Graficzne modelowanie scen 3D. POV-Ray. Wykład 3
|
|
- Roman Lipiński
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 POV-Ray Wykład 3
2 Typy źródeł światła: rozproszone, kierunkowe, punktowe i reflektor. źródło zewnętrzne
3 Źródło światła kierunkowe Źródło światła bardzo oddalone od oświetlanego obiektu Można założyć że promienie biegną równolegle do siebie Na przykład światło słoneczne lub światło innej odległej gwiazdy Źródło światła punktowe Promienie rozchodzą się we wszystkich kierunkach Podkreśla nierówności oświetlanych obiektów Na przykład nieosłonięta żarówka Źródło światła reflektor Światło skierowane o kształcie stożka Zazwyczaj wyróżnia się stożek wewnętrzny w którym natężenie światła jest stałe oraz stożek zewnętrzny w którym natężenie maleje ku zewnętrznej granicy Przykładem może być reflektor samochodowy Źródło światło rozproszone Światło padające ze wszystkich kierunków z równomiernym natężeniem Nie generuje cieni
4 Światło Światło otaczające (ambient light) Jest to światło emitowane równomiernie we wszystkich kierunkach. Bez tego światła obszary, które nie byłyby bezpośrednio oświetlone przez źródło światła mogłyby być zupełnie ciemne. Domyślnie światło otaczające ma kolor biały (rgb <1, 1, 1>). Zmiana koloru światła otaczającego global_settings { ambient_light rgb <r, g, b> } global_settings { ambient_light rgb <1, 0.0, 0.0> }
5 Przykład stadion Oświetlenie stadionu #declare zarowka=union { sphere{<0,0,0> 1 texture{pigment{color White} finish{ambient 0.2}} scale<1,1,0.3>} } #declare lampa=union { box{<-6.5,-2.5,-1> <6.5,2.5,2> texture{pigment{color Black}}} #for(krok, 0, 2, 1) light_source{<-3+krok*3,-1.2, -1> color White looks_like{zarowka}} light_source{<-3+krok*3,1.2, -1> color White looks_like{zarowka}} #end } #declare slup=union { cone{<0,0,0> 1.2 <0,20,0> 0.6 texture{pigment{color Brown}}} object{lampa rotate<-30,0,0.> translate<0,20,-3>} } object{slup rotate<0,-45,0> translate<-40,0,15>} object{slup rotate<0,45,0> translate<40,0,15>} object{slup rotate<0,-135,0> translate<-40,0,-115>} object{slup rotate<0,135,0> translate<40,0,-115>}
6 Światło punktowe (point light) Nie ma rozmiaru, światło rozchodzi się ze źródła jednakowo we wszystkich kierunkach. Jest to domyślny rodzaj światła. light_source { <x, y, z> color rgb <r, g, b> }
7 Światło miejscowe (spot light) Światło miejscowe tworzy stożek światła, który jest jasny w środku i łagodnie ciemnieje zbliżając się do krawędzi. light_source {<x, y, z> color rgb <r, g, b> spotlight [radius r] [falloff f] [tightness t] [point_at <x, y, z>] [(opt.)]} tightness współczynnik zanikania światła
8 Definicja środkowych z żarówek słupa oświetleniowego light_source { <0,-1.2, -1> color White spotlight radius 5 falloff 10 point_at<0,-1.2,-50> looks_like{zarowka} } light_source { <0,-1.2, -1> color White spotlight radius 1 falloff 1 point_at<0,-1.2,-50> looks_like{zarowka} }
9 light_source { <0,-1.2, -1> color White spotlight radius 25 falloff 50 point_at<0,-1.2,-50> looks_like{zarowka} }
10 Światło cylindryczne (cylindrical light) Światło punktowe, w którym zamiast stożka światła tworzony jest walec światła. Promienie światła nie są równoległe. light_source { <x, y, z> color rbg <r, g, b> cylinder [radius r] [falloff f] [tightness t] [point_at <x, y, z>] [(opt.)] } cylinder radius 15 falloff 15
11 light_source { <0,1.2, -1> color White cylinder radius 30 falloff 60 point_at<0,-1.2,-50> looks_like{zarowka} }
12 Światło obszarowe (area light) Źródło światła obszarowego zajmuje skończony obszar przestrzeni jedno lub dwuwymiarowej. light_source { <x, y, z> color rgb <r, g, b> area_light u, v, lsw, lsk [addaptive a] [jitter] [circular] [orient] [(opt.)] } u, v wektory definiujące prostokąt (muszą być prostopadłe), lsw - liczba świateł w wierszu, lsk - liczba świateł w kolumnie, [addaptive a] - adaptacyjne próbkowanie świateł, [jitter] - losowe przesuwanie świateł, [circular] - światła umiejscawiane są na kręgu, [orient] - lepsze tworzenie miękkich cieni (tylko z circular, wektory musza być jednakowej długości a liczba świateł w lsw=lsk).
13 light_source { <0,-1.2, -1> color White area_light <0,2> <1,0> 2 2 looks_like{zarowka} }
14
15 projected_through generuje efekt odwrotny od klasycznego światła otaczającego. Rzucane światło przyjmuje kształt cienia jaki utworzyłaby zdefiniowana przeszkoda przy klasycznym oświetleniu.
16 Metody modelownia krzywych i powierzchni Krzywe Beziera, Krzywe wymierne Beziera Powierzchnie Beziera Krzywe B-sklejane (NURBAS) Powierzchnie B-sklejane Inne metody modelowania np.: Krzywe Hermite a Płaty Coonsa Powierzchnie Gordona Płaty trójkątne
17 źródło: Grafika wektorowa, Helion 2012 Krzywa Beziera Genealogia krzywej Beziera 1. Karl Weierstras ( ). Niemiecki matematyk, autor twierdzenie głoszącego, że każdą funkcję ciągłą można przybliżyć z dowolną dokładnością wielomianami. 2. Siergiej Natanowicz Bernstein ( ) Radziecki matematyk, twórca tzw. wielomianów bazowych 3. Paul de Casteljau ( ) francuski fizyk i matematyk, pracujący dla firmy Citroen użył wielomianów Bernsteina przy tworzeniu algorytmu obliczającego krzywe. 4. Pierre Bezier ( ) francuski inżynier, pracownik firmy Renault, który spopularyzował algorytm znajdując dla niego zastosowanie w programie CAD.CAM.
18 Rys. Portret Pierre Bezier a utworzony za pośrednictwem tysięcy krzywych źródło: Grafika wektorowa, Helion 2012
19 Krzywa Beziera Krzywa Beziera to krzywa wielomianowa trzeciego stopnia, czyli taka która może być definiowana za pomocą trzech wielomianów z pewnym parametrem t (odpowiednio dla współrzędnych x, y i z). Wielomiany trzeciego stopnia są używane najczęściej, ponieważ wielomiany niższego stopnia są zbyt mało elastyczne, jeśli chodzi o sterowanie kształtem krzywej. Natomiast wielomiany wyższego stopnia wprowadzają niepożądane oscylacje, a ponadto wymagają większej liczby obliczeń. Krzywe trzeciego stopnia są również krzywymi najniższego stopnia, które nie leżą w jednej płaszczyźnie w 3D. Współczynniki wielomianów są tak dobierane, żeby krzywa przebiegała wzdłuż pożądanej ścieżki. Krzywa określona jest przez dwa punkty końcowe oraz dwa punkty pośrednie nie należące do krzywej. Krzywa Beziera interpoluje więc oba końcowe punkty i aproksymuje dwa pozostałe. Dzięki swoim zaletom, takim jak łatwość interakcyjnego kształtowania i istnienie sprawnych algorytmów przetwarzania, reprezentacje te obecnie używane powszechnie nie tylko w inżynierskich systemach projektowania wspomaganego komputerem, ale także w wielu innych zastosowaniach graficznych (np. w projektowaniu czcionek).
20 Rys. Interpolacja wykresu 3D zrealizowane w programie Matlab
21 Punkty należące do krzywej Beziera obliczane są z równań: P. x = (1 t) 3 P 1. x + 3(1 t) 2 tp 2. x + 3(1 t)t 2 P 3. x + t 3 P 4. x P. y = (1 t) 3 P 1. y + 3(1 t) 2 tp 2. y + 3(1 t)t 2 P 3. y + t 3 P 4. y P. z = (1 t) 3 P 1. z + 3(1 t) 2 tp 2. z + 3(1 t)t 2 P 3. z + t 3 P 4. z gdzie: P.x, P.y, P.z - współrzędne x, y i z punktu P t - parametr z przedziału [0,1] określający, w którym miejscu krzywej znajduje się szukany punkt. Przykładowo dla t=0 otrzymujemy punkt P1, a dla t=1 punkt P4. Aby otrzymać obraz (współrzędne punktów) całej krzywej należy zmieniać wartość t z odpowiednio małym krokiem. Przy łączeniu kilku segmentów krzywej Beziera należy dopilnować, aby zachowana była ciągłość w punkcie łączenia dwóch punktów końcowych.
22 Oznacza to, że wspólny punkt końcowy oraz dwa punkty pośrednie muszą być różne i współliniowe. Krzywe Béziera mają następujące własności: Niezmienniczość afiniczna reprezentacji. Suma wielomianów Bernsteina stopnia n jest równa 1, a zatem dla dowolnego t R punkt p(t) jest kombinacją afiniczną punktów kontrolnych. Ponieważ przekształcenia afiniczna zachowują kombinacje afiniczne więc dla ustalonego przekształcenia afinicznego f i dla każdego t odpowiedni punkt krzywej Béziera reprezentowanej przez punkty kontrolne f(p 0 ),, f(p n ) jest równy f(p(t)). Innymi słowy, aby otrzymać obraz krzywej Béziera w dowolnym przekształceniu afinicznym, wystarczy poddać temu przekształceniu jej punkty kontrolne.
23 Własność otoczki wypukłej. Dla t [0,1] punkt p(t) jest kombinacją wypukłą punktów kontrolnych (wielomiany Bernsteina są w przedziale [0,1] nieujemne), a więc należy do otoczki wypukłej ich zbioru. Zachodzi interpolacja skrajnych punktów kontrolnych: p(0) = p 0, p(1) = p n Dla t [0,1] krzywa Béziera nie ma z żadną prostą (na płaszczyźnie) albo płaszczyzną (w przestrzeni) większej liczby punktów przecięcia niż jej łamana kontrolna (to się nazywa własnością zmniejszania wariacji). Istnieje możliwość podwyższenia stopnia, czyli znalezienia reprezentacji stopnia n+1. Związek obu reprezentacji wyraża się wzorami n n+1 p(t) = p i B i n (t) = p ib i n+1 (t) i=0 p i = i n + 1 p n + 1 i i 1 + n + 1 p i Podwyższanie stopnia możemy iterować, dostając reprezentacje coraz wyższych stopni. Ciąg łamanych kontrolnych otrzymanych w ten sposób zbiega jednostajnie do krzywej dla t [0,1]. Zbieżność tego ciągu jest jednak zbyt wolna, aby miała praktyczne znaczenie. i=0
24 Jeśli kolejne punkty kontrolne leżą na prostej, w kolejności indeksów i w równych odstępach, to krzywa Béziera jest odcinkiem sparametryzowanym ze stałą prędkością. Najłatwiej jest udowodnić to rozpatrując reprezentację odcinka w postaci krzywej Béziera stopnia 1 i jego reprezentacje otrzymane przez podwyższanie stopnia. Pochodna krzywej Béziera o punktach kontrolnych p 0,, p n wyraża się wzorem n 1 n 1 p (t) = n(p i+1 p i )B i n 1 (t) = n p i B i n 1 (t) i=0 i=0
25 Na podstawie własności otoczki wypukłej mamy więc własność hodografu, według której kierunek wektora p (t) t [0,1] jest zawarty w stożku rozpiętym przez wektory P i = p i+1 p i dla i=0,, n-1. Ponadto zachodzą równości p (0) = n(p 1 p 0 ) oraz p (1) = n(p n p n 1 ). Podział krzywej. Punkty p 0 (0),, p0 (n) oraz p0 (n),, pn (0), otrzymane w trakcie wykonywania algorytmu de Casteljau, są punktami kontrolnymi tej samej krzywej, w innych parametryzacjach. Dokładniej, dla dowolnego s R zachodzą równości:
26 n p(s) = p i B i s (s) = p 0 (i) Bi n ( s t ) i=0 n i=0 (n i) = p n s t i Bi ( 1 t ) Aby narysować krzywą, możemy dzielić ją na,,dostatecznie krótkie łuki i rysować zamiast nich odcinki. Otoczka wypukła łamanej kontrolnej,,całej krzywej jest z reguły znacznie większa niż suma otoczek łamanych kontrolnych kilku jej fragmentów, a zatem przez podział możemy uzyskiwać znacznie dokładniejsze oszacowania położenia krzywej. Algorytm szybkiego obliczania punktu p(t) (o koszcie O(n) zamiast O(n 2 )), jak w przypadku algorytmu de Casteljau) możemy uzyskać, adaptując schemat Hornera. Podstawiając s=1-t, otrzymujemy n i=0
27 Krzywe B-sklejane Określenie krzywych B-sklejanych Modelowanie figur o skomplikowanym kształcie wymagałoby użycia krzywych Béziera wysokiego stopnia, co oprócz niewygody (z punktu widzenia użytkownika programu interakcyjnego) sprawiałoby różne kłopoty implementacyjne (bardzo duże wartości współczynników dwumianowych, wysoki koszt algorytmów obliczania punktu). Dlatego często stosuje się krzywe kawałkami wielomianowe w reprezentacji B-sklejanej; jest ona uogólnieniem reprezentacji Béziera krzywych wielomianowych. Rys. Porównanie krzywej Béziera z krzywą B-sklejaną
28 Krzywa B-sklejana jest określona przez podanie: stopnia n, ciągu N+1 węzłów u 0,, u N (ciąg ten powinien być niemalejący, a ponadto N powinno być większe od 2n), oraz N-n punktów kontrolnych d 0,, d N n 1.Wzór, który jest definicją krzywej B-sklejanej ma postać: N n 1 s(t) = d 1 N i n (t) i=0 t [u n, u N n ] We wzorze tym występują funkcje B-sklejane N n i stopnia n, które są określone przez ustalony ciąg węzłów. Istnieje kilka definicji funkcji B-sklejanych, które różnią się stopniem skomplikowania, a także trudnością dowodzenia na podstawie takiej definicji różnych własności tych funkcji (w zasadzie więc wychodzi na jedno, której definicji użyjemy, jeśli chcemy dowodzić twierdzenia, to trudności nie da się uniknąć). Ponieważ w tym wykładzie ograniczamy się do praktycznych aspektów zagadnienia, więc przytoczę rekurencyjny wzór Mansfielda-de Boora- Coxa, który w książkach o grafice chyba najczęściej pełni rolę definicji: N 0 i (t) = { 1 dla t [u i, u i+1 ] 0 przewiwnym razie N i n (t) = t u i u i+n u i N i n 1 (t) + u i+n+1 t u i+n+1 u i+1 N i+1 n 1 (t) dla n > 0
29 Podstawowe własności krzywych B-sklejanych Własności krzywych B-sklejanych najbardziej istotne w zastosowaniach związanych z grafiką komputerową, są takie: Jeśli wszystkie węzły od u n do u N n są różne (tworzą ciąg rosnący), to krzywa składa się z N-2n łuków wielomianowych. W przeciwnym razie (jeśli występują tzw. węzły krotne), to liczba łuków jest mniejsza. Algorytm de Boora dokonuje liniowej interpolacji kolejno otrzymywanych punktów (liczby α i (j) należą do przedziału [0,1]) stąd wynika silna własność otoczki wypukłej: wszystkie punkty łuku dla t [u k,, u k+1 ] leżą w otoczce wypukłej punktów d k n,, d k. Mamy też afiniczną niezmienniczość tej reprezentacji krzywej. W celu otrzymania jej obrazu w dowolnym przekształceniu afinicznym, wystarczy zastosować to przekształcenie do punktów kontrolnych d 0,, d N n 1. Rys. Silna własność otoczki wypukłej
30 Lokalna kontrola kształtu. Ponieważ punkt s(t) dla t [u k,, u k+1 ] zależy tylko od punktów d k n,, d k więc zmiana punktu d i powoduje zmianę fragmentu krzywej dla t [u i, u i+n+1 ]. Pochodna krzywej B-sklejanej stopnia n jest krzywą stopnia n-1 N n 2 s n (t) = (d u i+n+1 u i+1 d i )N n 1 i+1 (t) i+1 i=0 Jeśli dwa sąsiednie węzły są n-krotne, to łuk krzywej między nimi jest krzywą Béziera
31 Powierzchnie Béziera i B-sklejane Płaty tensorowe Do określenia powierzchni potrzebne są funkcje dwóch zmiennych. Najczęściej wykorzystuje się iloczyn tensorowy przestrzeni funkcji jednej zmiennej. Użycie go prowadzi do wzorów, które opisują odpowiednio płat powierzchni Béziera i płat powierzchni B-sklejanej stopnia (n,m). W przypadku płata B-sklejanego, nawet jeśli stopień ze względu na każdy parametr jest taki sam, można podać inny ciąg węzłów określających funkcje bazowe. p(u, v) = n m i=0 j=0 p ij B n i (u)b m j (v) s(u, v) = N n 1 M m 1 d ij N n i (u)n m j (v) i=0 j=0 Rys. Płat B-sklejany
32 Dziedziną płata Béziera jest zwykle kwadrat jednostkowy. Dziedziną płata B- sklejanego jest prostokąt [u n, u N n ] [v m, v M m ]. Często dziedzinę otrzymuje się przez odrzucenie fragmentów takiego prostokąta wówczas mamy wtedy płat obcięty. Rys. Obcięty płat Béziera Punkty kontrolne płata każdego z tych rodzajów dla wygody kształtowania przedstawia się w postaci siatki. Wyróżniamy w niej wiersze i kolumny. Wyznaczenie punktu na powierzchni, dla ustalonych parametrów u i v można sprowadzić do wyznaczania punktów na krzywych (Béziera albo B-sklejanych): p(u, v) = n m i=0( j=0 p ij B m j (v)) B n i (u) = n i=0 q i B n i (u)
33 Wszystkie działania wykonujemy na kolumnach siatki, traktując je tak, jakby to były łamane kontrolne krzywych. Punkty tych krzywych, odpowiadające ustalonemu v, są punktami kontrolnymi krzywej stałego parametru u leżącymi na płacie. Można też postąpić w odwrotnej kolejności i najpierw przetwarzać wiersze, a potem kolumnę otrzymanych punktów. Zasada przetwarzania reprezentacji płata w celu podwyższenia stopnia, podziału na kawałki, wstawienia węzła i obliczenia pochodnych cząstkowych jest identyczna. Płaty trójkątne Dziedziną trójkątnego płata Béziera jest zwykle trójkąt, którego wierzchołki stanowią układ odniesienia układu współrzędnych barycentrycznych r, s, t. Suma tych współrzędnych jest równa 1, wewnątrz trójkąta mają one wartości dodatnie. Płat jest określony wzorem, w którym występują wielomiany Bernsteina trzech zmiennych stopnia n i punkty kontrolne r, s, t będące wierzchołkami siatki kontrolnej płata trójkątnego. p(r, s, t) = p ijk B n ijk (r, s, t) i,j,k 0 i+j+k=n
34 Rys. Trójkątny płat Béziera i jego siatka kontrolna Płaty Béziera w praktyce Bicubic_patch jest zakrzywioną powierzchnią 3D utworzoną z siatki trójkątów. POV-Ray obsługuje typ Bicubic o nazwie patch Beziera. Funkcja bicubic_patch jest zdefiniowana w następujący sposób bicubic_patch { type t // 0 lub 1 (0 - mniej pamięci) [u_steps nu] // liczba wierszy w siatce końcowej [v_steps nv] // liczba kolumn w siatce końcowej [flatness f] // test gładkości <x1, y1, z1> <x2, y2, z2> <x16, y16, z16> // punkty kontrolne
35 [(opt.)] } Parametry u_steps i v_steps przyjmują wartości całkowite, które określają ile wierszy i kolumn trójkątów zostanie minimalne użytych do utworzenia zdefiniowanej powierzchni. Maksymalną liczbę poszczególnych kawałków plastra, które są testowane przez POV- Ray można obliczyć z następującego równania: 2 u_steps 2 v steps. Przykład Powierzchnia rozpięta pomiędzy 16-oma zdefiniowanymi punktami.
36
37
38 Powierzchnia uzyskana poprzez odpowiednie obrócenia i przesunięcia 6-ciu obiektów typu plat
39 Krzywe Béziera w praktyce
40 Program generuje gotowy kod do POV-Ray a (daje możliwość wyboru pomiędzy lathe a prism)
41 Przykład
42 Przykład
43 Przykład połącznia dwóch osobno opracowanych elementów.
44 Siatka (mesh) Obiekty mesh są bardzo przydatne ponieważ pozwalają nam na tworzenie obiektów zawierających setki lub tysiące trójkątów. W praktyce oznacza to możliwość utworzenia niemal dowolnej bryły konstrukcji (bardziej złożone kształty oraz duża dokładność odwzorowywanego elementów wiążą się z zastosowaniem dużej liczby trójkątów). Wszystkie tekstury, których chcemy zastosować wewnątrz siatki musimy zdefiniować przed jej utworzeniem. Tekstury (w tym parametr color) nie może być określony wewnątrz siatki ze względu na niską wydajność pamięci. mesh { triangle { <x1, y1, z1>, <x2, y2, z2>, <x3, y3, z3> [(opt.)] } triangle { <x1, y1, z1>, <x2, y2, z2>, <x3, y3, z3> [(opt.)] }... [inside_vector <x, y, z>] [(opt.)] } W przypadku gdy siatka jest zamknięta to możemy jej użyć do CSG, ale musimy podać inside_vector (wektor definiujący kierunek do wewnątrz).
45 Przykład
46
47 Rysunek wygenerowany w programie Matlab (zastosowanie czworokątów)
Graficzne modelowanie scen 3D. POV-Ray. Wykład 3
POV-Ray Wykład 3 Krzywa Beziera Krzywa Beziera to krzywa wielomianowa trzeciego stopnia, czyli taka która może być definiowana za pomocą trzech wielomianów z pewnym parametrem t (odpowiednio dla współrzędnych
Podstawy POV-Ray a. Diana Domańska. Uniwersytet Śląski
Podstawy POV-Ray a Diana Domańska Uniwersytet Śląski Kamera Definicja kamery opisuje pozycję, typ rzutowania oraz właściwości kamery. Kamera Definicja kamery opisuje pozycję, typ rzutowania oraz właściwości
Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II
Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1
Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I
Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1
VI. FIGURY GEOMETRYCZNE i MODELE
VI. FIGURY GEOMETRYCZNE i MODELE 6.1. Wprowadzenie Jednym z głównych zastosowań grafiki komputerowej jest modelowanie obiektów, czyli ich opis matematyczny, na podstawie którego na ekranie można stworzyć
Opis krzywych w przestrzeni 3D. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH
Opis krzywych w przestrzeni 3D Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH Krzywe Beziera W przypadku tych krzywych wektory styczne w punkach końcowych są określane bezpośrednio
składa się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:
TEMATYKA: Krzywe typu Splajn (Krzywe B sklejane) Ćwiczenia nr 8 Krzywe Bezier a mają istotne ograniczenie. Aby uzyskać kształt zawierający wiele punktów przegięcia niezbędna jest krzywa wysokiego stopnia.
Zajęcia z grafiki komputerowej Pov Ray część 2
Zajęcia z grafiki komputerowej Pov Ray część 2 Stwórzmy na początek pustą scenę. #include "colors.inc" camera { location look_at 0 angle 36 White plane { , -1.5 pigment
Modelowanie krzywych i powierzchni
3 Modelowanie krzywych i powierzchni Modelowanie powierzchniowe jest kolejną metodą po modelowaniu bryłowym sposobem tworzenia części. Jest to też sposób budowy elementu bardziej skomplikowany i wymagający
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.
Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollub.pl Powierzchnia obiektu 3D jest renderowana jako czarna jeżeli nie jest oświetlana żadnym światłem (wyjątkiem są obiekty samoświecące) Oświetlenie
0. OpenGL ma układ współrzędnych taki, że oś y jest skierowana (względem monitora) a) w dół b) w górę c) w lewo d) w prawo e) w kierunku do
0. OpenGL ma układ współrzędnych taki, że oś y jest skierowana (względem monitora) a) w dół b) w górę c) w lewo d) w prawo e) w kierunku do obserwatora f) w kierunku od obserwatora 1. Obrót dookoła osi
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
VII. WYKRESY Wprowadzenie
VII. WYKRESY 7.1. Wprowadzenie Wykres jest graficznym przedstawieniem (w pewnym układzie współrzędnych) zależności pomiędzy określonymi wielkościami. Ułatwia on interpretację informacji (danych) liczbowych.
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.
rgbf<składowa_r,składowa_g,składowa_b,filter>. Dla parametru filter przyjmij kolejno wartości: 0.60, 0.70, 0.80, 0.90, 1.00, np.:
Temat 2: Przezroczystość. Prostopadłościan, walec i stożek. Przesuwanie i skalowanie obiektów. Omówimy teraz przezroczystość obiektów związaną z ich kolorem (lub teksturą). Za przezroczystość odpowiadają
Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik
Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony)
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony) Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być
Oświetlenie obiektów 3D
Synteza i obróbka obrazu Oświetlenie obiektów 3D Opracowanie: dr inż. Grzegorz Szwoch Politechnika Gdańska Katedra Systemów Multimedialnych Rasteryzacja Spłaszczony po rzutowaniu obraz siatek wielokątowych
Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć
10.3. Typowe zadania NMT W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być wykorzystany numerycznego modelu terenu.
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 91 10.3. Typowe zadania NMT W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być wykorzystany numerycznego modelu terenu. 10.3.1. Wyznaczanie
PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016
PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać
Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY
Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza.
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza. dobrą, bardzo - oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; - zna
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Metody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)
Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja
A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
I. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
a =, gdzie A(x 1, y 1 ),
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI 1. Funkcja liniowa (zakres podstawowy) Rok szkolny 2018/2019 - klasa
MATeMAtyka zakres rozszerzony
MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami
83 Przekształcanie wykresów funkcji (cd.) 3
Zakres podstawowy Zakres rozszerzony dział temat godz. dział temat godz,. KLASA 1 (3 godziny tygodniowo) - 90 godzin KLASA 1 (5 godzin tygodniowo) - 150 godzin I Zbiory Zbiory i działania na zbiorach 2
Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury
STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne sposób i potrzebę zaokrąglania
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie
Rozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: II 96 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat
ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.
ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla
Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy
Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy Potęgi Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; zna prawa działań na potęgach i potrafi
ZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)
ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 b BS
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 b BS Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017
Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 1. Rok szkolny dzieli się na dwa semestry. Każdy semestr kończy się klasyfikacją. 2. Na początku roku szkolnego informuję
FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Algorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
MATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Dział Rozdział Liczba h
MATEMATYKA ZR Ramowy rozkład materiału w kolejnych tomach podręczników 1. Działania na liczbach Tom I część 1 1.1. Ćwiczenia w działaniach na ułamkach 1.. Obliczenia procentowe 1.3. Potęga o wykładniku
MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony
Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim; zna zasady zapisu liczb w systemie rzymskim; umie zapisać
M10. Własności funkcji liniowej
M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji
Tematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Grafika 2D. Animacja Zmiany Kształtu. opracowanie: Jacek Kęsik
Grafika 2D Animacja Zmiany Kształtu opracowanie: Jacek Kęsik Wykład przedstawia podstawy animacji zmiany kształtu - morfingu Animacja zmiany kształtu Podstawowe pojęcia Zlewanie (Dissolving / cross-dissolving)
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)
Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Rozdział VII. Przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie Przekształcenia geometryczne Symetria osiowa Symetria środkowa 328
Drogi Czytelniku 9 Oznaczenia matematyczne 11 Podstawowe wzory 15 Rozdział I. Zbiory. Działania na zbiorach 21 1. Zbiór liczb naturalnych 22 1.1. Działania w zbiorze liczb naturalnych 22 1.2. Prawa działań
NaCoBeZU z matematyki dla klasy 7
NaCoBeZU z matematyki dla klasy 7 I. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Znam pojęcia: liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Zaznaczam i odczytuję położenie liczby
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO
PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO STEREOMETRIA wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny odróżnić proste równoległe
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Geometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia
DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki
MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry
Kryteria oceniania z matematyki poziom podstawowy klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy proporcjonalnością
Elementy logiki (4 godz.)
Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2018/2019 - klasa 3a, 3b, 3c 1, Ciągi
Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV
Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy
Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie
Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)
Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji
Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
PDM 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Plan wynikowy. STEREOMETRIA (22 godz.) W zakresie TREŚCI PODSTAWOWYCH uczeń potrafi:
PDM 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Plan wynikowy STEREOMETRIA ( godz.) Proste i płaszczyzny w przestrzeni Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny wskazać płaszczyzny równoległe i płaszczyzny prostopadłe
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D
Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D Dariusz Jacek Jakóbczak Politechnika Koszalińska Wydział Elektroniki i Informatyki Zakład Podstaw Informatyki i Zarządzania e-mail: Dariusz.Jakobczak@tu.koszalin.pl
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII Uczeń na ocenę dopuszczającą: - zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim, - umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie rzymskim