Przy obliczaniu charakterystyk geometrycznych przekrojów korzystamy z wcześniejszych ustaleń: = +

Transkrypt

1 3. Obliczanie elementów rężonych 3.1. Elementy obciążone oiowo Charakterytyki geometryczne rzekrojów rzy obliczaniu charakterytyk geometrycznych rzekrojów korzytamy z wcześniejzych utaleń: = + + c = Ry ole owierzchni ymetrycznego rzekroju rowazonego ole owierzchni rzekroju rowazonego okazanego na Ry określa wzór: c 1 1 (3.1-1) a w ytuacji oczątkowej elementów kablobetonowych i z cięgnami bez rzyczeności: c ' 1 (3.1-2) gzie: c ole owierzchni rzekroju netto betonu otawowego ole owierzchni rzekroju cięgien rężających ole owierzchni rzekroju zbrojenia zwykłego (nierężonego) ole owierzchni rzekroju brutto betonu otawowego Katera Kontrukcji Buowlanych 1/26

2 Wrowazenie naliza elementów rężonych i obciążonych oiowo ozwala na zaoznanie ię z zachowaniem kontrukcji rężonej w orównaniu o równoważnej kontrukcji żelbetowej. Elementy rężone i obciążone oiowo nie ą tyowym rzykłaem elementów rężonych, choć wytęują jako łuy i ale oraz ściągi czy wiezaki w więkzych kontrukcjach. naliza onoi ię o natęujących zaganień: 1. Douzczalnych narężeń w betonie w ytuacji oczątkowej (bezośrenio o rężeniu) 2. Narężeń w tanie granicznym użytkowalności w ytuacji trwałej 3. Stanu granicznego nośności w ytuacji trwałej 4. Okztałcenia o obciążeniem całkowitym naliza ytuacji oczątkowej Narężenia w betonie w ytuacji oczątkowej rzekroju można obliczyć ze wzorów: gzie: 0 w kablobetonie: m c0 ', w trunobetonie:; m c0 (3.1-3) ole owierzchni rzekroju rowazonego bez uwzglęnienia cięgien rężających ole owierzchni rzekroju rowazonego z uwzglęnieniem cięgien rężających 0 Euroko wymaga, aby te narężenia nie rzekraczały wartości (or unkt 1.6.3) 0,6f ck (t), a w trunobetonie, jeśli otwierzono oświaczalnie - 0,7f ck (t) naliza w ytuacji trwałej (SLS) Narężenia w betonie można obliczyć ze wzorów: gzie: N c m, iła oiowa wywołana obciążeniem zewnętrznym, + jeśli ścikanie, N (3.1-4) m, iła rężająca o tratach całkowitych Narężenia c owinny mieścić ię w granicach ouzczalnych, tzn. la rozciągania c f ctm jeśli ouzczamy rozciągania w betonie lub c 0 jeśli nie ouzczamy rozciągań. Dla ścikania, w obzarach wytawionych na ziałanie śroowik należących o kla ekozycji XD, XF i XS właściwe może być ograniczenie narężeń ścikających o wartości f ck. Jeśli narężenie w betonie rzekracza 0,45f ck, to należy uwzglęnić ełzanie nieliniowe (atrz 1.6-7). Katera Kontrukcji Buowlanych 2/26

3 naliza w ytuacji trwałej (ULS) Graniczna nośność na rozciąganie rzekroju jet oiana równaniem narężeniowym: gzie: F F y f 0, 1k N R obliczeniowa nośność zbrojenia rężającego fyk obliczeniowa nośność zbrojenia zwykłego częściowy wółczynnik tali w ULS równy 1,15 F F (3.1-5) y rzyjmując za Eurokoem f k /f 0,1k 1,1, obliczeniową nośność cięgien można także określić wzorem: F f k 11, (3.1-6) Graniczna nośność rzekroju rężonego na ścikanie (z ominięciem mimośroów obciążenia także wywołanych imerfekcjami) wymaga rozatrzenia tanu okztałcenia rzekroju. Dla rzekroju oiowo ścikanego graniczne okztałcenie wynoi c2 lub c3 (or. Tabl ). Oznaczmy je jako c. Skrócenie betonu iłą m,oo c m,oo Siły w ULS c N R F y F y f c Ry Ścikany rzekrój oiowo rężony w ULS Siła rężająca w ULS: Okztałcenie (ścikające) w betonie iłą m, : m, c (3.1-7) E cm Saek okztałceń w cięgnach w ULS: c c Katera Kontrukcji Buowlanych 3/26

4 Saek iły m, : c c Siła w ULS: E,unfav m, E (3.1-8) Gzie,unfav = 1,3 (Euroko) o wykorzytaniu równania (3.1-7) i urozczeniach:,unfav m, 1 c E (3.1-9) Nośność zbrojenia zwykłego w ULS: Dla c < y = f y /E : F y f yk u yk Dla c y : F y f yk Warunek równowagi ił w ULS: N R f c c F y tą: N R f F (3.1-10) c c y Katera Kontrukcji Buowlanych 4/26

5 3.2. Srężone elementy zginane w liniowym rozkłazie narężeń Wrowazenie oobnie jak la elementów oanych obciążeniu oiowemu, analiza elementów zginanych wymaga ełnienia oowienich wymagań w onieieniu o: 1. Douzczalnego rężenia z uwagi na ograniczenie narężeń w betonie w ytuacji oczątkowej (bezośrenio o rężeniu) 2. Narężeń w tanie granicznym użytkowalności w ytuacji trwałej 3. Stanu granicznego nośności w ytuacji trwałej 4. Okztałcenia o obciążeniem całkowitym Założenia: Zgonie z otanowieniami Eurokou rzyjmuje ię natęujące założenia: 1. łakie rzekroje ozotają łakie aż o znizczenia (hioteza Bernoulliego) 2. Itnieje okonała (ztywna) więź omięzy betonem a cięgnami z rzyczenością (w trunobetonie i kablobetonie oza ytuacją oczątkową) Zaay mechaniki: naliza touje trzy zaay mechaniki: 1. Równowagę ił wewnętrznych z obciążeniem zewnętrznym. Ścikanie w betonie (oznaczane jako C) jet równe ile w cięgnach (T). oment ary ił C i T jet równy momentowi zginającemu wywołanemu obciążeniem. 2. Zgoność okztałceń w betonie i zbrojeniu (w tym: w cięgnach z rzyczenością), z zachowaniem zaay łakich rzekrojów. 3. Związki kontytutywne oiujące zależność narężeń o okztałceń materiałów jak la materiałów liniowo - rężytych. Zmienność ił wewnętrznych W elementach żelbetowych oanych zginaniu, wartości ił ścikających w betonie C i ił rozciągających w zbrojeniu T rośnie wraz z rzyrotem obciążenia. Zmiana ramienia ił wewnętrznych z jet nieznaczna. W zginanych elementach rężonych, w ytuacji oczątkowej iła C jet zlokalizowana bliko rozciągań T. ara ił C i T równoważy jeynie ciężar włany elementów. o obciążeniem użytkowym iła C rzeuwa ię ku górze rzekroju i rośnie ramię ił wewnętrznych. Wzrot ił T i C jet tounkowo nieznaczny. oniżzy ryunek objaśnia tę różnicę la rzyaku belki wobonie oartej Katera Kontrukcji Buowlanych 5/26

6 g g C1 z1 T1 z1 C1 T1 g+q g+q C2 C2 z2 z2 T2 T2 Żelbet C2 > C1; z2 = z1 Beton rężony C2 = C1; z2 > z1 Ry Rozkła ił wewnętrznych w zginanym elemencie żelbetowym i rężonym W elemencie żelbetowym iła C 2 jet itotnie więkza o C 1, ocza gy z 2 jet blikie z 1. W elemencie rężonym C 2 jet blika C 1, ale ramię z 2 jet znacznie więkze o z naliza rężonego elementu zginanego oejście o analizy narężeń w zginanym rzekroju rężonym jet analogiczne w ytuacji oczątkowej jak i trwałej. Zwykle elementy rężone ą niezaryowane także w warunkach obciążeń użytkowych, i zakłaa ię rężyte zachowanie materiałów (tali i betonu). Obowiązuje także zaaa uerozycji. omija ię rzyrot narężeń w cięgnach wkutek zginania. Stouje ię trzy metoy analizy rzekroju rężonego o rężeniu i w warunkach użytkowych: etoa narężeniowa etoa równowagi ił etoa obciążeń zatęczych etoa narężeniowa oniżzy zkic ilutruje rozkłay narężeń w rzekroju rężonym oanym zginaniu CGC + + = / e y/j y/j Narężenia o rężenia Narężenia o zginania Narężenia wyakowe Ry Wykrey narężeń zginanego rzekroju rężonego Katera Kontrukcji Buowlanych 6/26

7 Narężenia wyakowe w oległości y o śroka ciężkości rzekroju (CGC) zgonie z zaaą uerozycji ą równe: e c y y (3.2-11) J J Dla cięgien zakrzywionych iłę należy zatąić jej kłaowa oziomą. Z uwagi na małą różnicę, najczęściej to ię omija. etoa równowagi ił Rozciąganie w cięgnach (T) i wynikowe ścikanie w betonie (C) rozatrywane ą w równowaze z iłami zewnętrznymi. Takie oejście toowane jet o wtęnego oboru rzekroju. Oczywiście narężenia w betonie w tej metozie ą takie ame jak w metozie narężeniowej. C ec z e Siły wewnętrzne rzy rężeniu (z ominięciem ciężaru włanego) T C Siły wewnętrzne o obciążeniu T Ry Rozkła ił wewnętrznych w ytuacji oczątkowej i trwałej Warunki równowagi rzetawiają ię natęująco: C T (3.2-12) Cz (3.2-13) C e c e (3.2-14) Narężenia wyakowe w betonie w oległości y o śroka ciężkości rzekroju (CGC) zgonie z zaaą uerozycji ą równe: C Cec c y (3.2-15) J otawiając C = i Ce c = e owyżze wyrażenie rzyjmuje taką amą otać jak w metozie narężeniowej (3.2-1). Katera Kontrukcji Buowlanych 7/26

8 etoa obciążeń zatęczych a) Cięgno araboliczne e q L Ciało w równowaze Wykre momentów zginających Ry Belka wobonie oarta z cięgnem arabolicznym oment zginający w śroku roziętości = e. Wielkość obciążenia q jet obliczona jako wywołująca ten am araboliczny moment zginający: 8e q (3.2-16) 2 L b) Cięgno załamane w śroku roziętości e Q L Ciało w równowaze Wykre momentów zginających Ry Belka wobonie oarta z cięgnem załamanym w śroku roziętości oobnie jak orzenio otrzymujemy: Q 4e (3.2-17) L Katera Kontrukcji Buowlanych 8/26

9 c) Cięgno wukrotnie ymetrycznie załamane e al Q Q L Ciało w równowaze Wykre momentów zginających Ry Belka wobonie oarta z cięgnem wukrotnie ymetrycznie załamanym Otrzymujemy: e Q (3.2-18) al Narężenia w ytuacji oczątkowej Narężenia w betonie wywołane rężeniem w ytuacji oczątkowej można obliczyć ze wzorów: gzie: e m0 m0 e m0 m0 w kablobetonie: c0 y, w trunobetonie:; c0 y (3.2-19) ' J' J m0 iła rężająca bezośrenio o rężeniu (o tratach oraźnych), J ole i moment bezwłaności rzekroju rowazonego bez uwzglęnienia cięgien rężających, J ole i moment bezwłaności rzekroju rowazonego z uwzglęnieniem cięgien rężających Doatkową, itotną kwetią jet uwzglęnienie ciężaru włanego elementu (ewentualnie innych obciążeń zewnętrznych ziałających w chwili rężania). Ciężar włany w tej ytuacji ziała zazwyczaj ociążająco, reukując moment zginający wywołany rężeniem. oobny efekt mają zmiany ołożenia cięgna wyakowego lub zmiany wartości iły rężającej na ługości elementu. Oba aekty omówiono oniżej. Ciężar włany Wywołuje obciążenie ciągłe, rzyjmowane jako równomiernie rozłożone, także, z ewnym rzybliżeniem, la elementów o zmiennym rzekroju. oment zginający na ługości w belki/łyty wobonie oartej ma otać araboli o wartości: g(l x)x g (x) (3.2-20) 2 Katera Kontrukcji Buowlanych 9/26

10 Srężenie oment zginający wywołany rężeniem jet równy: = e : Jeśli = cont i e = cont wówcza moment jet tały na ługości belki. Dla cięgien zakrzywionych (kablobeton) lub załamanych na ewiatorach (trunobeton) czyli wtey, gy e = e (x) cont, zaś = cont. jak orzenio, rzebieg momentu zginającego ozwierciela zmianę mimośrou. Jeśli zmienia ię na ługości wartość iły co jet itotne w rzyaku tzw. cięgien wyłączanych w trunobetonie, wówcza cont (najczęściej rzy e = cont) Cięgna zakrzywione = cont. e cont. iła rężająca moment zginający o rężenia e Ry oment = e w kablobetonie rzy traie arabolicznej Cięgna ogięte = cont. e cont. Cięgna wyłączane cont. e = cont. Dewiatory iła rężająca Długość zakowienia iła rężająca moment zginający o rężenia e moment zginający o rężenia e Ry oment = e w trunobetonie rzy cięgnach ogiętych i wyłączanych Uwzglęnienie ciężaru włanego w ytuacji oczątkowej Jeśli na wykrey momentów o rężenia nałożymy wykrey momentu g zgonie ze wzorem (3.2-2) wówcza można wyznaczyć rzekroje, w których wyakowy moment zginający jet najwiękzy i konekwentnie należy ię liczyć z najwiękzymi narężeniami. KBLOBETON max max = max{ (x) g (x)} STRUNOBETON max Cięgna ogięte max Cięgna wyłączane Ry oment = e w trunobetonie rzy cięgnach ogiętych i wyłączanych Katera Kontrukcji Buowlanych 10/26

11 W otawowych rzyakach: la belek trunobetonowych i kablobetonowych z cięgnami rotymi ciężar włany należy ominąć, la belek kablobetonowych z traą araboliczna należy ciężar włany uwzglęnić. Generalnie, właśnie zabiegi kontrukcyjne, czyli ochylanie lub oginanie cięgiem albo ich wyłączanie mają na celu reukcję niekorzytnego rozkłau narężeń w ytuacji oczątkowej w tych rzekrojach, gzie ociążający wływ ciężaru włanego jet nieznaczny. oobną rolę w trunobetonie ogrywa umiezczanie niewielkiej liczby cięgien u góry rzekroju. Reukują one w ytuacji oczątkowej wielkość mimośrou e, zaś w warunkach użytkowych, gy znajują ię w trefie ścikanej, zmniejza ię ich wyłużenie wtęne, czyli reukuje ię część iły rężającej rzez nie generowanej. Srawzenie narężeń w betonie w ytuacji oczątkowej Euroko wymaga, aby te narężenia nie rzekraczały wartości (or unkt 1.6.3) 0,6f ck (t), a w trunobetonie, jeśli otwierzono oświaczalnie - 0,7f ck (t). Jeśli mogą ojawić ię rozciągania, to nie owinny one rzekroczyć wartości f ctm,fl (t). rzy rawzeniu narężeń na krawęziach rzekroju należy w tej ytuacji uwzglęnić niekorzytne ziałanie rężenia i korzytne ziałanie ciężaru włanego. a to woje ozwiercielenie w toowaniu oowienich wartości charakterytycznych w onieieniu o iły rężającej i ciężaru objętościowego betonu. I tak, la iły rężającej toujemy wółczynnik r u : r u = 1,05 w trunobetonie r u = 1,10 w kablobetonie Charakterytyczny ciężar objętościowy betonu, zgonie z EC1 należy rzyjąć równy 24 kn/m 2. Warunki ełnienia kryterium ouzczalnych narężeń w betonie w rzekroju x w ytuacji oczątkowej można formułować natęująco: włókna olne: ( x )e ( x ) ( x ) k ( x ) k gk *) c0, y y 0, 6 fck (t ) (3.2-21) J J *) la trunobetonu, jeśli oświaczono oświaczalnie: 0,7 włókna górne: **) znak - oznacza narężenia rozciągające k k gk **) c,g y g y g fctm,fl (t ) J J ( x ) ( x )e ( x ) ( x ) 0 (3.2-22) gzie: k (x) = r u m,0 (x) charakterytyczna iła rężająca w rzekroju x, e (x) mimośró cięgien w rzekroju x, gk (x) moment zginający w rzekroju x wywołany charakterytycznym ciężarem włanym (i innymi charakterytycznymi obciążeniami zewnętrznymi w czaie rężenia), y, y g oległość krawęzi rzekroju o śroka ciężkości, oowienio olnej i górnej,, J ole i moment bezwłaności rzekroju rowazonego, la kablobetonu bez uwzglęnienia cięgien rężających Katera Kontrukcji Buowlanych 11/26

12 k k e J y g J gk yg c0,g gk y g + = e y k k k e J y J gk y c0, Ry Rozkła narężeń w ytuacji oczątkowej zginanego rzekroju rężonego Narężenia w ytuacji trwałej (SLS) Ta ama metoą jak w ytuacji oczątkowej można analizować rozkła narężeń w ytuacji trwałej: gzie: moment zginający wywołany obciążeniem zewnętrznym, c e m m y y (3.2-23) J J m, iła rężająca o tratach całkowitych Narężenia c owinny mieścić ię w granicach ouzczalnych, tzn. la rozciągania c f ctm,fl jeśli ouzczamy rozciągania w betonie lub c 0 jeśli nie ouzczamy rozciągań. Dla ścikania, w obzarach wytawionych na ziałanie śroowik należących o kla ekozycji XD, XF i XS właściwe może być ograniczenie narężeń ścikających o wartości f ck. Jeśli narężenie w betonie rzekracza 0,45f ck, to należy uwzglęnić ełzanie nieliniowe (atrz 1.6-7). Z unktu wizenia właściwości kontrukcji w warunkach użytkowych itotne jet rozatrzenie natęujących zaganień: Jeśli narężenia ścikające trwale rzekraczają 0,45f ck, to należy uwzglęnić ełzanie nieliniowe rzy obliczaniu trat (or. unkt 2.2-3), Jeśli narężenia rozciągające nawet chwilowo rzekroczą wytrzymałość betonu na rozciąganie f ctm,fl, wówcza natąi zaryowanie rzekroju, mogące wytęować trwale mimo, że narężenia trwałe c f ctm,fl Celowe jet wobec tego zarówno rozatrzenie narężeń w warunkach ziałania całkowitych obciążeń zewnętrznych (roztrzygnięcie kwetii zaryowania), jak również o ziałaniem obciążeń trwałych w kombinacji rawie tałej (w aekcie ełzania i zaryowania ługotrwałego). Katera Kontrukcji Buowlanych 12/26

13 rzy rawzeniu narężeń na krawęziach rzekroju należy w tej ytuacji uwzglęnić korzytne ziałanie rężenia. a to woje ozwiercielenie w toowaniu oowienich wartości charakterytycznych w onieieniu o iły rężającej, toując wółczynnik. r inf : r inf = 0,95 w trunobetonie r inf = 0,90 w kablobetonie Narężenia w rzekroju o całkowitym obciążeniem moment ryujący Wartość narężeń w betonie w rzekroju x o całkowitym obciążeniem oiują równania: włókna olne: włókna górne: gzie: ( x ) ( x )e ( x ) ( x ) k k k c, y y (3.2-24) J J ( x ) ( x )e ( x ) ( x ) k k k c,g yg yg (3.2-25) J J k (x) = r inf m, (x) charakterytyczna iła rężająca w rzekroju x, e (x) mimośró cięgien w rzekroju x, k (x) moment zginający w rzekroju x wywołany całkowitym charakterytycznym obciążeniem zewnętrznym, y, y g oległość krawęzi rzekroju o śroka ciężkości, oowienio olnej i górnej,, J ole i moment bezwłaności rzekroju rowazonego, Z unktu wizenia roblemu zaryowania kontrukcji, itotne jet rozatrzenie ełnienia kryterium zaryowania na olnej krawęzi rzekroju: c, f ctm,fl. Oowienio wykorzytując równanie (3.2-14) la rzekroju krytycznego można wyznaczyć wartość momentu zginającego wywołanego obciążeniem zewnętrznym, rzy którym ojawia ię ierwza rya w elemencie: c k *) znak - oznacza narężenia rozciągające k e J y J J tą: f gzie: cr cr y f k e k c,k narężenia o rężenia równe: c,k y J k (x) = r inf m, (x) charakterytyczna iła rężająca w rzekroju x, *) ctm,fl c,k ctm,fl (3.2-26) y Wyznaczony moment cr noi nazwę momentu ryującego i jet itotny rzy ocenie zachowania ię elementu rężonego oanego zginaniu. Katera Kontrukcji Buowlanych 13/26

14 e y k cr + = e k k y gk y J J f ctm,fl Ry Rozkła narężeń w rzekroju o obciążeniem momentem ryującym Narężenia w rzekroju o obciążeniem rawie tałym roblem trwałego zaryowania i nieliniowego ełzania Rozkła narężeń w betonie w rzekroju x o obciążeniem rawie tałym i oowienie kryteria zaryowania trwałego (la włókien olnych) i nieliniowego ełzania (la włókien górnych) można rzetawić analogicznie: k ( x ) k ( x )e( x ) q( x ) włókna olne: c, y y 0 J J włókna górne: gzie: c,g k ( x ) k ( x )e( x ) yg J q( x ) y J g 0, 45f ck (3.2-27) (3.2-28) k (x) = r inf m, (x) charakterytyczna iła rężająca w rzekroju x, e (x) mimośró cięgien w rzekroju x, q- (x) moment zginający w rzekroju x wywołany charakterytycznym rawie tałym obciążeniem zewnętrznym, y, y g oległość krawęzi rzekroju o śroka ciężkości, oowienio olnej i górnej,, J ole i moment bezwłaności rzekroju rowazonego, Wartość momentu ekomreji, czyli takiego momentu zginającego wywołanego obciążeniem zewnętrznym, rzy którym narężenia na olnej krawęzi oiągają wartość 0, można wyznaczyć oobnie jak w rzyaku momentu ryującego rzyjmując zamiat f ctm,fl wartość 0. J J ec c,k k e (3.2-29) y y Katera Kontrukcji Buowlanych 14/26

15 Rzeń rzekroju rężonego Jeśli wyakowa narężeń ścikających w rzekroju (C) leży wewnątrz rzenia rzekroju, wówcza nie owtaną narężenia rozciągające. Dla rzekroju z ionową oią ymetrii wierzchołki rzenia nozą nazwę romieni rzenia i ą efiniowane wyrażeniami: romień górny rzenia: romień olny rzenia: gzie: k k g 2 r (3.2-30) y 2 r (3.2-31) y g r y, y g romień bezwłaności rzekroju: r oległość krawęzi rzekroju o śroka ciężkości, oowienio olnej i górnej, J CGC y g CGC k g C k C Narężenia wyakowe w rzekroju rzy ile C w olnym romieniu rzenia y Narężenia wyakowe w rzekroju rzy ile C w górnym romieniu rzenia Ry Rozkła narężeń rzy ścikaniu w wierzchołkach rzenia rzekroju ojecie rzenia rzekroju rężonego jet itotne z unktu wizenia wykluczenia owtania narężeń rozciągających w rzekroju. Jeśli ouścimy owtanie narężeń rozciągających w granicach wytrzymałości na rozciąganie, to mówimy o tzw. rzeniu uogólnionym, którego romienie można wyznaczyć ze wzorów: romień górny rzenia uogólnionego: romień olny rzenia uogólnionego: gzie: k' k' C wyakowa narężeń ścikających (C = ) f ct wytrzymałość betonu na rozciąganie f J ct g kg kg kg (3.2-32) C y f J ct k k kg (3.2-33) C yg k g CGC k g C + = y ołożenie wyakowej ścikań f ct Narężenia wyakowe Ry Rozkła narężeń rzy zaryowaniu na olnej krawęzi Katera Kontrukcji Buowlanych 15/26

16 Linia ciśnień Linią ciśnień w belce jet linia ołożenia wyakowej ścikań w betonie (C) na ługości belki. Wykorzytuje ię ją o rawzenia ołożenia śroka ścikań wzglęem rzenia rzekroju. imośró ścikań wzglęem śroka ciężkości rzekroju (CGC) owinien leżeć wewnątrz rzenia rzekroju (wykluczenie rozciągań) lub rzenia uogólnionego (wykluczenie zaryowania). Linia ciśnień może być wyznaczona z ramienia ił wewnętrznych równoważących zewnętrzny moment zginający ziałający w rzekroju, jako mimośró ścikań e c wzglęem (CGC): z C tą: e c z e (3.2-34) rzyjmując klaycznie, że oatnia wartość momentu zginającego oznacza rozciąganie olnych włókien betonu, oatnia wartość e c ze wzoru (3.2-24) oznacza, że linia ciśnień leży owyżej (CGC) i jeśli jet więkza o k g, na olnej krawęzi mogą owtać rozciągania (o obciążeniem użytkowym), natomiat jeśli e c jet ujemne i e c > k, wówcza o rężeniu owtaną rozciągania na górnej krawęzi rzekroju. Linia ciśnień o rężeniu (w ytuacji oczątkowej) Linia ciśnień jet obliczana o momentu wywołanego ciężarem włanym. Ilutruje to Ry Ścikania w śroku roziętości rzekroju ą onieione w tounku o oi cięgien (CGS) ziałaniem ciężaru włanego. Linia ciśnień CGC CGS k g k Ry Linia ciśnień o rężeniu Linia ciśnień w warunkach użytkowych (w ytuacji trwałej) Linia ciśnień jet obliczana o momentu wywołanego obciążeniem użytkowym. Ilutruje to Ry Katera Kontrukcji Buowlanych 16/26

17 Linia ciśnień CGC CGS k g k Ry Linia ciśnień w warunkach użytkowych Obwienia ołożenia cięgna wyakowego Jeśli w kontrukcji nie ouzczamy rozciągań, wówcza rzebieg linii ciśnień w każej ytuacji owinien znajować ię wewnątrz rzenia rzekroju. Jeśli ouzczamy rozciągania w granicach wytrzymałości betonu na rozciąganie wówcza linia ciśnień znajuje ię wewnątrz rzenia uogólnionego. Wykorzytując warunki: e e c c g( x ) e C k( x ) e C,max,min ( x ) k ( x ) k g Oowienio la ytuacji oczątkowej (o rężeniu) i trwałej (w warunkach użytkowania) można wyznaczyć obwienię ołożenia cięgna wyakowego ograniczoną liniami e,max i e,min na ługości belki otawiając C = : e e,max,min g( x ) ( x ) k k ( x ) kg x (3.2-35) W owyżzym ukłazie nierówności, oatnie wartości mimośroów e ą oniżej CGC. rzebieg e,max (x) jet uwarunkowany brakiem rozciągań (lub zaryowania) w ytuacji oczątkowej, zaś e,min (x) brakiem rozciągań (lub zaryowania) w ytuacji trwałej. ożna także uwzglęnić różnicę w wartości iły o rężeniu i o tratach trwałych o obciążeniem użytkowym. oobnie, można otawić oowienie romienie rzenia uogólnionego z równań ( i ) otawiając za C oowienią wartość iły. CGC CGS e,min k g k e,max Ry Obwienia mimośroów e Katera Kontrukcji Buowlanych 17/26

18 3.3. Elementy zginane w tanie granicznym nośności Założenia otawowe założenia analizy, także zgone z Eurokoem ą natęujące: - łakie rzekroje ozotają łakie, - okztałcenie zbrojenia owiązanego z betonem iłami rzyczeności lub cięgien rężających mających rzyczeność, zarówno rzy ścikaniu, jak i rzy rozciąganiu jet równe okztałceniu otaczającego je betonu, - omija ię wytrzymałość betonu na rozciąganie, - narężenia ścikające w betonie wyznacza ię na otawie zależności narężenie-okztałcenie oanej w unkcie 1.6.2, zaś w zbrojeniu i cięgnach z zależności iealnie liniowo rężytych (or. Ry ). - obliczając narężenia w cięgnach rężających, uwzglęnia ię oczątkowe okztałcenie tych cięgien. Wykre okztałceń w tanie granicznym nośności za Eurokoem rzetawia Ry h c2 1 h cu2 lub c 3 1 h cu3 lim D C B (0) Ry Zginany rzekrój rężony w ULS y c2 c3) cu2 cu3) Cięgna rężające w ULS W zakreie uwzglęnienia roli cięgien rężających w tanie granicznym nośności Euroko roonuje natęujące oejście, w którym kutki rężenia można rozatrywać jako oziaływania (n. iły ołużne i momenty wywołane rzez rężenie) lub jako zmiany wytrzymałości elementów. 1). Na ogół rężenie wrowaza ię o kombinacji oziaływań określonych w EN 1990 jako obciążenie, a jego efekty należy włączyć o wewnętrznego momentu i iły oiowej, które ziałają na rzekrój lub element. 2). Wływ na nośność rzekroju ma tylko rzyrot narężeń w cięgnach z rzyczenością równy różnicy omięzy ich wytrzymałością a narężeniami wywołanymi rzez rężenie. Ten rzyrot narężeń można obliczyć, zakłaając że unkt zerowy zależności narężenie-okztałcenie w cięgnach jet rzeunięty na kutek wływu rężenia. Katera Kontrukcji Buowlanych 18/26

19 Takie oejście ankcjonuje ualityczne traktowanie cięgien rężających: w części o tronie obciążeń oraz w części o tronie nośności. Siła rężająca jako obciążenie Siła rężająca, zazwyczaj o tratach całkowitych, czyli m,, ziałając na mimośrozie e jet obciążeniem rzekroju. Wartość obliczeniowa tej iły wynoi: gzie:,fav częściowy wółczynnik:,fav = 1,0,fav m,,fav ( 0 ) E (3.3-36) Nośność cięgien z rzyczenością jako nośność zbrojenia rzekroju Jako zbrojenie cięgna racują w zakreie różnicy omięzy ich nośnością a wtęnym rężeniem (konekwentnie: iłą m, ), uwzglęniając zależność narężenie-okztałcenie: f f y,oo Srężenie = obciążenie zbrojenie (0) y tan = E u,oo y u Ry Cięgna w ULS Stają ię w tym zakreie zbrojeniem o olu owierzchni rzekroju, wytrzymałości obliczeniowej f y, moule rężytości E i granicy okztałceń latycznych y. ożna wyznaczyć f y i y z zależności: f' y ' y E f 0, 1k f y ' y ( 0 ) E E (3.3-37) f' f (3.3-38) Obciążenia w ULS Jeśli rzekrój zginany jet obciążony zewnętrznym momentem E0, to uział rężenia jako obciążenia owouje, że mamy o czynienia z rzyakiem ścikania mimośroowego o obciążeniach: Katera Kontrukcji Buowlanych 19/26

20 i mimośrozie tatycznym: gzie mimośró e jet oatni, gy leży owyżej CGC E NE (3.3-39) 0 e (3.3-40) E E e (3.3-41) E0 E CGC e = N E = = N E e Ry rozkła ił wewnętrznych w zginanym elemencie żelbetowym i rężonym Srawzenie tanu granicznego nośności na zginanie Cięgna z rzyczenością: trunobeton i kablobeton Zaganienie rowaza ię o rzyaku rzekroju żelbetowego, zbrojonego talą f y, i oczywiście jeśli wytęuje, zbrojeniem zwykłym. rzyjmijmy, że rawzenie tanu granicznego nośności na zginanie olega na wykazaniu, że w warunkach równowagi ił oiowych w łakim rzekroju moment zginający, który rzenoi rzekrój, jet więkzy o momentu zginającego ziałających obciążeń. Koniecznym ziałaniem jet ientyfikacja granicznego tanu okztałcenia eterminującego rozkła ił wewnętrznych ełniających wyżej formułowane warunki. Wtęnie należy roztrzygnąć, czy w tanie granicznym nośności zbrojenie rzekroju (tu: zatęcze, rerezentujące nośność cięgien f y ) ulegnie ulatycznieniu. Taki tan okztałcenia (linia B-D na Ry ) oizmy okztałceniem granicznym betonu we włóknach górnych cu, i wzglęną graniczną wyokością trefy ścikanej, określanej jako: Zgonie z warunkami geometrycznymi na Ry otrzymujemy: x lim lim (3.3-42) cu lim (3.3-43) ' gzie: cu graniczne okztałcenie trefy ścikanej betonu la wybranego moelu okztałcalności ( cu2 lub cu3 ) y granica latyczności zatęczego zbrojenia, obliczana ze wzoru (3.3-3) cu y W rojektowaniu kontrukcji należy ążyć o takiego wytężenia rzekroju, aby x / bezieczny orzezony ulatycznieniem cięgien i ryami oób znizczenia rzekroju. lim. Zaewnia to Katera Kontrukcji Buowlanych 20/26

21 Wykorzytując moel rotokątnego rozkłau narężeń w betonie (Ry ) także można wyznaczyć graniczną wyokość trefy ścikanej, oznaczanej traycyjnie jako eff,lim : (3.3-44) eff,lim gzie: lim graniczne okztałcenie trefy ścikanej betonu la wybranego moelu okztałcalności ( cu2 lub cu3 ) wółczynnik weług Ry eff a) b fc b) b 297 N c 578 bf c c fc e N E xeff=eff e N E 21 N x 17 bf c c N c N E f' y f y f y Ry rozkła ił wewnętrznych w zginanym elemencie rężonym a) w moelu rotokątnego rozkłau narężeń; b) w moelu araboliczno rotokątnym okztałceń Należy twierzić, że rzy rojektowaniu rzekrojów racujących na zginanie, moel betonu w zakreie kla o C50/60 ma rugorzęne znaczenie. Ilutruje to Tab , w której orównano arametry nośności rzy różnej wzglęnej nośności zbrojenia rozciąganego onieione o moelu araboliczno rotokątnego (Ry 1.6-1). Tab orównanie nośności na zginanie la różnych moeli okztałcalności betonu ścikanego = 1 f y /bf c = x/ z/ R /b 2 f c ,05 0,062 0,067 0,050 0,974 0,970 0,975 0,049 0,049 0,049 0,1 0,124 0,133 0,100 0,949 0,941 0,950 0,095 0,094 0,095 0,15 0,185 0,200 0,150 0,923 0,911 0,925 0,138 0,137 0,139 0,2 0,247 0,267 0,200 0,897 0,881 0,900 0,179 0,176 0,180 0,25 0,309 0,333 0,250 0,872 0,852 0,875 0,218 0,213 0,219 0,3 0,371 0,400 0,300 0,846 0,822 0,850 0,254 0,247 0,255 0,35 0,432 0,467 0,350 0,820 0,793 0,825 0,287 0,277 0,289 0,4 0,494 0,533 0,400 0,794 0,763 0,800 0,318 0,305 0,320 0,45 0,556 0,600 0,450 0,769 0,733 0,775 0,346 0,330 0,349 0,5 0,618 0,667 0,500 0,743 0,704 0,750 0,372 0,352 0, % 108% 81% 100% 95% 101% 100% 95% 101% z: ramię ił wewnętrznych w rzekroju 2: moel araboliczno rotokątny weług Ry Objaśnienia: 3: moel wuliniowy weług Ry : moel rotokątnego wykreu narężeń weług Ry Rozatrzmy umaryczne ziałanie cięgien, tzn + f y : wykorzytując zależność (3.3-2): f' y f f (3.3-45) Wynik jet wrot efinicją nośności obliczeniowej cięgien rężających; oznaczmy ją F. Katera Kontrukcji Buowlanych 21/26

22 rzenieśmy iłę = N E na rawą tronę rzekroju i oajmy o nośności zbrojenia rozciąganego f y. Konekwentnie, zatąmy ziałanie obciążenia N E na mimośrozie e obliczeniowym momentem zginającym E0. Otrzymujemy warunki równowagi jak la zginanego rzekroju żelbetowego, ze zbrojeniem rozciąganym o nośności f. Trzeba jenak określić, że graniczny tan okztałcenia rzekroju itotny w moelu araboliczno rotokątnym bęzie omienny niż w rzyaku żelbetu, z uwagi na wtęny naciąg cięgien. Natomiat rzy wykorzytaniu rotokątnego moelu narężeń, gzie nie ientyfikuje ię wrot tanu okztałcenia, różnic nie bęzie (Ry ). b f c E0 xeff=eff F = f Ry rozkła ił wewnętrznych w zginanym elemencie żelbetowym i rężonym Takie oejście jet zczególnie wygone rzy wtęnym oborze rzekroju zginanego elementu rężonego. Cięgna bez trwałej rzyczeności i zewnętrzne W tym rzyaku nie można uwzglęnić jakiegokolwiek uziału cięgien jako zbrojenia o tronie nośności. Euroko wkazuje, że w tym rzyaku rzyrot narężeń w cięgnach w ULS należy obliczać jako efekt okztałcenia całego elementu. Jeśli nie rzerowaza ię takich obliczeń można rzyjąć, że rzyrot narężeń o oziomu efektywnego rężenia o oziomu narężeń w tanie granicznym wynoi,uls = 100 a. Czyli: (3.3-46),fav m,,uls Uwagi końcowe ożna wkazać trzy ooby oejścia rzy rawzeniu tanu granicznego nośności na zginanie rzekroju rężonego obliczeniową iłą cięgnami o nośności obliczeniowej F : 1. rzyjęcie wyłącznie iły jako oatkowego obciążenia rzekroju ze zbrojeniem talą zwykłą Takie oejście jet bezieczne la cięgien bez trwałej i ełnej rzyczeności, oraz gy rężenie jet blikie oiowemu lub zaięg trefy ścikanej uniemożliwia oiągnięcie granicy latyczności cięgien ( > lim ). 2. rzyjęcie iły jako oatkowego obciążenia rzekroju i uwzglęnienie rzyrotu iły w cięgnach: o wartość oowiaającą rzyrotowi okztałceń o tronie nośności w cięgnach z rzyczenością, celowe w kontrukcjach zginanych, gy ( lim ), o wartość,uls o tronie obciążeń w kontrukcjach z cięgnami bez trwałej rzyczeności. Katera Kontrukcji Buowlanych 22/26

23 3. rzyjęcie ełnej nośności cięgien F jako zbrojenia rzekroju zginanego( > lim ) z cięgnami z ełną rzyczenością. oejście właściwe rzy wtęnym oborze/rawzeniu rzekroju Stan graniczny nośności na zginanie rzy wtęnym kztałtowaniu rzekroju Ukztałtowaniu olega zwykle rzekrój orzeczny i ołużny. Dobranie oowieniego rzekroju orzecznego belki rężonej jet unktem wyjścia o alzej analizy obliczeniowej. rzekrój mui więc być założony rzez kontruktora w oarciu o wymagania wytrzymałościowe, wykonawcze i użytkowe, a obliczenie uzaania jego rawiłowość. Otymalny rzekrój belki zginanej to taki, który ma niezbęną owierzchnię trefy ścikanej o obciążeń zewnętrznych, minimalną owierzchnię trefy rozciąganej, w której rozmiezczono cięgna rężające, i taki rzekrój śronika łączącego obywie trefy, jaki jet konieczny ze wzglęów technologicznych i wytrzymałościowych. ołożenie cięgien rężających, tj. zbrojenie belki - owinno zaewniać możliwie najwiękze ramię ił wewnętrznych. rowazi to w konekwencji o rzekroju wuteowego, w którym górna ólka określona jet warunkami wytrzymałościowymi, a olna - możliwością rozmiezczenia cięgien rężających i nośnością elementu w taium oczątkowym. Utalenie wyokości rzekroju Wtęnie, wyokość elementu można obrać kierując ię wkazaniami oniżzej tabeli: Tab Zalecane wyokości zginanych kontrukcji rężonych L/h 45 łyty ełne wielorzęłowe Element łyty jenorzęłowe ełne, kanałowe i gętożebrowe łyty T i TT Belki achowe 15 Belki troowe 12 8 Belki ouwnicowe Oczywiście, jeśli element ilniej obciążony (la belek także w wyniku więkzego roztawu), należy rzyjmować mniejze L/h w rzeziale. Katera Kontrukcji Buowlanych 23/26

24 Ozacowanie ciężaru włanego belek W belkach wuteowych, ciężar włany w oób rzybliżony można wyznaczać z warunku: g k 2 ( 0, 2 0, 25) h (3.3-47) bet gzie: bet ciężar obj. betonu, kn/m 3 h wyokość belki, m Utalenie wymaganej nośności cięgien i obór ich liczby unktem wyjścia o obliczeń jet warunek równowagi momentów zginających w ULS w ytuacji trwałej. Zakłaa ię, że ramię ił wewnętrznych (rozciąganie w cięgnach i ścikanie w betonie) równoważących moment zginający o obciążeń E wynoi: Stą, wartość ił wynoi: z = (0,8 0,85)h F z Znając iłę, jaką muzą rzenieść cięgna rozciągane w ULS w ytuacji trwałej, ich wymaganą liczbę - n req wyznacza ię ze wzoru: E F nreq lub F,1 gzie: n req F (3.3-48) f 1 z 1 F,1 ole owierzchni rzekroju ojeynczego cięgna obliczeniowa nośność ojeynczego cięgna lub kabla: F, Fk, 1 1 albo F, 1 1f F k,1 charakterytyczna nośność ojeynczego cięgna lub kabla Znając tę liczbę i rozatrując wymagania Eurokou w zakreie min. liczby cięgien rężających okonuje ię rzyjęcia liczby cięgien n rov. Zazwyczaj jet: n n. rov req W belkach trunobetonowych touje ię cięgna górne, zabezieczające górną ółkę rze znizczeniem wkutek ziałania rężenia i ciężaru włanego w tranorcie i waliwym kłaowaniu. otrzebną ilość tego zbrojenia n 2,rov można obliczyć z urozczonego wzoru: S,g n2,rov (3.3-49) zf, 1 gzie E,g obliczeniowy moment zginający wywołany ciężarem włanym elementu rzyjętą liczbę cięgien umiezcza ię w ółce górnej. Katera Kontrukcji Buowlanych 24/26

25 Utalenie wymaganej owierzchni trefy ścikanej betonu Strefa ścikana betonu tworząca górną ółkę mui równoważyć iłę w cięgnach. Stą jej ole rzekroju owinno ełniać warunek: cc F,rov (3.3-50) f cc c gzie: F,rov nrov F 1 lub F,rov nrov 1f W rzyaku łyt, zerokość elementu - b jet zerokością trefy ścikanej. Stą, konieczna wyokość trefy ścikanej wynika z warunku: W rzyaku belek, zerokość b 2 i wyokość - h 2 zaleca ię rzyjmować, kierując ię ograniczeniami: b2 5b w ; b2 beff h 2 L b 2 ; h2 0,25b 2 60 cc b b 2 Sfazowanie krawęzi ołużnych 1:6 b w h 2 Rozmiezczenie kabli ok mm Rozmiezczenie trun h 1 b 1 Ry. 6 Kztałtowanie rzekroju wuteowego Utalenie wymaganej owierzchni trefy rozciąganej betonu ole owierzchni trefy rozciąganej betonu ma zaewnić właściwe rozmiezczenie i otulenie cięgien rężających z uwzglęnieniem oziaływań śroowikowych. Zaleca ię aby w trunobetonie cięgna rozmiezczone były w ukłazie ortogonalnym, (niearzyta liczba kolumn aje możliwość umiezczenia każej liczby cięgien z zachowaniem ymetrii o oi ionowej rzekroju). W kontrukcjach kablobetonowych najbarziej korzytny jet ukła. Śroek ciężkości cięgien owinien okrywać ię ze śrokiem ciężkości trefy rozciąganej ole rzekroju trefy rozciąganej: ct = b 1 h 1, można ozacować ze wzoru: w kontrukcjach trunobetonowych: ct = 50 w kontrukcjach kablobetonowych: ct = 40. gzie. ole rzekroju cięgien olnych. Szerokość tej trefy owinna ełniać warunek b1 3b w Katera Kontrukcji Buowlanych 25/26

26 Utalenie zerokości śronika O zerokości śronika ecyują wzglęy tatyczne i technologiczne. Z rzyczyn technologicznych, zerokość śronika owinna ełniać warunki b w 0,1 h i b w 80mm. W kontrukcjach kablobetonowych zerokość ta mui zaewnić właściwy roztaw i otulenie kabli rowazonych w śroniku. Katera Kontrukcji Buowlanych 26/26