Odwzorowania dwuwymiarowe

Transkrypt

1 Damika Układów Nieliiowch 009 Wkład 8 Odwzorowaia dwuwmiarowe Odwzorowaia dwuwmiarowe pojawiaj si jako modele wielu zjawisk fizczch. Potoki wielowmiarowe (przepłw wielowmiarowe, flows) sprowadza si do odwzorowa dwuwmiarowch poprzez przekroje Poicaré. Odwzorowaia zachowawcze i iezachowawcze: Odwzorowaie piekarskie a rs. a) obok zachowuje powierzchi : jest wi c zachowawcze. Natomiast to a rs. b): + = a + + a =, dla 0, mod dla gdzie a < / - jest dspatwe. Pierwsza rówo prowadzi do przesui cia Beroulliego. Wika st d, e wk adik Lapuowa λ w kieruku wosi λ = l > 0. Wst pi wi c czu o a waruki pocz tkowe. Wk adik Lapuowa w kieruku wosi λ = l a < 0. dwuwmiarowa obj to jak uk ad zajmuje w przestrzei fazowej kurcz si wraz z kolejmi iteracjami: uk ad jest dspatw.

2 Damika Układów Nieliiowch 009 Wkład 8 Przkład: Odwzorowaie kot Arolda {hperlik:

3 Damika Układów Nieliiowch 009 Wkład 8 3 Héo wprowadzi odwzorowaie (976): + = - + = b Odwzorowaie Héoa i + i Odwzorowaie to przekszta ca p aszczz (,) w siebie. Atraktor odwzorowaia Heoa jest fraktalem: rsuek obok pokazuje jego samopodobieństwo

4 Damika Układów Nieliiowch 009 Wkład 8 4 Elemet powierzchi przed i po odwzorowaiu s zwi zae poprzez Jakobia: J = ( ( +,, + ) ) = - Kied b < powierzchia odwzorowwaa kurcz si - mo a wi c je uwa a za model procesu dspatwego. Kied wzaczik det J = b = - odwzorowaie Héoa zachowuje powierzchi smuluje oo damicz proces zachowawcz Odwzorowaie Héoa jest odwracale tak d ugo jak b 0 co powa ie ró i to odwzorowaie od map logistczej (otrzmwaej dla b = 0). Pukt sta e odwzorowaia Héoa i ich stabilo : b 0 Rówaie a pukt sta e: =- = b + co po rozwi zaiu daje: = [ - ( - b ) ( - b ) + 4 ) ]/ = b

5 Damika Układów Nieliiowch 009 Wkład 8 5 Otrzmali m dwa pukt sta e: H + oraz H -, które s rzeczwiste gd > 0 = - ( - b ) / 4 Dla zbadaia stabilo ci puktów sta ch za ó m, e = = + + gdzie ξ i η s ma e. = - ( ) + Wprowadza się i do odwzorowaia: = b ( ) a astępie liearzuje (odrzuca wższe potęgi zaburzeń). Uwzgl dia się rówaia dla puktów sta ch. Prowadzi to do rówaia a ewolucję zaburzeń ξ i η = b 0 Macierz pow ej jest zliearzowam odwzorowaiem Héoa (zwam te odwzorowaiem stczm - realizuje oo liiowe odwzorowaie w plaszcz ie stczej do przestrzei fazowej układu).

6 Damika Układów Nieliiowch 009 Wkład 8 6 Macierz ta ma dwie warto ci w ase: = - +b dla ka dego z dwóch puktów sta ch. Klasfikacja pukt sta ch:. Je li obdwie λ ± < : pukt sta jest stabil - stabil w ze (dre) a p aszcz ie. Je li obdwie λ ± > : pukt sta jest iestabil - iestabil w ze ( ród o) a p aszcz ie 3. Gd jeda warto w asa λ u > podczas gd λ s < wted początkowo ma wektor - w jedm kieruku w asm b dzie rozci ga a w drugim kieruku w asm b dzie kurczo: pukt stał jest puktem siod owm

7 Damika Układów Nieliiowch 009 Wkład 8 7 Gd układ jest więcej iż -wmiarow, pukt siodłow może mieć bardziej skomplikowaą topologię: Gd.,. lub 3. - bada uk ad jest hiperbolicz. Gd jeda albo obdwie warto ci w ase maj modu rów wted gd uk ad podlega bifurkacji pomi dz dwoma tpami hiperboliczo ci. W ogólo ci: warto ci w ase mog też b zespoloe: otrzmujem wted iego tpu pukt sta e: tzw ogiska (focus). Przkład: Dla odwzorowaia Héoa: pukt H - jest puktem siod owm dla wszstkich warto ci parametru μ. pukt H + jest dreem dla μ < μ = 3(-b) /4 dla której to warto ci μ warto w asa λ osi ga - i ast puje bifurkacja podwajaia (pojawia si stabil dwu-ckl) a H + zmieia si w pukt siod ow.

8 Damika Układów Nieliiowch 009 Wkład 8 8 Podsumowując: Wstępowaie daego tpu puktu stałego zależ od własości rówaia a ewolucję zaburzeń ξ i η Na rsuku DF to jakobia w zliearzowam rówaiu ruchu układu dla odwzorowaia Heoa: + + = - b 0 Słowiczek: ode - węzeł maifold - rozmaitość ustable - iestabile

9 Damika Układów Nieliiowch 009 Wkład 8 9 Rozmaito ci iezmieicze w odwzorowaiu Héoa Ptaie: Cz podczas iterowaia odwzorowaia dwuwmiarowego istiej obiekt a p aszcz ie, które s iezmieicze wzgl dem odwzorowaia? Pukt sta e s iezmieicze wzgl dem odwzorowaia: ród a i dre s izolowami puktami iezmieiczmi - pukt z ich otoczeia albo si oddalaj podczas iteracji albo te przbli aj do ich. Pukt siod owe wró iaj si tm, e zajduj si a przeci ciu dwóch podprzestrzei iezmieiczch przciągającej (stabilej) E s i odpchającej (iestabilej) E u. Wektor w as któr odpowiada wartó ci w asej λ u > prz każdej iteracji rozci ga si λ u krotie ale kieruek jego si ie zmieia (zwrot mo e si zmieia - zale ie od zaku λ u ). 0

10 Damika Układów Nieliiowch 009 Wkład 8 0 Podobie wektor w as 0 odpowiada warto ci w asej λ s < i pozostaje skierowa wzd u ustaloego kieruku (z dok ado ci do zwrotu). Wró ili m wi c kieruek stabil oraz kieruek iestabil wokó puktu siod owego, które wzaczaj dwie proste przechodz ce przez pukt siod ow. Wszstko to jest cis e w graic liearzacji odwzorowaia tj. w bezpo redim otoczeiu puktu siod owego.

11 Damika Układów Nieliiowch 009 Wkład 8 Co si staie gd odejdziem dalej od puktu siod owego? Wted iezmieicze liie proste przechodz w iezmieicze krzwe a ogóliej rozmaito ci iezmieicze W s i W u. Krzwe takie mog albo ko cz się a im pukcie sta m albo te b dzi ieograiczeie w przestrzei fazowej. Niestabila rozmaito iezmieicza puktu siod owego oddalaj c si od iego mo e przeci stabil rozmaito iezmieicz tego samego puktu: skrz owaie (przeci cie) homokliicze.

12 Damika Układów Nieliiowch 009 Wkład 8 Gd wdarz si jedo przeci cie homokliicze to musi ich b iesko czeie wiele: splot homokliicz{hperlik: pukt homokliicz ale do obdwu rozmaito ci wi c wszstkie jego obraz i przeciwobraz te. Z regu skrz owaie homokliicze poprzedza w przestrzei parametrów stczo homokliicza: gd jeda rozmaito dotka drug stczie. Skrz owaie heterokliicze ast puje wted gd iemieicza rozmaito stabila jedego puktu sta ego przecia rozmaito iezmieicz stabil iego puktu sta ego lub te ich puktów periodczch.

13 Damika Układów Nieliiowch 009 Wkład 8 3 Przkład: rozmaitości stabile i iestabile dla odwzorowaia Heoa {hperlik: Rsuek te został otrzma za pomocą programu do wzaczaia rozmaitości stabilch opublikowaego razem z książką H.E.Nusse, J.A.Yorke, Damika - badaia umercze, PWN Warszawa 998. Rozmaitość stabilą otrzmuje się całkując wstecz (w odwrotm kieruku w czasie) rówaia ruchu układu. W 899 roku Poicaré w 397 "Les methodes Nouvelles de la Mecaique Céleste" pisa o tm tak: "Wobra m sobie figur utworzo przez te dwie krzwe i ich iesko czo liczb przeci, z którch ka de odpowiada podwójie asmptotczemu rozwi zaiu. Przeci cia te tworz rodzaj krat, tkai, siatk z iesko czeie g stmi oczkami; ka da z tch krzwch ie mo e przeci si sama ze sob lecz musi sk ada si a siebie w bardzo z o o sposób tak ab przej przez wszstkie z iesko czoej liczb puktów sieci. Z o oo tej figur, której ie b d awet próbowa arsowa jest doprawd uderzaj ca. Nic iego ie b ob bardziej odpowiedie dla oddaia z o oo ci problemu zarówo trzech cia oraz, w ogólo i, wszstkich tch problemów damiki, dla którch ie istieje jedoroda ca ka..."