STOSUNEK LICZB PIERWSZYCH DO ICH ILOCZYNÓW

Transkrypt

1 1 STOSUNEK LICZB PIERWSZYCH DO ICH ILOCZYNÓW W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych uzależnione, jest od ścisłego stosunku do swoich iloczynów, a ten wynika ze zdolności do tworzenia identycznych sum pośrednich do danej wielkości. Do 10-ciu mamy 4 liczby pierwsze ( ) = 17, tworzą one 4 identyczne sumy pośrednie do 10 [2 + 8 = 10, = 10, = 10, = 10, ( ) = 23, = 40/4 = 10]. Według tego schematu będzie się kształtował stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów, to znaczy na 40 liczb nieparzystych w danym przedziale może być 17 liczb pierwszych i 23 ich iloczynów. A tak to wygląda na wykresie liniowym. Tu suma 4 liczb pierwszych ( = 17), dopełniona sumą różnic do 10 ( = 23), pokazuje, jaki jest stosunek 17 liczb pierwszych /od 20 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 do 100/ do 23 ich iloczynów /21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 85, 87, 91, 93, 95, 99/ w = 40 liczbach, czyli w połowie danej wielkości. π(x) + Σ[p(p )] = ½N. Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary, czyli 8 liczb pierwszych (2, 3)(5, 7)(11, 13)(17, 19), a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15), (8 + 2 = 10). W dalszych rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = ( ) = = 25, liczb pierwszych do ( ) = = 25 ich iloczynów, a więc w piątym rzędzie stosunek ten się wyrównuje, jak i w szóstym rzędzie dochodzi równo po 5 liczb pierwszych i ich iloczynów wyrównując do 30, czyli liczby pierwsze do swoich iloczynów są w stosunku 1 : 1.

2 2

3 3 W dalszych rzędach 6 do 11 stosunek ten wynosi 17/33, to znaczy, że w przedziale 50 liczb (50 = ), jest 17 liczb pierwszych i 33 ich iloczynów, czyli liczby pierwsze są rozmieszczone pośród swoich iloczynów w ściśle określonym stosunku. Jednak zawsze zachowana jest zasada, że suma liczb pierwszych i ich iloczynów tworzy połowę danej wielkości /π(x) + Σ[p(p )] = ½N, = 170, 2:3:5/. W następnych rzędach/34 46/ stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów ulega podwojeniu z 17/43 do 34/86 ponieważ, obejmuje zakres = 120 liczb. Mamy tu jeszcze zakres = 60 liczb, = 70 liczb, = 100 liczb, = 130 liczb i = 140 liczb.

4 4 Nie możemy powiedzieć, że liczby pierwsze występują, co 12, 18, 20, 22, 40, 42, 68, czy 70 liczb, ale jest pewne, że przybywa ich w ścisłym stosunku do ich iloczynów w grupach po, 17 + ( 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93) liczb, po 34 + (66, 86, 96, 106, 116, 126, 136, 146, 156, 166, 176) liczb, po 51 + (119, 139, 169, 179, 199, 229), po = 270 liczb, po = 290 liczb, po = 300 liczb, po liczb, jak to widzimy w poniższej tabeli do liczb. Σ[p(p')] π(x) ½N

5

6 Trudno wyobrazić sobie bardziej równomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynów niż te, wynikające z tego jak następują jedne po drugich w stałych odległościach, co /18, 20, 22, czy 18, 60, 42, 23 5 (25) - 47, 25 7 (67) - 49/ liczb, dopełniając się wzajemnie w ściśle określonym stosunku (17/23, 17/33, 17/43,..) do połowy danej wielkości /½N/, jak to widzimy na poniższym wykresie liniowym. π(x) + Σ[p(p )] = ½N, 4(17) = {68 + [3(23) + 33] = 102} = 170

7 7 Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach, kiedy to na 180 liczb pierwszych przypada 360 ich iloczynów. Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów będzie coraz mniejszy, jak to widać na poniższym wykresie / Σ[p(p )] : π(x) = (25 : 25 = 30 : 30 = 1 : 1), (360 : 180 = 2 : 1), (3165 : 1055 = 3 : 1). Podobnie kształtuje się stosunek liczb pierwszych do połowy danej wielkości, a mianowicie jest stopniowo malejący ½N : π(x) = (50 : 25 = 60 : 30 = 2 : 1), (540 : 180 = 3 : 1), (4220 : 1055 = 4 : 1)

8 8 Gdy połowa danej wielkości rośnie w postępie geometrycznym f(½n) = 5( ), to ilość liczb pierwszych wraz z iloczynami większymi od 3 w postępie geometrycznym będącym sumą różnic pomiędzy ilością liczb pierwszych następnika i poprzednika π(x) /25 4 = 21/, oraz pomiędzy ilością ich iloczynów większych od 3 /Σ[p(p )]>3, 9 0 = 9/, f[π(x)] + Σ[p(p )>3] = = 30 = 3(10). Stąd ilość liczb pierwszych w stosunku do połowy danej wielkości asymptotycznie maleje, podczas gdy ilość ich iloczynów większych od 3 asymptotycznie rośnie. A tak wygląda to na wykresach radarowych: Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych, tworzy 35 kolumn przylegających do siebie według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3, które na wykresie radarowym układają się w 6 podwójnych prawoskrętnych wirów o stałym odstępie d (6)².

9 9 Zaś ten powyżej spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych, tworzy 42 kolumny przylegających do siebie w stałym odstępie d 126 = 18(7) liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3, które na wykresie radarowym układają się w 21 prawo i lewoskrętnych wirów o odstępie d L(60), P - (66).

10 10 Tutaj widzimy, jak spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych, tworzy 34 kolumny przylegających do siebie w stałym odstępie d 102 = 6(17) liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3, które na wykresie radarowym układają się w 17 prawo i lewoskrętnych wirów o stałym odstępie d (50) (52) Ten stały odstęp /50 52/ w 17 kolumnach powyższej tabeli ma decydujący wpływ na równomierny wzrost liczb pierwszych od do 87 i od do 120 zawsze, co 102 liczby i od do 150 i od do 179 zawsze, co 77 liczby.

11 11 Spiralnie rozwijające się liczby pierwsze uszeregowane w 10 kolumnach o stałym odstępie d 20 tworzą 3 podwójne lewoskrętne wiry o stałym odstępie d 3(6) = 18, zaczynające się od / = =41/, / = = = 61/, / = = 47/, / = = 49/, / = = 53/, / = = = 73/. Dla przejrzystości celowo pominięto tu 3 ciągi iloczynów liczby trzy / = 27, = 33, = 39,./, które nigdy nie tworzą równoległych par z liczbami pierwszymi, jak to czynią iloczyny liczb większych od 3 /5 25, 29 49/. Co ciekawe ilość iloczynów liczb większych od 3, jest zawsze liczbą o tej samej parzystości, co liczba ilości liczb pierwszych π(x). Suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą, a więc podzielną przez 2. Reguła połowy sumy i różnicy /liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3/, która pozwala nam obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc, z właściwości jakie określa parzystość liczb. Twierdzenie: Jeżeli liczba ilości iloczynów większych od 3 (Σ[p(p )]>3), jest tej samej parzystości co liczba ilości liczb pierwszych, to połowa ich sumy i różnicy dodana, gdy iloczynów liczb większych od 3, jest mniej niż liczb pierwszych, lub odjęta, gdy jest ich więcej niż liczb pierwszych, daje dokładną wartość π(x) do danej wielkości. Dowód: Do 100 mamy 25 liczb pierwszych i 9 iloczynów liczb większych od 3 /25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91, 95/. Połowa sumy i różnicy liczb o tej samej parzystości zsumowana, gdy iloczynów liczb większych od 3, jest mniej niż liczb pierwszych [25 + 9]/2 + [25 9]/2 = = 25, lub odjęta, gdy jest ich więcej niż liczb pierwszych [ ]/2 [ ]/2 = = 1229, daje dokładną wartość π(x) do danej wielkości. { [p(p )]>3 - (p)]/2 ± { [p(p )]>3 + (p)}/2 = π(x) [p(p )]>3 { [p(p )]>3 - (p)}/2 { [p(p )]>3 + (p)}/2 π(x) 9 8 ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± Graficzne ujęcie stosunku ilości liczb pierwszych do danej wielkości pokazuje, że jest on asymptotycznie malejący to znaczy, że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości, im większe liczby rozpatrujemy. Jeżeli w 100 liczbach na 50 nieparzystych, co druga, czyli 25 jest

12 12 pierwszych, to w 1000 ten stosunek jest, jak 168/500, czyli 0,336. Stąd gęstość ich rozmieszczenia systematycznie maleje. Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami. Przy czym zaobserwowano, że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy. Liczby pierwsze podlegają, bowiem jednemu prawu rozmieszczenia, prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest w stosunku malejącym zarówno, co do ilości liczb w danej wielkości, jak i ich iloczynów. 25:25=30:30=1:1, 50:25=60:30=360:180=2:1, 540:180=3165:1055=3:1, 4220:1055=4:1 Poniższy wykres radarowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp 3(6) w podwójnym ciągu liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3 (5, 7, - 23, 25, - 41, 43, - 59, 61, - 77,79), co sprawia że, pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności, zachowany jest stały odstęp 20, a 40 pomiędzy zwojami spirali, a tak to wygląda do 1000.