A. Dawid KSM (W1) Uniwersytet Śląski Katowice

Transkrypt

1 Symulacje komputerowe 2 Metoda Monte Carlo PLAN WYKŁADU 1. Klasyczna metoda MC 2. Rozwiązanie Metropolisa 3. Implementacja algorytmu MC. 4. Klasyczny model sieciowy (Model Isinga) 5. Własności dielektryczne materiałów. 6. Kwantowa metoda wariacyjna. 7. Rozwiązanie dla atomu i molekuły wodoru.

2 Literatura M.P. Allen and D.J. Tildesley Computer Simulation of Liquids (Oxford University Press). D.C. Rapaport The art of molecular dynamics simulation. (Cambridge University Press 1995). D. Frenkel. Understanding Molecular Simulation. From Algorithms to Aplications. FOM Institute for Atomic and Molecular Physics Amsterdam, The Netherlands. (Academic Press 1996). Tao Pang Metody Obliczeniowe w fizyce PWN Warszawa 2001 W. Rubinowicz, W. Królikowski Mechanika Teoretyczna (PWN Warszawa 1988). A. N. Matwiejew Fizyka Cząsteczkowa (PWN Warszawa 1989). A. I. Anselm, Podstawy fizyki statystycznej i termodynamiki, (PWN Warszawa 1984).

3 Miejsce symulacji komputerowych w badaniach naukowych

4 Historia symulacji komputerowych. 1. II Wojna Światowa - symulacje dla pocisków altyleryjskich algorytm Metropolis dla metody Monte Carlo 3. Lata 50-te XX wieku - Los Alamos MANIAC wprowadzenie metody MD (Adler i Wainwright, Livermore.) MD dla fazy ciekłej.

5 Symulacje Monte Carlo. Symulacje MC Klasyczne Kwantowe (ab initio) Model ciągły Model Sieciowy Metoda Wariacyjna Całkowanie Po ścieżkach

6 Metoda Monte Carlo. Metoda bierze swoją nazwę od częstego stosowania w niej generatora liczb losowych. Monte Carlo hazard i gry losowe.

7 Metoda Monte Carlo. Symulacje Monte Carlo wykonywane są wówczas gdy problem fizyczny można sprowadzić do rozwiązania całki typu. F = x 2 x 1 dxf ( x) Po wprowadzeniu funkcji rozkładu gęstości (x) (x) F = x 2 x 1 dx f ( x) ( x) ( x) x1 x 2 x

8 Metoda Monte Carlo. Rozważmy przeprowadzenie τ losowań liczby τ z rozkładu (x) w granicach (x 1,x 2 ), wtedy nasza całka przyjmie postać średniej po wszystkich próbach; F = f ( ψ ( ψ Najprostszy przypadek gdy funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa jest jednorodna w całym przedziale. τ τ ) ) τ ψ ( x) = x 2 1 x 1 (x) 1 x x 2 1 x1 x2 x

9 Metoda Monte Carlo. W tym przypadku nasza całka przyjmie następującą postać dyskretną; F = ( x τ x ) τ max 2 1 f ( ψ τ ) max τ = 1 W przypadku jednowymiarowej całki metoda MC daje gorsze wyniki od metod bezpośrednich (Simpsona) Dla MC F = ( τ 1 max ) 1 2 Dla trapezów F = 1 ( τ 2 max )

10 Metoda Monte Carlo. Przykład: Układ molekuł w dobrym kontakcie ze zbiornikiem ciepła. Stałe N,V,T (układ kanoniczny). gdzie, Γ Z = A { q } q N = 1 β U ( Γ) Z = βu ( Γ) e dγ A( Γ) e dγ Przestrzeń konfiguracyjna. Całka konfiguracyjna (suma statystyczna). β = k B 1T

11 Schemat MC Metoda Monte Carlo. (1) Generujemy punkt w 3N wymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej w granicach zamkniętej objętości (2) Obliczamy energię potencjalną dla każdego losowania U = V ( ) τ i< j r ij (3) Obliczamy czynnik Boltzmanna exp( βu τ )

12 Schemat MC Metoda Monte Carlo. Procedura jest powtarzana. Po dużej liczbie losowań całkę konfiguracyjną można przybliżyć równaniem; Z NVT V τ N max τ max τ = 1 exp( βu τ )

13 Metoda Monte Carlo. Wadą tej metody jest dodawanie do całki konfiguracyjnej przypadkowych przyczynków o nieznaczącej wartości. Rozwiązaniem tego problemu jest wprowadzenie rozkładu prawdopodobieństwa niejednorodnego. A NVT = draexp( βu ) dr exp( β U ) A NVT = dγ ( Γ) A( Γ) NVT

14 Metoda Monte Carlo. Jeżeli teraz nasze funkcje podcałkowe zamienimy jedną funkcją; f ( Γ) = ( Γ) A( Γ) NVT To średnią dowolnej wielkości w rozkładzie kanonicznym możemy przybliżyć równaniem. A NVT A NVT τ

15 Metoda Monte Carlo. Aby można liczyć według losowań naszą średnią; A NVT A τ Musi być spełniony następujący warunek; = NVT Wygenerowane sekwencje przypadkowych stanów muszą spełniać ten warunek.

16 Rozwiązanie Metropolisa. Rozwiązanie tego problemu znalazł w 1953 Metropolis. Łańcuch Markowa stanów, tak skonstruowany aby jego rozkład graniczny był rozkładem Łańcuch Markowa NVT (1) Wynik losowania należy do skończonej liczby wyników Γ { Γ Γ Γn } n 1, 2,..., (2) Wynik każdego z losowań zależy tylko od wyniku bezpośrednio go poprzedzającego. P ( (0) (2) ) ( (0) (1) ) ( (1) (2) Γ Γ = P Γ Γ P Γ Γ )

17 Rozwiązanie Metropolisa. Dwa stany połączone macierzą przejścia. Γ n, Γ m (1) = (0.5,0.5) Prawdopodobieństwo początkowe reprezentowane przez wektor. π = π mn

18 Rozwiązanie Metropolisa. (2) (3) = = (1) (2) π π = (1) π 2 = lim τ (1) π τ R musi spełniać równanie na wartości własne π = (*) mπ mn = m n

19 Rozwiązanie Metropolisa. Jeżeli wartość własna jest równa 1 to pi nazywamy macierzą Stochastyczną tzn. jej wiersze sumują się do jedności. π mn n = 1ˆ Nie znamy macierzy pi ale znamy wektor prawdopodobieństwa m = NVT ( Γ m ) Mikroskopowa odwracalność dla macierzy pi π = m mn n π nm (**)

20 Rozwiązanie Metropolisa. W 1953 roku Metropolis znalazł macierz przejścia satysfakcjonującą równania (*) i (**) π π mn mn = α = α mn mn π = 1 ( n / m) Prawdopodobieństwo pozostania w tym samym stanie mm π mn n m n n < m m α mn = α nm Macierz symetryczna

21 Rozwiązanie Metropolisa

22 Rozwiązanie Metropolisa (1) Wybieramy losowo dowolny atom. (2) Atom umieszczamy w środku małej kostki o rozmiarach 2δr max (Rys. 3.2). Przesuwamy atom w dowolne położenie wewnątrz tej kostki. (3) Obliczmy energie i-tego atomu w nowym i starym położeniu a następnie ich różnicę. N N n m δv nm = Φ( rij ) Φ( rij ) j= 1 j= 1 Jeżeli δv nm =V n -V m <0 to atom przesuwamy do nowego położenia. (4) Jeżeli δv nm >0 to przesunięcie musi być jeszcze zaakceptowane przez dane prawdopodobieństwo r n / r m. Generujemy liczbę losową ξ z przedziału [0,1]. Jeżeli exp(-βδv nm )>ξ ( ), to akceptujemy przesunięcie β do =1/ nowego k B T położenia. (5) Jeżeli exp(-βδv nm )<ξ to traktujemy stare położenie jako nowe położenie. (6) Wybieramy inny atom i powtarzamy operację.

23 Zalety i wady metody MC Metoda Monte Carlo zasadniczo nadaje się do badania własności fizycznych oraz struktury w stanie równowagowym. Pozwala dość dokładnie obliczać takie wielkości jak; Energia potencjalna Ciśnienie Ciepło właściwe Radialna funkcja rozkładu Metoda Monte Carlo jako metoda statystyczna słabo nadaje się do badania wielkości zależnych od czasu, takich jak wszelkiego rodzaju czasowe funkcje korelacji. Brak jest możliwości śledzenia toru cząstki wynikającego z równań ruchu.

24 2 Potencjał Lennarda-Jonesa (argon). 1 V Ar-Ar [10-21 J] r [A] V ( r ij ) = σ 4ε rij 12 σ rij 6 ε, σ Parametry zależne od materiału

25 Kod MC int inline MCrun(int ile,double Rmax){ double prec,rmax,delta,cb,beta,ep,wbol,temp; int los,accept=0,dzeta,ff=0,df,kf=1000; POS rr,robr,engl,*rt; Temp=2.867; beta=1/(kb*temp); srand(time(null)); rmax=4.2; prec=1000.0; dzeta=(int)prec; los=(int)(rmax*2.0*prec);

26 Kod MC for(t=0;t<ile;t++) { i = rand() % N; df = 1+(ff++) % kf; rt=new POS; rr.x = rmax-(double)(((rand() % los))/prec); rr.y = rmax-(double)(((rand() % los))/prec); rr.z = rmax-(double)(((rand() % los))/prec); accept=1;

27 Kod MC rt.x = M[i].R[0].x + rr.x; rt.y = M[i].R[0].y + rr.y; rt.z = M[i].R[0].z + rr.z; if(rt.x>=rmax*0.5 rt.x<=-rmax*0.5 rt.y>=rmax*0.5 rt.y<=-rmax*0.5 rt.z>=rmax*0.5 rt.z<=-rmax*0.5){ accept=0; break; }

28 Kod MC delta=countdeltaepot(i,rt); wbol=beta*delta; if(delta<0){accept=1; } if(delta>=0){ ep=(double)((1+(rand() % dzeta))/prec); cb=exp(-wbol); if(cb>ep){accept=1; }else{accept=0;} }

29 Kod MC if(accept==1){ M[i].R[0].x = rt.x; M[i].R[0].y = rt.y; M[i].R[0].z = rt.z; } delete rt; } return 0; }