Matematyczne odwzorowanie osi drogi

Transkrypt

1 Metody komputerowe w inżynierii komunikacyjnej Matematyczne odwzorowanie osi drogi doc. dr inż. Tadeusz Zieliński r. ak. 2013/14

2 Układ wykładu elementy składowe osi metody projektowania metoda składania osi z elementów osie polinomialne

3 Elementy składowe proste łuki kołowe krzywe przejściowe: cel stosowania klotoidy krzywe Blossa spirale logarytmiczne

4 Elementy składowe Krzywe przejściowe - cel stosowania (1) płynna zmiana krzywizny między elementami o różnej krzywiźnie (łagodny przyrost siły bocznej) utworzenie rampy (zmiany przechyłki) między elementami o różnym pochyleniu poprzecznym

5 Elementy składowe Krzywe przejściowe - cel stosowania (2) źródło: W. Pietzsch, Projektowanie dróg i ulic, WKŁ, 1978 Wykres siły bocznej

6 Elementy składowe Krzywe przejściowe - cel stosowania (3) źródło: W. Dębski, Drogi kołowe, WKŁ, 1976

7 Elementy składowe Krzywe przejściowe - klotoidy y= L 3 /6A 2 L 7 /336A 6 L 11 /42240A 10 + podstawowy typ krzywej wyprowadzona przy założeniu: prędkość liniowa = const prędkość kątowa = const łuk kołowy z 2 klotoidami krzywe złożone: esowa owalna źródło: M. Lipiński, Tablice do tyczenia krzywych, PPWK, 1978

8 Elementy składowe Krzywe przejściowe - łuk kołowy z klotoidami źródło: W. Pietzsch, Projektowanie dróg i ulic, WKŁ, 1978

9 Elementy składowe Krzywe przejściowe - esowa źródło: J. Kukiełka, A. Szydło, Projektowanie i budowa dróg, WKŁ, 1976

10 Elementy składowe Krzywe przejściowe - owalna źródło: J. Kukiełka, A. Szydło, Projektowanie i budowa dróg, WKŁ, 1976

11 Elementy składowe Krzywe przejściowe - krzywa Blossa y= 1/R (x 4 /4L 2 x 5 /10L 3) Wykres siły bocznej źródło: Magazyn Autostrady 12/2006 cel stosowania zaokrąglenie załamań wykresu przyrostu przyspieszenia bocznego wzajemne przesuniecie klotoida krzywa Blossa do cm bywa stosowana na kolei

12 Elementy składowe Krzywe przejściowe - spirala logarytmiczna wyprowadzona przy założeniu: prędkość liniowa const prędkość kątowa = const odpowiada warunkom ruchu na węzłach kłopotliwa w zastosowaniu zastępowana koszową z klotoid praktycznie nieużywana źródło: Wikipedia

13 Metody projektowania wierzchołkowa składanie z elementów osie polinomialne

14 Metody projektowania Wierzchołkowa klasyczna wzięta z projektowania linii kolejowych długie proste, krótkie łuki odwzorowanie osi w układzie liniowo-kątowym

15 Metody projektowania Składanie z elementów podstawy proces projektowania więcej: Zieliński T. Projektowanie osi drogi metodą składania z elementów, Magazyn Autostrady 10/2005

16 Metody projektowania Składanie z elementów Podstawy powstała w wyniku rozwoju dsr badania warunków ruchu wykazały, że długa prosta to: monotonia jazdy nieuświadomiony prędkości czujności wypadków wniosek: odejście od długich prostych warunek ciągłej krzywizny tendencja do projektowania według odręcznie rysowanej linii odwzorowanie osi w układzie współrzędnych prostokątnych

17 Metody projektowania Składanie z elementów Proces projektowania ustalenie położenia przeszkód terenowych ustalenie podstawowych wymogów geometrycznych (R min, R i /R i+1 itp.) szkic odręczny trasy krzywik elastyczny opisanie trasy łukami, klotoidami i ewentualnie prostymi ułożenie trasy z linijek i krzywików ewentualna optymalizacja kłopotliwa, bo dodatkowe ograniczenia wynikają z konieczności stosowania klotoid i łuków kołowych

18 Metody projektowania Osie polinomialne opis osi za pomocą krzywych: trygonometrycznych (dawniej) wielomianów z definicji zapewniają ciągłą krzywiznę proces projektowania jak dla osi składanej z elementów, ale kończy się z chwilą określenia punktów, przez które ma przechodzić trasa (nie trzeba dobierać krzywych łuków i klotoid) zadane punkty określają wielomian (ciąg wielomianów sklejanych) wyznaczany za pomocą oprogramowania odwzorowanie osi w układzie współrzędnych prostokątnych

19 Metoda składania z elementów definicja elementu typy elementów typy punktów ułożenie osi

20 Metoda składania z elementów Definicja elementu odcinek osi o stałej krzywiźnie: prosta lub łuk kołowy do elementu mogą być dowiązane krzywe przejściowe (w różny sposób w różnych programach): na początku i końcu łuku kołowego lub na końcu każdego elementu

21 stałe obrotowe buforowe Metoda składania z elementów Typy elementów

22 Metoda składania z elementów Typy elementów Stałe ich położenie jest jednoznacznie zdefiniowane ich długość wynika z dopasowania do sąsiednich elementów (nie jest określona) mogą być zdefiniowane na różne sposoby: przez 2 punkty i promień przez 3 punkty przez punkt i kierunek

23 Metoda składania z elementów Typy elementów Obrotowe zdefiniowany jest punkt, przez który muszą przechodzić mogą być zdefiniowane na różne sposoby: przez punkt i promień przez punkt i kierunek

24 Metoda składania z elementów Typy elementów Buforowe (swobodne) położenie nie jest zdefiniowane dostosowują się do sąsiednich elementów definiowana jest tylko krzywizna elementu (prosta lub łuk o zadanym promieniu)

25 Metoda składania z elementów Typy punktów na elemencie (definiowane przez X,Y) boczne (definiowane przez X,Y,d)

26 pierwszy element stały? nie skok do najbliższego stałego cofnięcie do poprzedzającego obrotowego dopasowanie elementu obrotowego dopasowanie elementu obrotowego tak tak następny element obrotowy? nie nie pierwszy element osi? tak Metoda składania z elementów Ułożenie osi skok do następnego stałego nie cała oś ułożona? tak koniec dopasowanie elementu obrotowego tak poprzedni element obrotowy? nie dopasowanie elementu buforowego

27 Osie polinomialne typy historia podsumowanie literatura

28 Osie polinomialne Typy w zależności od ostrości (sztywności) narzuconych ograniczeń wyróżniamy 2 typy osi polinomialnych: przechodzące dokładnie przez zadane punkty przechodzące w pobliżu zadanych punktów

29 Osie polinomialne Typy Przechodzące dokładnie przez zadane punkty dane tok działania obliczenia wyniki ocena metody

30 Osie polinomialne Typy Przechodzące dokładnie przez zadane punkty Dane ciąg punktów P i = (x i, y i ) dla i=1, 2,... k warunki brzegowe: kierunek stycznej i R na początku i końcu trasy (dowiązanie do dróg istniejących) ograniczenia: R min, R i / R i+1, przyrost przyspieszenia Δa (a=v 2 /R) wygodnie przyjmować początki układów lokalnych w zadanych punktach, bo: są określone współrzędne dla y (x=0) =0 1

31 Osie polinomialne Typy Przechodzące dokładnie przez zadane punkty Tok działania podział trasy na krótsze odcinki żeby: była możliwość określenia funkcji y = f(x); dla każdego x jedna wartość y wielomiany były niższych stopni mniejsza krętość uwzględnienie warunku ciągłości trasy w miejscu połączenia musi być: wspólna styczna identyczna krzywizna 1

32 Osie polinomialne Typy Przechodzące dokładnie przez zadane punkty Obliczenia zakładamy postać pierwszego wielomianu: y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n n+1 niewiadomych uwzględniamy warunki brzegowe: trasa przechodzi przez zadany punkt P 1 = (0, 0) pochylenie stycznej w P1 wynosi tg 1 promień krzywizny na początku trasy jest określony i wynosi R 1 postać wielomianu stopień wielomianu rozwiązanie układu równań

33 Osie polinomialne Typy Przechodzące dokładnie przez zadane punkty Obliczenia przejście przez punkt P 1 1 y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n jeśli początek układu w punkcie P 1 (0,0): y (x=0) = 0 a 0 = 0

34 Osie polinomialne Typy Przechodzące dokładnie przez zadane punkty Obliczenia pochylenie stycznej w P 1 1 y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n jeśli pochylenie stycznej w P 1 (0,0) wynosi tg 1 : y (x=0) = tg 1 y = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x na n x n-1 y (x=0) = a 1 a 1 = tg 1

35 Osie polinomialne Typy Przechodzące dokładnie przez zadane punkty Obliczenia promień krzywizny w P 1 jeśli promień krzywizny w P 1 (0,0) wynosi R 1 : R = R 1 = (1+y 2 ) 3/2 y (1+y (x=0) 2 ) 3/2 y (x=0) y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n y = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x na n x n-1 y = 2a 2 + 6a 3 x +... n (n-1) a n x n-2 y (x=0) = (1+tg 2 1 ) 3/2 y (x=0) = 2a 2 a 2 = y (x=0) = (1+tg 2 1 ) 3/2 R 1 2 2R 1

36 Osie polinomialne Typy Przechodzące dokładnie przez zadane punkty Obliczenia ostateczna postać wielomianu wyjściowa postać wielomianu: y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n po podstawieniach: y = x tg 1 + (1+tg2 1 ) 3/2 x 2 + a 3 x a n x n 2R 1

37 Osie polinomialne Typy Przechodzące dokładnie przez zadane punkty Obliczenia stopień wielomianu liczba równań dla k punktów: pierwszy punkt 3 równania następne (k-1) punktów po jednym równaniu liczba równań: 3 + (k 1) = k +2 niewiadome: a 0 a n n+1 stopień wielomianu n: dla wszystkich z wyjątkiem ostatniego: k +2 = n+1 n = k + 1 dla ostatniego: pierwszy punkt 3 równania następne (k-2) punktów po jednym równaniu dowiązanie na końcu 3 równania 3+(k-2)+3 = n+1 n = k+3 1

38 Osie polinomialne Typy Przechodzące dokładnie przez zadane punkty Wyniki po rozwiązaniu układu otrzymuje się równanie wielomianu i można określić: pikietaż: promień: L R = x 0 1 y 2 (1+y 2 ) 3/2 y dx (y funkcja opisana wyżej) dla skoku pikietażu ΔL sprawdza się warunki normatywne: R > R min R i / R i+1 przyrost przyspieszenia Δa (a=v 2 /R) jeśli nie ma rozwiązania lub nie są spełnione warunki trzeba: zmienić układ punktów ewentualnie wprowadzić punkty dodatkowe (np.: żeby R > Rmin) stopnia wielomianu z reguły wykonuje się kilka prób

39 Osie polinomialne Typy Przechodzące dokładnie przez zadane punkty wady: Ocena metody trzeba wyznaczać ścisłe położenie punktów, przez które ma przechodzić trasa, choć nie jest to uzasadnione względami technicznymi krzywiznę kontroluje się po fakcie; z praktyki wynika, że trzeba wyznaczyć punkty co ok. 100 m, aby warunek krzywizny był spełniony

40 Osie polinomialne Typy Przechodzące w pobliżu zadanych punktów dane tok działania praktyczne zastosowanie

41 Osie polinomialne Typy Przechodzące w pobliżu zadanych punktów Dane ciąg punktów P i (x i,y i,w i ) dla i=1, 2,..., l,..., m przy czym: w i waga punktu i l punkty stałe (w i = ) l < i m punkty przybliżone warunki brzegowe kierunek stycznej i R na początku i końcu trasy (dowiązanie do dróg istniejących) ograniczenia: R min R i /R i+1 przyrost przyspieszenia Δa (a=v 2 /R)

42 Osie polinomialne Typy Przechodzące w pobliżu zadanych punktów Tok działania podział trasy na krótsze odcinki (analogicznie jak w metodzie poprzedniej) wyznaczenie wielomianu tak, aby przechodził: przez punkty stałe: y(x i )=y i dla i l oraz jak najbliżej punktów przybliżonych: zastosowanie metody najmniejszych kwadratów m w i (y i - y(x i )) 2 = min i=l+1 układ należy przyjmować tak, aby oś y była możliwie prostopadła do przebiegu trasy y i x i y(x i )

43 Osie polinomialne Typy Przechodzące w pobliżu zadanych punktów Praktyczne zastosowanie program Calogero możliwe są obliczenia zarówno dla trasy jak i niwelety wymagane dane obliczenia

44 Osie polinomialne Typy Przechodzące w pobliżu zadanych punktów Praktyczne zastosowanie - dane typ danych trasa niweleta uwagi D odległość określająca maksymalne (dla W i =1) odchylenie osi od punktu np. 20 m dla trasy np. 1.5 m dla niwelety W waga odległości U maksymalny kat odchylenia od zadanego kierunku (dla U i =1) U waga kąta promienie minimalne R min R min, R min U ścisły punkt i kierunek + R (warunki brzegowe) X, Y, tg, R pik. P, h, i, R przybliżony punkt X, Y, W; W 1 np. W A =1, W B =100 P, H, W P i D/W i D/W i ścisły punkt X, Y; odchylenie = 0 W= P, H, W= ścisły punkt i kierunek (narzucony kierunek stycznej) X, Y, tg, U= P, H, i, U= przybliżony punkt i kierunek X, Y, W; tg, U 1 P, H, W, i, U 1 bardzo przydatne dla niwelety

45 Osie polinomialne Typy Przechodzące w pobliżu zadanych punktów Praktyczne zastosowanie - obliczenia obliczenia wykonuje się iteracyjnie wyniki: współczynniki wielomianów dla zadanego ΔL i dla zadanych punktów: pikietaż X i, Y i, R i 1/R i A i parametr równoważny klotoidy odległość punktów kierunkowych od trasy dowiązanie do zadanego poligonu (dane do wytyczenia) wykreślenie trasy i wykresu 1/R i

46 Osie polinomialne Historia świat: 1969 r Calogero doktorat w Londynie (przejście przez punkty ścisłe i przybliżone) rozwój we Włoszech, Francji, W. Brytanii (stosowana w BIPS-ie, MOSS-ie) Polska: prace na Politechnice Wrocławskiej (I etap prac nad programem do optymalizacji niwelety) wykorzystanie przy modernizacji dróg (rzadkie) praca doktorska D. Godlewskiego optymalizacja łącznic na węźle praca dyplomowa na początku lat 80-tych - trasa przechodząca dokładnie przez zadane punkty

47 Osie polinomialne Podsumowanie zalety wady wnioski

48 Osie polinomialne Podsumowanie Zalety wzrost jakości projektu: płynność trasy (freihandlinie): płynna zmiana krzywizny lepsze wpisanie w teren na ogół mniejsze roboty ziemne lepsze wkomponowanie w ograniczenia wynikające z zagospodarowania terenu; szczególnie przydatna przy modernizacji drogi (punkty stałe w planie i w profilu oraz ΔD 2 = min możliwie minimalna przebudowa) ułatwia optymalizację trasy i niwelety wprowadzając prostszy, łatwiejszy do przetwarzania matematyczny opis osi uproszczenie projektowania: pominięcie części tradycyjnego procesu projektowania (pominięty etap opisywania łukami i klotoidami, dobieranie R, A) na odcinkach nieistotnych wybór trasy przeniesiony na oprogramowanie łatwość wytyczenia obliczenia są od razu podstawą do wytyczenia (x, y) co ΔL; jedynie proste tyczyć łatwiej, ale są one niepożądanym elementem trasy

49 Osie polinomialne Podsumowanie Wady ciągła zmienność przechyłki (nieustanna rampa kłopoty wykonawcze) problemy przy trasach bardzo krętych (węzły, serpentyny): żeby oś była funkcją, trzeba bardzo często zmieniać układy współrzędnych można ominąć ten problem wprowadzać funkcje parametryczne: x=at, y=bt brak empirycznych badań warunków ruchu na takich trasach

50 Osie polinomialne Podsumowanie Wnioski trasowanie polinomialne można stosować do projektowania tak trasy jak i niwelety obecnie stosowane rzadko; przyczyna: rozwój programów do projektowania łatwość tworzenia trasy z łuków kołowych i klotoid (metoda składania z elementów) najczęstsze zastosowania: modernizacja wstęp do optymalizacji

51 Osie polinomialne Literatura Kossakowski M. Drogowe trasy polinomialne, Drogownictwo 2/1976. Pikiewicz J. Zastosowanie rozwinięć wielomianowych w projektowaniu planu sytuacyjnego dróg, praca dyplomowa 1982 Zieliński T. Projektowanie osi drogi metodą składania z elementów, Magazyn Autostrady 10/2005 Gumuła A. Projektowanie krzywej Blossa w AutoCad-zie, Magazyn Autostrady 12/2006