MATHCAD Rozwiązywanie równań, optymalizacja, wykresy 3D
|
|
- Patrycja Kuczyńska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MATHCAD Rozwiązywanie równań, optymalizacja, wykresy 3D Wprowadzenie Jak zauważyliśmy w poprzednich ćwiczeniach Mathcad dysponuje dość silnym "solverem" symbo- licznym. Tym niemniej przy rozwiązywaniu złozonych problemów, szczególnie przy rozwiązywaniu równań przestępnych, musimy zastosować bardziej zaawansowane techniki obliczeniowe. i umiejętnie podpowiadać Mathcadowi poprzez wybranie odpowiedniej do danej klasy zagadnień metody. Wymaga to oczywiście pewnego doświadczenia w posługiwaniu się Mathcadem jak również elementarnej wiedzy z metod numerycznych. Rozwiązania równań (lub układów równań) przestępnych w ogólnym przypadku nie da się przedstawić w postaci zwartego wzoru matematycznego i musimy zadowolić się wynikiem numerycznym. W zależności od klasy problemu stosujemy różne metody rozwiazywania równań. Często też stosujemy różne metody zamiennie lub równolegle co pozwala na weryfikację uzyskanego rozwiązania. Poniżej przedstawiono możliwe startegie obliczeń:. Realizacja własnego algorytmu - warto wspomnieć o tym, gdyż jesli wiemy co i jak policzyć to nie musimy polegać na zawiłych algorytmach wbudowanych w Mathcada, ponadto w wyjątkowych sytuacjach może to być jedyna lub najskuteczniejsza metoda obliczeń.. Metoda graficzna - stosowana głównie jako weryfikator wyników i podpowiadacz tzw. punktów startowych w metodach numerycznych. Stanowi ogromną pomoc i jest zawsze zalecana. 3. Solver symboliczny (solve, x ->) - bardzo wygodny i prosty w użyciu, pozwalający na uzyskanie rozwiązania w postaci parametrycznej (wzór a nie liczba), jednak nie zawsze prowadzi do poszu- kiwanego rozwiązania. Tym niemniej jest to podstawowe narzędzie, od którego zawsze możemy rozpocząć nasze poszukiwania i dopiero w razie niepowodzeń zastosować inne metody. 4. Blok "" - to najbardziej wszechstronny sposób rozwiązywania równań, a przede wszystkim układów równań nieliniowych z kilkoma niewiadomymi. Blok given stosuje się również w rozwią- zywaniu równań różniczkowych (zwyczajnych lub cząstkowych) oraz zagadnień optymalizacji.. Zastosowanie specjalizowanych procedur numerycznych - najbardziej efektywny sposób rozwiązania, pod warunkiem zastosowania właściwej procedury do danej klasy problemu. Solver symboliczny (solve, x ->) z p.3 poznaliśmy już na poprzednich ćwiczeniach. Nadaje się przede wszystkim do rozwiązywania równań z jedną niewiadomą, ale można go również wykorzystać w bardziej złożonych zagadnieniach i przy pewnych "sztuczkach" usprawnić proces przetwarzania danych. Dzisiejsze zajęcia poświęcone jednak będą przede wszystkim metodom z punktów 4 i. Warto zauważyć, że z problematyką rozwiązywania równań zetknęliśmy się już w poprzednich ćwiczeniach a pewne tematy zostaną tu powtórzone dla usystematyzowania wiedzy. Już od pierwszych zajęć zaczynaliśmy rozwiązywać proste równania algebraiczne lub układy równań liniowych i stosowaliśmy a) własne algorytmy, b) solver symboliczny lub c) specjalizowaną procedurę lsolve(a,b). Teraz nadszedł własciwy moment aby to wszystko uporządkować. Podzielimy tematykę na kategorie w zależności od rodzaju zagadnienia.
2 Równania z jedną niewiadomą Równania algebraiczne, wielomiany Tu wystarczająco skutecznym narzędziem jest solver symboliczny (solve, x->) ale dla wielomianów mamy alternatywę w postaci specjalnej funkcji polyroots(v), szczególnie zalecana dla wielomianów wyższego stopnia. Ponadto łatwiej przechować rozwiązanie do dalszych przeliczeń. n : Wx ( ) n : x i ( ) i Wx ( ) ( x ) ( x ) ( x 3) ( x 4) ( x ) Wx ( ) expand x x x 3 x + 74 x 0 Wx ( ) 0 solve, x 3 4 świadomie wybieramy prosty wielomian, dla którego znamy pierwiastki aby łatwiej przśledzić dalsze obliczenia Solver bez problemu znajduje rozwiązanie. Ale jak przechować je do dalszych obliczeń? (dla krótkich jednorazowych obliczen możemy ratować się skopiowaniem wyniku poprzez schowek Windows ale na dłuższą metę jest to niewygodne, bo przy każdej zmianie wyniku musimy od nowa kopiować!!!) Możemy zastosować następującą sztuczkę: przed wpisaniem równania definiujemy zmienną, w której przechowamy rozwiązanie (tu będzie to wektor p). Potem już łatwo możemy wyciągać poszczególne pierwiastki do dalszych obliczeń. p : ( W( x) 0) solve, x 3 4 p 3 4 p Wp ( ) 0 tu ORIGIN0 dlatego p to drugi element wektora Aby zastosować funkcję polyroots(v) musimy mieć wektor współczynników wielomianu - możemy go oczywiście policzyć odpowiednim algorytmem, ale na razie aby nie zaciemniać istoty tematu wpiszemy go ręcznie.
3 v : ( ) T wektor wierszowy zajmuje mniej miejsca Yx ( ) : n i 0 v i x i wielomianu nie trzeba nawet wcale definiować tu robimy to tylko dla sprawdzenia Yx ( ) x x x 3 x + 74 x 0 p : polyroots( v) p 3 4 UWAGA: wynik numeryczny szukamy zawsze z pewnym dopuszczalnym (z góry ustalonym) błędem. Tu również wektor p zawiera błedy, o czym przekonać się można po wyświetleniu wyniku z cyframi znaczącymi. Powstaje naturalne pytanie - po co używać polyroots() jeśli (solve, x) robi to dokładniej? Owszem, ale dla wielomianów stopnia > 0 rozwiązanie symboliczne może zająć od kilku sekund do nawet kilku minut na wolnym komputerze, podczas gdy obliczenia numeryczne z użyciem polyroots trwaja zaledwie ułamek sekundy. Oczywiście fakt ten nabiera na znaczeniu dopiero w większych projektach, szczególnie jeżeli duże wielomiany musimy wielokrotnie rozwiązywać. Podobna uwaga dotyczy zresztą i pozostałych procedur numerycznych omawianych poniżej. - w skrócie - zyskujemy ogromną szybkość obliczeń kosztem minimalnych błędów (w typowych zastosowaniach inżynierskich pomijalnie małych) Równania przestępne Wracamy do przykładu z poprzednich ćwiczeń: cos( x) 0.3x, Tu dla wygody przejdziemmy do standardowej postaci f( x) 0 gdzie: f( x) : cos( x) 0.3x. Jak pamietamy (solve, x) potrafił znaleźć tyllko jedno rozwiązanie. Poniżej pokażemy jak mozna znaleźć pozostałe pierwiestki. Jak zwykle bardzo przydatny będzie wykres badanej funkcji i ewentualnie technika "zoomowania" do precyzyjniejszej lokalizacji pierwiastków. a : 0.3 f( x) : cos( x) a x f( x) 0 solve, x Pierwszy - zgrubny wykres Drugi wykres - zawężony do przedziału (-4,)
4 fx ( ) fx ( ) 4 0 x Korzystając z techniki zoomowania można stwierdzić, że dwa pozostałe pierwiastki wynoszą około: x -3.3 i x Dokładniejsze przybliżenia możemy znaleźć przy pomocy funkcji: root( f(x), x) tu musimy wcześniej określić punkt startowy root( f(x), x, a, b) tu zamiast punktu starowego podajemy przedział (a,b) lub za pomocą bloku given i funkcji find(x) UWAGA: Omawiane funkcje - jako ogólniejsze - można również z powodzeniem stosować do równań wielomianowych - "tylko po co wyciągać armatę do zabicia muchy". x f( x) cos( x).3 x x : 3.3 root( f ( x), x) root( f ( x3), x3,., ) sprawdzamy wzór (czy wszystko OK?) definiujemy początkowe przybliżenie i rozwiazujemy tu podajemy przedział (a,b) tak aby na jego końcach funkcja miała różne znaki Drugi sposób jest bezpieczniejszy gdyż zmniejsza ryzyko rozbieżności procesu iteracyjnego. Nie ma tu jednak miejsca na dokładniejsze omówienie tego problemu bo nie jest to kurs matematyki czy metod numerycznych. Naszym celem jest zapoznanie sie z możliwościami jakie oferuje Mathcad. Pokażemy więc poniżej jak otrzymać wszystkie trzy pierwiaski od razu oraz jak kontrolować dokładność. p : 0 niszczymy starą definicje wektora p - to zabieg typowo kosmetyczny a : p i 3 0 b : ( ) : root f ( x), x, a i, b i 3 i : 0.. definiujemy początki i końce przedziałów jako wektory, a nastepnie poprzez zmienną zakresową wykonamy kolejne obliczenia cyklicznie Wywietlimy wyniki i sprawdzimy ewentualne błędy podstawiając do oryginalnego równania p f( p) tu szczęśliwie udało się rozwiązać problem super dokładnie ale na ogół powstają pewne błedy. Ich wielkość możemy konrolować poprzez globalne zmienne TOL i CTOL.
5 Zmienne TOL i CTOL używane są przede wszystkim przy rozwiązywaniu równań w bloku. TOL okresla dopuszczalny błąd względny rozwiązania CTOL określa dopuszczalny błąd względny niespełnienia warunków ograniczających Domyślnie wartości te ustawione są na 0-3 ale możemy je definiować wg własnych potrzeb. Warto jednak pamiętać, że zmniejszając dopuszczalny błąd zmuszamy Mathcada do cięższej pracy Blok + funkcja find(x) x0 :. 0. przed użyciem bloku given należy podać punkt startow. wpisujemy słowo kluczowe "" f( x0) 0. następnie poniżej określamy równania r : Find( x0) 3. rozwiązujemy funkcją find(var,var,...) r f() r p f( p ) 0 CTOL 0 3 tak było do tej pory TOL : 0 0 CTOL : 0 0 podajemy nowe wartości (0-0 to naprawdę bardzo mały błąd) - przeważnie rozwiązanie będzie i tak dokładniejsze o kilka rzędów f( x0) 0 r : Find( x0) r f() r 0 teraz jest OK jak widać rozwiązanie jest mniej dokładne niż z funkcji root co wynika z zastosowania innego algorytmu numerycznego. Możemy jadnak sterować dokładnością obliczeń, a prawdziwe zalety bloku, będziemy mogli docenić dopiero dla układów równań z kilkoma niewiadomymi. Powtórzymy teraz powyższe obliczenia przy zmniejszonej tolerancji na błędy TOL 0 3 W bloku też możemy obliczyć wszystkie pierwiaski za jednym razem jeżeli za punkt startowy podamy wektor a nie pojedynczą wartość z : f() z 0
6 Find() z
7 Ćwiczenie :. Znajdź pierwiastki dowolnego wielomianu 4-go stopnia za pomocą funkcji polyroots() i porównaj wyniki z rozwiązaniem symbolicznym.. Znajdź pierwiastki równania: x x na różne sposoby opisane powyżej (obydwie postacie funkcji root() i blok ). x cos( x) 3. Dana jest macierz funkcyjna Ax ( ) : x. + x Znajdż takie x, dla których wyznacznik tej macierzy będzie równy 0. Uwaga: do zadań z p. i 3. sporządź odpowiednie wykresy. Układy równań z wieloma niewiadomymi Układy równań liniowych Temat ten szczegółowo omówiliśmy w ćw. (zajrzyj do pliku mcad_.mcd). Przypomnijmy jedynie, że obliczenia możemy przeprowadzić z zastosowaniem funkcji lsolve(a,b) lub poprzez macierz odwrotną. Nieliniowe układy równań Rozwiązywanie nieliniowych układów równań jest skomplikowanym zagadnieniem. Klasyczne podejście analityczne jest na ogół z góry skazane na niepowodzenie, gdyż eliminacja kolejnych zmiennych (nawet gdy możliwa) jest czasochłonna i prowadzi na ogół do skomplikowanego równania przestępnego. Mathcad pozwala w dość łatwy sposób przezwyciężyć te trudności na drodze numerycznej. Najbardziej uniwersalne jest w tym przypadku zastosowanie bloku, ale w niektórych szczególnych przypadkach możliwe jest nawet uzyskanie rozwiązania symbolicznego (solve, vec(x,y,z) ->).Aby nie zagłębiać sie dalej w zawiłosci teoretyczne przejdziemy od razu do przykładu. Przykład: Wyznacz okrąg przecinający punkty (x,y) (,4), (-3,), (,) Zadanie to można łatwo rozwiązać wykonując proste obliczenia geometrii analitycznej. Na wstępie należy wyznaczyć dwie proste prostopadłe do boków np. i 3 i przechodzące przez ich środki. Następnie z układu równań liniowych (równań tych prostych) znaleźć można środek okręgu (x0,y0) a na koniec wyznaczyć promień jako odległość (x0,y0) do np. (x,y). Opisany tu algorytm wymaga jednak trochę "ręcznej" pracy aby wpisać odpowiednie wzory i równania. Czy nie możemy wykonać obliczen prościej? Spróbujmy zapisać w bezpośredniej postaci odpowiedni układ równań i zlecić jego rozwiązanie Mathcadowi. Poniżej podajemy różne sposoby zapisu i rozwiązania problemu.
8 x : y : 4 x : 3 y : definiujemy parametry zadania (tu współrzędne punktów x3 : y3 : x0 : 0 y0 : 0 r : 4 podajemy punkt startowy do rozwiązania ( x x0) + ( y y0) r ( x x0) + ( y y0) r ( x3 x0) + ( y3 y0) r definiujemy blok punkty muszą spełniać to samo równanie okręgu Find( x0, y0, r) otrzymaliśmy okrąg o promieniu i środku (,) xp : 3 yp : 4 można znacznie skrócić zapis wykorzystując notację macierzową ( xp x0) + ( yp y0) r teraz trzy zwykłe równania możemy zapisać jednym równaniem macierzowym r > 0 Przy okazji nowy element - w bloku given możemy podawać nie tylko równości ale i dodatkowe ograniczenia w postaci nierówności. W rozpatrywanym przypadku nie Find( x0, y0, r) miało to znaczenia bo początkowa wartość r była dodatnia i nawet bez tego ograniczenia otrzymujemy r Rozpatrywany układ równań jest na tyle prosty, że mozna go nawet rozwiązać symbolicznie ( x xs) + ( y ys) rs ( x xs) + ( y ys) rs ( x3 xs) + ( y3 ys) rs solve, xs ys rs Tu również możemy podać dodatkowe ograniczenia nierównościowe
9 ( x xs) + ( y ys) rs ( x xs) + ( y ys) rs ( x3 xs) + ( y3 ys) rs rs > 0 xs solve, ys ( ) W bloku można również uzyskać rozwiązanie symboliczne (po funkcji find wciskamy Ctrl+. ). ( x xx) + ( y yy) rr ( x xx) + ( y yy) rr ( x3 xx) + ( y3 yy) rr Find( xx, yy, rr) rs Ale z niewiadomych przyczyn nie można tu podać ograniczeń typu rr > 0 Na zakończenie omawianego przykładu zilustrujemy rozwiązanie graficznie.. tworzymy parametryczny wykres znalezionego okręgu. dodajemy serie punktów xp i yp 3. oraz pojedynczy punkt (,) Aby uzyskać końcowy efekt jak na wykresie obok musimy go jeszcze odpowiednio sformatować. sin() t + yp 0 cos() t +, xp, Ćwiczenie. Okrąg o promieniu i środku w punkcie (0,0) przecina krzywa y( x) : e x. Sporządź wykresy tych krzywych i oblicz punkty przecięcia z dokładnością co najmniej cyfr znaczących.. Wykorzystując rozwiązanie z poprzedniego punktu oblicz pole powierzchni "górnego-lewego" wycinka koła. 0
10 Wprowadzenie do optymalizacji Tematyka optymalizacji jest na tyle bogata, że nie sposób tu podać nawet fragmentarycznych wiadomości. Punkt niniejszy proszę więc traktować czysto technicznie - czyli jak znaleźć opimum pewnej funkcji (tzw. funkcji celu) w Mathcadzie. Otóż rozwiązanie problemu zapisujemy praktycznie zawsze w podobny do opisanego niżej algorytmu. Z formalnego punktu widzenia nie jest istotne czy rozwiązujemy zadanie z jedną lub wieloma zmiennymi decyzyjnymi, z ograniczeniami lub bez, oraz czy zadanie jest liniowe lub nieliniowe. Zapis w Mathcadzie będzie zawsze podobny a solver sam będzie próbował sklasyfikować problem i zastosować odpowiednią procedurę numeryczną. Podobnie jak wcześniej, przejdziemy do konkretnego przykładu. Przykład: Obliczyć odległość dwóch krzywych y y x. Dla ułatwienia parametryzujemy obydwie krzywe - dla pierwszej krzywej przyjmujemy parametr a x, a dla drugiej by. Musimy teraz zdefiniować funkcję odległości dla tych parametrów i obliczyć kiedy osiągnie minimalną wartość. Dla uproszczenia możemy wziąć kwadrat odległości - unikniemy pierwiastkowania i zmniejszymy stopień nieliniowości naszej funkcji celu e x i e t t 0 tt, f( a, b) : a b f( 0, 0) ( ) + ( e a b) definiujemy funkcję celu to tylko dla sprawdzenia czy OK a : 0 b : 0 punkty startowe - musimy zawsze podać tu ew. mogą być zapisane ograniczenia pusty blok given bo nie mamy ograniczeń r : Minimize( f, a, b) obliczenie (a,b) > min f(a,b) r a : r 0 b : r Ostatecznie odległość jest równa L : f( a, b) L
11 Na koniec przedstawiamy wykres z zaznaczeniem znalezionych (najbliższych) punktów na wykresie. rx ( a b ) T : ry ( e a b ) T : rx ry e t t ry UWAGA: Aby prawidłowo pokazać odległość musimy zadbać aby skale osi x i y były takie same. W innym razie wykres będzie zniekształcony i trudno będzie ocenić czy rozwiazanie jest OK. tt,, rx Wykresy przestrzenne UWAGA: Wykresy przestrzenne (powierzchniowe lub warsticowe) zostały umieszczone w oddzielnym pliku, ze względu na niestabilną pracę Mathcada (częste zawieszanie aplikacji przy obróbce i formatowaniu wykresów). Proszę zapisać i najlepiej zamknąć wszystkie otwarte pliki i dopiero przejść do pliku Plot3D.mcd. Ćwiczenie 3 Wyznacz maximum i minimum funkcji: f( x, y) exp x + y : sin( x) + cosy + 0. Sporządź wstępne wykresy powierzchniowy i warstwicowy.. Zlokalizuj graficznie (oszacuj) maximum i minimum i sporządź w ich otoczeniu odpowiednie wykresy warstwicowe. 3. Na podstawie wykonanych wykresów podaj odpowiednie punkty startowe do bloków i znajdż min i max f(x,y). 4. Jak sprawdzić czy rozwiązanie jest OK? UWAGA: ze względu na częste zawieszanie Mathcada przy pracy z wykresami 3D proszę zadanie to wykonać w oddzielnym pliku (ew. pominąć punkty i ).
Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje
Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje
Bardziej szczegółowoNumeryczne rozwiązywanie równań i układów równań
Lekcja Strona z 2 Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań Rozwiązywanie pojedynczego równania - funkcja root Do rozwiązywania jednego równania z jedną niewiadomą służy funkcja root(f(z), z), gdzie:
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
Bardziej szczegółowoMATHCAD Obliczenia symboliczne
MATHCAD 000 - Obliczenia symboliczne Przekształcenia algebraiczne UWAGA: Obliczenia symboliczne można wywoływać na dwa różne sposoby: poprzez menu Symbolics poprzez przyciski paska narzędziowego Symbolic
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoCzwicienie 2 1. Wektory i macierze
Czwicienie 2 1. Wektory i macierze Wektor można definiować jako ciąg (patrz ćw.7) lub przez wstawienie macierzy o jednej kolumnie lub jednym wierszu (z palety przycisków "macierze i wektory"). Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
Bardziej szczegółowoKLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoRzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoSzukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Wielomiany komputerowe wykresy funkcji wielomianowych
Autorzy scenariusza: SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH
Bardziej szczegółowoKLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ
KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Bardziej szczegółowoK P K P R K P R D K P R D W
KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoEgzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
Bardziej szczegółowoZakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY
MATEMATYKA Klasa TMB Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY (zakres rozszerzony - czcionką pogrubioną) Hasła programowe Wymagania
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 10
Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury
LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych - na ocenę dopuszczającą (2) uczeń potrafi: zamieniać ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych podać przybliżenie dziesiętne
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z rozkładem materiału
Plan wynikowy z rozkładem materiału Plan wynikowy oraz rozkład materiału nauczania są indywidualnymi dokumentami nauczycielskimi związanymi z realizowanym programem nauczania. Uwzględniają specyfikę danej
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki do programu pracy z podręcznikiem Matematyka wokół nas
Wymagania edukacyjne z matematyki do programu pracy z podręcznikiem Matematyka wokół nas klasa I 1)Działania na liczbach: dopuszczający: uczeń potrafi poprawnie wykonać cztery podstawowe działania na ułamkach
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej i ich graficzna prezentacja
SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoEXCEL Prowadzący: dr hab. inż. Marek Jaszczur Poziom: początkujący
EXCEL Prowadzący: dr hab. inż. Marek Jaszczur Poziom: początkujący Laboratorium 3: Macierze i wykresy Cel: wykonywanie obliczeń na wektorach i macierzach, wykonywanie wykresów Czas wprowadzenia 25 minut,
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Bardziej szczegółowoRozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)
Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoZakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoOpis wymagań do programu Matematyka klasa VI
Opis wymagań do programu Matematyka 2001- klasa VI Cele ogólne wytyczają kierunki pracy z uczniami, zaś cele szczegółowe są opisem osiągnięć uczniów w wyniku kształcenia na danym przedmiocie i etapie edukacji.
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoPoniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ LICEUM
Potęgi, pierwiastki i logarytmy 23 h DZIAŁ PROGRAMOWY JEDNOSTKA LEKCYJNA Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH:
Bardziej szczegółowoZakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry
Kryteria oceniania z matematyki poziom podstawowy klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy proporcjonalnością
Bardziej szczegółowoznajdowały się różne instrukcje) to tak naprawdę definicja funkcji main.
Część XVI C++ Funkcje Jeśli nasz program rozrósł się już do kilkudziesięciu linijek, warto pomyśleć o jego podziale na mniejsze części. Poznajmy więc funkcje. Szybko się przekonamy, że funkcja to bardzo
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1
Wpisywanie tekstu Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Domyślnie, Mathcad traktuje wpisywany tekst jako wyrażenia matematyczne. Do trybu tekstowego można przejść na dwa sposoby: Zaczynając wpisywanie
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoElementy projektowania inzynierskiego Przypomnienie systemu Mathcad
Elementy projektowania inzynierskiego Definicja zmiennych skalarnych a : [S] - SPACE a [T] - TAB - CTRL b - SHIFT h h. : / Wyświetlenie wartości zmiennych a a = b h. h. = Przykładowe wyrażenia
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne 2. Liczby całkowite. 3. Liczby wymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby
Bardziej szczegółowo