osiowego (ang. pivot), tak aby na lewo od niego znajdowały się elementy mniejsze, a na prawo elementy większe. x xx x Rekurencyjnie posortować elementy na lewo i na prawo od elementu osiowego. Połaczyć posortowane podtablice. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 20 / 47

34 Sortowanie szybkie - przykład Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 21 / 47

35 Sortowanie szybkie W celu podzielenia tablicy konieczne jest wykonanie dwóch operacji: znalezienie elementu osiowego i podzieleniu tablicy na dwie podtablice. przejrzeniu tablicy w celu umieszczenia jej elementów we właściwych podtablicach. Wybór dobrego elementu osiowego nie jest zadaniem łatwym (obie podtablice powinny mieć zbliżona wielkość). Najczęściej stosowane strategie wyboru elementu osiowego: wybranie pierwszego elementu tablicy. wybranie elementu znajdujacego się pośrodku tablicy. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 22 / 47

36 Sortowanie szybkie - procedura podziału Require: tablica A[p..q] 1: PARTITION(A, p, q) 2: x = A[p]; {element osiowy = A[p]} 3: i = p; 4: for all j = p+1 to q do 5: if A[j] x then 6: i = i + 1; 7: zamien(a[i],a[j]); 8: end if 9: end for 10: zamien (A[p], A[i]); 11: return i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 23 / 47

37 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 24 / 47

38 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 24 / 47

39 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 24 / 47

40 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 24 / 47

41 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j i j i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 24 / 47

42 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 25 / 47

43 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 25 / 47

44 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 25 / 47

45 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 25 / 47

46 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i j i j i j i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 25 / 47

47 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 26 / 47

48 Sortowanie szybkie - procedura podziału, przykład i j i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 26 / 47

49 Sortowanie szybkie - algorytm QuickSort (A, p, r) Jeśli p = r, to koniec Jeśli p < r, to q = PARTITION(A, p, r). QuickSort(A, p, q-1). QuickSort(A, q+1, r). Wywołanie: QuickSort(A, 1, n) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 27 / 47

50 Sortowanie szybkie - Złożoność pesymistyczna: Najgorszy przpadek dla algorytmu sortowania szybkiego to ciag danych już uporzadkowanych w kolejności odwrotnej do pożadanej. Jeśli Split jako medianę wybiera zawsze pierwszy element, to w wyniku rozdzielenia, jedna część młodsza będzie pusta, a druga starsza będzie zawierała o jeden element mniej niż w poprzednim kroku. Koszt Operacji rozdzielania dla n elementowego ciagu wynosi n 1 porównań. T(n) = T(n 1)+cn T(n 1) = T(n 2)+c(n 1) T(n 2) = T(n 3)+c(n 2). T(2) = T(1)+c(2) T(n) = T(1)+c n i=2 i = O(n2 ) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 28 / 47

51 Sortowanie szybkie - Złożoność optymistyczna: Podział jest zawsze perfekcyjnie zbalansowany. Element osiowy jest zawsze po środku. T(n) QuickSort (A, p, r) Θ(1) Jeśli p = r, to koniec Jeśli p < r, to Θ(n) (1) q = PARTITION(A, p, r). 2 T(n/2) (2) rekurencyjnie posortuj A[p..q 1] i A[q + 1..r]. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 29 / 47

52 Sortowanie szybkie - Złożoność optymistyczna: Podział jest zawsze perfekcyjnie zbalansowany. Element osiowy jest zawsze po środku. T(n) QuickSort (A, p, r) Θ(1) Jeśli p = r, to koniec Jeśli p < r, to Θ(n) (1) q = PARTITION(A, p, r). 2 T(n/2) (2) rekurencyjnie posortuj A[p..q 1] i A[q + 1..r]. { Θ(1) n = 1 T(n) = 2 T(n/2)+Θ(n) n > 1 Na podstawie Twierdzenia 1 można pokazać, że powyższe równanie rekurencyjne ma następujace rozwiazanie: Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 29 / 47

53 Sortowanie szybkie - Złożoność optymistyczna: Podział jest zawsze perfekcyjnie zbalansowany. Element osiowy jest zawsze po środku. T(n) QuickSort (A, p, r) Θ(1) Jeśli p = r, to koniec Jeśli p < r, to Θ(n) (1) q = PARTITION(A, p, r). 2 T(n/2) (2) rekurencyjnie posortuj A[p..q 1] i A[q + 1..r]. { Θ(1) n = 1 T(n) = 2 T(n/2)+Θ(n) n > 1 Na podstawie Twierdzenia 1 można pokazać, że powyższe równanie rekurencyjne ma następujace rozwiazanie: n log b(a) = n log 2(2) = n 1 = n (Przypadek2) T(n) = Θ(n log 2 (n)) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 29 / 47

54 Sortowanie szybkie - Koszt algorytmu Złożoność pesymistyczna: Operacja dominujaca: porównywanie elementów. Koszt: T(n) = O(n 2 ) Złożoność optymistyczna: Operacja dominujaca: porównywanie elementów. Koszt: T(n) = Θ(n log 2 (n)). Złożoność pamięciowa: O(1). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 30 / 47

55 Sortowanie szybkie - implementacja void q u icksort ( i n t a [ ], i n t l e f t, i n t r i g h t ) { i f ( l e f t < r i g h t ) { / / p o d z i a ł t a b l i c y i n t m = l e f t ; f o r ( i n t k = l e f t + 1 ; k <= r i g h t ; ++k ) { i f ( a [ k ] < a [ l e f t ] ) swap ( a[++m], a [ k ] ) ; } swap ( a [ l e f t ], a [m] ) ; / / Rekurencja q u icksort ( a, l e f t, m 1 ) ; q u icksort ( a, m + 1, r i g h t ) ; } } void swap ( i n t x, i n t y ) { i n t tmp = x ; x = y ; y = tmp ; } Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 31 / 47

56 Sortowanie przez scalanie Jeden z pierwszych algorytmów sortowania. Autor metody: John von Neumann Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 32 / 47

57 Sortowanie przez scalanie Jeden z pierwszych algorytmów sortowania. Autor metody: John von Neumann Idea: Dzielimy zadanie posortowania całego ciagu na dwa podzadania: posortowania jego lewej i prawej połowy. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 32 / 47

58 Sortowanie przez scalanie Jeden z pierwszych algorytmów sortowania. Autor metody: John von Neumann Idea: Dzielimy zadanie posortowania całego ciagu na dwa podzadania: posortowania jego lewej i prawej połowy. Gdy obie części tworza już ciagi uporzadkowane, wtedy scalamy je otrzymujac rozwiazanie. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 32 / 47

59 Sortowanie przez scalanie - przykład Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 33 / 47

60 Sortowanie przez scalanie - algorytm MergeSort A[1..n] Jeśli n = 1, to koniec Jeśli n 2, rekurencyjnie posortuj A[1..n/2] i A[n/2+1..n]. Scal obie połowy A w jedna posortowana tablicę. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 34 / 47

61 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 8 Minimum z 1 i 8 1 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 35 / 47

62 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 8 Minimum z 7 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 36 / 47

63 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 8 Minimum z 11 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 37 / 47

64 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 9 Minimum z 11 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 38 / 47

65 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 12 Minimum z 11 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 39 / 47

66 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 12 Minimum z 14 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 40 / 47

67 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 18 Minimum z 14 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 41 / 47

68 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Najmniejszy nieprzetworzony: 18 Minimum z 16 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 42 / 47

69 Sortowanie przez scalanie - Operacja scalania Zapamiętujemy pozycje najmniejszego elementu w każdej posortowanej połówce. Wstawiamy najmniejszy z dwóch wskazywanych elementów do tablicy pomocniczej. Operacje powtarzamy dopóty, dopóki nie posortujemy wszystkich elementów Najmniejszy nieprzetworzony: Nieprzetworzone: 18 i Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 43 / 47

70 Sortowanie przez scalanie - implementacja MergeSort ( i n t A [ ], i n t l e f t, i n t r i g h t ) { i f ( r i g h t > l e f t ) { mid = ( l e f t + r i g h t ) / 2; MergeSort (A, l e f t, mid ) ; MergeSort (A, mid +1, r i g h t ) ; merge (A, l e f t, mid, r i g h t ) } } Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 44 / 47

71 Sortowanie przez scalanie - implementacja void merge (T a, i n t l e f t, i n t mid, i n t r i g h t ) { i n t t = c a l l o c ( r i g h t +1, s i z e o f ( i n t ) ) ; i n t n = r i g h t l e f t + 1 ; i n t i = l e f t, j = mid + 1, k = 0 ; while ( i <= mid && j <= r i g h t ) { i f ( a [ i ] < a [ j ] ) t [ k ++] = a [ i + + ] ; else t [ k ++] = a [ j + + ] ; } while ( i <= mid ) { / / Dolaczanie koncowki p i e rwszej p o d t a b l i c y t [ k ++] = a [ i + + ] ; } while ( j <= r i g h t ) { / / Dolaczanie koncowki d r u g i e j p o d t a b l i c y t [ k ++] = a [ j + + ] ; } / / Kopiowanie t a b l i c y pomocniczej f o r ( k = 0 ; k < n ; ++k ) a [ l e f t + k ] = t [ k ] ; f r e e ( t ) } Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 45 / 47

72 Sortowanie przez scalanie - Koszt algorytmu T(n) MergeSort A[1..n] Θ(1) Jeśli n = 1, to koniec 2 T(n/2) Jeśli n 2, rekurencyjnie posortuj A[1..n/2] i A[n/2+1..n]. Θ(n) Scal obie połowy A w jedna posortowana tablicę. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 46 / 47

73 Sortowanie przez scalanie - Koszt algorytmu T(n) MergeSort A[1..n] Θ(1) Jeśli n = 1, to koniec 2 T(n/2) Jeśli n 2, rekurencyjnie posortuj A[1..n/2] i A[n/2+1..n]. Θ(n) Scal obie połowy A w jedna posortowana tablicę. T(n) = { Θ(1) n = 1 2 T(n/2)+Θ(n) n > 1 Na podstawie Twierdzenia 1 można pokazać, że powyższe równanie rekurencyjne ma następujace rozwiazanie: Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 46 / 47

74 Sortowanie przez scalanie - Koszt algorytmu T(n) MergeSort A[1..n] Θ(1) Jeśli n = 1, to koniec 2 T(n/2) Jeśli n 2, rekurencyjnie posortuj A[1..n/2] i A[n/2+1..n]. Θ(n) Scal obie połowy A w jedna posortowana tablicę. T(n) = { Θ(1) n = 1 2 T(n/2)+Θ(n) n > 1 Na podstawie Twierdzenia 1 można pokazać, że powyższe równanie rekurencyjne ma następujace rozwiazanie: n log b(a) = n log 2(2) = n 1 = n (Przypadek2) T(n) = Θ(n log 2 (n)) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 46 / 47

75 Sortowanie przez scalanie - Koszt algorytmu Złożoność pesymistyczna: Operacja dominujaca: porównywanie elementów. Koszt: T(n) = Θ(n log 2 (n)) Złożoność optymistyczna: Operacja dominujaca: porównywanie elementów. Koszt: T(n) = Θ(n log 2 (n)). Złożoność pamięciowa: O(1). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 2 47 / 47

Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9

Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9 Wstęp do programowania 1 Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Element minimalny i maksymalny zbioru Element minimalny

Bardziej szczegółowo

Strategia "dziel i zwyciężaj"

Strategia dziel i zwyciężaj Strategia "dziel i zwyciężaj" W tej metodzie problem dzielony jest na kilka mniejszych podproblemów podobnych do początkowego problemu. Problemy te rozwiązywane są rekurencyjnie, a następnie rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Sortowanie przez scalanie

Sortowanie przez scalanie Sortowanie przez scalanie Wykład 2 12 marca 2019 (Wykład 2) Sortowanie przez scalanie 12 marca 2019 1 / 17 Outline 1 Metoda dziel i zwyciężaj 2 Scalanie Niezmiennik pętli - poprawność algorytmu 3 Sortowanie

Bardziej szczegółowo

Analiza algorytmów zadania podstawowe

Analiza algorytmów zadania podstawowe Analiza algorytmów zadania podstawowe Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r 0 Jaka wartość zostanie zwrócona przez powyższą

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Organizacja wykładu. Problem Sortowania. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 1 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Problem Sortowania. Metoda Dziel i zwyciężaj. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy

Bardziej szczegółowo

Programowanie Proceduralne

Programowanie Proceduralne Programowanie Proceduralne Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 1 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Programowanie Proceduralne Wykład 1 1 / 59 Cel wykładów z programowania

Bardziej szczegółowo

Algorytm selekcji Hoare a. Łukasz Miemus

Algorytm selekcji Hoare a. Łukasz Miemus Algorytm selekcji Hoare a Łukasz Miemus 1 lutego 2006 Rozdział 1 O algorytmie 1.1 Problem Mamy tablicę A[N] różnych elementów i zmienną int K, takie że 1 K N. Oczekiwane rozwiązanie to określenie K-tego

Bardziej szczegółowo

Definicja. Ciąg wejściowy: Funkcja uporządkowująca: Sortowanie polega na: a 1, a 2,, a n-1, a n. f(a 1 ) f(a 2 ) f(a n )

Definicja. Ciąg wejściowy: Funkcja uporządkowująca: Sortowanie polega na: a 1, a 2,, a n-1, a n. f(a 1 ) f(a 2 ) f(a n ) SORTOWANIE 1 SORTOWANIE Proces ustawiania zbioru elementów w określonym porządku. Stosuje się w celu ułatwienia późniejszego wyszukiwania elementów sortowanego zbioru. 2 Definicja Ciąg wejściowy: a 1,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania. Dziel i rządź. Piotr Chrząstowski-Wachtel

Wstęp do programowania. Dziel i rządź. Piotr Chrząstowski-Wachtel Wstęp do programowania Dziel i rządź Piotr Chrząstowski-Wachtel Divide et impera Starożytni Rzymianie znali tę zasadę Łatwiej się rządzi, jeśli poddani są podzieleni Nie chodziło im jednak bynajmniej o

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Przygotuj algorytm programu - sortowanie przez wstawianie.

Zadanie 1 Przygotuj algorytm programu - sortowanie przez wstawianie. Sortowanie Dane wejściowe: ciąg n-liczb (kluczy) (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n ) Dane wyjściowe: permutacja ciągu wejściowego (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n) taka, że a 1 a 2 a 3... a n 1 a n. Będziemy

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Algorytm 1. Termin algorytm jest używany w informatyce

Bardziej szczegółowo

Sortowanie danych. Jolanta Bachan. Podstawy programowania

Sortowanie danych. Jolanta Bachan. Podstawy programowania Sortowanie danych Podstawy programowania 2013-06-06 Sortowanie przez wybieranie 9 9 9 9 9 9 10 7 7 7 7 7 10 9 1 3 3 4 10 7 7 10 10 10 10 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 Gurbiel et al. 2000

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Metoda dziel i zwyciężaj

Wykład 3. Metoda dziel i zwyciężaj Wykład 3 Metoda dziel i zwyciężaj 1 Wprowadzenie Technika konstrukcji algorytmów dziel i zwyciężaj. przykładowe problemy: Wypełnianie planszy Poszukiwanie (binarne) Sortowanie (sortowanie przez łączenie

Bardziej szczegółowo

Struktury Danych i Złożoność Obliczeniowa

Struktury Danych i Złożoność Obliczeniowa Struktury Danych i Złożoność Obliczeniowa Zajęcia 2 Algorytmy wyszukiwania, sortowania i selekcji Sortowanie bąbelkowe Jedna z prostszych metod sortowania, sortowanie w miejscu? Sortowanie bąbelkowe Pierwsze

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Metody konstrukcji algorytmów: Siłowa (ang. brute force), Dziel i zwyciężaj (ang. divide-and-conquer), Zachłanna (ang.

Bardziej szczegółowo

Analiza algorytmów zadania podstawowe

Analiza algorytmów zadania podstawowe Analiza algorytmów zadania podstawowe 15 stycznia 2019 Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r P Jaka wartość zostanie zwrócona

Bardziej szczegółowo

Rekurencja. Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)!

Rekurencja. Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)! Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)! Pseudokod: silnia(n): jeżeli n == 0 silnia = 1 w przeciwnym

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych Algorytmy i Struktury Danych Kopce Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 11 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych Wykład 11 1 / 69 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Problem Sortowania. Metoda Dziel i zwyciężaj - cd. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Sortowanie w czasie liniowologarytmicznym

Wykład 5. Sortowanie w czasie liniowologarytmicznym Wykład 5 Sortowanie w czasie liniowologarytmicznym 1 Sortowanie - zadanie Definicja (dla liczb): wejście: ciąg n liczb A = (a 1, a 2,, a n ) wyjście: permutacja (a 1,, a n ) taka, że a 1 a n 2 Zestawienie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Problem Sortowania. Metoda Dziel i zwyciężaj - cd. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury

Bardziej szczegółowo

Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie

Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Metoda dziel i zwycięŝaj Dzielimy

Bardziej szczegółowo

Programowanie w VB Proste algorytmy sortowania

Programowanie w VB Proste algorytmy sortowania Programowanie w VB Proste algorytmy sortowania Sortowanie bąbelkowe Algorytm sortowania bąbelkowego polega na porównywaniu par elementów leżących obok siebie i, jeśli jest to potrzebne, zmienianiu ich

Bardziej szczegółowo

Podstawy algorytmiki i programowania - wykład 6 Sortowanie- algorytmy

Podstawy algorytmiki i programowania - wykład 6 Sortowanie- algorytmy 1 Podstawy algorytmiki i programowania - wykład 6 Sortowanie- algorytmy Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy. Wykład 9. Karol Tarnowski A-1 p.

Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy. Wykład 9. Karol Tarnowski A-1 p. Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy Wykład 9 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji Zasada dziel i zwyciężaj Przykłady znajdowanie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i złożoność obliczeniowa. Wojciech Horzelski

Algorytmy i złożoność obliczeniowa. Wojciech Horzelski Algorytmy i złożoność obliczeniowa Wojciech Horzelski 1 Tematyka wykładu Ø Ø Ø Ø Ø Wprowadzenie Poprawność algorytmów (elementy analizy algorytmów) Wyszukiwanie Sortowanie Elementarne i abstrakcyjne struktury

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy informatyki

Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 4a: Rozwiązywanie rekurencji http://kiwi.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Czas działania programu Dla konkretnych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Algorytmy na tablicach Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk (Wydział Fizyki) WP w. III Jesień 2013 1 / 23 Dwadzieścia pytań Zasady 1 Osoba 1 wymyśla hasło z ustalonej

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Rekurencja, metoda dziel i zwyciężaj Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2014 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. VIII Jesień 2014 1 / 27 Rekurencja Recursion See Recursion. P. Daniluk(Wydział

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia

Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia 2017-10-13 Spis treści 1 Optymalne sortowanie 5 ciu elementów 1 2 Sortowanie metodą Shella 2 3 Przesunięcie cykliczne tablicy 3 4 Scalanie w miejscu dla ciągów

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy sortujące i wyszukujące

Algorytmy sortujące i wyszukujące Algorytmy sortujące i wyszukujące Zadaniem algorytmów sortujących jest ułożenie elementów danego zbioru w ściśle określonej kolejności. Najczęściej wykorzystywany jest porządek numeryczny lub leksykograficzny.

Bardziej szczegółowo

Programowanie proceduralne INP001210WL rok akademicki 2017/18 semestr letni. Wykład 3. Karol Tarnowski A-1 p.

Programowanie proceduralne INP001210WL rok akademicki 2017/18 semestr letni. Wykład 3. Karol Tarnowski A-1 p. Programowanie proceduralne INP001210WL rok akademicki 2017/18 semestr letni Wykład 3 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji (1) Co to jest algorytm? Zapis algorytmów Algorytmy

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki. Sprawność algorytmów

Podstawy Informatyki. Sprawność algorytmów Podstawy Informatyki Sprawność algorytmów Sprawność algorytmów Kryteria oceny oszczędności Miara złożoności rozmiaru pamięci (złożoność pamięciowa): Liczba zmiennych + liczba i rozmiar struktur danych

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych. (c) Marcin Sydow. Introduction. QuickSort. Sortowanie 2. Limit. CountSort. RadixSort. Summary

Algorytmy i Struktury Danych. (c) Marcin Sydow. Introduction. QuickSort. Sortowanie 2. Limit. CountSort. RadixSort. Summary Sortowanie 2 Zawartość wykładu: Własność stabilności algorytmów sortujących algorytm sortowania szybkiego () czy można sortować szybciej niż ze złożonością Θ(n log(n))? algorytm sortowania przez zliczanie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 20

Bardziej szczegółowo

Informatyka A. Algorytmy

Informatyka A. Algorytmy Informatyka A Algorytmy Spis algorytmów 1 Algorytm Euklidesa....................................... 2 2 Rozszerzony algorytm Euklidesa................................ 2 3 Wyszukiwanie min w tablicy..................................

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to

Złożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to Złożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to wprowadzili J. Hartmanis i R. Stearns. Najczęściej przez zasób rozumie się czas oraz pamięć dlatego

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Problem Sortowania, cd. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 7 Sortowanie

Laboratorium nr 7 Sortowanie Laboratorium nr 7 Sortowanie 1. Sortowanie bąbelkowe (BbS) 2. Sortowanie przez wstawianie (IS) 3. Sortowanie przez wybieranie (SS) Materiały Wyróżniamy następujące metody sortowania: 1. Przez prostą zamianę

Bardziej szczegółowo

1. Analiza algorytmów przypomnienie

1. Analiza algorytmów przypomnienie 1. Analiza algorytmów przypomnienie T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein Wprowadzenie do algorytmów, rozdziały 1-4 Wydawnictwa naukowo-techniczne (2004) Jak mierzyć efektywność algorytmu?

Bardziej szczegółowo

Rekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie:

Rekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: Rekurencje Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: T(n) = Θ(1) (dla n = 1) T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) (dla n

Bardziej szczegółowo

Techniki konstruowania algorytmów. Metoda dziel i zwyciężaj

Techniki konstruowania algorytmów. Metoda dziel i zwyciężaj Techniki konstruowania algorytmów Metoda dziel i zwyciężaj Technika dziel i zwyciężaj Aby rozwiązać problem techniką dziel i zwyciężaj musi on wykazywać własność podstruktury rozwiązanie problemu można

Bardziej szczegółowo

Problemy porządkowe zadania

Problemy porządkowe zadania Problemy porządkowe Problemy porządkowe zadania Problemy porządkowe to zbiór różnych zadań obliczeniowych związanych z porządkowaniem zbioru danych i wyszukiwaniem informacji na takim zbiorze. Rodzaje

Bardziej szczegółowo

[12] Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne).

[12] Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne). [12] Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne). Tworzenie projektów informatycznych opiera się w dużej mierze na formułowaniu i implementacji algorytmów,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki

Podstawy Informatyki Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 7 i 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 7 i 8 1 / 44 Struktura danych - tablica

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia

Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia 2015-10-09 Spis treści 1 Szybkie potęgowanie 1 2 Liczby Fibonacciego 2 3 Dowód, że n 1 porównań jest potrzebne do znajdowania minimum 2 4 Optymalny algorytm do

Bardziej szczegółowo

Sortowanie - wybrane algorytmy

Sortowanie - wybrane algorytmy Sortowanie - wybrane algorytmy Aleksandra Wilkowska Wydział Matematyki - Katedra Matematyki Stosowanej Politechika Wrocławska 2 maja 2018 1 / 39 Plan prezentacji Złożoność obliczeniowa Sortowanie bąbelkowe

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane algorytmy i struktury danych

Zaawansowane algorytmy i struktury danych Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 5 część I 2 Iteracja Rekurencja Indukcja Iteracja Rekurencja Indukcja Algorytmy sortujące Rozwiazywanie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych. (c) Marcin Sydow. Sortowanie Selection Sort Insertion Sort Merge Sort. Sortowanie 1. Listy dowiązaniowe.

Algorytmy i Struktury Danych. (c) Marcin Sydow. Sortowanie Selection Sort Insertion Sort Merge Sort. Sortowanie 1. Listy dowiązaniowe. 1 Tematy wykładu: problem sortowania sortowanie przez wybór (SelectionSort) sortowanie przez wstawianie (InsertionSort) sortowanie przez złaczanie (MergeSort) struktura danych list dowiązaniowych Input:

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne

Algorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Algorytmy i struktury danych Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Co dziś? Algorytmy zachłanne (greedyalgorithms) 2 Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Problem można podzielić na

Bardziej szczegółowo

Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s].

Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s]. Zadanie 1. Wiązka zadań Od szczegółu do ogółu Rozważmy następujący algorytm: Dane: Algorytm 1: k liczba naturalna, A[1...2 k ] tablica liczb całkowitych. n 1 dla i=1,2,,k wykonuj n 2n s 1 dopóki s

Bardziej szczegółowo

Sortowanie. LABORKA Piotr Ciskowski

Sortowanie. LABORKA Piotr Ciskowski Sortowanie LABORKA Piotr Ciskowski main Zaimplementuj metody sortowania przedstawione w następnych zadaniach Dla każdej metody osobna funkcja Nagłówek funkcji wg uznania ale wszystkie razem powinny być

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001

Luty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001 Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane algorytmy i struktury danych

Zaawansowane algorytmy i struktury danych Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań praktycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania praktyczne z kolokwium zaliczeniowego z 19 czerwca 2014 (studia dzienne)

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne cz. 2

Programowanie dynamiczne cz. 2 Programowanie dynamiczne cz. 2 Wykład 7 16 kwietnia 2019 (Wykład 7) Programowanie dynamiczne cz. 2 16 kwietnia 2019 1 / 19 Outline 1 Mnożenie ciągu macierzy Konstruowanie optymalnego rozwiązania 2 Podstawy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych Sortowanie IS/IO, WIMiIP

Algorytmy i struktury danych Sortowanie IS/IO, WIMiIP Algorytmy i struktury danych Sortowanie IS/IO, WIMiIP Danuta Szeliga AGH Kraków Spis treści I 1 Wstęp 2 Metody proste 3 Szybkie metody sortowania 4 Algorytmy hybrydowe Sortowanie hybrydowe Sortowanie introspektywne

Bardziej szczegółowo

Drzewa poszukiwań binarnych

Drzewa poszukiwań binarnych 1 Drzewa poszukiwań binarnych Kacper Pawłowski Streszczenie W tej pracy przedstawię zagadnienia związane z drzewami poszukiwań binarnych. Przytoczę poszczególne operacje na tej strukturze danych oraz ich

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Treści programowe. Złożoność obliczeniowa algorytmu na przykładach. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 1 Bożena Woźna-Szcześniak

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Liniowe struktury danych - Lista Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych.

Bardziej szczegółowo

Złożoność algorytmów. Wstęp do Informatyki

Złożoność algorytmów. Wstęp do Informatyki Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa - liczba i rozmiar struktur danych wykorzystywanych w algorytmie Złożoność czasowa - liczba operacji elementarnych wykonywanych w trakcie przebiegu algorytmu Złożoność

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii

Bardziej szczegółowo

Sortowanie bąbelkowe

Sortowanie bąbelkowe 1/98 Sortowanie bąbelkowe (Bubble sort) prosty i nieefektywny algorytm sortowania wielokrotnie przeglądamy listę elementów, porównując dwa sąsiadujące i zamieniając je miejscami, jeśli znajdują się w złym

Bardziej szczegółowo

Kolejka priorytetowa. Często rozważa się kolejki priorytetowe, w których poszukuje się elementu minimalnego zamiast maksymalnego.

Kolejka priorytetowa. Często rozważa się kolejki priorytetowe, w których poszukuje się elementu minimalnego zamiast maksymalnego. Kolejki Kolejka priorytetowa Kolejka priorytetowa (ang. priority queue) to struktura danych pozwalająca efektywnie realizować następujące operacje na zbiorze dynamicznym, którego elementy pochodzą z określonego

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy informatyki

Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 4: Iteracja, indukcja i rekurencja http://kiwi.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Słowem wstępu Iteracja, indukcja

Bardziej szczegółowo

Zasady analizy algorytmów

Zasady analizy algorytmów Zasady analizy algorytmów A więc dziś w programie: - Kilka ważnych definicji i opisów formalnych - Złożoność: czasowa i pamięciowa - Kategorie problemów - Jakieś przykłady Problem: Zadanie możliwe do rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Algorytmy sortujące 1

Algorytmy sortujące 1 Algorytmy sortujące 1 Sortowanie Jeden z najczęściej występujących, rozwiązywanych i stosowanych problemów. Ułożyć elementy listy (przyjmujemy: tablicy) w rosnącym porządku Sortowanie może być oparte na

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Iteracja, indukcja i rekurencja

Wykład 4: Iteracja, indukcja i rekurencja Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 4: Iteracja, indukcja i rekurencja Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Słowem wstępu Iteracja, indukcja i rekurencja to podstawowe zagadnienia pojawiające się przy

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 9. Algorytmy sortowania elementów zbioru (tablic) Programy: c4_1.c... c4_3.c. Tomasz Zieliński

WYKŁAD 9. Algorytmy sortowania elementów zbioru (tablic) Programy: c4_1.c... c4_3.c. Tomasz Zieliński WYKŁAD 9 Algorytmy sortowania elementów zbioru (tablic) Programy: c4_1.c... c4_3.c Tomasz Zieliński /* Przyklad 4.1 - SORTOWANIE TABLIC - metoda najprostsza */ #include #define ROZMIAR 11 void

Bardziej szczegółowo

Rekurencja. Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów.

Rekurencja. Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów. Rekurencja Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów. Zgodnie ze znaczeniem informatycznym algorytm rekurencyjny to taki który korzysta z samego

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH.

INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH. INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl SORTOWANIE Jest to proces ustawiania zbioru obiektów w określonym porządku. Sortowanie stosowane jest w celu ułatwienia późniejszego wyszukania

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do Programowania potok funkcyjny Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline Zasada dziel i rządź i analiza złożoności 1 Zasada dziel i rządź i analiza złożoności Definition : Zbiór wartości: nieograniczonej

Bardziej szczegółowo

Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie

Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Więcej o sprawności algorytmów Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Załóżmy, że możemy wykonać dane zadanie przy użyciu dwóch algorytmów: jednego o złożoności czasowej

Bardziej szczegółowo

Laboratoria nr 1. Sortowanie

Laboratoria nr 1. Sortowanie Laboratoria nr 1 Sortowanie 1. Sortowanie bąbelkowe (BbS) 2. Sortowanie przez wstawianie (IS) 3. Sortowanie przez wybieranie (SS) 4. Sortowanie przez zliczanie (CS) 5. Sortowanie kubełkowe (BS) 6. Sortowanie

Bardziej szczegółowo

5. Podstawowe algorytmy i ich cechy.

5. Podstawowe algorytmy i ich cechy. 23 5. Podstawowe algorytmy i ich cechy. 5.1. Wyszukiwanie liniowe i binarne 5.1.1. Wyszukiwanie liniowe Wyszukiwanie jest jedną z najczęściej wykonywanych operacji na strukturach danych i dotyczy wszystkich,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Złożoność obliczeniowa, poprawność programów Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. XII Jesień 2013 1 / 20 Złożoność obliczeniowa Problem Ile czasu

Bardziej szczegółowo

Sortowanie. Kolejki priorytetowe i algorytm Heapsort Dynamiczny problem sortowania:

Sortowanie. Kolejki priorytetowe i algorytm Heapsort Dynamiczny problem sortowania: Sortowanie Kolejki priorytetowe i algorytm Heapsort Dynamiczny problem sortowania: podać strukturę danych dla elementów dynamicznego skończonego multi-zbioru S, względem którego są wykonywane następujące

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 5 i 6. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie

Algorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 5 i 6. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie Algorytmy Grafowe dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie b.wozna@ujd.edu.pl Wykład 5 i 6 B. Woźna-Szcześniak (UJD) Algorytmy

Bardziej szczegółowo

Porządek symetryczny: right(x)

Porządek symetryczny: right(x) Porządek symetryczny: x lef t(x) right(x) Własność drzewa BST: W drzewach BST mamy porządek symetryczny. Dla każdego węzła x spełniony jest warunek: jeżeli węzeł y leży w lewym poddrzewie x, to key(y)

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 2 2 Problemy algorytmiczne Klasy problemów algorytmicznych Liczby Fibonacciego Przeszukiwanie tablic Największy

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 3 2 Złożoność obliczeniowa algorytmów Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Algorytm Hornera Przykłady rzędów

Bardziej szczegółowo

Jeszcze o algorytmach

Jeszcze o algorytmach Jeszcze o algorytmach Przykłady różnych, podstawowych algorytmów 11.01.2018 M. Rad Plan Powtórka Znajdowanie najmniejszego elementu Segregowanie Poszukiwanie przez połowienie Wstawianie Inne algorytmy

Bardziej szczegółowo

Zadanie projektowe 1: Struktury danych i złożoność obliczeniowa

Zadanie projektowe 1: Struktury danych i złożoność obliczeniowa Łukasz Przywarty 171018 Data utworzenia: 24.03.2010r. Mariusz Kacała 171058 Prowadzący: prof. dr hab. inż. Adam Janiak oraz dr inż. Tomiasz Krysiak Zadanie projektowe 1: Struktury danych i złożoność obliczeniowa

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Poprawność algorytmów

Wykład 2. Poprawność algorytmów Wykład 2 Poprawność algorytmów 1 Przegląd Ø Poprawność algorytmów Ø Podstawy matematyczne: Przyrost funkcji i notacje asymptotyczne Sumowanie szeregów Indukcja matematyczna 2 Poprawność algorytmów Ø Algorytm

Bardziej szczegółowo

operacje porównania, a jeśli jest to konieczne ze względu na złe uporządkowanie porównywanych liczb zmieniamy ich kolejność, czyli przestawiamy je.

operacje porównania, a jeśli jest to konieczne ze względu na złe uporządkowanie porównywanych liczb zmieniamy ich kolejność, czyli przestawiamy je. Problem porządkowania zwanego również sortowaniem jest jednym z najważniejszych i najpopularniejszych zagadnień informatycznych. Dane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb x 1, x 2,, x n. Wynik: Uporządkowanie

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2

Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych POLITECHNIKA KRAKOWSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ELEKTRYCZNEJ i KOMPUTEROWEJ Katedra Automatyki i Technik Informacyjnych Algorytmy i Struktury Danych www.pk.edu.pl/~zk/aisd_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złozoność obliczeniowa. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złozoność obliczeniowa. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złozoność obliczeniowa Prof. dr hab. inż. Jan Magott Formy zajęć: Wykład 1 godz., Ćwiczenia 1 godz., Projekt 2 godz.. Adres strony z materiałami do wykładu: http://www.zio.iiar.pwr.wroc.pl/sdizo.html

Bardziej szczegółowo

Sortowanie przez wstawianie Insertion Sort

Sortowanie przez wstawianie Insertion Sort Sortowanie przez wstawianie Insertion Sort Algorytm sortowania przez wstawianie można porównać do sposobu układania kart pobieranych z talii. Najpierw bierzemy pierwszą kartę. Następnie pobieramy kolejne,

Bardziej szczegółowo

Sylabus modułu: Matematyczne podstawy informatyki (kod modułu:03-mo2n-12-mpln)

Sylabus modułu: Matematyczne podstawy informatyki (kod modułu:03-mo2n-12-mpln) Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia II stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Matematyczne podstawy informatyki (kod modułu:03-mo2n-12-mpln) 1. Informacje ogólne

Bardziej szczegółowo

Laboratoria nr 1. Sortowanie

Laboratoria nr 1. Sortowanie Laboratoria nr 1 Sortowanie 1. Sortowanie bąbelkowe (BbS) 2. Sortowanie przez wstawianie (IS) 3. Sortowanie przez wybieranie (SS) 4. Sortowanie przez zliczanie (CS) 5. Sortowanie kubełkowe (BS) 6. Sortowanie

Bardziej szczegółowo

np. dla p=1 mamy T1(N) N/2 średni czas chybionego wyszukiwania z prawdopodobieństwem q:

np. dla p=1 mamy T1(N) N/2 średni czas chybionego wyszukiwania z prawdopodobieństwem q: Wykład 4 Wyszukiwania w tablicach posortowanych 1. Wyszukiwanie sekwencyjne w tablicy posortowanej 2. Wyszukiwanie binarne bez powtórzeń 3. Wyszukiwanie binarne z powtórzeniami 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Bardziej szczegółowo

koordynator modułu dr hab. Michał Baczyński rok akademicki 2012/2013

koordynator modułu dr hab. Michał Baczyński rok akademicki 2012/2013 Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia II stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Matematyczne podstawy informatyki (03-MO2S-12-MPIn) 1. Informacje ogólne koordynator

Bardziej szczegółowo

Drzewa binarne. Drzewo binarne to dowolny obiekt powstały zgodnie z regułami: jest drzewem binarnym Jeśli T 0. jest drzewem binarnym Np.

Drzewa binarne. Drzewo binarne to dowolny obiekt powstały zgodnie z regułami: jest drzewem binarnym Jeśli T 0. jest drzewem binarnym Np. Drzewa binarne Drzewo binarne to dowolny obiekt powstały zgodnie z regułami: jest drzewem binarnym Jeśli T 0 i T 1 są drzewami binarnymi to T 0 T 1 jest drzewem binarnym Np. ( ) ( ( )) Wielkość drzewa

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Rekurencja. skomplikowane zadanie. Rekurencja

Podstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Rekurencja. skomplikowane zadanie. Rekurencja Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Rekurencja z łacińskiego oznacza to przybiec z powrotem - osiągniesz rzecz wielką, jeśli zawrócisz po to, by osiągnąć rzeczy małe Małe dziecko otrzymuje polecenie

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 5 Rekurencja

Podstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 5 Rekurencja Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Wykład 5 Rekurencja Rekurencja z łacińskiego oznacza to przybiec z powrotem - osiągniesz rzecz wielką, jeśli zawrócisz po to, by osiągnąć rzeczy małe Przykład: Małe

Bardziej szczegółowo