Wykład 14. Testowanie hipotez statystycznych - test zgodności chi-kwadrat. Generowanie liczb losowych.

Transkrypt

1 Wykład 14 Testowanie hipotez statystycznych - test zgodności chi-kwadrat. Generowanie liczb losowych.

2 Rozkład chi-kwadrat Suma kwadratów n-zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standardowym ma rozkład chi-kwadrat o n-stopniach swobody: n i 1 X 2 i ~ 2 n, gdzie X ~ N(0;1) Wykres gęstości rozkładu w zależności od stopni swobody, zobacz: Plik w14_testowanie.xlsx zakładka "Rozkład_chi-kwadrat" (wykres jest na wysokości wiersza 40) 2,n Wprowadzamy oznaczenie (tzw. wartość krytyczną) w tym samy celu co wprowadzaliśmy u i dla rozkładów normalnego i t-studenta. t, n Wartości krytyczne odczytuje się z tablic: w14_testowanie.xlsx zakładka "Rozkład_chi-kwadrat" tablica od A1 do K38

3 Test zgodności chi-kwadrat (cz. 1) Test zgodności chi-kwadrat jest testem nieparametrycznym czyli służy do weryfikacji hipotezy o postaci rozkładu, np. czy rozkład jest normalny, Poissona itd., a nie weryfikacji wartości parametrów. Tego testu możemy użyć na przykład do sprawdzenia czy kostka do gry jest rzetelna, czy generator liczb losowych dobrze losuje liczby. Testowanie w przypadku cechy skokowej: Przykład. Sprawdźmy rzetelność kostki do gry. Plik w14_testowanie.xlsx zakładka "test chi-kwadrat". Testowanie w przypadku cechy ciągłej: Przykład. Sprawdźmy rzetelność funkcji los() arkusza kalkulacyjnego EXCEL do generowania liczb losowych z rozkładu jednostajnego. Plik w14_testowanie.xlsx zakładka "test chi-kwadrat 2"

4 Test zgodności chi-kwadrat (cz. 2) Testowanie w przypadku cechy ciągłej: Przykład. Sprawdźmy czy wyniki wskazują na rozkład normalny. Zad. 4/312 (Podgórski - Statystyka dla studiów licencjackich): W hipermarkecie sprzedaje się orzeszki o wadze 50g. Zważono 200 wylosowanych paczek orzeszków i otrzymano następujący rozkład wagi w tej próbie: Waga orzeszków Liczba paczek Zweryfikuj na poziomie istotności 0,05 hipotezę, że waga paczki orzeszków ma rozkład normalny. Obliczenia: Plik w14_testowanie.xlsx zakładka "test chi-kwadrat 3"

5 Generowanie liczb losowych (cz. 1) Algorytm generowania liczb pseudolosowych: Dla ustalonych liczb a, b, p wybieramy dowolną liczbę X 0 zwaną ziarnem (seed). Następnie obliczamy: X 1 = ax 0 + b (mod p) X 2 = ax 1 + b (mod p)... X n+1 = ax n + b (mod p) Przy dobrze dobranych parametrach a,b,p i X 0 liczby: X1 2 n 1,,, mają własności niemal takie same jak liczby z rozkładu jednostajnego na przedziale [0,1) p X p X p Przykład wykorzystania algorytmu: w14_generowanie.xlsx zakładka "Generowanie liczb losowych". Liczby wygenerowane wg tego algorytmu są w kolumnie zielonej (E). W kolumnie żółtej (C) są liczby X 1,X 2,...,X n+1

6 Generowanie liczb losowych (cz. 2) Zasady dobierania parametrów a, b, p, X 0 : "p" powinno być bardzo duże, aby jak najbardziej ograniczyć okresowość (powtarzanie się tych samych liczb) "a" powinno być bardzo duże i względnie pierwsze z "p", również, aby ograniczyć okresowość "b" ma mniejsze znaczenie, często przyjmuje się zero X 0 można przyjąć jako 1 lub stempel czasu (czas od ) Liczby nazywamy pseudolosowe, bo jeśli znamy ziarno to możemy je obliczyć, albo jeśli będziemy brać takie same ziarno będziemy otrzymywać takie same liczby

7 Funkcje losujące Excel: funkcja los(): liczba z przedziału [0,1), teoretycznie liczby z rozkładu równomiernego o różnych wartości JavaScript: Math.random(): liczba z przedziału [0,1), teoretycznie liczby z rozkładu równomiernego różnych wartości Java: Math.random() tak jak w JavaScript lub skorzystać z klasy java.util.random PHP: rand(): liczba całkowita z zakresu od 0 do getrandmax(). W przypadku Windows getrandmax() = 2 15 mt_rand(): liczba całkowita z zakresu od 0 do mt_getrandmax(). W przypadku Windows mt_getrandmax() = Przykłady losowań: losuj.zip

8 Generowanie liczb dla rozkładu jednostajnego rozkład jednostajny na odcinku [a,b] Mając liczby z rozkładu jednostajnego na odcinku [0,1] należy mnożyć przez (ba) i dodawać a. Czyli: po pomnożeniu przez (b-a) mamy liczby z przedziału [0,b-a], po dodaniu a mamy liczby z przedziału [a,b]

9 Generowanie liczb dla rozkładu równomiernego rozkład równomierny czyli liczby całkowite z określonego przedziału np. 1,2,3,4,5,6 Postępujemy tak: mając liczby z rozkładu jednostajnego na odcinku [1,7] zaokrąglamy je do dołu do liczby całkowitej (floor). Czyli musimy mieć liczby z rozkładu jednostajnego na odcinku o rozpiętości takiej ile jest możliwych liczb np. 6 i następnie zrobić zaokrąglenie do dołu. Inna metoda: Mając liczby całkowite wylosowane wg algorytmu ze slajdu "Generowanie liczb losowych" bierzemy reszty z dzielenia tych liczb przez 6 i dodajemy jeden. Wytłumaczenie: skoro dzielimy przez 6 to możliwe reszty: 0,1,2,3,4,5 a jeśli jeszcze dodajemy jeden: to będziemy uzyskiwać liczby spośród: 1,2,3,4,5,6 z równym p-stwem Liczby wygenerowane z rozkładu równomiernego od 1 do 6: w15.xlsx zakładka "Generowanie liczb losowych" kolumna niebieska

10 Generowanie liczb dla rozkładów ciągłych na przykładzie rozkładu wykładniczego i normalnego Metoda odwrócenia dystrybuanty: Liczbą losową z rozkładu o dystrybuancie F będzie F -1 (a), gdzie a jest liczbą losową z rozkładu jednostajnego na odcinku [0,1] Zobacz wygenerowane liczby dla rozkładów: wykładniczego, normalnego: w14_generowanie.xlsx zakładka "Generowanie liczb losowych" kolumny: I, K Kolumna I - rozkład wykładniczy o parametrze 3. Np. Urządzenie psuje się trzy razy w ciągu doby. Wygenerowane liczby to czas bezawaryjnej pracy urządzenia, np. 0,25 czyli 6 godzin (ułamek odnosimy do jednostki czasu, u nas to doba) Kolumna K - rozkład normalny o parametrach m=170, sigma=10. Np. te liczby to może być wzrost wylosowanych 20 osób, zakładając że rozkład wzrostu w populacji jest N(170,10).

11 Generowanie liczb dla rozkładu Poisson Zobacz w14_generowanie.xlsx zakładka "Generowanie liczb losowych" kolumna P Kolumna P - rozkład Poiss(3) czyli lambda = 3. Np. te liczby to może być liczba wypadków spowodowana przez kierowców w ciągu roku, zakładając, że rozkład liczby wypadków jest Poiss(3) czyli średnio kierowca powoduje 3 wypadki w jakiejś jednostce czasu (u nas jednostka to rok). Czyli pierwszy kierowca spowodował 3 wypadki, drugi 2 itd.

12 Słowniczek testing hypothesis - testowanie hipotez the null hypothesis - hipoteza zerowa the alternative hypothesis - hipoteza alternatywna acceptance of H0 - przyjęcie H0 (nie ma podstaw do odrzucenia) rejection of H0 in favor of H1 - odrzucenie H0 na rzecz H1 acceptance / rejection region - obszar przyjęć / odrzuceń the significance level - poziom istotności the power of the test - moc testu type I error, type II error - błąd I rodzaju, błąd II rodzaju the Chi-square distribution - rozkład chi-kwadrat Chi-square test - test chi-kwadrat