WPPT; kier. Inż. Biom.; lista zad. nr 4 pt.

Transkrypt

1 WPPT; kier. Inż. Biom.; lista zad. nr 4 pt.: Analizowanie i rozwiązywanie zadań/problemów dotyczących zderzeń sprężystych i niesprężystych. z wykorzystaniem praw zachowania energii kinetycznej i pędu; pod koniec listy zadania do samodzielnego rozwiązania. Lista ma na celu zdobycie przez studentów wiedzy matematycznofizycznej, nabycie umiejętności rozwiązywania prostych zadań z wykorzystaniem zasad zachowania pędu i utrwalanie dotychczas zdobytej wiedzy fizycznej. Materiał dydaktyczny: wykłady i rozdziały 8-9 podręcznika Łyżwiarz o masie M, stojący na zamarzniętym jeziorze rzuca poziomo kulkę o masie m=m/99 w kierunku brzegu. W momencie rzutu kulka znajdowała się na wysokości h i upadła na brzegu w odległości d od łyżwiarza. Proszę wyznaczyć wartość pracy wykonanej przez łyżwiarza. Ws-ka. Proszę uzasadnić, że d=(v Ł +v k )t, gdzie v Ł prędkość łyżwiarza po odrzuceniu kulki o prędkości v k, t czas ruchu kulki. 17. A) Sternik o masie 45 kg stoi na pokładzie niezacumowanej żaglówki o masie 450 kg i długości 7 m, nieruchomo spoczywającej na powierzchni jeziora. Sternik rozpoczyna spacer po pokładzie z prędkością 1 m/s względem żaglówki przechodząc od z jej przodu na rufę. Proszę obliczyć jak daleko względem brzegu przemieści się żaglówka, a jak sternik? Ws-ka: Środek masy układu spoczywa. 18. Proszę obliczyć a jaką wysokość h wzniesie się wahadło balistyczne o M=10 kg, gdy utkwi w nim pocisk o masie m=0,1 kg lecący poziomo z prędkością v=200 m/s? (rys. obok). 19. Proszę obliczyć ciśnienie p wywierane na powierzchnię przez strumień światła słonecznego padającego prostopadle na nią zakładając, że zderzenia fotonów z powierzchnią są idealnie niesprężyste; proszę przyjąć, że powierzchnia ma masę dużo większą od masy padających cząstek, tj. pozostaje nieruchoma a zmianę jej masy można zaniedbać; w przypadku światła słonecznego gęstość masy padającego światła E =(s-s)/c, gdzie s-s stała słoneczna o wartości 1400 W/m 2 ( Ws-ka. Niechaj strumień światło rozchodzi się wzdłuż osi cylindra i oświetla jego podstawę o powierzchni S, niechaj gęstość energii światła wynosi E ; wtedy natężenie J=s-s (moc/powierzchnia) światła słonecznego padającego w czasie t na podstawę cylindra wyniesie S E c t -s -s c -s s E J E s s E masy ; proszę zweryfikować wymiary lewej 2 3 St c c c 2 i prawej strony ostatniego ze wzorów, a następnie uzasadnić, że p c masy i pokazać, że wymiary obu stron tego wzoru są spójne. 20. Jednej kuli bilardowej nadano prędkość V kierując ją na 15 innych nieruchomych. W rezultacie idealnie sprężystych zderzeń kul między sobą i z brzegiem masywnego idealnie gładkiego stołu, w pewnym momencie wszystkie kule mają te same prędkości v. Jeśli zaniedbamy ruch obrotowy kul (idealnie gładka powierzchnia, masa stołu olbrzymia), to ile wynosi stosunek v/v? 21. Spoczywające w początku układu odniesienia jądro atomu rozpadło się na 3 części. Znane są dane rozpadu: m 1 = 16, kg, v 1 = (6 10 6, 0, 0) m/s, m 2 = 8, kg, v 2 = (8 10 5, 0, 0) m/s oraz m 2 = 11, kg. Proszę wyznaczyć wektor v 3 oraz wartość energii kinetycznej uwolnionej w tym rozpadzie i oszacować ile takich rozpadów w czasie 1 s jest potrzebnych, aby moc wydzielonej energii była 1 MW? 22. Zadanie do samodzielnego rozwiązania i zamieszczenia w portfolio. Proszę oszacować wartości sił z jakimi tornada o prędkościach wiatrów 160 km/h (typ EF1), 240 km/h (typ EF3, siła huraganu Metthew, który szalał nad Morzem Karaibskim, nad Haiti i Florydą), 290 km/h (typ EF4, początkowa siła huraganu Metthew, który szalał nad Morzem Karaibskim, nad Haiti i Florydą) i 360 km/h (typ EF5; taką siłę miał tajfun Irma, wrzesień 2017, zdjęcie satelitarne po lewej stronie) działa na Twoje ciało, gdy stoisz w pozycji pionowej w strumieniu tornado. Wartość sił oszacuj ze wzoru powietrza S v 2, gdzie S pole powierzchni Twojego ciała; powietrza = 1.2 kg/m 3. Więcej patrz Wyniki należy zamieścić w portfolio w postaci tabeli z wartościami odpowiednich danych oraz oszacowanymi wartościami sił. Wrocław, 5 października 2018 W. Salejda 1

2 Siłownia umysłowa. Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania 1. Zadanie egzaminacyjne. 1A) Opisz fizyczną treść zasady zachowania pędu dla pojedynczego ciała oraz układu N ciał podając warunki stosowalności tej zasady w każdym z ww. przypadków. 1B) Wyprowadź zasadę zachowania pędu dla układu 2 ciał oddziaływujących ze sobą siłami spełniającymi III zasadę dynamiki. 1C) W drewniane wahadło balistyczne o masie m 2 = 20,0 kg uderzył lecący poziomo z nieznaną prędkością v 0 pocisk o masie m 1 = 0,008 kg, przebił je, co spowodowało wzniesienie się wahadła na wysokość h = 0,002 m (patrz rysunek obok). Wyznacz v 0, jeśli po przebiciu wahadła zmierzona prędkość pocisku wyniosła v k = 54 m/s. 2. Dwie kule o masach i prędkościach, odpowiednio, m 1, m 2 i v 1, v 2 zderzają się centralnie idealnie sprężyście. Pokaż, że wzory (10.38) i (10.39), zamieszczone obok, poprawnie zadają prędkości v 1końc, v 2końc tych kul po zderzeniu. Czy wzory zmienią się, gdy dokonamy w nich zamiany wskaźników 1 na 2? 3. Należy rozpatrzyć wzory (10.38) i (10.39) dla m 1 << m 2 w następujących przypadkach: A) v 1 0, v 2 = 0; B) v 1 = 0, v 2 0; C) m 1 = m 2, v 1 0, v 2 = Neutron zderza się czołowo, idealnie sprężyście ze spoczywającym atomem węgla 12 C 6. Jaka część początkowej energii kinetycznej neutronu jest przekazywana 12 C 6? Wyznaczyć energię kinetyczną atomu 12 C 6 i neutronu po zderzeniu, jeśli początkowa energia kinetyczna neutronu wynosiła 1, J. Zadanie omówione na wykładzie. 5. W czasie testów samochodu bada się jego odporność na zderzenia. Samochód o masie 2300 kg i prędkości 15 m/s uderza w podporę mostu. Jaką średnią siłą działa podpora na samochód (a samochód na podporę) w czasie zderzenia trwającego 0,56 s? 6. Zagadnienia egzaminacyjne. A) Proszę przedstawić drugą zasadę dynamiki Newtona (także z wykorzystaniem pojęcia pędu) dla ciała o danej masie określając warunki jej stosowalności oraz znaczenia zastosowanych w tekście odpowiedzi wielkości fizycznych i symboli. v1m2 m12mv 2 2 (12 pkt.) B) Proszę sformułować zasadę zachowania pędu dla układu N ciał o V1, m m znanych masach oddziaływujących ze sobą (5 pkt.) podając warunki, przy spełnieniu których zasada ta jest spełniona. (3 pkt) C) Neutron o masie m V2 prędkości v zderza się centralnie idealnie sprężyście ze spoczywającą cząsteczką deuteru (izotop wodoru) o masie 2m. Proszę po-kazać, że po jednym zderzeniu energia kinetyczna neutron maleje 9-krotnie. Ws-ka: Podane wzory można wykorzystać opisując ich sens fizyczny. (4 pkt) 7. Kamizelki kuloodporne są szyte z odpowiednio gęsto utkanych tkanin (dlatego są bardzo ciężkie). Uderzająca w kamizelkę kula stopniowo ale błyskawicznie grzęźnie w splotach tkanin. Przypuśćmy, że pocisk o masie 10,2 g wystrzelono w kierunku człowieka ubranego w kamizelkę, którego masa wraz z kamizelką wynosi 100 kg. Zależność v(t) prędkości kuli w tkaninach kamizelki zadaje równanie v(t) = a b t, gdzie a = 300 m/s, b = 75 m/(ms) 2 dla 0 t 4 s (mikrosekund). Jakie jest opóźnienie pocisku w kamizelce? Obliczyć: a) zmianę pędu i energii pocisku; b) drogę, na której pocisk zatrzymuje się; c) oszacuj wartość siły działającej na kamizelkę ze strony grzęznącej w niej kuli, d) oszacuj prędkość człowieka po ugrzęźnięciu kuli w kamizelce. 8. Strumień wody z armatki policyjnego samochodu pada na ciało demonstranta. Prędkość wody wynosi 15 m/s. W ciągu sekundy armatka wylewa 10 litrów wody. Woda o gęstości 1000 kg/m 3 praktycznie nie odbija się od ciała demonstranta i spływa po nim. Obliczyć średnią wartość siły działającej na ciało demonstranta. 9. Granat lecący w pewnej chwili z prędkością v = 10 m/s rozerwał się na dwa odłamki. Większy odłamek, którego masa stanowiła w = 60% masy całego granatu, kontynuował lot w pierwotnym v m m 2mv m m

3 kierunku, lecz ze zwiększoną prędkością v 1 = 25 m/s. Znaleźć kierunek i wartość prędkości mniejszego odłamka. 3

4 10. Człowiek o masie 60 kg biegnący z prędkością 8 km/h, dogania wózek o masie 90 kg, który jedzie z prędkością 4 km/h i wskakuje na ten wózek; a) Z jaką prędkością będzie poruszał się wózek z człowiekiem? b) Jaka będzie prędkość wózka z człowiekiem w przypadku, gdy człowiek będzie biegł naprzeciw wózka? 11. Pocisk o masie m lecąc poziomo z prędkością v uderza w stojący wózek z piaskiem o masie M (patrz rys. obok). Przebiwszy warstwę piasku poruszał się dalej z prędkością u 1. Proszę wyznaczyć prędkość u 2 wózka tuż po zderzeniu oraz wartość współczynnika tarcia f wózka o podłoże, jeżeli wózek zatrzymał się na drodze s. 12. Na poziomo poruszający się z prędkością 10 m/s wózek o masie 5 kg spadła pionowo cegła o masie 3 kg. Ile wynosiła po tym prędkość wózka i cegły? 13. Ołowiany pocisk o masie 0,1 kg lecąc poziomo uderza w stojący wózek z piaskiem o łącznej masie 50 kg i grzęźnie w nim. Po zderzeniu wózek odjeżdża z prędkością 1 m/s. Jaka była prędkość pocisku przed zderzeniem? 14. W spoczywający na gładkim stole klocek o masie 0,5kg uderza poruszający się poziomo z prędkością 500m/s pocisk o masie 0,01kg. Po przebiciu pocisk porusza się z prędkością 300m/s. Ile wynosi prędkość u klocka po uderzeniu przez pocisk? 15. W spoczywający na stole klocek o masie 0,5 kg uderzył poruszający się poziomo z prędkością 500 m/s pocisk o masie 0,01 kg i utkwił w nim. Jaką drogę s przebył klocek do zatrzymania się, jeżeli współczynnik tarcia klocka o podłoże wynosi 0,2? 16. Pocisk o masie m lecący z prędkością v trafia w nieruchomy wagon naładowany piaskiem i grzęźnie w nim. Obliczyć prędkość u wagonu po tym zdarzeniu. Masa wagonu z piaskiem wynosi M. 17. Od dwustopniowej rakiety o masie 1200kg po osiągnięciu szybkości 200m/s, oddzielił się pierwszy stopień o masie 700 kg. Jaką szybkość osiągnął drugi stopień rakiety, jeśli szybkość pierwszego stopnia zmalała w wyniku tej operacji do 150 m/s? 18. Piłka o masie m = 100g uderza w ścianę z prędkością v = 5 m/s pod kątem 60 o odbija się od niej doskonale sprężyście. a) Narysuj wektor zmiany pędu piłki p. b) Oblicz wartość wektora zmiany pędu. c) Na podstawie rysunku wykonanego w punkcie a) zadania podaj kierunek i zwrot siły, którą ściana działa na piłkę i którą piłka działa na ścianę. 19. Dwie kule zawieszone na równoległych niciach tej samej długości stykają się. Kula o masie M zostaje odchylona od pionu tak, że jej środek ciężkości wznosi się na wysokość h zostaje puszczona swobodnie. Na jaką wysokość wzniesie się ta kula po zderzeniu doskonale niesprężystym z drugą kulą. Masa drugiej kuli wynosi m. 20. Z działa o masie M następuje wystrzał pocisku o masie m pod kątem α do poziomu. Oblicz prędkość, z jaką działo zostaje odrzucone wstecz, jeżeli prędkość pocisku względem ziemi wynosi v. 21. Poziomo lecący strumień wody uderza o ścianę i spływa po niej swobodnie. Prędkość strumienia wynosi v, a jego pole przekroju poprzecznego S. Wyznaczyć siłę z jaką ten strumień działa na ścianę. 22. Piłka o masie m uderza pod kątem α o doskonale gładką ścianę i odbija się od niej doskonale sprężyście. Znaleźć średnią siłę F z jaką ściana działa na piłkę. Prędkość padającej piłki v, a czas zderzenia Δt. 23. Kulka o masie 0,25 kg lecąca poziomo z prędkością v 1 = (14, 0, 0) zderza się centralnie idealnie sprężyście z kulką o masie 0,4 kg lecącej poziomo po tej samej prostej z prędkością v 2 = ( 8, 0, 0). Wyznaczyć prędkości (wartości i kierunki) obu kulek po zderzeniu. 24. Rozwiązać poprzednie zadanie przy założeniu, że zderzenie jest idealnie niesprężyste. Jaka ilość i na co jest tracona początkowa wartość energii kinetycznej kulek? Przy jakich warunkach obie kulki po zderzeniu będą spoczywały? 25. Stoisz na łyżwach na idealnie gładkim lodzie. Piłka o masie 0,4 kg, której pozioma prędkość w chwili uderzenia o Twoje ciało o masie 60 kg, wynosi 14 m/s. a) Jeśli złapiesz piłkę, to z jaką prędkością będziesz się poruszał? W jakim kierunku? B) Jeśli piłka odbije się od Ciebie i następnie poruszać się będzie w kierunku przeciwnym z poziomą prędkością 8 m/s, to jaka będzie Twoja prędkość? v m M u 2 u 1 4

5 26. Ciało A o masie 3 kg zderza się idealnie sprężyście i centralnie z innym nieruchomym ciałem. Ciało A po zderzeniu porusza się w tym samym kierunku ale z prędkością czterokrotnie mniejszą? Jak była masa nieruchomego ciała? 27. Dwa klocki o masach 2 kg i 5 kg, spoczywające na idealnie gładkiej poziomej powierzchni, łączy ściśnięta sprężyna. Po zwolnieniu sprężyny ciało o mniejszej masie uzyskało prędkość 2 m/s. Jaką prędkość miał drugi klocek? 28. Neutron zderza się czołowi i idealnie sprężyście ze spoczywającym początkowo jadrem atomu węgla 12 C 6. Jaką część początkowej energii kinetycznej neutronu jest przekazywana atomowi węgla? Wyznaczyć energię kinetyczną jądra węgla i neutronu po zderzeniu, jeśli początkowa energia neutronu wynosiła 1, J. Przyjąć w obliczeniach, że masa jądra węgla jest 12 razy większa od masy neutronu. 29. Podczas legendarnego oblężenia przez Szwedów Jasnej Góry kolubryna o masie własnej 500 kg wystrzeliwała pociski o masie 10 kg z prędkością poziomą 150 m/s przesuwając się przy tym o 2 m. Obliczyć prędkość początkową działa oraz średnią siłę działającą na armatę, zakładając, że ruch armaty jest jednostajnie opóźniony. 30. (Kosmiczna proca) Pojazd kosmiczny Voyager 2 o masie m i prędkości v = 12 km/s względem nieruchomego Słońca zbliża się do Jowisza o masie m J i prędkości orbitalnej v 1 = 13 km/s. Pojazd okrąża planetę i oddala się od niej w kierunku, z którego nadleciał. Wyznacz prędkość pojazdu względem Słońca po tym manewrze, który można rozpatrywać jako zderzenie idealnie sprężyste, przy warunku M m. Ws-ka: skorzystać ze wzoru na prędkości zderzających się obiektów przed i po zderzeniu i przyjąć, że prędkość Jowisza praktycznie nie ulega zmianie. 31. Na jaką wysokość liczoną od położenia równowagi wzniesie się ciało o masie 10 kg, gdy utkwi w nim pocisk o masie m = 0,1 kg lecący poziomo z prędkością v = 200 m/s? (patrz rys. obok, nić jest nieważka). Jak należałoby analizować to zadanie, gdyby ciało+pręt było wahadłem fizycznym? 32. Ciało o masie m = 2 kg znajduje się początkowo na wierzchołku równi o masie M = 8 kg, wysokości h = 2 m i długości poziomej podstawy L = 6 m mogącej poruszać się po poziomej idealnie gładkiej powierzchni. Wyznaczyć położenie równi w momencie, gdy ciało osiągnie koniec równi. Ws-ka: Środek masy układu spoczywa. Wiemy, że współrzędna x-owa środka masy równi 2L/ Zagadnienie egzaminacyjne. (24 pkt.) Zasady zachowania a) Sformułuj zasadę zachowania energii mechanicznej dla pojedynczego ciała o masie m określając warunki, przy spełnieniu których można ją stosować (6 pkt.). b) Podaj wzór na energię mechaniczną Ziemi orbitującej wokół Słońca i wyjaśnij dlaczego wartość tej energii nie zmienia się w czasie. Dane są: m masa Ziemi, M Słońca, r odległość chwilowa Ziemi od Słońca, wektor prędkości chwilowej Ziemi na orbicie okołosłonecznej, G stała grawitacji (4 pkt.). c) Sformułuj zasadę zachowania pędu dla pojedynczego ciała o masie m i wektorze prędkości określając warunki, przy spełnieniu których można ją stosować. (4 pkt.). d) Jakie zasady zachowania obowiązują w trakcie dowolnego centralnego zderzenia (elastycznego lub niesprężystego) dwóch ciał? (6 pkt.). e) Kulka jest przemieszczana po 3 różnych drogach 1: BA, 2: CA i 3: DA w polu grawitacyjnym Ziemi. Uzasadnij stwierdzenie: Praca siły grawitacyjnej na każdej z tych dróg jest taka sama (4pkt.). Wrocław, 5 października W. Salejda 5