Zadania dodatkowe z fizyki dla studentów WGGiIŚ, GiK, I rok, semestr 1

Transkrypt

1 Zadania dodatkowe z fizyki dla studentów WGGiIŚ, GiK, I rok, semestr PołoŜenie dwóch punktów względem środka układu współrzędnych opisują dwa wektory r 1 =4i+3j+8k oraz r 2 =2i+10j+5k. Obliczyć: a) długość kaŝdego wektora, b) wektor połoŝenia r 3 drugiego punktu względem pierwszego, c) wektor połoŝenia r 4 pierwszego punktu względem drugiego, d) kąt między wektorami r 3 i r 4, e) rzut wektora r 2 na r 1 Dany jest wektor a=2i-3j+5k. Wyznacz kąt, który tworzy wektor b z płaszczyzna XY, jeŝeli wiadomo, Ŝe dwie pierwsze jego współrzędne to odpowiednio 2 i -2 oraz, Ŝe jest prostopadły do wektora a. Z mostu znajdującego się nad wodą na wysokości 50 m upuszczono kamień. Inny kamień rzucono pionowo w dół w sekundę potem. Oba kamienie uderzają w powierzchnie wody w tej samej chwili. (a) Jaka była prędkość początkowa drugiego kamienia? (b) Sporządzić wykres zaleŝności prędkości od czasu dla kaŝdego z kamieni przyjmując, Ŝe pierwszy z nich upuszczono w chwili t = 0. Samolot leci z prędkością naddźwiękową na wysokości 4 km nad powierzchnią ziemi. Dźwięk dotarł do obserwatora po upływie 10 s od chwili, kiedy samolot nad nim przeleciał. Oblicz prędkość samolotu, przyjmując prędkość dźwięku równą 330 m/s. W jakim odstępie czasu T oderwały się dwie krople wody od krawędzi dachu, jeŝeli po upływie czasu t = 2,5s, licząc od oderwania się drugiej kropli, odległość między kroplami wynosiła s 30m? Dwie muchy poruszają się w prostokątnym układzie współrzędnych z prędkościami: v 1 =2i [m/s] i v 2 =3j [m/s]. W chwili t=0 muchy te znajdują się odpowiednio w punktach o współrzędnych: x 1 =-3 [m], y 1 =0 [m] oraz x 2 =0 [m], y 2 =-3[m]. a) znaleźć wektor opisujący połoŝenie jednej muchy względem drugiej wyznaczyć czas oraz połoŝenie much w chwili, kiedy będą najbliŝej siebie Krople deszczu spadają z prędkością 5m/s. Na przednią szybę stojącego samochodu w przeciągu minuty spada 100 cm 3 deszczu. Ile deszczu zacznie spadać na szybę, jeśli samochód zacznie się poruszać z prędkością 72 km/h? śołnierz strzela z karabinu do stojącego wagonu kolejowego. Pocisk przebija poziomo pierwszą ścianę, wylatuje z prędkością 30 m/s i uderza w drugą 5 cm niŝej. Oblicz szerokość wagonu. Oblicz o ile niŝej uderzyłby pocisk jeśli wagon poruszałby się z prędkością 40 km/h (a) w kierunku strzelającego, (b) oddalałby się od niego. Do prostopadłej tarczy strzelniczej znajdującej się w odległości 50 m oddano dwa strzały w kierunku poziomym przy identycznym ustawieniu karabinu. wskutek przypadkowej róŝnicy jakości nabojów prędkość początkowa pocisku wynosiła w pierwszym przypadku 320 m/s a w drugim 350 m/s. Jaka jest odległość między punktami trafienia w tarczę? Kamień rzucono w kierunku poziomym. Po upływie 0.5 s od rozpoczęcia ruchu prędkość kamienia była 1.5-krotnie większa od prędkości początkowej. Znaleźć prędkość początkową kamienia. Opór powietrza zaniedbać. Z samolotu lecącego na wysokości 500 m z prędkością 200 km/h pomocnik pilota wyrzucił zasobnik w chwili, gdy przelatywali nad drzewem rosnącym pośrodku duŝej łąki. W chwili rzutu zasobnik uzyskał prędkość 15m/s skierowaną pod kątem 45 o w dół w kierunku przeciwnym niŝ ruch samolotu. Oblicz, w jakiej odległości od drzewa i z jaką prędkością spadnie na ziemię zasobnik. Z węŝa tryska strumień wody pod kątem 30 o do poziomu i spada na ziemię w odległości 12 m. Pole przekroju węŝa wynosi 1 cm 2. Ile wody wypływa z węŝa w ciągu jednej minuty? 1

2 Bombowiec nurkuje po prostej pod kątem α do poziomu z prędkością v 0. JeŜeli pilot chce zrzucić bombę na wysokości H i trafić dokładnie w cel, to w jakiej odległości od celu powinien to zrobić? Na wzgórzu znajduje się cel widoczny z miejsca stacjonowania armaty pod kątem 15 o względem poziomu. Odległość w kierunku poziomym od armaty wynosi 2 km. Do celu Ŝołnierze strzelają przy kącie podniesienia lufy 30 o. Wyznaczyć prędkość początkową pocisku, jeśli wiadomo, Ŝe trafia w cel. Współczynnik tarcia wagonu kolejowego o szyny wynosi 0,005. ZjeŜdŜając z górki rozrządowej o nachyleniu wynoszącym α = 2 o uzyskał on u jej podnóŝa prędkość 1,4m/s. Dalej poruszał się poziomo. (a) Jaką drogę przebędzie do chwili zatrzymania? (b) Ile wynosiła wysokość górki? Sznur wytrzymuje cięŝar 900 N przy podnoszeniu pionowym do góry ruchem jednostajnie przyspieszonym a 1100 N przy opuszczaniu w dół z takim samym przyspieszeniem. Jaki cięŝar moŝna podnieść za pomocą tego sznura ruchem jednostajnym? Rozpatrując ruch układu cięŝarków o masach m 1 oraz m 2, połączonych ze sobą jak pokazano na rysunku, moŝna pominąć masy linek, bloczków oraz siły tarcia. Wyznaczyć przyspieszenie cięŝarków oraz napręŝenie linek w punktach ich umocowania Na gładkim poziomym stole leŝy klocek o masie 2 kg, na nim połoŝono drugi klocek o masie 1 kg. Obydwa klocki połączono za pomocą linki przerzuconej przez bloczek. Jaką siłę F naleŝy przyłoŝyć do dolnego klocka, aby zaczął się oddalać ze stałym przyspieszeniem a = g/2? Współczynnik tarcia między klockami wynosi µ. Masy linki i bloczka a takŝe tarcie między dolnym klockiem a stołem zaniedbać. Na dwa klocki o masach m 1 i m 2, związane nierozciągliwą nicią działają siły F 1 i F 2 pod kątami α 1 i α 2. znaleźć przyspieszenie układu, jeśli współczynnik tarcia między klockami a płaszczyzną wynosi µ. 20. Samolot wznosi się i na wysokości 5 km osiąga prędkość 360 km/h. Ile razy praca wykonana podczas wznoszenia przeciwko sile cięŝkości jest większa od pracy powodującej zwiększenie prędkości samolotu? 2

3 Ciało o cięŝarze P za pomocą nici przerzuconej przez niewaŝki krąŝek ciągnie po równi pochyłej ciało o takim samym cięŝarze. Wyznaczyć przyspieszenie, z jakim poruszają się oba cięŝary, jeŝeli równia pochyła tworzy z poziomem kąt α = 30 o, a współczynnik tarcia wynosi µ = 0,05 Dwa klocki o masach M = 1,65 kg i m = 3,3 kg połączono prętem o znikomo małej masie w sposób pokazany na rysunku. Kąt nachylenia równi wynosi 30 o. Współczynnik tarcia miedzy równią a lŝejszym klockiem wynosi 0,226 zaś między równą a cięŝszym klockiem 0,113. Obliczyć (a) napręŝenie pręta łączącego te masy (b) wspólne przyspieszenie obu mas. Czy odpowiedzi na te pytania uległyby zmianie, gdyby masy zamienić miejscami? Klin, którego boki mają długość l = 20 cm a podstawa szerokość b = 6 cm, jest wbijany siłą F =200 N. Obliczyć siły działające na boki klina. Pocisk lecący poziomo trafił w kulę zawieszoną na bardzo lekkim, sztywnym pręcie i w niej utkwił. Masa pocisku wynosi 5 g, a masa kuli 0,5 kg. Prędkość pocisku w chwili zderzenia była równa 500 m/s. Jaka jest największa długość pręta, przy której kula podniesie się wskutek zderzenia z pociskiem do najwyŝszego punktu okręgu? Z wiatrówki wystrzelono do pudełka od zapałek leŝącego w odległości 30 cm od brzegu stołu. Pocisk o masie 1 g, lecący poziomo z prędkością 150 m/s przebija pudełko i wylatuje z niego z prędkością o połowę mniejszą. Masa pudełka wynosi 50 g. Przy jakim współczynniku tarcia pomiędzy stołem a pudełkiem to ostatnie spadnie ze stołu? Dwie kulki o masach m i 2m, o pędach p i p/2, poruszają się w kierunkach wzajemnie prostopadłych. W wyniku zderzenia kulki wymieniają się pędami. Wyznaczyć straty energii mechanicznej przy zderzeniu. KrąŜek o masie m porusza się bez tarcia po poziomym stole z prędkością v. W pewnej chwili uderza w drugi, spoczywający krąŝek o masie m/2 i w wyniku zderzenia spręŝystego odbija się od niego pod kątem 30 o, względem początkowego kierunku ruchu. Z jaką prędkością będzie poruszał się drugi krąŝek? Człowiek o masie m chwyta się drabinki sznurowej spuszczonej z balonu o masie M. Balon jest nieruchomy względem ziemi. (a) Jeśli człowiek zacznie się wspinać w stronę balonu z prędkością v liczoną względem drabiny to, w jakim kierunku i z jaką prędkością (względem ziemi) zacznie się poruszać balon? (b) Co się stanie z ruchem balonu, kiedy człowiek zatrzyma się? 3

4 Wózek ma masę M. Na jego krawędzi umocowano niewaŝki krąŝek i przerzucono przez niego nić łączącą klocki o masach m 1 i m 2. Jakie będą naciągi nici, jeŝeli na wózek działa w kierunku poziomym siła F, a współczynnik tarcia klocków o wózek wynosi µ? Pocisk o masie m leci poziomo z prędkością v 0. Przebija się przez piasek leŝący na wózku i leci dalej z prędkością v 1. Łączna masa wagonika i piasku wynosi M. Jaka była prędkość wagonika bezpośrednio po zderzeniu? Ile wynosił efektywny współczynnik tarcia µ wózka o podłoŝe, jeŝeli po zderzeniu wózek przebył do chwili zatrzymania drogę s? Na sznurku o długości 2 metrów wisi klocek o masie M = 0.5 kg. Na klocku siedzi Ŝaba o masie 0.10 kg. śaba skoczyła z klocka poziomo z prędkością 2 m/s (względem klocka). O jaki kąt odchyli się klocek na sznurku? Koło zamachowe silnika porusza się ze stałą prędkością 150 obr/min. Gdy dopływ paliwa zostaje odcięty, na skutek oporów koło zatrzymuje się po 22 minutach. (a)jakie jest średnie przyspieszenie kątowe koła? (b) Ile obrotów wykona koło przed całkowitym zatrzymaniem się? (c) Ile wynosi styczne przyspieszenie liniowe punktu oddalonego od osi obrotu o 50 cm, w chwili gdy koło obraca się z prędkością 75 obr/min? (d) Jaka jest wartość całkowitego przyspieszenia liniowego w punkcie (c)? Na dno sfery o promieniu R nasypano garść piasku. Gdzie będą się znajdować ziarenka piasku, gdy sfera zacznie się obracać z prędkością kątową ω? Tarcie ziarenek piasku o sferę jest do zaniedbania. Niewielki klocek ześlizguje się w dół z najwyŝszego punktu sferycznej kopuły o promieniu R. Na jakiej wysokości h, klocek od niej się oderwie? Tarcie zaniedbać. Samochód porusza się z jednostajnym przyspieszeniem a = 0,62 m/s 2 zataczając na płaszczyźnie okrąg o promieniu R = 40m. W chwili początkowej jego pozostawał w spoczynku. Wiedząc, Ŝe współczynnik tarcia statycznego między oponami a podłoŝem wynosi µ = 0,2 oblicz drogę, którą przejedzie samochód nim wpadnie w poślizg. Jezdnia usytuowana jest poziomo. Z jaką maksymalną prędkością autobus moŝe wejść w zakręt o promieniu R, aby kulka o masie m wisząca na sznurku o długości l nie zerwała się, jeŝeli wiadomo, Ŝe sznurek wytrzymuje obciąŝenie 1,5 mg? Oblicz moment bezwładności cięŝarka uŝywanego do ćwiczeń gimnastycznych, którego kształt moŝna przybliŝyć jako dwie kule o masach m, promieniach R, połączone drąŝkiem o zaniedbywanej masie i długości l. Obliczeń dokonać względem wszystkich osi symetrii. 4

5 38. Układ przedstawiony na rysunku składa się z kul połączonych prętami, których masę moŝna zaniedbać. Obraca się on z jednostajną prędkością kątową 10 obrotów na minutę. Obliczyć (a) energię układu (b) moment bezwładności (c) siły bezwładności, które w nieinercjalnym układzie odniesienia działają na kaŝdą z kul. Kul nie traktować jako punkty, skorzystać z twierdzenia Steiner a celem obliczenia momentu bezwładności kaŝdej z nich. Wyznacz połoŝenie środka masy poniŝszych układów cięŝarków, które moŝna traktować jako punktowe: 39. (a) (b) Jednorodny pręt o długości 0,85m jest zawieszony na osi poziomej przechodzącej przez jego górny koniec. Jaką najmniejszą prędkość naleŝy nadać dolnemu końcowi pręta, aby wykonał on pełny obrót wokół osi? Dwa odwaŝniki o masach m 1 i m 2 połączone są nicią przerzuconą przez krąŝek o promieniu R i masie m 3. Obliczyć przyspieszenie ruchu odwaŝników i naciągi linek, jeśli siła tarcia działająca na sznurek wynosi T i ruch odbywa się bez poślizgu. Jednorodne walec i pełna kula o tych samych masach m i promieniach R toczą się bez poślizgu po równi pochyłej o kącie nachylenia α i wysokości H. Po jakim czasie ciała te znajdą się u podnóŝa równi i jaką będą miały wtedy prędkość? 43. Rysunek przedstawia mechanizm do wyciągania złowionego rekina. Obliczyć napręŝenia linek oraz nacisk, który wywiera dźwignia na zawias. Masę dźwigni moŝna pominąć. 5

6 Pokrywa wejścia do kanału AB, mogąca obracać się wokół zawiasu A, podnoszona jest za pomocą sznura BC przerzuconego przez nieruchomy krąŝek. Z jaką siłą naleŝy ciągnąć za sznur na początku podnoszenia pokrywy, jeŝeli jej cięŝar wynosi 800N, a kąt między sznurem BC a wejściem AB jest 45 o? Ziemia porusza się wokół Słońca po elipsie. Najmniejsza i największa odległość od Słońca wynoszą odpowiednio 1, m oraz 1, m. Wyznacz prędkość oraz moment pędu Ziemi w tych punktach. Masa Słońca M S =1, kg a masa Ziemi 5, kg. WzdłuŜ średnicy Ziemi wydrąŝono tunel prowadzący na drugą stronę planety. Obliczyć czas potrzebny na to, by kamień wrzucony z jednego końca wyleciał drugim końcem tunelu. Przyjąć, Ŝe promień Ziemi wynosi R Z = 6371km oraz załoŝyć, Ŝe jej gęstość jest jednakowa równa ρ = 5530 kg/m 3. W rzeczywistości, przy powierzchni gęstość Ziemi jest znacznie mniejsza ok kg/m 3. Stąd wynika, Ŝe jądro jest znacznie cięŝsze. Jak zmieniłby się wynik, gdyby uwzględnić ten fakt? Okres obrotu Słońca wokół własnej osi wynosi obecnie T=27 dni. Po czasie potrzebnym do spalenia się paliwa jądrowego (ok lat) Słońce zacznie się kurczyć w procesie grawitacyjnego kolapsu. Oszacuj promień Słońca R x przy którym zacznie się ono rozpadać. Masa Słońca M S =1, kg, promień R S = m, G = 6, Nm 2 /kg 2. Zmianę masy Słońca w trakcie jego Ŝycia moŝna zaniedbać. Z otworu znajdującego się w pionowej ścianie naczynia na wysokości 80cm od podłogi tryska poziomo strumień wody, który uderza o podłogę w odległości l od ściany naczynia. Obliczyć l, jeŝeli poziom wody w naczyniu jest stale utrzymywany na tej samej wysokości H = 160cm nad podłogą. Ciało leŝy na tłoku, który porusza się ruchem harmonicznym w kierunku pionowym z okresem 1 s. (a) Przy jakiej amplitudzie ciało oderwie się od tłoka? (b) JeŜeli drgania tłoka mają amplitudę 5 cm, to jaka jest maksymalna częstotliwość przy której tłok i ciało nie ulegają rozerwaniu? Pudełko o masie M stoi na poziomym stole. W pudełku tym na spręŝynie o współczynniku spręŝystości k zawieszono klocek o masie m. Przy jakiej amplitudzie drgań klocka pudełko zacznie podskakiwać na stole? SpręŜyny o stałych k 1 i k 2 umocowano do cięŝarka o masie m w sposób pokazany na rysunkach. Oblicz w obu przypadkach częstotliwość małych drgań cięŝarka, jeśli wszystkie opory ruchu oraz masy spręŝyn moŝna pominąć. 51. (a) (b) 6

7 Na jeziorze wzbudzono falę, która dobiegła do stromego brzegu po upływie t = 1min. Odległość między grzbietami fali wynosi l = 1.5m, a czas miedzy kolejnymi uderzeniami grzbietów brzeg t 0 = 2s. W jakiej odległości od brzegu wzbudzono falę? Rura o długości l = 1m jest wypełniona powietrzem pod normalnym ciśnieniem. Jaka powinna być najmniejsza częstotliwość pobudzania słupa powietrza w rurze, aby nastąpił rezonans, jeŝeli rura jest otwarta z obu końców i gdy jest zamknięta z obu końców. Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi 340m/s. Prędkość fal podłuŝnych w skorupie ziemskiej wynosi około 1500 m/s, a prędkość fal poprzecznych około 1000 m/s. Określić odległość kątową od środka trzęsienia ziemi A (hipocentrum) do stacji sejsmicznej B, jeŝeli z zapisu sejsmografu wynika, Ŝe drgania podłuŝne dotarły o 41 s wcześniej od drgań poprzecznych. ZałoŜyć, Ŝe fale rozchodzą się tylko w płaszczu skorupy ziemskiej. Oba końce stalowego pręta umocowano sztywno w temperaturze 25 o C, po czym zaczęto go ochładzać. W jakiej temperaturze pręt pęknie? Wytrzymałość stali na zerwanie R m = 400MPa a jej współczynnik temperaturowej rozszerzalności liniowej α = 0, K -1. Naczynie zawierające pewną ilość azotu w temperaturze T 1 = 15 0 C porusza się z prędkością 100m/s. Jaka będzie temperatura gazu w raptownie zatrzymanym naczyniu, jeŝeli moŝna pominąć przekazywanie ciepła ściankom? Do naczynia, w którym znajduje się m 1 = 0,1kg lodu o temperaturze T 1 = -10 o C i cieple właściwym c 1 = 2100J/(kg K) wlano m 2 = 0,5kg wody o temperaturze T 2 = 20 o C (c 2 = 4200J/(kg K)). Określić stan końcowy mieszaniny. Ciepło krzepnięcia wody λ = 3, J/kg. Pokazane poniŝej przemiany gazu doskonałego przedstawić we współrzędnych p,v. 58. Odp. (a) (b) (c) (a) (b) (c) 7

8 Gaz podlega przemianie cyklicznej przedstawionej na rysunku (1 3 i 2 4 adiabaty, 3 2 izochora, 4 1 izobara). Obliczyć sprawność η cyklu, jeŝeli dane 59. są temperatury T 1, T 2 i T 4 oraz stosunek κ = c p /c v dla uŝytego gazu. Odp. κ T 2 T 1 η= 1 1 κ( T1 T4 ) T Masę m azotu o temperaturze T 1 spręŝono izochorycznie od ciśnienia p 1 do p 2. Obliczyć zmianę energii wewnętrznej U tego gazu. Znany jest stosunek κ = c p /c v. m R p 1 Odp. U = T1 1 µ κ 1 p 2 8