Podstawy Automatyki Laboratorium

Transkrypt

1 Katedra In»ynierii Systemów Sterowania Wydziaª Elektrotechniki i Automatyki Podstawy Automatyki Laboratorium Zadania do wicze«laboratoryjnych T10 Sterowanie pr dko±ci obrotow silnika pr du staªego Opracowanie dr hab. in». Kazimierz Duzinkiewicz mgr in». Tomasz Zubowicz dr in». Rafaª Šangowski dr in». Robert Piotrowski Gda«sk

2 Wprowadzenie Informacje ogólne Maksymalna liczba punktów do zdobycia za: przygotowanie do zaj 5 pkt. realizacj zada«wiczeniowych: 10 pkt. Zadania wykonaj analitycznie i z wykorzystaniem ±rodowiska MATLAB. Materiaªy pomocnicze zwi zane z tematyk wiczenia zostaªy opublikowane w [1, 2]. Ponadto w celu usystematyzowania nabytej do tej pory wiedzy proponuje si zapoznanie z [4]. Filtr przeciwnasyceniowy (lit. antiwindup lter) umiejscowiony w strukturze regulatora ma za zadanie ograniczenie lub wyeliminowanie stanów nasycenia urz dze«wykonawczych pojawiaj cych si w ukªadzie regulacji najcz ±ciej w wyniku dziaªania nietypowo uci»liwych oddziaªywa«zewn trznych zakªóce«. Ograniczenia mog przyjmowa ró»ne postaci. W omawianym przypadku poprzez ograniczenie ukªadów wykonawczych rozumie si zakres warto±ci danej wielko±ci zycznej, któr ukªad wykonawczy oddziaªuje (bezpo±rednio lub po±rednio) na obiekt w celu zmiany jego stanu i w konsekwencji wyj±. Sytuacj tak obrazuje przedstawiony poni»ej przykªad. Przykªad 1. Niech obiektem sterowania b dzie zbiornik ze swobodnym wypªywem i pojedynczym dopªywem wyposa»onym w zawór steruj cy. Celem sterowania jest utrzymywanie poziomu medium w zbiorniku zgodnie z trajektori referencyjn. Zakªada si,»e kontroluj c dopªyw, wykorzystuj c do tego celu zawór, jest si w stanie zrealizowa zadan trajektori referencyjn poziomu medium w zbiorniku. Zatem, wpªywaj c na poªo»enie trzpienia zaworu w sposób po±redni wpªywa si na ilo± dopªywaj cego medium. Fizycznym ograniczeniem w tym przypadku jest zakres, w którym mo»na zmienia poªo»enie zaworu, co natomiast w naturalny sposób ogranicza mo»liwe do uzyskania warto±ci dopªywu medium. Co wi cej szybko± z jak mo»na dokona zmian w poªo»eniu trzpienia zaworu podlega równie» ograniczeniu. Wynika to mi dzy innymi z typu zaworu, technologii jego wykonania oraz zastosowanych materiaªów (ich wytrzymaªo±ci). Stany nasycenia pojawiaj si w ukªadzie w sytuacji, kiedy nieograniczony regulator generuje sygnaª steruj cy wykraczaj cy sw warto±ci poza zakres mo»liwy do zrealizowania przez ukªad wykonawczy. Sytuacj tak mo»na spotka, gdy do celów sterowania wykorzystywany jest np. regulator typu PID, a ukªad wykonawczy posiada pewne ograniczenia (fakt: ka»dy rzeczywisty ukªad wykonawczy ma mo»liwo± dostarczenia tylko pewnej ograniczonej porcji energii w jednostce czasu). Wynika ona bezpo±rednio z charakteru dziaªania czªonu I regulatora. W momencie, gdy warto± referencyjna nie jest osi gni ta, a ukªad wykonawczy pracuje przy maksymalnej wydajno±ci czªon caªkuj cy nadal caªkuje uchyb sterowania i generuje coraz to wi kszy sygnaª (zakªadaj c dodatnia warto± uchybu), który w rzeczywisto±ci nie jest mo»liwy do realizacji. Zaªó»my,»e trajektoria referencyjna jest staªowarto±ciowa i osi galna (mo»liwa do zrealizowania). Przyjmuj c regulator PID bez ltra antiwindup sygnaª steruj cy generowany jest w oparciu o uchyb w wyniku proporcjonalnego jego wzmocnienia, wzmocnienia caªki tego sygnaªu oraz jego pochodnej. Gdy odpowied¹ ukªadu zbli»a si do warto±ci referencyjnej gªówny ci»ar regulacji spoczywa na czªonie caªkuj cym. Zgodnie z denicj czªon ten nieustannie caªkuje bª d sterowania generuj c proporcjonalnie do swojego wzmocnienia sygnaª steruj cy. Nie ma tu»adnego mechanizmu, który powstrzymaªby algorytm sterowania (regulator PID) od za» dania od urz - dzenia wykonawczego realizacji wielko±ci steruj cej wi kszej ni» wynosi jego wydajno±. Zatem, gdy warto± sterowana osi ga poziom referencyjny, mo»e si okaza,»e stan czªonu I (warto± 1

3 zakumulowana przez dziaªanie caªkuj ce) jest na tyle du»y,»e pomimo osi gni cia przez ukªad poziomu referencyjnego warto± sterowana ci gle ro±nie, poniewa» sygnaª steruj cy generowany przez regulator jest wi kszy od górnego ograniczenia amplitudy sygnaªu steruj cego wynikaj - cego z wydajno±ci urz dzenia wykonawczego pojawia si tzw. nasycenie sygnaªu steruj cego. Konsekwencj przekroczenia warto±ci referencyjnej jest zmiana znaku uchyb na przeciwny ni» poprzednio. W wyniku tej zmiany stan czªonu I zaczyna si zmienia male. Niemniej, zanim warto± zakumulowana ulegnie dostatecznej zmianie tj. obni»y si poni»ej ograniczenia górnego tak, aby zmiana ta mogªa by widoczna na wyj±ciu z obiektu mija pewien (z reguªy do± dªugi) okres czasu. W efekcie odpowied¹ ukªadu cechowa si b dzie znacznym przeregulowaniem, które w praktyce jest zdecydowanie wi ksze ni» w przypadku gdyby do nasycenia nie doszªo. Najpowa»niejsz konsekwencj nasyce«w ukªadzie steruj cym jest, oprócz ewidentnego pogorszenia si warto±ci wska¹ników opisuj cych jako±ci sterowania, utrata stabilno±ci. Analiza stabilno±ci ukªadów z ograniczeniami jest zagadnieniem analizy stabilno±ci ukªadów nieliniowych rozwi zywanych np. na bazie teorii stabilno±ci Lyapunova i jest problemem nietrywialnym. W celu unikni cia niepo» danych efektów nasycenia wykorzystuje si ltry przeciwnasyceniowe/antiwindup, które ograniczaj, gdy jest to konieczne, dziaªanie czªonu I. W literaturze spotyka si wiele rozwi za«realizacji ltrów antiwindup. Mo»na do nich zaliczy ltry zrealizowane jako czªony statyczne przedstawione przykªadowo w [3] lub dynamiczne, co zaprezentowano mi dzy innymi w [5]. Analogowy regulator PID ze statycznym ltrem antiwindup. W trakcie laboratorium zgodnie z tre±ci zadania nale»y zaimplementowa statyczny ltr antiwindup dla dobranego typu regulatora. Jak wspomniano w poprzednim punkcie istnieje wiele schematów realizacji statycznych ltrów antiwindup [3]. W niniejszym punkcie zaprezentowane zostanie rozwi zanie, które wykorzystane zostanie w trakcie realizacji laboratorium. Na Rysunku 1a zaprezentowany zostaª schemat blokowy analogowego regulatora PID, natomiast na Rysunku 1b ten sam typ regulatora wyposa»ono w ograniczenie amplitudy zmian sygnaªu steruj cego oraz jedno z mo»liwych rozwi za«ltru antiwindup (schemat dedykowany do wykorzystania w trakcie realizacji laboratorium), gdzie: P - czªon proporcjonalny; I - czªon caªkuj cy; D - czªon ró»niczkuj cy; AW - ltr antiwindup charakteryzuj cy si wzmocnieniem K aw ; e(t) - uchyb sterowania; u(t) - sygnaª steruj cy wychodz cy z regulatora; u i (t) - sygnaª w torze caªkuj cym; u p (t) - sygnaª steruj cy przed ograniczeniem. (a) Nieograniczony regulator PID (b) Regulator PID z ltrem przeciwnasyceniowym Rysunek 1: Struktury regulatorów PID Blok Ograniczenie amplitudy jest statycznym modelem urz dzenia wykonawczego w strukturze regulatora, a jego zadaniem jest przepuszczanie sygnaªu w niezmienionej postaci za ka»dym razem, gdy jego amplituda znajduje si w uprzednio zdeniowanym zakresie lub nadawanie mu warto±ci (zdeniowanych uprzednio) granicznych, gdy warunek ten nie jest speªniony. Poni»ej na Rysunku 2 pokazany zostaª przykªad dziaªania takiego ograniczenia. 2

4 Rysunek 2: Obraz dziaªania bloku Ograniczenie amplitudy Zadaniem statycznego ltru antiwindup, reprezentowanego przez blok AW, jest wzmocnienie K aw razy ró»nicy sygnaªów u p (t) i u(t), buduj c w ten sposób sygnaª u»ywany dalej do ograniczania dziaªanie czªonu I regulatora. Przykªad dziaªania czªonu AW zostaª zilustrowany na Rysunku 3. Rysunek 3: Dziaªanie ltru AW Zalet takiego rozwi zania jest dobra skuteczno± dziaªania przy zachowaniu du»ego stopnia prostoty ukªadu. Eksperymentalna kalibracja ltru przeciwnasyceniowego. W celu eksperymentalnego skalibrowania statycznego ltru antiwindup nale»y porównuj c sygnaªy u p (t) oraz u(t) dokona doboru warto±ci wzmocnienia K aw. W trakcie eksperymentów obserwuj sygnaª u i (t). Staraj si nie zmieni jego polaryzacji. Implementacja w ±rodowisku MATLAB/Simulink. W celu zamodelowania ograniczenia sygnaªu steruj cego nale»y posªu»y si funkcj nasycenia (patrz Rys. 4). Wykorzysta do tego celu mo»na blok o nazwie Saturation z przybornika Discontinuities. Parametrami tego bloku s ograniczenia górne u L (lit. upper limit) i dolne l L (lit. lower limit). Realizacja dziaªania tego 3

5 odbywa si w oparciu o funkcje warunkow : u L, if x > u L sat( ) def = l L, if x < l L. (1) ( ), else Funkcj nasycenia mo»na zapisa równie» analitycznie za pomoc zale»no±ci: sat( ) def = a sign( ) min ( ), 1 + b, (2) gdzie: a i b s to wspóªczynniki skaluj ce, które w prosty sposób mo»na wyznaczy w oparciu o parametry l L oraz u L. Rysunek 4: Funkcja nasycenia zale»no± wyj±cia od wej±cia dla l L = 0.5 i u L = 0.5 Zaªo»enia: Zakªada si,»e: silnik pracuj cy w p tli sprz»enia zwrotnego od pr dko±ci obrotowej pobudzany jest sygna- ªami staªowarto±ciowymi (lit. constant) lub przedziaªami-staªowarto±ciowymi (lit. piecewise constant), regulator nale»y do rodziny PID. Parametry silników znajduj cych si w laboratorium s znane i pewne. Warto±ci tych parametrów zamieszczono w Zaª czniku A. 4

6 Zadanie 1: (przygotowanie do zaj T10) [5 pkt] Celem zadania jest zapoznanie si z obiektem regulacji. Przedstaw struktur blokow wewn trznej budowy silnika pr du staªego z magnesami trwa- ªymi. Prac rozpocznij od narysowania w zªa sumacyjnego bilansu momentów. Kolejno w strukturze postaraj si zawrze informacje o: dziaªaniu cz ±ci elektrycznej silnika, dziaªaniu cz ±ci mechanicznej silnika. Bloki struktury powinny odzwierciedla fundamentalne procesy zachodz ce wewn trz silnika: generacj pr du w uzwojeniach silnika, generacj momentu elektrycznego w wyniku oddziaªywania z polem magnetycznym od magnesów trwaªych (jaka siªa zostaje pobudzona i jak to si dzieje»e mowa tu o momencie?), efekty temperaturowe w uzwojeniach silnika (jak one powstaj i jakie s ich konsekwencje?), bilans momentów i moment wypadkowy, inercyjny charakter cz ±ci mechanicznej silnika, siªy tarcia waªu silnika o stojan (Czy jest to cz ± dynamiki silnika czy zakªócenie? Jaka jest denicja zakªócenia?), Uwaga: okre±l jasno wszystkie wej±cia i wyj±cia w tej strukturze (jest ich wi cej ni» jedno w ka»dym przypadku). Okre±l co jest zakªóceniem, a co sygnaªem steruj cym, co wyj±ciem a co wyj±ciem sterowanym. W trakcie laboratorium: Nale»y zapozna si z ukªadem NI Elvis 2 z doª czonym silnikiem pr du staªego. Na podstawie obserwacji i dotychczasowej wiedzy okre±l: struktur ukªadu regulacji, wszystkie istotne sygnaªy w tej strukturze, czy w przypadku poszczególnych sygnaªów wyst puj jakie± ograniczenia? Je»eli tak, to jakie jest ich ¹ródªo i jakie s ich warto±ci. Zadanie 2: [2 pkt] Niech dany b dzie (u»ytkowy) model typu wej±cie-wyj±cie, opisany w przestrzeni zmiennej zespolonej s, dynamiki obiektu regulacji: T e (s) = K m R m u(s) T w (s) = T e (s) z(s) G ob = ω(s) T w (s) = R m K 2 m J eqr m s + 1 Km 2 gdzie: T e (s), T w (s) oznaczaj odpowiednio moment elektryczny (nap dowy) i moment wypadkowy, z(s) jest zewn trznym momentem zakªócaj cym, ω(s) oznacza pr dko± obrotow silnika, (3) J eq = J + J L, (4) gdzie: J, J L oznaczaj odpowiednio moment bezwªadno±ci waªu i obci»enia. 5

7 Polecenia: przyjmuj c wej±cie referencyjne jak na Rysunku 5 oraz szumów pomiarowych v(t) 0 dobierz regulator P tak, aby uchyb regulacji w stanie ustalonym nie przekraczaª 5% warto±ci zadanej (dla wymuszenia b d cego skokiem jednostkowym) napisz równanie opisuj ce prawo sterowania w dziedzinie czasu t (tj. algorytm generuj cy sygnaª steruj cy u(t)) dla przypadku v(t) 0 oraz v(t) 0 zaimplementuj ukªad regulacji w ±rodowisku symulacyjnym MATLAB/Simulink i napisz m-plik ilustruj cy prac ukªadu zamkni tego. Je»eli jako± regulacji b dzie zadowalaj ca, zaimplementuj regulator na platformie sprz towej. Nast pnie: porównaj wyniki symulacyjne z wynikami otrzymanymi na obiekcie rzeczywistym, wytªumacz przyczyn ewentualnych ró»nic. Rysunek 5: Sygnaª referencyjny Zadanie 3: [2 pkt] Przyjmij,»e wymagania odno±nie jako±ci regulacji zostaªy zmienione. Zakªada si, ze uchyb w stanie ustalonym ma by równy 0. Polecenia: czy regulator z zadania poprzedniego b dzie w stanie sprosta takim wymaganiom? Odpowied¹ uzasadnij jako±ciowo w oparciu o wiedz z poprzednich zaj, zmodykuj regulator z zadania poprzedniego tak, aby speªniaª postawione wymagania, napisz równanie regulatora w dziedzinie czasu dla przypadku v(t) 0 oraz v(t) 0. Jakie cechy szczególne posiada wprowadzona modykacja wzgl dem regulatora z poprzednich zaj?, przed zaimplementowaniem regulatora na platformie sprz towej, sprawd¹ jego dziaªanie w trakcie symulacji (wykorzystaj do tego celu kopi m-pliku z Zadania 1), porównaj wyniki symulacji i rzeczywistej realizacji sterowania. Wyja±nij wyst puj ce ró»- nice. Zwró uwag na przebieg sygnaªu steruj cego. Co mo»na o nim powiedzie? 6

8 Zadanie 4: [3 pkt] Przyjmij trajektori zakªóce«jak zaprezentowano na Rysunku 6. Rysunek 6: Realizacja sygnaªu zakªócenia Polecenia: czy sygnaª steruj cy wchodzi w obszar nasycenia? Je»eli tak, eksperymentalnie dobierz parametry ltru przeciwnasyceniowego tak, aby mo»liwie zmniejszy czas, kiedy nasycenie wyst puje, z czego wynika nasycenie sygnaªu steruj cego? Wyja±nij, jak dziaªa ltr przeciwnasyceniowy. czy ltr przeciwnasyceniowy poprawi prac ukªadu regulacji z regulatorem P? Odpowied¹ uzasadnij, zaimplementuj regulator na platformie sprz towej. Wykonaj eksperyment testuj cy dziaªanie ltru przeciwnasyceniowego poprzez przyªo»enie do waªu silnika zewn trznego momentu zakªócaj cego. Zadanie 5: [3 pkt] Wymagania odno±nie jako±ci regulacji zostaªy ponownie zmienione. Wymagany jest bardzo krótki czas regulacji oraz maªe przeregulowanie. Polecenia: zmodykuj struktur regulatora z zadania poprzedniego (z ltrem przeciwnasyceniowym) tak, aby mógª speªni postawione wymagania (schemat), napisz równanie opisuj ce prawo sterowania w dziedzinie czasu t dla przypadku v(t) 0 oraz v(t) 0. W obu przypadkach pomi«w strukturze ltr przeciwnasyceniowy. Krok ten nie powoduje utraty na jako±ci przeprowadzonych rozwa»a«, przed zaimplementowaniem regulatora na platformie sprz towej, sprawd¹ jego dziaªanie w trakcie symulacji, czy regulator dziaªa poprawnie na platformie sprz towej? Wyja±ni przyczyn ewentualnych nieprawidªowo±ci. W jaki sposób mo»na poprawi prac ukªadu? 7

9 Zadanie 6: (praca wªasna) Przyjmuj c,»e szumy pomiarowe v(t) maj charakter wysokocz stotliwo±ciowy, uzasadnionym jest wprowadzenie ltru dolnoprzepustowego w celu redukcji ich wpªywu (penetracji ukªadu). Niech zatem dana b dzie transmitancja opisuj ca dziaªanie ltru dolnoprzepstowego pierwszego rz du: 1 G f (s) = ωc 1 s + 1, (5) gdzie: cz stotliwo± odci cia ltru f c [2, 20] [Hz]. Polecenia: Przyjmuj c z(t) 0: wª cz model ltru do struktury ukªadu sterowania (schemat i implementacja) niezmieniaj c warto±ci wzmocnie«regulatora sprawd¹ jak zmiany cz stotliwo±ci f c wpªyn na parametry jako±ciowe odpowiedzi ukªadu regulacji. W trakcie symulacji obserwuj porównawczo (na dodatkowym wykresie w tym samym oknie) sygnaª przed ltrem i za ltrem czy projektuj c ukªad regulacji mo»na podej± do projektu regulatora i ltru pomiarowego w p tli sprz»enia zwrotnego jako osobnych (rozª cznych) zagadnie«? Czy te» nale»y problem rozwa»a ª cznie? Odpowied¹ uzasadnij jako±ciowo na bazie poczynionych obserwacji. Literatura [1] Materiaªy do wicze«audytoryjnych z przedmiotu Podstawy Automatyki, [2] Materiaªy wykªadowe z przedmiotu Podstawy Automatyki, [3] C. Bohn and D. Atherton. An analysis package comparing PID anti-windup strategies, [4] J. J. Distefano, A. J. Stubberud, and I. J. Williams. Schaum's Outline of Feedback and Control Systems. McGraw-Hill Professional, 2nd edition, [5] G. Grimm, J. Hateld, I. Postlethwaite, A. Teel, M. Turner, and L. Zaccarian. Antiwindup for stable linear systems with input saturation: An lmi-based synthesis. 48(9),

10 Zaª cznik A Parametry silnika (duży silnik) Symbol Description Value Unit Motor: R m Motor armature resistance ohms K m Motor back-emf constant (same as K t in SI units) V/(rad/s) J m Moment of inertia of motor rotor. 9.64e-6 kg.m 2 M l Inertial load disc mass kg r l Inertial load disc radius m Parametry silnika (mały silnik) Symbol Description Value Unit Motor: R m Motor armature resistance ohms K m Motor back-emf constant (same as K t in SI units) V/(rad/s) J m Moment of inertia of motor rotor. 1.80e-6 kg.m 2 M l Inertial load disc mass kg r l Inertial load disc radius m 9