Algorytm Euklidesa. Dwie monety - jeden problem. Trochę matematyki 180=36*5 180=60*3

Transkrypt

1 Algorytm Euklidesa Dwie monety - jeden problem Czym jest Algorytm Euklidesa i jak taki algorytm można zapisać? Do czego służy? Jeżeli chcesz poznać odpowiedź na te pytania, zapraszamy do lektury! Ten algorytm to rzecz niezbędna dla każdego, kto chce wykorzystać w swoich programach siłę liczb. Nim przejdziemy do sedna sprawy, spróbujmy rozwiązać takie zadanie: Dysponujemy monetami o dwóch nominałach - 36 i 60 złotych (to musi być w jakiś dawnych czasach...). Chcemy za ich pomocą wypłacić tę samą kwotę - raz tylko monetami 36-cio złotowymi, raz tylko 60-cio złotowymi. Jaka jest najmniejsza niezerowa kwota, która spełnia te wymagania? No tak, to nie jest trudne - wystarczy chwilę pomyśleć, aby znaleźć tę kwotę - to 180. Faktycznie: 180=36*5 180=60*3 Ale dlaczego 180 jest najmniejszą taką liczbą? Ten przykład był prosty, występowały w nim niewielkie liczby. Ale jak znaleźć odpowiedź, gdy ktoś zapyta nas o monety o nominałach 2278 i 2814? Albo 1067 i 582? To wcale nietrudne! Trochę matematyki Na początek przypomnijmy kilka wiadomości z matematyki: 1. Mówimy, że liczba d dzieli liczbę n, jeśli istnieje taka liczba całkowita k, że n=k*d. Np. 3 dzieli 12, gdyż 12=3*4, a 16 dzieli 144, gdyż 144=16*9. Fakt, że d dzieli n zapisujemy w ten sposób: d n. Mamy więc 3 12 oraz Mówimy, że jeśli d dzieli n, to d jest dzielnikiem n, a n jest wielokrotnością d. Jeżeli liczba d nie dzieli n, będziemy pisać, że d ƚ n.

2 2. Jeżeli liczba dzieli zarówno liczbę, jak i liczbę, to dzieli też ich różnicę,, oraz sumę. Linia powyżej mówi nam, że jeśli dzieli i dzieli, to znaczy, że obie te liczby można zapisać jako iloczyn i odpowiednio oraz. W takim razie ich różnica,, równa jest, a to oznacza, że ta różnica jest podzielna przez. Podobnie jest podzielne przez, gdyż ta suma to. 3. Jeżeli dzieli, i dzieli, to dzieli. 4. Jeżeli liczby a i b nie mają żadnego wspólnego dzielnika, większego niż jeden (czyli nie istnieje liczba większa od jeden, która dzieliłaby zarówno a jaki i b), to mówimy, że te liczby są względnie pierwsze. Zapisujemy to w ten sposób :. Na przykład 18 i 35 są względnie pierwsze, za to 24 i 33 nie są względnie pierwsze, gdyż 3 24 oraz Najmniejsze i największe Jaki mamy z tego pożytek? Powróćmy do przykładu z monetami o nominałach i. Szukaliśmy takiej kwoty, która byłaby podzielna zarówno przez jak i przez. To oznacza, że taka kwota musi się dzielić przez te same liczby, przez które dzielą się i. Chcemy też, aby ta liczba była jak najmniejsza. Taką najmniejszą dodatnią liczbę, podzielną przez oznaczamy przez. i przez, nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością i Jak ją wyznaczyć? Zauważmy, że wystarczy, aby dzieliła się przez wszystkie dzielniki i. Chcemy otrzymać liczbę jak najmniejszą, więc nie ma sensu duplikować dzielników - jeżeli jakaś liczba dzieli zarówno jak i, ale nie dzieli obu tych liczb, to nie ma sensu, aby dzieliła się przez, wystarczy aby dzieliła się przez. Stąd często.

3 Gdybyśmy potrafili wyznaczyć największą taką liczbę, przez którą dzielą się obie liczby wyznaczylibyśmy... dlaczego? i, to w łatwy sposób Spójrzmy na nasz przykład -,. Widzimy, że to największy wspólny dzielnik tych dwóch liczb. W takim razie ich najmniejsza wspólna wielokrotność musi być równa. Dlaczego? Ponieważ musi dzielić się przez (bo jest podzielne przez ), musi się też dzielić przez ( jest podzielne przez ), oraz przez - największy wspólny dzielnik i. I to wszystko - każda liczba która dzieli oraz dzieli, dzieli też ich (największy wspólny dzielnik), czyli. Gdyby było inaczej, powiedzmy, że istniałaby liczba pierwsza, taka, że, nie byłoby - wszak jest większe niż i też dzieli obie nasze liczby. Wiemy też, że. Dlaczego? Wobec tego liczby oraz są względnie pierwsze - w znajdują się wszystkie wspólne dzielniki i - gdy podzielimy i przez ich, dostaniemy liczby, które nie mogą mieć wspólnego dzielnika, większego od. Wobec tego, wymnażając, oraz otrzymamy najmniejszą liczbę podzielną przez i przez. Faktycznie,. Znajdowanie największego wspólnego dzielnika Wiemy już, że pozostało nam znaleźć sposób na obliczanie największego wspólnego dzielnika. Wiemy już pewną bardzo ważną rzecz - jeśli jakaś liczba dzieli i dzieli, to dzieli również ich różnicę,. W szczególności dotyczy to. Mamy więc: Jeśli to Dlaczego? Wiemy już, że jeśli jakaś liczba dzieli i, to dzieli ich różnicę. Więc na pewno. Z kolei wiemy też, że każdy wspólny dzielnik dwóch liczb dzieli ich sumę, stąd. Wobec tego zachodzi powyższa równość, bo każdy wspólny dzielnik i dzieli, i każdy wspólny dzielnik i dzieli. Stąd już tylko parę kroków do zachwycającego prostotą algorytmu Euklidesa. Prześledźmy wykorzystanie faktu dla konkretnych liczb, na przykład i :

4 Uff... trochę to przydługawe, ale w końcu dobrnęliśmy do rozwiązania - musi być równe, gdyż dzieli się przez każdą niezerową liczbę, więc też przez, które z kolei jest największym dzielnikiem, czyż nie? To, co wykonaliśmy powyżej, to właśnie Algorytm Euklidesa. Dopóki jedna z liczb i nie jest równa, odejmujemy mniejszą liczbę od większej. Każde kolejne jest równe poprzedniemu, a kiedyś musimy dobrnąć do zera (dlaczego?) i odnaleźć rozwiązanie, gdyż jeśli, to. Jeszcze lepiej Oczywiście da się ten algorytm ulepszyć. Zauważ, że trochę bez sensu było liczenie kolejno,. Cały czas odejmowaliśmy, aż osiągnęliśmy liczbę mniejszą niż. Tak przecież działa Algorytm Euklidesa - dopóki pierwsza liczba jest większa od drugiej, odejmujemy drugą od pierwszej. W takim razie nietrudno jest ulepszyć nasz algorytm do takiej postaci: Wyjaśnijmy sobie to! to wynik dzielenia przez bez reszty - mówiąc nieformalnie, jest to ilość pełnych wystąpień w. Innymi słowy, tyle właśnie razy możemy odejmować od, aż dostaniemy liczbę mniejszą od. W takim razie "kompresujemy" sobie kolejne kroki algorytmu, polegające na żmudnym odejmowaniu wielokrotnie, do jedengo kroku. Zauważ, że to właśnie wynik odjęcia od wszystkich "mieszczących" się w wystąpień. Zauważ, jak przyspiesza to działanie algorytmu - gdybyśmy chcieli poprzednią metodą liczyć... Tymczasem w naszej nowej metodzie mamy. Zapiszmy nasz algorytm w języku C++: int NWD(int a, int b){ int q, temp; } while(b){ q = a/b; temp = b; b = a - q*b; a = temp; } return a; Jest to dokładnie zapis naszego algorytmu - dopóki mniejszy z elementów pary "zamianę" na. Gdy, nasz największy wspólny dzielnik to. nie jest zerem, wykonujemy Jak szybko działa ten algorytm? Jeżeli znane są Ci pojęcia złożoności obliczeniowej to zapewne ucieszy Cię wiadomość, że Algorytm Euklidesa działa w czasie logarytmicznym względem wielkości liczb i. Jeśli zaś nie, to zachęcamy do dowiedzenia się czegoś na ten temat - nie mniej jednak oznacza to, że algorytm działa błyskawicznie. Zachęcamy do zapisania tego algorytmu i wykorzystania go do rozwiązania zadania Monety. Jego dokładna treść i specyfikacja znajdują się na ostatniej stronie artykułu.

5 Kolejny problem Zastanówmy się nad rozwiązaniem poniższego zadania: Aptekarz ma przed sobą ciężkie zadanie - musi odmierzyć gramów leku, dysponuje dwoma odważnikami, o wagach i gramów. Może użyć dowolnej ilości każdego z tych odważników na wadze szalkowej. Znajdź sposób odważenia żądanej ilości leku. Jak się do tego zabrać? Postarajmy się zapisać to zadanie w języku matematyki: Przykładowe odważenie jednego grama niebieskiego leku za pomocą odważników o wagach i gramów. Szukamy takich liczb całkowitych i, że: Zauważ, że nie ma sensu kłaść odważników tej samej wagi na różnych szalach - równoważyłyby się. Wobec tego możemy założyć, że układamy odważniki wagi na lewej szalce, a odważniki wagi na prawej szalce. Wtedy różnica wag na obu szalkach musi być równa albo, albo - oznacza to, że jeśli umieścimy lek odpowiednio na prawej bądź lewej szalce, waga będzie w stanie równowagi i odważymy szukane gramów. Zauważmy, że musi zachodzić. W istocie, skoro i, to również. Jeśli więc umielibyśmy znaleźć takie liczby i, że (przy oznaczeniu to biorąc i dostalibyśmy Okazuje się, że Algorytm Euklidesa potrafi znaleźć takie liczby. Jeśli udałoby się znaleźć szukane liczby i, to byłoby kombinacją liniową liczb i - to właśnie oznacza równanie - liczbę d można zapisać jako sumę pewnej wielokrotności całkowitej liczby i pewnej wielokrotności całkowitej liczby (nie przejmujmy się tym, że mamy minus - można by bez żadnej szkody napisać. Zauważmy, że jeśli jakieś liczba i są kombinacjami liniowymi i, to ich różnica,, również jest kombinacją liniową i. Spójrzmy: Jeśli dla pewnych całkowitych, to. Jak działa Algorytm Euklidesa? Zaczynamy od. Zarówno jak i są oczywiście kombinacjami liniowymi i. W każdym kolejnym kroku algorytmu zamieniamy jedną z tych liczb na ich różnicę. Wobec tego cały czas algorytm pracuje na dwóch liczbach, będących kombinacjami liniowymi i. W końcu docieramy do - wobec tego też jest kombinacją liniową i. Spójrzmy na przykład: Niech

6 Udało się! Nie dość, że znaleźliśmy, równe, to wiemy, że. Zauważ, że policzyliśmy też krok wcześniej w algorytmie, że. Widzimy więc, że takie przedstawienie w postaci kombinacji liniowej nie jest unikalne. Zajmiemy się tą sprawą w dalszej części algorytmu, teraz postarajmy się wyprowadzić sposób na obliczanie współczynników i do równania. Przy okazji warto byłoby też przekształcić powyższy przykład do ulepszonego algorytmu Euklidesa - tego, w którym zamiast odejmować liczby od siebie wielokrotnie, od razu "wycinaliśmy" wszystkie wystąpienia mniejszej liczby z większej liczby. Nie będzie to dużo trudniejsze - spójrzmy na ten sam przykład: Niech Poniżej przykład dla i : Algorytm O ileż szybciej! Wprowadźmy pewne oznaczenia, aby móc łatwo zapisać tę zależność algorytmem: 1. Oznaczmy kolejne liczby pojawiające się w Algorytmie Euklidesa, jako. Mamy na myśli to, że,, i tak dalej Niech ciągi spełniają zależności:

7 Co to oznacza? Liczby i to współczynniki, które pozwalają przedstawić kolejne liczby pojawiające się w algorytmie Euklidesa jako kombinacje liniowe i. Mamy więc dla naszego powyższego przykładu: - Koniec algorytmu Widzimy wobec tego, że gdy algorytm się zakończy ( dla pewnego ) to współczynniki, których szukamy, to i - one spełniają gdyż wiemy, że gdy osiągamy zero dla, to poprzednio uzyskana liczba jest największym wspólnym dzielnikiem i. Jak obliczać te współczynniki? Spójrzmy poniżej: Więc jeśli przyjmiemy: to otrzymamy: Przyjrzyjmy się poniższemu algorytmowi: int a[1000], s[1000], t[1000]; int A, B, n, q, temp; cin >> A >> B; a[0] = A; a[1] = B; s[0] = 1; s[1] = 0; t[0] = 0; t[1] = 1; n = 1; while(a[n]!= 0){ q = a[n-1]/a[n]; a[n+1] = a[n-1] - q*a[n]; s[n+1] = s[n-1] - q*s[n]; t[n+1] = t[n-1] - q*t[n]; n++; } Hurra! cout << "NWD(" << A << "," << B << ") = " << a[n-1] << endl; cout << s[n-1] << "*" << A << " + "; cout << t[n-1] << "*" << B << " = " << a[n-1] << endl;

8 Wypróbuj go! Zastanów się, dlaczego tablice o rozmiarze na pewno wystarczą. Zastanów się też, czy nie dałoby się zapisać tego algorytmu z mniejszym zużyciem pamięci - nie deklarując tablic (zwróć uwagę na to, że np. gdy już obliczysz i, to nigdy nie będziesz korzystać z,,. Kilka ciekawych problemów W jednym z naszych przykładów okazało się, że można zapisać jako kombinację liniową i na wiele sposobów. Jak wyznaczyć wszystkie takie sposoby? Załóżmy, że: Weźmy, dla liczby całkowitej. Wtedy Wobec tego dla każdego całkowitego i też są dobrymi współczynnikami, pozwalającymi uzyskać jako kombinację liniową i. Znaleźliśmy nieskończenie wiele takich liczb. Ale czy to wszystkie takie liczby? Załóżmy przeciwnie - że można znaleźć takie dwie liczby całkowite,, że nie różnią się od naszych i o odpowiednio wielokrotność i. Mielibyśmy wtedy: Ale i są względnie pierwsze (inaczej nie byłoby największym dzielnikiem). Wobec tego musi zachodzić: A to oznacza, że muszą się różnić o wielokrotność odpowiednio i, co dowodzi, że nasz sposób znajduje wszystkie rozwiązania. Zadania Zastanów się nad dwoma poniższymi problemami (możesz wysłać do nich rozwiązanie na sprawdzaczkę). 1. Mamy liczbę pierwszą, oraz liczbę całkowitą dodatnią,. Jak znaleźć taką liczbę całkowitą dodatnią,, taką, że?. (Taką liczbę nazywamy odwrotnością w modulo p). 2. Rozważmy wspominany problem aptekarza, z jednym dodatkiem - aptekarz chciałby użyć jak najmniej odważników. Jak znaleźć takie rozwiązanie? Poniżej znajdują się dokładne specyfikacje tych zadań i okienka do wysłania rozwiązań. Zachęcamy do spróbowania swoich sił!

9 Zadanie Monety Limit czasowy: 1s; Limit pamięciowy: 16 MB Aptekarz Joe bardzo lubi liczyć bilon z kasy w swojej aptece. Dzisiaj wpadł na pomysł, aby wziąć sobie dwie monety o pewnych nominałach i znaleźć taką kwotę, którą można wypłacić zarówno za pomocą dowolnej ilości monet pierwszego rodzaju jak i za pomocą dowolnej ilości monet drugiego rodzaju. Joe nie jest zbyt inteligentny, poprosił więc Cię o pomoc. Napisz program, który znajdzie dla niego taką kwotę! Wejście: Pierwsza linia wejścia składa się z jednej liczby całkowitej, oznaczającej ilość testów do rozważenia. W kolejnych liniach znajdują się pary liczb całkowitych,. Wyjście: Dla każdej pary należy na wyjściu wypisać jedną linię z jedną liczbą - najmniejszą taką kwotą, którą można wypłacić zarówno za pomocą nominału jak i. Przykład: Dla wejścia: Poprawne wyjście to: Damian Rusak