CHARAKTERYSTYKA KRZYWEJ PRZEJŚCIOWEJ WIENER BOGEN 1

Transkrypt

1 A R C H I W U M I N S T Y T U T U I N Ż Y N I E R I I L Ą D O W E J Nr 25 ARCHIVES OF INSTITUTE OF CIVIL ENGINEERING 2017 CHARAKTERYSTYKA KRZYWEJ PRZEJŚCIOWEJ WIENER BOGEN 1 Robert WOJTCZAK Deutsche Bahn Engineering & Consulting W artykule omówiono krzywą przejściową Wiener Bogen (krzywą wiedeńską) i dedykowaną jej nieliniową rampę przechyłkową. Przeanalizowano parametry geometryczne i kinematyczne krzywej, w tym krzywiznę i kształt rampy przechyłkowej. Podano także przykład obliczeniowy z zestawieniem wyników w formie tabelarycznej i graficznej. Wstępnie omówiono możliwości modernizacji istniejących łuków z krzywymi przejściowymi w postaci klotoidy lub paraboli 3-ego stopnia na krzywą przejściową wiedeńską. Słowa kluczowe: Wiener Bogen, krzywa wiedeńska, krzywa przejściowa. 1. WSTĘP Powszechnie stosowana krzywa przejściowa w postaci klotoidy z liniową rampą przechyłkową ma wiele wad, z których najważniejsza to nagłe pojawianie się dużych wartości kinematycznych. Nie można też zapominać o fakcie, że nie da się zapewnić nagłej zmiany pochylenia szyny (bez przerywania ciągłości szyny), jak to zakłada się przy liniowej rampie przechyłkowej. Ze względu na dynamikę ruchu pojazdu szynowego, naprężenia w torze i komfort jazdy powinno się dążyć do stosowania krzywych przejściowych, które zapewniają pożądane charakterystyki geometryczne i kinematyczne. Już od przełomu XIX-XX wieku inżynierowie (Helmert, Ruch, Wątorek, Schramm, Bloss i inni) zdawali sobie sprawę z faktu, że klotoida i liniowa rampa przechyłkowa dalekie są od optymalnego rozwiązania. W ostatnich latach opracowano kilka typów krzywych przejściowych (m.in. Hasslinger [1], Klauder [8]), z których na największą uwagę zasługuje krzywa nazywana po niemiecku Wiener Bogen (krzywa wiedeńska, Viennese curve). Podstawą teoretyczną tej krzywej przejściowej jest rozpatrywanie trajektorii jazdy środka ciężkości pojazdu kolejowego zamiast, jak w tradycyjnych rozwiązaniach, pociągu jako punktu materialnego poruszającego się wzdłuż osi toru. Takie podejście znacząco redukuje efekty bezwładnościowe poruszającego się pojazdu. Aby zapewnić właściwe prowadzenia pojazdu, należy uwzględnić jego obrót wywołany zmianą przechyłki toru. Własność tą osiągnięto przy założeniu, że krzywizna powinna zależeć od zmiany prze- 1 DOI /j

2 420 Robert Wojtczak chyłki. Przechyłka toru może być wykonana jako podniesienie szyny zewnętrznej łuku i obniżenie szyny wewnętrznej łuku lub w sposób tradycyjny. Zalecany jest pierwszy sposób, ze względu na spokojniejszy ruch środka ciężkości pojazdu, wyeliminowana jest także strata energii potrzebna na podniesienie pojazdu o połowę wartości przechyłki, jak to ma miejsce przy przechyłkach realizowanych przez podniesienie tylko jednej szyny. Określenie Wiener Bogen jest zarejestrowanym znakiem towarowym od 2002 roku, a rozwiązanie geometryczne krzywej przejściowej i rampy przechyłkowej zostało opatentowane przez koleje austriackie ÖBB w 2005 roku [1]. Wynalazca dr Herbert L. Hasslinger otrzymał w 2004 roku za pracę Moderne Geometrie der Gleisführung für Eisenbahnen von der Idee bis zur Realisierung, insbesondere als Wiener Bogen nagrodę Federalnego Ministerstwa Gospodarki i Pracy. Już pierwsze testy wykonane przez ÖBB w 2001 roku w pobliżu stacji Pöndorf okazały się sukcesem, tj. potwierdziły korzystny rozkład parametrów kinematycznych, a maszyniści potwierdzili zauważalną poprawę spokojności jazdy. Z czasem zaobserwowano także zmniejszone zużycie szyn w stosunku do tradycyjnej krzywej przejściowej w postaci klotoidy. Przeprowadzono szereg badań z wykorzystaniem akcelerometrów rozmieszczonych w różnych miejscach wagonu pomiarowego. Zaobserwowano znacznie mniejsze amplitudy drgań, szczególnie na końcach krzywej przejściowej, a ruch wagonu pomiarowego, jak uznano, miał bardziej charakter deterministyczny niż stochastyczny [2]. 2. KRZYWIZNA FUNKCJI I PRZECHYŁKA Krzywizna krzywej przejściowej wzdłuż jej długości dla 0 s L zdefiniowana jest w następujący sposób: K H (s) = K C ψ(s) h d2 ψ, ψ C ds (1) 2 gdzie: K C krzywizna na końcu krzywej przejściowej (m -1 ), ψ C kąt obrotu toru w przekroju na końcu krzywej przejściowej (rad), ψ(s) funkcja kąta obrotu toru w przekroju liczona jako wartość przechyłki podzielonej przez rozstaw osiowy szyn (rad), h wysokość projektowa (odległość środka obrotu wagonu od płaszczyzny szyn w przekroju). Rysunek 1 przedstawia przekrój toru na łuku z przechyłką i działające na pociąg przyspieszenia. Na rysunku tym v oznacza prędkość pociągu, g przyspieszenie ziemskie, natomiast x, y, z współrzędne kartezjańskiego układu współrzędnych.

3 Charakterystyka krzywej przejściowej Wiener Bogen 421 Rys. 1. Pociąg w łuku z przechyłką Funkcję kąta obrotu toru w przekroju dla przechyłki zmieniającej się do wartości 0 do Ψ C zapisuje się następująco: ψ(s) = ψ C f(s), (2) gdzie f(s) to funkcja kształtująca przechyłkę, tzw. funcja bazowa. Natomiast ogólnie dla przechyłki zmieniającej od wartości Ψ 1 do Ψ 2 wzór na kąt obrotu toru przyjmuje postać: ψ(s) = ψ 1 + (ψ 2 ψ 1 ) f(s) = ψ 1 + ψ f(s). (3) W ogólnym przypadku, gdzie krzywizna zmienia się od wartości K 1 do K 2, jak w łuku koszowym, wzór (1) na krzywiznę można wyrazić jako: K H (s) = K 1 + (K 2 K 1 ) f(s) h (ψ 2 ψ 1 ) d2 f ds 2 = K 1 + K f(s) h ψ d2 f ds 2 Związanie krzywizny z funkcją przechyłki i sprowadzenie obliczeń do środka ciężkości pojazdu jest tutaj bardzo istotne, ponieważ przy właściwie dobranej funcji zmiany przechyłki skutkuje ciągłym niezrównoważonym przyspieszeniem odśrodkowym i zmianą tego przyspieszenia (szarpnięciem poziomym) w całym przekroju pojazdu, a także redukuje naprężenia w torze. Mniejsze oddziaływania pomiędzy zestawami kołowymi i szynami przyczyniają się do redukcji kosztów utrzymania toru i zwiększenia komfortu podróży [4]. (4)

4 422 Robert Wojtczak 3. FUNKCJE BAZOWE Opracowano sześć postaci funkcji bazowych. W najpowszechniejszym użyciu jest funkcja w formie wielomianu siódmego stopnia (5), zapisywana symbolem HHMP7. Spowodowane jest to prostym zapisem funkcji i pożądanymi właściwościami jej pochodnych. Na rysunku 2 pokazano wykres funkcji bazowej HHMP7, a na rysunkach 3 6 wykresy jej kolejnych pochodnych. f(s) = 35 ( s L )4 84 ( s L ) ( s L )6 20 ( s L )7 (5) Rys. 2. Wykres funkcji bazowej HHMP7 Rys. 3. Wykres pierwszej pochodnej funkcji bazowej HHMP7

5 Charakterystyka krzywej przejściowej Wiener Bogen 423 Rys. 4. Wykres drugiej pochodnej funkcji bazowej HHMP7 Rys. 5. Wykres trzeciej pochodnej funkcji bazowej HHMP7

6 424 Robert Wojtczak Rys. 6. Wykres czwartej pochodnej funkcji bazowej HHMP7 Różnice pomiędzy funkcjami bazowymi są niewielkie [3] i osiągają wartości maksymalne w 1/3 i 2/3 długości rampy przechyłkowej. Dla rampy z przechyłką 150 mm maksymalna różnica wyniesie jedynie 8 mm. Najczęściej stosowana funkcja bazowa HHMP7 daje wartości praktycznie identyczne z funkcjami HHMS5 i HHMC5. Na rysunku 7 pokazano różnice są pomiedzy poszczególnymi funkcjami bazowymi. Rys. 7. Porównanie funkcji bazowych

7 Charakterystyka krzywej przejściowej Wiener Bogen 425 Sposób zdefiniowania krzywizny (1) i (4) powoduje bardzo interesujący kształt funkcji krzywizny toru. Jest ona mianowicie dodatkowo wygięta w przeciwnych kierunkach na początku i końcu krzywej przejściowej (rysunek 9). W połączeniu prostej z łukiem, na początku krzywej przejściowej krzywizna ma odwrotny znak, co powoduje że oś toru odchyla się w stronę przeciwną niż zwrot łuku, do którego ma doprowadzić. Podobna sytuacja jest na końcu krzywej przejściowej wartość promienia przechodzi przez wartość promienia na łuku, osiąga pewną wartość minimalną, a następnie zaczyna rosnąć aż do osiągnięcia wartości na łuku. Taka sama sytuacja zachodzi w łuku koszowym i ze względu na mniejsze promienie użyte w pokazanym przykładzie jest dużo lepiej widoczna. Jedną z zalet takiego zachowania się krzywej przejściowej jest wirtualne zwiększenie odległości pomiędzy prostą i łukiem, a co za tym idzie umożliwienie wprowadzenia do układu znacznie dłużej krzywej przejściowej. Przyjęcie wysokości projektowej h równej zero oznacza nieuwzględnienie drugiej pochodnej funkcji kształtu przechyłki. Krzywizna toru będzie miała wtedy kształt zwykłej litery S, bez dodatkowych wygięć na końcach, które powstają przy uwzględnieniu drugiej pochodnej funkcji bazowej. 4. PARAMETRY GEOMETRYCZNE I KINEMATYCZNE Na rysunku 8 pokazano zestaw najważniejszych w praktyce projektowej parametrów charakteryzujących krzywą przejściową w połączeniu pomiędzy prostą i łukiem kołowym. Charakter tych wykresów jest unikatowy i niespotykany w powszechnie stosowanych krzywych przejściowych, a najbardziej przypomina wykresy parametrów dla sinusoidalnej krzywej przejściowej. Krzywizna osi toru ma kształt litery S z dodatkowymi odgięciami na końcach i gładko łączy się z prostą i łukiem. Przechyłka toru ma kształt litery S bez odgięć i również łączy się płynnie ze stałymi wartościami przechyłki na prostej i łuku. Z powodu charakteru krzywizny niezrównoważone przyspieszenie boczne ma kształt litery S z dodatkowymi odgięciami na końcach, w przybliżeniu gładko łączącymi się z wartościami stałymi na prostej i łuku. W trakcie jazdy po takiej krzywej przejściowej (przy prawidłowo zaprojektowanej przechyłce), na początkowej jej części przyspieszenie odśrodkowe ma zwrot do wewnątrz łuku (powstaje nadmiar przechyłki). Przyspieszenie boczne osiąga wartość maksymalną jeszcze przed łukiem, jednak to przekroczenie jest bardzo niewielkie i w obliczeniach można je pominąć. Prędkość zmiany przechyłki (RCC), zwana także prędkością podnoszenia koła na rampie przechyłkowej, ma kształt dzwonu płynnie przechodzącego od zera na początku krzywej przejściowej, poprzez wartość maksymalną w środku, do zera na jej końcu.

8 426 Robert Wojtczak Rys. 8. Wykresy parametrów geometrycznych i kinematycznych dla krzywej wiedeńskiej Prędkość zmiany niezrównoważonego przyspieszenia (Acceleration Variation) również ma kształ dzwonu przybierającego wartości zero na początku i końcu krzywej przejściowej. Dodatkowo, ze względu na charatkter krzywizny, początkowa i końcowa część wykresu jest poniżej osi odciętych, co oznacza, że przyspieszenie odśrodkowe na tych odcinkach maleje. Jest to zatem unikatowa własność krzywej wiedeńskiej, nie występująca w innych znanych krzywych przejściowych. Na uwagę zasługują także wykresy oznaczone jako drcc i drcd, tzw. wielkości udaru (snap); określające jak szybko zmieniają się funcje prędkości zmiany przechyłki (RCC) i prędkości zmiany niezrównoważonego przyspieszenia (Acceleration Variation). Wykresy te mają, w odróżnieniu od ich odpowiedników dla klotoidy, płynny i spokojny charakter. Jedynie wykres drcd ma niewielkie, nieznaczące skoki na końcach krzywej przejściowej. Wykres dla klotoidy w tych miejscach charakteryzuje się nagłymi skokami o teoretycznie nieskończonej wartości, a na pozostałej części krzywej przyjmują wartość zero. Znacznie lepszym rozwiązaniem jest bardzo mały, o kontrolowanej wartości skok, wraz z bardzo niewielkimi i płynnie zmieniającymi sie wartościami wzdłuż krzywej przejściowej. W ten sposób dynamiczne oddziaływanie przejeżdżającego taboru kolejowego na tor zredukowane jest do minimum.

9 Charakterystyka krzywej przejściowej Wiener Bogen PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Do analizy obliczeniowej wybrano układ geometryczny złożony z prostej, krzywej przejściowej o długości 150 m, łuku kołowego o promieniu 1000 m z przechyłką 70 mm, a następnie krzywej przejściowej o długości 70 m i łuku kołowego o promieniu 800 m z przechyłką 115 mm. Prędkość pociągów przyjęto równą 120 km/h. Krzywiznę takiego układu pokazano na rysunku 9. Współrzędne pierwszej krzywej przejściowej obliczone z dużą dokładnością opublikowano na stronie www autora [10]. Rys. 9. Krzywizna analizowanego toru Wartości obliczonych parametrów kinematycznnych dla krzywych przejściowych KP1 i KP2 zestawiono w tabeli 1. Według autora, przy porównaniu krzywej wiedeńskiej z klotoidą powinno się założyć równoważność geometryczną układu, tj. znaleźć taką długość jednej z krzywych, żeby przesunięcia jednego układu względem drugiego były minimalne. Dla krzywej KP1 w nawiasach podano wartości dla klotoidy, która może zastąpić krzywą wiedeńską bez zmiany położenia prostej i łuku i z minimalnymi przesunięciami na długości krzywej przejściowej. Tab. 1. Wartości kinematyczne dla krzywych przejściowych KP1 i KP2 (w nawiasach podano wartości dla równoważnej klotoidy) Parametr Krzywa prz. KP1 z przechyłką 0-70 mm Wartości maksymalne Krzywa prz. KP2 z przechyłką mm Niedobór przechyłki [mm] 101,8 (99,9) 111,7 Niezrówn. przyspieszenie odśrodkowe [m/s 2 ] 0,665 (0,651) 0,730 Prędkość zmiany przechyłki [mm/s] 34,0 (31,5) 46,8 Prędkość zmiany niedoboru przechyłki [mm/s] 56,0 (45,0) 44,1 Prędkość zmiany niezr. przysp. odśr. [m/s 3 ] 0,366 (0,293) 0,288

10 428 Robert Wojtczak Ze wzoru (1) wynika, że funkcja krzywizny bezpośrednio zależy od wartości przechyłki projektowanej dla danego łuku. Zmiana przechyłki w eksploatowanym torze (np. podniesienie przechyłki ze względu na konieczność zwiększenia prędkości jazdy pociągów) powinna wiązać się także z koniecznością regulacji położenia łuku i krzywych przejściowych. Nie wynika to wprost z parametrów kinematycznych, ale z faktu, że równanie różniczkowe (1) nie będzie spełnione, a co za tym idzie na tor mogą działać zwiększone siły. Na rysunku 10 pokazano wpływ podniesienia przechyłki z 70 do 100 mm (krzywa przejściowa KP1) i ze 115 do 150 mm (krzywa przejściowa KP2) na parametry kinematyczne. Zmiana ta nie spowodowała jakichkolwiek nieregularności w wykresach niezrównoważonego przyspieszenia odśrodkowego (Lateral Acceleration), prędkości zmiany przechyłki (RCC), czy prędkości zmiany niezrównoważonego przyspieszenia (Acceleration Variation). Wykresy odnoszące się do zwiększonej przechyłki pokazano kolorem czarnym. Dla małych regulacji przechyłek może okazać się, że regulacja toru w planie jest niekonieczna, gdyż mieści się w granicach dokładności wykonania robót. Rys. 10. Porównanie parametrów kinematycznych dla różnych wartości przechyłki Dokonano też porównania zestawów prosta krzywa przejściowa łuk kołowy dla łuków z krzywą przejściową w postaci krzywej wiedeńskiej (Układ 1) i w postaci klotoidy (Układ 2). Założono niezmienne położenie prostej i łuku w obydwu układach, różnicą miały być rodzaje krzywych przejściowych i ich długości wynikające z położenia prostych i łuków. Za odniesienie przyjęto łuk o promieniu 1000 m z krzywą wiedeńską o długości 150 m (jak w przykładzie powyżej). Tak położone prostą i łuk można połączyć za pomocą klotoidy o długości 74,054 m.

11 Charakterystyka krzywej przejściowej Wiener Bogen 429 Uzyskane odległości pomiędzy obydwoma układami okazały się zaskakująco niewielkie maksymalnie wyniosły około ±2,5 mm. Pomierzone odległości pokazano w tabeli 2. Tab. 2. Odległości pomiędzy łukiem z krzywą wiedeńską (Układ 1) i łukiem z klotoidą (Układ 2) Dystans [m] Odległość [m] Układ 1 Układ 2 Rodzaj elementu Układ 1 Rodzaj elementu Układ 2 0 0,000 koniec prostej /Wiener Bogen prosta 10 0,000 Wiener Bogen prosta 20 0,001 Wiener Bogen prosta 30 0,001 Wiener Bogen prosta 40 0,001 Wiener Bogen klotoida 50-0,001 Wiener Bogen klotoida 60-0,002 Wiener Bogen klotoida 70-0,001 Wiener Bogen klotoida 80 0,001 Wiener Bogen klotoida 90 0,002 Wiener Bogen klotoida 100 0,001 Wiener Bogen klotoida 110-0,001 Wiener Bogen klotoida 120-0,002 Wiener Bogen łuk kołowy 130-0,001 Wiener Bogen łuk kołowy 140-0,000 Wiener Bogen łuk kołowy 150 0,000 Wiener Bogen / początek łuku łuk kołowy 6. MODERNIZACJA ISTNIEJĄCYCH ŁUKÓW Z uzyskanych wyników odległości (tabela 2) można wnioskować, że (przynajmniej dla wartości promienia i długości krzywej przejściowej jak w przykładzie lub większych) różnice pomiędzy dwoma układami są znikomo małe i mieszczą się w granicach dokładności wykonania robót torowych. Zastąpienie jednak tej krzywej klotoidą mogłoby wymagać wydłużenia rampy przechyłkowej w stronę prostej i w stronę łuku. Interesujące jest, że łuki koszowe połączone krzywą wiedeńską są niemożliwe do połączenia klotoidą, gdyż przecinają się w obrębie krzywej przejściowej. Fakt, że krzywe przejściowe wiedeńskie można zastąpić krótszymi klotoidami, można wykorzystać przy modernizacji istniejących układów torowych, zastępując klotoidy ich dłuższymi odpowiednikami typu Wiener Bogen. Dużą zaletą takiej metody jest brak konieczności zmiany położenia zarówno prostej, jak i łuku kołowego. Ta metoda będzie najskuteczniejsza wtedy, gdy w istniejącym układzie o maksymalnej prędkości decyduje prędkość podnoszenia koła na rampie przechyłkowej lub przyrost niezrównoważonego przyspieszenia odśrodkowego, gdyż dłuższa rampa przechyłkowa złagodzi te parametry i rozłoży na większą długość. Mniej korzyści odniesie się w przypadku, gdy o maksymalnej prędkości decydował

12 430 Robert Wojtczak niedobór przechyłki na łuku. Tego parametru krzywa wiedeńska nie może poprawić. Do obliczenia długości krzywej Wiener Bogen z rampą HHMP7, która ma zastąpić klotoidę, można posłużyć się wzorem (8), który wynika z przekształcenia wzórów (6) i (7) na odsunięcia łuku o promieniu R C od prostej [3], odpowiednio dla krzywej przejściowej Wiener Bogen i klotoidy. n W = L W 2 72R C h ψ C (6) n K = L K 2 24R C (7) Przyrównując obydwa odsunięcia otrzymujemy po przekształceniach: L W = 3L K R C h ψ C (8) Zatem przy modernizacji, mając dane parametry klotoidy, można wyliczyć, jaką długość miałaby krzywa przejściowa wiedeńska. Dla przykładu, dla promienia 500 m, długości klotoidy 100 m i przechyłce 100 mm, długość potrzebnej krzywej przejściowej wiedeńskiej (przy h = 1,8 m) wyniesie 185,257 m. Wyliczona nowa krzywa przejściowa jest zdecydowanie dłuższa niż jej odpowiednik typu klotoidy i nasunie się częściowo na prostą i łuk kołowy. Należy zatem najpierw upewnić się, że te części prostej i łuku mogą być zajęte przez krzywą przejściową. Położenie obiektu inżynierskiego, rozjazdu lub innego łuku może uniemożliwić zamianę klotoidy na krzywą wiedeńską. W innych przypadkach taka zamiana wydaje się być bardzo korzystna. 7. PODSUMOWANIE Krzywa przejściowa Wiener Bogen okazała się rozwiązaniem, które zyskało dużą popularność i akceptację w Austrii [9] kraju, w którym została opracowana. Jej niewątpliwe zalety w postaci bardzo płynnych funkcji krzywizny i przechyłki, specjalnie zaprojektowanych, by zoptymalizować oddziaływania pojazd szynowy tor (siły zewnętrzne i wewnętrzne, przyspieszenia odśrodkowe, szarpnięcia poziome, itd.), uzyskały potwierdzenie w szeregu badań doświadczalnych. Związanie funcji krzywizny i przechyłki oraz projektowanie zgodnie z zasadą środka ciężkości pojazdu pozwala na osiągnięcie większego komfotu i bezpieczeństwa jazdy oraz minimalizację kosztów związanych z utrzymaniem toru, takich jak regulacja położenia toru czy wymiana zużytych części nawierzchni kolejowej. W czasach, gdy od wielu lat inżynierowie posługują się zaawansowanymi narzędziami komputerowymi, argument, że zaletą klotoidy czy paraboli 3-ego stopnia jest jej nieskomplikowana forma, powinien mieć drugorzędne znaczenie.

13 LITERATURA Charakterystyka krzywej przejściowej Wiener Bogen 431 [1] Gleis mit Übergansbogen und Kräfteminimaler Überhöhungsrampe, AT B. Wien, Patentamt Republik Österreich [2] Hasslinger H. Measurement proof for the superiority of a new track alignment design element, the so-called Viennese Curve. Berlin, ZEVrail [3] Hasslinger H. Das Konzept moderner Gleislinienführung. Wien, ETR [4] Hasslinger H. Der Wiener Bogen und seine Grundlagen. Wuppertal, VDVmagazin [5] Hasslinger H. Fahrzeugdynamik und Schienenbiegung. Hamburg, Tetzlaff-Verlag [6] Hasslinger H. Eine moderne Trassierungsvorschrift mit optimaler Regelüberhöhung. Berlin, Der Eisenbahningenieur [7] Hasslinger H. Wankbewegung und Trassierung. Wien, ETR [8] Klauder L., Chrismer S., Elkins J., Improved Spiral Geometry for High Speed Rail. Transportation Research Record Journal of the Transportation Research Board [9] Linienführung von Gleisen, B 50 - Oberbau - Technische Grundsätze. B 50 - Teil 2, Wien, ÖBB GB Fahrweg Technik [10] CHARACTERISTIC OF WIENER BOGEN TRANSITION CURVE Summary The article describes the so-called Wiener Bogen (Viennese Curve) and its non-linear cant ramp. Some of its geometrical and kinematical parameters have been analyzed, including curvature and shape of the cant ramp. An example of calculations has been provided with results shown in both tables and graphically. The possibility of modernization of the existing railway curves with clothoids or cubic parabolas by replacing them by curves with Viennese Curves has been initially discussed. Keywords: Wiener Bogen, viennese curve, transition curve. Dane autora: Mgr inż. Robert Wojtczak Deutsche Bahn Engineering & Consulting robert.wojtczak@yahoo.com telefon: