Wpływ oddziaływania spin-orbita oraz efektów orbitalnych na własności niskowymiarowych struktur półprzewodnikowych i nadprzewodzących

Transkrypt

1 Wpływ oddziaływania spin-orbita oraz efektów orbitalnych na własności niskowymiarowych struktur półprzewodnikowych i nadprzewodzących Paweł Wójcik Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo Hutnicza im. St. Staszica w Krakowie luty 2019

2 2 Spis treści 1 Dane personalne 3 2 Posiadane dyplomy, stopnie naukowe z podaniem nazwy, miejsca i roku ich uzyskania oraz tytułu rozprawy doktorskiej 3 3 Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych 4 4 Wskazanie osiągnięcia naukowego stanowiącego podstawę postępowania habilitacyjnego Wprowadzenie Omówienie zawartości prac składających się na cykl publikacji będących podstawą wniosku o przeprowadzenie postępowania habilitacyjnego (w kolejności chronologicznej) Podsumowanie Literatura Pozostałe osiągnięcia naukowo badawcze Przed uzyskaniem stopnia doktora nauk fizycznych Po uzyskaniu stopnia doktora nauk fizycznych Transport elektronów w półprzewodnikowych strukturach nanoskopowych Nadprzewodnictwo w skali nanoskopowej Transport w strukturach hybrydowych półprzewodnik(metal)/nadprzewodnik 46

3 3 1 Dane personalne Imię i nazwisko Miejsce zatrudnienia Paweł Wójcik Akademia Górniczo Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej al. Mickiewicza Kraków Telefon pawel.wojcik@fis.agh.edu.pl ORCID Posiadane dyplomy, stopnie naukowe z podaniem nazwy, miejsca i roku ich uzyskania oraz tytułu rozprawy doktorskiej Doktor nauk fizycznych 2012 Akademia Górniczo Hutnicza im. St. Staszica w Krakowie, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Tytuł pracy Symulacje komputerowe transportu kwantowego w warstwowych nanostrukturach półprzewodnikowych Promotor Recenzenci Prof. dr hab. Janusz Adamowski Prof. dr hab. inż. Lucjan Jacak Prof. dr hab. Stanisław Bednarek Inżynier informatyki stosowanej 2008 Akademia Górniczo Hutnicza im. St. Staszica w Krakowie, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Magister inżynier fizyki technicznej 2007 Akademia Górniczo Hutnicza im. St. Staszica w Krakowie, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Tytuł pracy Opis transportu kwantowego w heterostrukturach półprzewodnikowych oparty na metodach przestrzeni fazowej Promotor Dr hab. inż. Bartłomiej Spisak Recenzent Dr hab inż. Maciej Wołoszyn

4 4 3 Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych od 10/2014 adiunkt Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej, Akademia Górniczo Hutnicza im. St. Staszica w Krakowie 10/ /2014 asystent Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej, Akademia Górniczo Hutnicza im. St. Staszica w Krakowie

5 5 4 Wskazanie osiągnięcia naukowego stanowiącego podstawę postępowania habilitacyjnego Jako osiągnięcie naukowe w rozumieniu art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki (Dz. U r. poz. 882 ze zm. w Dz. U. z 2016 r. poz. 1311) przedstawiam cykl 11 powiązanych tematycznie publikacji (w porządku chronologicznym): [H1] [H2] [H3] [H4] [H5] [H6] [H7] [H8] [H9] [H10] [H11] P. Wójcik, J. Adamowski, B. J. Spisak, M. Wołoszyn. Spin transistor operation driven by the Rashba spin-orbit coupling in the gated nanowire. J. Appl. Phys. 115 (2014), P. Wójcik, J. Adamowski, M. Wołoszyn, B. J. Spisak. Spin splitting generated in a Y-shaped semiconductor nanostructure with a quantum point contact. J. Appl. Phys. 118 (2015), P. Wójcik, M. Zegrodnik, J. Spałek. Fulde-Ferrell state induced by the orbital effect in a superconducting nanowire. Phys. Rev. B 91 (2015), P. Wójcik, J. Adamowski, M. Wołoszyn, B. J. Spisak. Resonant Landau Zener transitions in a helical magnetic field. Semicond. Sci. Technol. 30 (2015), P. Wójcik, J. Adamowski. Electrically controlled spin-transistor operation in a helical magnetic field. Semicond. Sci. Technol. 31 (2016), P. Wójcik, J. Adamowski. Effect of inter- and intra-subband spin orbit interactions on the operation of a spin transistor with a double quantum well structure. Semicond. Sci. Technol. 31 (2016), P. Wójcik, J. Adamowski. Spin filtering effect generated by the inter-subband spin-orbit coupling in the bilayer nanowire with the quantum point contact. Scientific Reports 7 (2017), M. P. Nowak, P. Wójcik. Renormalization of the Majorana bound state decay length in a perpendicular magnetic field. Phys. Rev. B 97 (2018), P. Wójcik, M. P. Nowak. Durability of the superconducting gap in Majorana nanowires under orbital effects of a magnetic field. Phys. Rev. B 97 (2018), P. Wójcik, A. Bertoni, G. Goldoni. Tuning Rashba spin-orbit coupling in homogeneous semiconductor nanowires. Phys. Rev. B 97 (2018), P. Wójcik, A. Bertoni, Goldoni G. Enhanced Rashba spin-orbit coupling in core-shell nanowires by the interfacial effect. Appl. Phys. Lett. 114 (2019), pod wspólnym tytułem: Wpływ oddziaływania spin-orbita oraz efektów orbitalnych na własności niskowymiarowych struktur półprzewodnikowych i nadprzewodzących.

6 6 4.1 Wprowadzenie Oddziaływanie spinu elektronu z zewnętrznym polem elektromagnetycznym leży u podstaw działania wielu urządzeń spintroniki oraz stanowi ważny czynnik przy realizacji topologicznych stanów materii w układach fazy skondensowanej. W mojej pracy badawczej od kilku lat zajmuję się badaniami dotyczącymi roli oddziaływania spin-orbita oraz efektów orbitalnych w niskowymiarowych strukturach półprzewodnikowych i nadprzewodzących, w kontekście zastosowania tych efektów do budowy urządzeń spintroniki oraz ich wpływu na topologiczne własności nanodrutów półprzewodnikowych. Oddziaływanie spinu elektronu z polem elektromagnetycznym w próżni opisane jest relatywistycznym równaniem Diraca, które poprzez transformację Foldy Wouthuysena można sprowadzić do równania Pauliego w postaci [1] [ p 2 2m 0 e 2m 0 c B L + 2 8m 2 0 4m 2 p (σ V ) 0c2 ] e p2 (e B)2 σ B ψ = Eψ, (1) c2 c2 e2 2m 0 c 2 A2 + V + e σ B + 2m 0 c2 V p4 8m 3 0 4m 3 0 8m 3 0 c2 gdzie p to operator pędu elektronowego, m 0 to masa swobodnego elektronu, c to prędkość światła, L = r p to orbitalny moment pędu, B oznacza pole magnetyczne, A to potencjał wektorowy ( A = 0), σ = (σ x, σ y, σ z ) to wektor macierzy Pauliego, zaś V oznacza potencjał elektrostatyczny. Matematycznie, równanie (1) jest rozwinięciem równania Diraca z dokładnością do wyrazów rzędu (v/c) 2. Drugi wyraz w tym równaniu związany jest z efektami orbitalnymi i opisuje oddziaływanie pola magnetycznego z orbitalnym momentem magnetycznym µ L = (1) oddziaływanie spin-orbita (SO) opisane jest wyrażeniem e 2m 0 c L. W równaniu H SO = 4m 2 0 c2 p (σ V ). (2) Pozostałe wyrazy to kolejno wyraz kinetyczny, wyraz diamagnetyczny, potencjał elektrostatyczny, spinowe rozszczepienie Zeemana, wyraz Darwina i pozostałe poprawki wyższego rzędu do energii kinetycznej oraz rozszczepienia Zeemana. O ile efekty orbitalne pojawiają się w skutek oddziaływania orbitalnego momentu pędu z polem magnetycznym i są efektem nierelatywistycznym, oddziaływanie spin-orbita jest efektem relatywistycznym, w którym cześć pola elektrycznego, w układzie odniesienia związanym z poruszającym się ładunkiem, oddziałuje z nim jak pole magnetyczne. Innymi słowy, jeśli elektron porusza się w próżni w zewnętrznych polach magnetycznym (B) oraz elektrycznym F, mierzonych w układzie laboratoryjnym, to odpowiednia transformacja Lorentza do układu własnego elektronu, prowadzi do wypadkowego pola magnetycznego B eff = B + B SO będącego sumą pola zewnętrznego oraz pola oddziaływania spinorbita. W nanostrukturach półprzewodnikowych pole elektryczne i związane z nim oddziaływanie SO mogą mieć charakter wewnętrzny wynikający ze złamania symetrii sieci krystalograficznej - oddziaływanie związane z tym rodzajem asymetrii nosi nazwę oddziaływania Dresselhausa [2] - lub wynikać ze złamania symetrii potencjału uwięzienia poprzez zewnętrzne pole elektryczne pochodzące od elektrod bramek - oddziaływanie SO indukowane tym rodzajem asymetrii nosi nazwę oddziaływania Rashby [3]. Na ogół oddziaływanie SO w materiałach półprzewodnikowych jest złożeniem oddziaływania Rashby oraz oddziaływania Dresselhausa. Niemniej jednak, w nanostrukturach półprzewodnikowych o strukturze krystalograficznej blendy cynkowej, zachowana symetria inwersji w kierunku wzrostu [111] powoduje, że oddziaływanie SO typu Dresselhausa w tym kierunku praktycznie nie występuje [1, 4]. Obecność silnego oddziaływania Rashby, przy jednoczesnym braku oddziaływania Dresselhausa stanowi jeden z najbardziej istotnych warunków przy budowie wielu nanourządzeń spintroniki, w których kluczowym zagadnieniem jest kontrola spinu za pomocą zewnętrznego pola elektrycznego.

7 7 Jednym z pionierskich urządzeń spintroniki, którego zasada działania oparta jest na oddziaływaniu SO jest spinowy tranzystor polowy, zaproponowany w roku 1990 przez Dattę oraz Dasa [5]. W urządzeniu tym oddziaływanie Rashby wykorzystywane jest do modyfikowania spinu w półprzewodnikowym kanale przewodzenia (w pierwotnej idei w postaci dwu-wymiarowego gazu elektronowego) pomiędzy dwoma ferromagnetycznymi kontaktami. Spin elektronu przepływającego przez kanał przewodzenia wykonuje precesję wokół efektywnego pola Rashby, przy czym dystans potrzebny do wykonania pojedynczego obrotu zależy od siły oddziaływania spin-orbita. W ten sposób, rezystancja kanału, która zależy od stanu spinowego elektronu na wyjściu, może być zmieniana za pomocą zewnętrznego pola elektrycznego. Moje badania dotyczące transportu elektronowego w urządzeniach spintroniki w dużej mierze skupione są wokół koncepcji tranzystora spinowego. Pomimo, że idea tranzystora spinowego pojawiła się blisko 30 lat temu, eksperymentalna realizacja efektywnie działającego tranzystora spinowego nadal pozostaje nieosiągalnym celem badaczy zajmujących się spintroniką. Ostanie eksperymenty pokazują bowiem, że zastosowanie pierwotnej koncepcji tranzystora, zaproponowanej przez Dattę i Dasa, prowadzi do niskiego poziomu sygnału na wyjściu oraz niskiego stosunku sygnału w stanie on i off tranzystora [6, 7], który dalece odbiega od poziomu wymaganego we współczesnej elektronice. Powodem tego stanu rzeczy jest niska efektywność wstrzykiwania spinu w materiałach półprzewodnikowych [8] oraz relaksacja spinowa w kanale przewodzenia [9], zachodząca głównie w skutek mechanizmów Dyakonova-Perela [10] oraz Elliota-Yafeta [11]. Obecne badania nad tranzystorem spinowym prowadzone są w dwóch kierunkach. Pierwszy z nich polega na wyeliminowaniu wszystkich przeszkód fizycznych skutkujących niską wartością sygnału na wyjściu. Jest to zatem kierunek mający na celu poprawienie pierwotną ideę tranzystora. Drugi kierunek, bardziej nowatorski, skupiony jest na stworzeniu i eksperymentalnej realizacji zupełnie nowej koncepcji tranzystora spinowego, w oderwaniu od tej zaproponowanej w 1990 roku [5]. Cześć moich badań, przedstawionych jako osiągnięcie naukowe, koncentrowała się wokół obu z tych kierunków, a w każdym z nich podstawową rolę odgrywało oddziaływanie spin-orbita oraz efekty orbitalne. Druga część mojego osiągnięcia dotyczy wpływu oddziaływania SO i efektów orbitalnych na stany Majorany w układach hybrydowych półprzewodnik/nadprzewodnik. Poniżej krótko przedstawię mój wkład do tych interesujących dziedzin wiedzy wraz z kontekstem oraz motywacją do podjęcia badań wchodzących w skład mojego osiągnięcia naukowego. Poniży opis ma charakter wstępu mającego za zadanie uwypuklić znaczenie podjętych badań w kontekście prac eksperymentalnych prowadzonych przez inne grupy badaczy. Szczegółowy opis poszczególnych prac wchodzących w skład osiągnięcia naukowego znajduje się w dalszej części mojego autoreferatu. W pierwotnym modelu tranzystora spinowego [5] spolaryzowane nośniki ładunku wstrzykiwane są do kanału przewodzenia z ferromagnetycznego kontaktu. Niestety, różnica rezystancji pomiędzy ferromagnetyczną elektrodą a paramagnetycznym kanałem przewodzenia (półprzewodnikiem) jest na tyle duża, że maksymalna efektywność wstrzykiwania spinu przez złącze ferromagnetyk/półprzewodnik osiąga wartość ok. 70% w temperaturze pokojowej [12]. Prosty model teoretyczny pomijający efekty relaksacji spinowej w kanale przewodzenia pokazuje, że wartość spinowej polaryzacji prądu na poziomie 70% nie jest wystarczająca do zastosowań w realnych układach elektronicznych, ponieważ stosunek sygnału w stanie przewodzenia on i off tranzystora jest mały, G on /G off = (1 + P S P D )/(1 P S P D ) = 3 [4], gdzie P S (P D ) = 0.7 to efektywność wstrzykiwania (detekcji) spinu w ferromagnetycznym kontakcie źródła (drenu). Ten sam prosty model pokazuje, że uzyskanie stosunku sygnału G on /G off na poziomie wymaganym przez współczesną elektronikę (co najmniej 10 5 ) jest możliwe przy polaryzacji prądu na poziomie %. Tak wysokiego poziomu polaryzacji prądu nie da się uzyskać stosując kontakty z ferromagnetyka. W związku z tym pierwotną koncepcję tranzystora spinowego należy zmodyfikować poprzez zastosowanie odpowiednich filtrów spinowych opartych na materiałach półprzewodnikowych jako generatorów oraz detektorów spinowo-spolaryzowanego prądu elektronowego. Zastosowanie półprzewodnikowych filtrów spinowych pozwala bowiem na wyeliminowanie problemu niedopasowania rezystancji pomiędzy kontaktami a kanałem przewodzenia, a tym samym na

8 8 uzyskanie wymaganego poziomu sygnału w stanach on i off tranzystora. Moje badania w tym zakresie zaowocowały opracowaniem dwóch modeli filtrów spinowych opartych na materiałach półprzewodnikowych, które zaprezentowane zostały w pracach [H2, H7]. Pierwszy z nich oparty jest na półprzewodnikowej strukturze typu Y z kwantowym kontaktem punktowym (QPC, z ang. quantum point contact) zlokalizowanym w jednej z gałęzi nanostruktury. Efekt separacji spinu w tym modelu wywołany jest zjawiskiem Zemanna w obszarze silnego uwięzienia (QPC), w połączeniu z efektem orbitalnym pochodzącym od pola magnetycznego, który gwarantuje przestrzenną separację składowych spinowych prądu. Zasada działania drugiego z zaproponowanych modeli [H7] oparta jest na międzypasmowym oddziaływaniu spin-orbita w układzie sprzężonych drutów kwantowych z kwantowym kontaktem punktowym zlokalizowanym w środku nanodrutu. Moje badania dotyczące filtra spinowego opartego na QPC w układzie sprzężonych drutów kwantowych [H7] wpisują się w obecny kierunek badań zmierzający do wytworzenia efektywnie działającego filtra oraz tranzystora spinowego opartego na materiałach półprzewodnikowych. Mimo że pierwsze prace eksperymentalne pokazujące możliwość filtracji spinu w QPC pojawiły się kilka lat temu [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21], niewątpliwym sukcesem tych układów było ich zastosowanie do budowy tranzystora spinowego w całości opartego na materiałach półprzewodnikowych [22, 23]. Okazuje się, że zastosowania filtrów spinowych opartych na QPC, zamiast ferromagnetycznych kontaktów, jak w pierwotnej architekturze tranzystora spinowego, prowadzi do stosunku sygnału G on /G off trzy rzędy wielkości większego, niż uzyskiwany przy zastosowaniu ferromagnetyków [6]. Koncepcja filtra spinowego [H7] jest rozszerzeniem idei zaproponowanej w pracy [21] na układ dwóch sprzężonych drutów kwantowych. W zaproponowanym modelu wartość spinowej polaryzacji prądu uzyskiwanej na wyjściu znacznie przewyższa wartość uzyskiwaną w układach QPC opartych na pojedynczych drutach kwantowych [17, 18, 21], a zatem oczekujemy, że efektywność tranzystora spinowego opartego na tych filtrach będzie znacznie wyższa. W tym względzie, istotnym wydaje się również sama struktura kanału przewodzenia, który powinien odpowiadać strukturze kontaktu w postaci półprzewodnikowego filtra spinowego. Powinien mieć zatem formę sprzężonych drutów kwantowych. Niestety, w układach takich, poza wewnątrzpasmowym oddziaływaniem spin-orbita pojawia się oddziaływanie międzypasmowe [24], które w równym stopniu determinuje transport spinu przez rozpatrywany kanał przewodzenia. Dlatego w pracy [H6] podjąłem się analizy wpływu wewnątrz- oraz międzypasmowego oddziaływania spin-orbita na działanie tranzystora spinowego z kanałem przewodzenia opartym na sprzężonych drutach kwantowych. Chociaż ostatnie prace [22] pokazują, że zastosowanie półprzewodnikowych filtrów spinowych znacznie polepsza efektywność tranzystora spinowego, nadal do rozwiązania pozostaje problem relaksacji spinowej w kanale przewodzenia. Dlatego ostatnie eksperymenty dotyczące tranzystorów spinowych realizowane są na bazie cienkich nanodrutów półprzewodnikowych quasi-1d [6, 25], w których rozpraszanie spinowe jest silnie tłumione na skutek efektu rozmiarowego [26, 27]. W związku z rosnącą falą zainteresowania tranzystorami opartymi na nanodrutach półprzewodnikowych 1D, wykonałem komputerowe symulacje działania tranzystora spinowego opartego na nanodrucie InAs, w którym akcja tranzystorowa indukowana jest oddziaływaniem spin-orbita typu Rashby wytwarzanym przez potencjał bramki [H1]. Wyniki moich obliczeń porównałem z eksperymentem wykonanym przez japońską grupę prof. J. Yoh [25] uzyskując bardzo dobrą zgodność z eksperymentem. Kluczowym parametrem przy budowie tranzystorów opartych na nanodrutach, który determinuje zarówno ich sposób działania, jak i rozpraszanie spinowe, jest stała oddziaływania spin-orbita typu Rashby [28, 29, 30, 31, 32]. Znajomość tego parametru określa dynamikę spinu w rozpatrywanych układach. Dlatego w ciągu ostatniego roku jest to jeden z moich głównych kierunków badań. W tym celu nawiązałem współpracę z grupą teoretyków z Uniwersytetu w Modenie, którzy specjalizują się w obliczeniach struktury elektronowej nanodrutów półprzewodnikowych. We współpracy z nimi zastosowałem model k p do wyznaczania stałych oddziaływania spin-orbita w nanodrutach półprzewodnikowych o symetrii heksagonalnej. Nasze wyniki obliczeń stałej Rashby w funkcji potencjału bramki dla InSb zgadzają się ilościowo z wynikami

9 9 eksperymentu [31], w którym zmierzono duże rozszczepienie spin-orbita na poziomie mev, co odpowiada stałej oddziaływania Rashby mevnm. Nasze dalsze obliczenia w tej tematyce zmierzają w kierunku wyznaczania stałych oddziaływania Rashby dla nanodrutów o strukturze rdzeniowo/powłokowej. Okazuje się bowiem, że w nanodrutach tego typu, wkład miedzypowierzchni pomiędzy poszczególnymi powłokami do stałej oddziaływania spin-orbita może być znacznie większy od wpływu pola elektrycznego pochodzącego od bramek. Efekt ten, będący przedmiotem naszej ostatniej pracy [H11], został niedawno zaobserwowany i opublikowany w prestiżowym czasopiśmie Nature Communications [33]. Drugi wspomniany kierunek badań nad tranzystorem spinowym związany jest z poszukiwaniem nowych koncepcji tranzystora, różnych od tej zaproponowanej w roku 1990 przez Dattę i Dasa. Jedna z takich koncepcji została zaprezentowana na łamach czasopisma Science [34]. W zaprezentowanym eksperymencie kontrola spinu odbywa się za pomocą wypadkowego pola magnetycznego, będącego złożeniem zewnętrznego pola magnetycznego oraz pola spiralnego pochodzącego od ferromagnetycznych pasków zlokalizowanych nad kanałem przewodzenia. W zaproponowanym modelu stan spinowy elektronu chroniony jest poprzez utrzymywanie układu w zakresie transportu adiabatycznego. Akcja tranzystorowa indukowana jest poprzez przełączenie układu zewnętrznym polem magnetycznym w stan, w którym dochodzi do przejścia Landaua-Zenera [35] pomiędzy pasmami spinowymi. Odpowiednie dobranie zewnętrznego pola magnetycznego skutkuje wstecznym rozpraszaniem elektronów, prowadząc do stanu wysokiej rezystancji (stan off tranzystora). Zmotywowany tym pionierskim eksperymentem, w swojej pracy [H4] zbadałem wpływ efektu nieadiabatyczności na działanie nowego typu tranzystora spinowego. Moje badania pokazały, że gdy transport spinu staje się nieadiabatyczny, w układzie pojawiają się rezonansowe przejścia Landaua-Zenera, które skutkują całkowitą blokadą przepływu prądu przez rozpatrywany tranzystor. Mimo że nowa architektura tranzystora wydaje się być wolna od fizycznych ograniczeń, które towarzyszą pierwotnej koncepcji, takich jak relaksacja spinowa, zasadniczą wadą nowego rozwiązania jest fakt, że akcja tranzystorowa indukowana jest poprzez zmianę zewnętrznego pola magnetycznego. Dlatego w dalszej części moich badań zaproponowałem model tranzystora spinowego opartego na spiralnym polu magnetycznym, w którym akcja tranzystorowa indukowana jest polem elektrycznym [H5]. W zaproponowanym modelu przejście Landaua-Zenera indukowane jest oddziaływaniem spin-orbita typu Rashby wytwarzanym przez bramki boczne dołączone do nanodrutu. Oddziaływanie SO, poza niewątpliwie ogromną rolą jaką spełnia w rozwoju spintroniki opartej na materiałach półprzewodnikowych, jest również kluczowe w fizyce topologicznych stanów materii [36, 37]. W tym kontekście moje ostatnie badania skoncentrowane były wokół fizyki stanów Majorany wytwarzanych w hybrydowych nanostrukturach półprzewodnik/nadprzewodnik. Pierwotnie, pojęcie fermionów Majorany pochodzi z fizyki cząstek elementarnych [38], a obecnie jest ono jednym z najbardziej interesujących i rozwijanych zagadnień w dziedzinie fizyki ciała stałego. Stało się tak za sprawą pionierskiego eksperymentu wykonanego w grupie prof. Leo Kouwenhovena z Uniwersytetu w Delft, w którym zaobserwowano stany kwantowe o własnościach zbliżonych do fermionów Majorany, w hybrydowych nanostrukturach półprzewodnik/nadprzewodnik [39]. Obserwacje te zostały następnie potwierdzone przez szereg kolejnych prac eksperymentalnych [40, 41, 42, 43, 44, 45]. Układ eksperymentalny zaproponowany przez grupę z Delft stanowi fizyczną realizację modelu nadprzewodnika topologicznego zaproponowanego przez A. Kitaeva w pracy [46]. Istotną rolę w tym względzie odegrały prace teoretyczne [47, 48, 49], w których pokazano, że występujące w modelu Kitaeva parowanie typu p bezspinowych fermionów, może być uzyskane w układach quasi-jednowymiarowych poprzez kombinację efektu Zeemana, oddziaływania spin-orbita oraz parowania typu s. W eksperymencie [39] nanodrut półprzewodnikowy InSb charakteryzujący się silnym oddziaływaniem spin-orbita został pokryty warstwą nadprzewodnika NbTiN, która poprzez efekt bliskości indukuje parowanie w materiale półprzewodnikowym. Do układu przyłożono zewnętrzne pole magnetyczne skierowane wzdłuż

10 10 osi nanodrutu. Jak pokazują prace teoretyczne, w układzie takim, powyżej pewnej wartości pola magnetycznego, dla którego energia Zeemana Z > 2 + µ 2, gdzie to przerwa nadprzewodząca, zaś µ to potencjał chemiczny, dochodzi do topologicznego przejścia fazowego oraz powstania stanów Majorany o zerowej energii zlokalizowanych na końcach nanodrutu. W eksperymencie, stany Majorany zostały zaobserwowane w pomiarach konduktancji w postaci piku dla zerowego napięcia przyłożonego wzdłuż osi nanodrutu (ZBP, z ang. zero bias peak). Wartość przerwy topologicznej, która oddziela stany Majorany od wyższych stanów wzbudzonych zależy w dużej mierze od siły oddziaływania spin-orbita. Znajomość tego parametru oraz możliwość jego kontrolowania przez zewnętrzne potencjały bramek jest niezwykle ważna w kontekście przyszłych zastosowań stanów Majorany w topologicznych bramkach kwantowych. Moje badania w tym zakresie związane są z wyznaczaniem stałych oddziaływania spin-orbita w nanodrutach półprzewodnikowych w funkcji potencjałów bramek oraz parametrów geometrycznych [H10]. Ogromne zainteresowanie stanami Majorany związane jest głównie z nieabelową statystyką, której podlegają, oraz możliwościami, jakie daje ta własność w projektowaniu topologicznych bramek kwantowych [50]. Okazuje się jednak, że nawet najprostsza operacja braidingu wykonana na stanach Majorany wymaga użycia nanostruktury z co najmniej trzema gałęziami. Dlatego obecne badania w zakresie stanów Majorany zmierzają w kierunku wieloterminalowych układów hybrydowych półprzewodnik/nadprzewodnik typu krzyżowego [51, 52] oraz geometrii typu hashtag [53]. Zauważmy, że w układach wieloma kontaktami kierunek pola magnetycznego prostopadły do płaszczyzny nanostruktury jest kierunkiem preferowanym, który umożliwia wytworzenie stanów Majorany w każdej z gałęzi (stany Majorany tworzą się jedynie wtedy, gdy kierunek pola magnetycznego jest prostopadły do kierunku efektywnego pola Rashby). Taki kierunek pola magnetycznego powoduje, że efekty orbitalne zaczynają odgrywać istotną rolę. Wpływ efektów orbitalnych na stany Majorany w nanostrukturach hybrydowych półprzewodnik/nadprzewodnik jest tematem moich ostatnich badań wchodzących w skład prezentowanego osiągnięcia [H8, H9]. Pierwsza z prac [H8] poświęcona jest badaniom wpływu efektu orbitalnego pochodzącego od pola magnetycznego na długość zaniku funkcji falowej stanów Majorany w zakresie słabego sprzężenia półprzewodnik/nadprzewodnik. Druga z prac [H9] poświęcona jest efektom orbitalnym w zakresie silnego sprzężenia półprzewodnik/nadprzewodnik i dotyczy wpływu stanów Landaua na wielkość wyindukowanej przerwy nadprzewodzącej. Własności nadprzewodzące nanodrutów pod wpływem pola magnetycznego i związanych z nim efektów orbitalnych, ważne w kontekście fizyki stanów Majorany, są przedmiotem pracy [H3], w której pokazujemy, że efekty orbitalne w nanodrutach nadprzewodzących indukują niekonwencjonalną fazę Fulde-Ferrella [54] z niezerowym pędem par Coopera. Metody obliczeniowe Znaczna część prac wchodzących w skład mojego osiągnięcia naukowego dotyczy symulacji komputerowych zależnego od spinu transportu elektronowego z oddziaływaniem spin-orbita w nanodrutach półprzewodnikowych oraz układach hybrydowych półprzewodnik/nadprzewodnik. W tym celu, w pracach [H1, H2, H4, H5, H6, H7] wykorzystane zostały jedno oraz wielopasmowe metody macierzy transferu oraz macierzy rozpraszania [55] dla równania Schrödingera oraz Bogoliubova-de Gennesa. W niektórych pracach wykorzystałem pakiet KWANT do symulacji transportu w układach niskowymiarowych [56]. Prąd oraz konduktacja przez rozpatrywane nanourządzenia wyznaczane były w modelu Landauera lub jego uogólnieniu w postaci modelu Landauera-Büttikera [57]. W pracach [H6, H10, H11], w których wyznaczone zostały wartości współczynnika Rashby zastosowany został 8-pasmowy model k p oraz przybliżenie EFA (z ang. envelope function approximation). W pracach tych jednoelektronowe funkcje falowe wyznaczane były przy użyciu procedury Schrödingera-Poissona, która pozwala na uwzględnienie oddziaływania elektronowego w modelu pola średniego. W pracach [H3, H9], w których badane były własności nadprzewodzące tj. przerwa energetyczna, zastosowano model BCS, zmodyfikowany do opisu nanostruktur nadprzewodzących. W pracy [H3] model BCS rozszerzono o możliwość parowania elektronowego

11 11 z niezerowym wypadkowym pędem par Coopera (faza Fulde-Ferrella). Cel prac [H1 H11] Celem moich badań było: zbadanie roli oddziaływania spin-orbita oraz efektów orbitalnych pochodzących od pola magnetycznego w kontekście opracowania nowych modeli filtrów spinowych opartych na materiałach półprzewodnikowych, zbadanie roli oddziaływania spin-orbita w pierwotnej architekturze tranzystora spinowego oraz nowych koncepcjach tranzystorów spinowych, zbadanie wpływu efektów orbitalnych na stany Majorany w hybrydowych strukturach półprzewodnik/nadprzewodnik, zbadanie wpływu efektów orbitalnych na własności nadprzewodzące nanodrutów metaliczych. W dalszej części autoreferatu omówię najważniejsze wyniki prac wraz z kontekstem jaki towarzyszył ich powstaniu. 4.2 Omówienie zawartości prac składających się na cykl publikacji będących podstawą wniosku o przeprowadzenie postępowania habilitacyjnego (w kolejności chronologicznej) [H1] P. Wójcik, J. Adamowski, B. J. Spisak, M. Wołoszyn. Spin transistor operation driven by the Rashba spin-orbit coupling in the gated nanowire. J. Appl. Phys. 115 (2014), Pierwsza z prezentowanych prac dotyczy symulacji zależnego od spinu transportu elektronowego w układzie tranzystora spinowego opartego na nanodrucie półprzewodnikowym InAs, w którym akcja tranzystorowa indukowana jest oddziaływaniem spin-orbita typu Rashby, generowanym przez potencjał bramki [rys. 1(a)]. Praca ta jest odpowiedzią na rosnącą falę zainteresowania tranzystorami spinowymi opartymi na nanodrutach półprzewodnikowych, w których efekty relaksacji spinowej w kanale przewodzenia są silnie zredukowane w skutek kwantowego efektu rozmiarowego [26, 27]. W pracy [H1] rozpatrzono tranzystor oparty na nanodrucie półprzewodnikowym InAs z bramką wytwarzającą pole elektryczne w określonym obszarze nanodrutu. Pole to jest źródłem oddziaływania spin-orbita typu Rashby, które powoduje precesję spin elektronu przepływającego w kanale przewodzenia pod elektrodą bramki. W pracy wykorzystano wielopasmową metodę macierzy transferu do obliczenia zależnych od spinu współczynników transmisji T m σ,σ w poszczególnych podpasmach m, powstałych w wyniku uwięzienia elektronów w kierunku poprzecznym (σ =, to indeksy spinowe). Poszczególne składowe spinowe prądu wyznaczono korzystając z formuły Landauera I σσ = 2e h M de Tσσ m (E)[f(E, µ s) f(e, µ d )], (3) m=1 0 gdzie f(e, µ) to rozkład Fermiego-Diraca, µ s(d) to potencjał chemiczny odpowiednio źródła oraz drenu, zaś M to maksymalna liczba podpasm biorących udział w transporcie elektronowym. W rozpatrywanym modelu założono, że nanodrut podłączony jest do ferromagnetycznych kontaktów o spinowej polaryzacji P = (n n )/(n + n ), pomijając efekt niedopasowania rezystancji

12 12 na złączu ferromagnetyk/półprzewodnik. Wówczas Całkowity prąd wyraża się wzorem I = 1 + P 2 I = 1 + P 2 I = 1 + P 2 I + 1 P 2 I + 1 P 2 I + 1 P 2 I, (4) I. (5) I. (6) Obliczenia wykonane zostały dla dwóch przypadków: (A) dla pełnej polaryzacji spinowej kontaktów (P = 1), w przybliżeniu najniższego podpasma, oraz (B) dla częściowej polaryzacji spinowej (P 1), z uwzględnieniem wielu podpasm. Rysunek 1: (a) Schemat tranzystora spinowego opartego na nanodrucie półprzewodnikowym InAs. Powyżej przedstawiono relacje dyspersji E(k) w poszczególnych obszarach nanodrutu. (b) Gęstość z-towej składowej spinu w funkcji położenia z oraz potencjału bramki V g. Elektron o spinie jest wstrzykiwany do nanodrutu w położeniu z = 0 i ulega precesji w obszarze bramki zaznaczonej dwoma poziomymi liniami przerywanymi. Wyjściowy stan spinowy elektronu w położeniu drenu, z = 250 nm, oscyluje w funkcji napięcia bramki V g. (c) Całkowity prąd I/I 0 w funkcji napięcia bramki V g z zaznaczonymi stanami on i off tranzystora. I 0 = 2eµ/h. [H1]. Przypadek (A) jest wyidealizowanym modelem tranzystora spinowego, w którym mamy stuprocentową efektywność wstrzykiwania oraz detekcji spinu w kontakcie źródła oraz drenu. Dodatkowo, rozpatrujemy model jednopasmowy, w którym elektrony obsadzają najniższe podpasmo związane z kwantyzacją w kierunku poprzecznym. Dla przyjętej wartości parametru P = 1, możemy założyć, że elektron o spinie jest wstrzykiwany do nanodrutu z ferromagnetycznego źródła w położeniu z = 0. Transport elektronu pomiędzy kontaktami ma charakter balistyczny. Wskutek oddziaływania spin-orbita, spin elektronu przepływającego przez nanodrut ulega precesji w obszarze pola elektrycznego pochodzącego od elektrody bramki. Precesję z-towej składowej spinu w funkcji położenia oraz napięcia bramki przedstawiono na rys. 1(b). Widzimy, że wraz ze wzrostem potencjału bramki długość precesji spinu maleje - spin elektronu na tej samej długości, odpowiadającej w przybliżeniu długości bramki, obraca się większą ilość razy. Elektron opuszcza

13 13 obszar bramki z pewnym określonym spinem, który zależy od liczby wykonanych obrotów. Jak widzimy na rys. 1(b) spin elektronów na wyjściu (z = 250 nm) oscyluje w funkcji potencjału bramki. Przy założeniu, że kontakt drenu jest spinowo spolaryzowany, P = 1, elektrony o spinie przeciwnym do polaryzacji drenu nie mogą zostać zaabsorbowane i ulegają odbiciu. W rezultacie całkowity prąd przepływający przez tranzystor oscyluje w funkcji napięcia bramki, jak przedstawiono na rys. 1(c). Widzimy, że dla napięć bramki, dla których spin elektronu na wyjściu uległ odwróceniu, całkowity prąd maleje do zera. Jak zobaczymy poniżej, dzieje się tak jedynie dla przypadku idealnego, w którym P = 1, przy braku relaksacji spinowej w kanale. W stanach maksymalnej i minimalnej konduktancji definiuje się stany on i off tranzystora. Malejący charakter prądu na rys. 1(c) spowodowany jest działaniem pola elektrycznego w obszarze bramki, które powoduje częściowe odbicie elektronów przepływających przez nanodrut. Rysunek 2: (a) Znormalizowany prąd I n = I/I max w funkcji napięcia źródło-dren V sd dla różnych potencjałów bramki V g. Porównanie wyników obliczeń (krzywe ciągłe) z danymi eksperymentalnymi (symbole). Obliczenia wykonane dla P = 0.4 przy I max = I(V sd = 1V, V g = 0). (b) Prąd I w funkcji napięcia bramki V g dla napięcia źródło-dren V sd = 0.6 V. Górny panel: wyniki obliczeń numerycznych dla P = 0.4 (krzywa czerwona) oraz, dla porównania, dla P = 1 (krzywa niebieska), dolny panel: dane eksperymentalne. I 0 = 2eµ/h. [H1]. Obliczenia wykonane dla bardziej realistycznego przypadku (B) z uwzględnieniem skończonej spinowej polaryzacji kontaktów oraz transportu elektronowego w wielu podpasmach były motywowane eksperymentem wykonanym przez japońską grupę prof. J. Yoh [25]. W eksperymencie tym przedstawiono wyniki pomiarów prądu w architekturze tranzystora spinowego opartego na nanodrucie InAs z szeroką bramką sterującą oraz kontaktami wykonanymi z Fe. W naszych obliczeniach przyjęto parametry geometryczne zgodne z eksperymentem oraz założono polaryzację kontaktów na poziomie P = 0.4, odpowiadającą polaryzacji elektronów na poziomie Fermiego w Fe. W rozpatrywanym modelu jedynym parametrem dopasowania był potencjał chemiczny µ. Jak pokazano na rysunkach 2 wyniki naszych obliczeń zgadzają się z eksperymentem [25]. W kontekście tranzystora spinowego najważniejszy z wyników przedstawiony jest na rys. 2(b), który przedstawia oscylacje prądu w funkcji potencjału bramki. Widzimy, że uwzględnienie skończonej polaryzacji kontaktów (linia czerwona) powoduje wyraźne zmniejszenie amplitudy oscylacji prądu. Ponadto zastosowanie określonej geometrii z szeroką bramką sterującą powoduje, że wraz ze wzrostem potencjału bramki kolejne podpasma zaczynają brać udział w transporcie elektronowym powodując wzrost prądu w funkcji V g, wyraźnie widoczny na tle oscylacji. [H2] P. Wójcik, J. Adamowski, M. Wołoszyn, B. J. Spisak. Spin splitting generated in a Y-shaped semiconductor nanostructure with a quantum point contact. J. Appl. Phys. 118 (2015), Praca [H2] wpisuje się w obszar spintroniki związany z poszukiwaniem efektywnie działającego filtra spinowego opartego na materiałach półprzewodnikowych, który może zostać zastosowany zarówno w architekturze tranzystora spinowego, jak i innych zastosowaniach wymagających

14 14 użycia spinowo-spolaryzowanego prądu elektronowego. Rysunek 3: (a)(b) Relacje dyspersji E(k) obliczone odpowiednio w obszarze QPC oraz w obszarze kontaktów. Zieloną linią przerywaną zaznaczono poziom energii Fermiego. (c) Schemat rozpatrywanego separatora spinu opartego na strukturze typu Y. Niespolaryzowany prąd elektronowy wstrzykiwany z kontaktu 1, w obszarze QPC ulega separacji na dwie wiązki spinowo spolaryzowanych elektronów wypływających z nanourządzenia kanałami 2 oraz 3. Pola magnetyczne skierowane jest wzdłuż osi z. [H2].. Zaproponowany w pracy model separatora spinu oparty jest na półprzewodnikowej strukturze typu Y z kwantowym kontaktem punktowym (QPC) zlokalizowanym w jednej z gałęzi nanostruktury [rys. 3(c)]. W rozpatrywanym modelu, niespolaryzowana wiązka elektronów jest wstrzykiwana do układu kontaktem 1. Kontakty 2 oraz 3 pełnią rolę kontaktów wyjściowych, którymi odprowadzane są przeciwnie spolaryzowane wiązki elektronów. Potencjał w nanourządzeniu jest sumą potencjału uwięzienia oraz potencjału pochodzącego od QPC. W obszarze QPC zastosowano potencjał uwięzienia w postaci U QP C (x, y) = 1 [ (x 2 m eω 2 y 2 x0 ) 2 ] exp 2d 2, (7) gdzie d determinuje rozmiar QPC, x 0 definiuje jego położenie, zaś ω jest energią uwięzienia parabolicznego w obszarze QPC. Całość układu znajduje się w zewnętrznym polu magnetycznym B = (0, 0, B) skierowanym prostopadle do płaszczyzny nanourządzenia. Efekt separacji spinu w zaproponowanym modelu wywołany jest spinowym rozszczepieniem Zeemana w obszarze silnego uwięzienia (QPC) oraz efektem orbitalnym, który gwarantuje, że wiązka spinowo spolaryzowanych elektronów, odbita od QPC, jest skierowana do przeciwnej gałęzi nanostruktury. W pracy [H2], korzystając z modelu Landauera-Büttikera, wyznaczona została zależna od spinu konduktancja pomiędzy poszczególnymi kontaktami w funkcji energii uwięzienia w obszarze QPC, dla różnych wartość pola magnetycznego (rys. 4). Wykresy 4 (a) oraz (b) pokazują, że wartość parametru uwięzienia ω, dla której obserwowany jest spadek konduktancji G σ 12, przy jednoczesnym wzroście konduktancji G σ 13, jest różny dla elektronów o różnym spinie. Oznacza to, że istnieje pewien zakres parametru ω, w którym prądy wypływające kontaktami 2 oraz 3 są spinowo spolaryzowane. Efekt ten zaprezentowany został na rys. 4(c,d), na którym przedstawiono wykresy konduktancji spinowej P nm = G nm G nm pomiędzy kontaktami n i m, w funkcji parametru potencjału uwięzienia, ω. Wykresy na panelach (c) i (d) są jednoznacznym potwierdzeniem separacji spinowo niespolaryzowanego prądu wstrzykiwanego kanałem 1, na dwie przeciwnie spinowo spolaryzowane wiązki elektronów wypływające z nanourządzenia przez kontakty 2 i 3.

15 15 Rysunek 4: (a)(b) Wykresy zależnej od spinu konduktancji G σ nm pomiędzy kontaktami n i m (σ =, ) w funkcji energii uwięzienia w obszarze QPC, ω. (c)(d) Wykres konduktancji spinowej P nm = G nm G nm w funkcji parametru ω. Wyniki dla dwóch różnych wartości pola magnetycznego B = 1 T oraz B = 3 T. (e) Wykres gęstości ładunku n e (górne wykresy) oraz gęstości z-towej składowej spinu s z (dolne wykresy) w nanourządzeniu dla trzech różnych wartości parametru ω oznaczonych strzałkami na rysunku (d). [H2]. Zaproponowany efekt spinowej separacji prądu można wyjaśnić w następujący sposób. W zewnętrznym polu magnetycznym dochodzi do spinowego rozszczepienia Zeemana poziomów elektronowych w obszarze nanourządzenia. Załóżmy, że niespolaryzowana wiązka elektronów jest wstrzykiwana do układu z kontaktu 1, przy czym potencjał chemiczny w kontakcie został dobrany w taki sposób, aby obsadzone były jedynie dwa najniższe stany elektronowe związane z ograniczeniem ruchu elektronów w kierunku poprzecznym - jeden dla spinu oraz jeden dla spinu [rys. 3(b)]. Energie stanów elektronowych w obszarze QPC mogą być regulowane poprzez zmianę energii uwięzienia ω, eksperymentalnie realizowanej poprzez zmianę potencjałów przyłożonych do bramek. W szczególności, energię uwięzienia w QPC można ustawić tak, aby potencjał chemiczny w obszarze QPC znajdował się pomiędzy spinowo rozszczepionymi poziomami elektronowymi, jak przedstawiono na rys. 3(a). Dla tak dobranej wartości energii uwięzienia, współczynnik transmisji do kontaktu 2 elektronów o spinie jest nadal duży, podczas gdy elektrony o spinie przeciwnym odbijają się od QPC, ze względu na brak dostępnych stanów w tym obszarze nanourządzenia. Przestrzenna separacja wiązki padającej i odbitej od QPC jest wspierana efektem orbitalnym. Elektrony poruszające się w kierunku osi ±x są bowiem dociskane do prawej strony kanału przez siłę Lorentza. Działanie siły Lorentza powoduje, że spinowo spolaryzowana wiązka elektronów odbita od QPC jest odseparowana przestrzennie od wiązki padającej i wpływa do kanału 3. Efekt separacji spinu przedstawiono na rys. 4(e), który prezentuje gęstość ładunku oraz z-towej składowej spinu dla trzech różnych wartości potencjału uwięzienia: (a) ω = 5 mev, kiedy obszar QPC jest transparenty dla obu składowych spinowych prądu, (b) ω = 14 mev, dla którego obserwujemy efekt separacji spinowej oraz (c) ω = 20 mev, dla którego obszar QPC przestaje być transparentny dla obu składowych spinowych prądu. Niewielka spinowa polaryzacja prądu wstrzykiwanego z kontaktu 1, widoczna na rys. 4(e), wynika z różnicy gęstości stanów na poziomie Fermiego dla elektronów o spinach i, związanej ze spinowym rozszczepieniem Zeemana poziomów elektronowych. W pracy [H2] przedstawiono pełną analizę wpływu oddziaływania spin-orbita na zaproponowany model separatora spinów. Obliczenia wykonane z uwzględnieniem oddziaływania spinorbita na poziomie eksperymentalnie mierzonym w heterostrukturach opartych na In 0.5 Ga 0.5 As pokazały, że oddziaływanie SO nie zmienia efektu separacji spinowej w znaczący sposób - na rys. 5(a) przedstawione zostały wykresy P nm ( ω) dla dwóch różnych wartości stałych oddziaływania Rashby.

16 16 Rysunek 5: Wykres konduktancji spinowej P nm = G nm G nm pomiędzy kontaktami n i m w funkcji parametru ω. (a) Wyniki z uwzględnieniem oddziaływania SO dla dwóch różnych wartości stałej oddziaływania Rashby. (b) Wyniki z uwzględnieniem rozpraszania w modelu Ando dla różnych wartości średniej drogi swobodnej, l. [H2]. Z punktu widzenia zastosowań znacznie bardziej istotnym jest fakt, że zaproponowany model separatora spinu jest odporny na rozpraszanie, a zatem działa również w zakresie transportu niebalistycznego. Powyższa własność wynika z charakterystyki transportu elektronowego w zewnętrznym polu magnetycznym, który dla odpowiednio dużych pół odbywa się poprzez tzn. stany brzegowe. Funkcje falowe elektronów poruszających się w przeciwne strony są zlokalizowane po przeciwnych stronach kanału przewodzenia - patrz rys. 4(e). W rezultacie, rozpraszanie wsteczne w kanale jest silnie tłumione, gdyż zmiana wektora falowego na przeciwny wymaga zmiany stanu kwantowego na zlokalizowany po przeciwnej stronie kanału. Proces taki jest mało prawdopodobny ze względu na minimalne przekrywanie się funkcji falowych pomiędzy stanami zlokalizowanymi po przeciwnych stronach nanodrutu. Efekt ten jest dobrze znany z opisu kwantowego efektu Halla [55]. W pracy [H2], w celu ilościowego uwzględnienia rozpraszania zastosowano model Ando [58], który polega na losowej zmianie energii elektronu na węźle w zakresie [ W/2, W/2]. Parametr W związany jest z średnią drogą swobodną l następującą relacją ( ) W 6λ 3 1/2 = F E F π 3 a 2, (8) l gdzie E F to energia Fermiego, λ F to długość fali Fermiego, zaś a to stała sieci. Obliczenia zostały wykonane dla średniej drogi swobodnej l 1 µm, odpowiadającej oszacowaniom eksperymentalnym dla InGaAs (2DEG) [59]. Uzyskane wyniki przedstawiono na rys. 5(b), na którym każdy z punktów wykresu jest wynikiem uśrednienia po 10 4 realizacjach programu, z różną losową konfiguracją energii na węzłach. Rysunek 5(b) pokazuje, że efekt niezależnego od spinu rozpraszania jedynie w niewielkim stopniu zaburza działanie zaproponowanego separatora spinu powodując, że spinowa polaryzacja prądu na wyjściu w obu gałęziach jest nieco mniejsza - maleje ona jedynie nieznacznie wraz ze zmianą drogi swobodnej w realistycznym zakresie odpowiadającym pomiarom eksperymentalnym [59]. [H3] P. Wójcik, M. Zegrodnik, J. Spałek. Fulde-Ferrell state induced by the orbital effect in a superconducting nanowire. Phys. Rev. B 91 (2015), Praca [H3] dotyczy własności nadprzewodzących nanodrutów cylindrycznych i wpisuje się w zakres badań dotyczących stanów Majorany w nanostrukturach hybrydowych półprzewodnik/nadprzewodnik. Realizacja stanów Majorany w nanodrutach półprzewodnikowych z silnym oddziaływaniem SO wymaga bowiem parowania elektronowego, które indukowane jest poprzez efekt bliskości. W tym celu na powierzchni nanodrutów półprzewodnikowych nanosi się cienką

17 17 warstwę nadprzewodnika niskotemperaturowego, Al [60]. Własności nadprzewodzące struktur metalicznych w skali nanoskopowej stanowią zatem istotny czynnik przy eksperymentalnej realizacji stanów Majorany. W tym względzie, istotnym wydaje się również ich modyfikacja przez zewnętrzne pole magnetyczne, gdyż obecność pola magnetycznego stanowi jeden z warunków koniecznych powstawania stanów Majorany. W pracy [H3] zbadane zostały własności nadprzewodzące cienkich drutów metalicznych z Al w zewnętrznym polu magnetycznym skierowanym wzdłuż osi nanodrutu. Rysunek 6: (a) Schematyczny rysunek przedstawiający parowanie elektronowe w modelu BCS (górny wykres) oraz FF (dolny wykres). Stany elektronowe podlegające parowaniu zostały połączone niebieską strzałką, a ich liczby kwantowe umieszczone są w nawiasach. (b) Temperatura krytyczna T c w funkcji promienia nanodrutu R, dla H = 0. [H3]. Faza Fulde-Ferrella (FF) [54], będąca tematem niniejszej pracy, jest niekonwencjonalną fazą nadprzewodnictwa w której - w przeciwieństwie do fazy BCS - pary Coopera posiadają niezerowy pęd. Dotychczasowe prace dotyczące warunków stabilności fazy FF jednoznacznie pokazują, że jest ona indukowana polem magnetycznym w układach, w których efekty orbitalne są pomijalnie małe [61], takich jak układy cieżkofermionowe [62, 63, 64] czy nadprzewodniki organiczne [65, 66]. W pracy [H3] pokazaliśmy, że efekty orbitalne w nanodrutach nadprzewodzących, nie tylko nie niszczą fazy FF, ale mogą być bezpośrednim źródłem parowania z niezerowym pędem par Coopera. Zaproponowany model rzuca zatem nowe spojrzenie na wpływ efektów orbitalnych na fazę FF. W pracy [H3] rozpatrzono nadprzewodzący nanodrut metaliczny o symetrii cylindrycznej w obecności zewnętrznego pola magnetycznego skierowanego wzdłuż osi nanodrutu. W rozpatrywanym układzie stan jednoelektronowy określony jest czterema liczbami kwantowymi (m, j, k, σ), gdzie m to orbitalna liczba kwantowa, j to radialna liczba kwantowa, k to składowa wektora falowego wzdłuż osi nanodrutu (w tym kierunku zakładamy, że układ jest nieskończony), zaś σ oznacza spin elektronu. Energia stanu jednoelektronowego dana jest wzorem ξ k,m,j = 2 γ 2 m,j 2m e R k 2 2m e + mµ B H, (9) gdzie γ m,j stanowi j-te zero m-tej funkcji Bessla, R to promień nanodrutu, zaś H to wartość natężenia pola magnetycznego w kierunku osi nanodrutu. Zauważmy, że w równaniu (9) celowo nie uwzględniono efektu Zeemana, aby uwypuklić rolę efektu orbitalnego w indukowaniu fazy FF (wpływ spinowego rozszczepienia Zeemana zostanie przedyskutowany w dalszej części opisu). W modelu BCS pary Coopera powstają w wyniku parowania elektronów o przeciwnych spinach z przeciwnych stron powierzchni Fermiego (k, ) ( k, ) tak, że wypadkowy pęd par Coopera jest równy zeru. W rozpatrywanym modelu parowanie BCS zachodzi zatem pomiędzy elektronami w stanach (m, j, k, ) ( m, j, k, ). Zauważmy jednak [wzór (9)], że zewnętrzne pole magnetyczne znosi degeneracje ze względu na orbitalną liczbę kwantową m. W polu magnetycznym stany elektronowe z przeciwnym m mają energie przesunięte względem siebie o

18 18 2mµH. Niedopasowanie wektora Fermiego pomiędzy stanami ±m może zostać skompensowane przez niezerowy pęd pary Coopera q, prowadząc do powstania fazy FF, w rozpatrywanym przypadku wyindukowanej jedynie efektem orbitalnym. Opisany schemat parowania BCS oraz FF został schematycznie przedstawiony na rys. 6(a). Rysunek 7: (a) Nadprzewodząca przerwa energetyczna w funkcji natężenia pola magnetycznego H. Zakresy pól magnetycznych, w których obecna jest faza FF zostały zaznaczone kolorem szarym. (b) Pęd pary Coopera q w funkcji pola magnetycznego H. Każda z wartości q została wyznaczona poprzez minimalizację energii swobodnej układu. Minimum energii odpowiadające niezerowamu wektorowi q (faza FF) przedstawiono na rysunku (c). Wyniki dla R = 0.97 nm, oznaczonego jako (II) na rys. 6(b). (d) Wykresy fazowe (H ) dla różnych wartości promienia nanodrutu R zaznaczonych (I)-(IV) na rys. 6(b) z uwzględnieniem spinowego efektu Zeemana. [H3]. W pracy [H3] wartość przerwy energetycznej w zewnętrznym polu magnetycznym wyznaczona została w oparciu o model BCS zaadoptowany do opisu nanodrutu o określonej symetrii, z uwzględnieniem możliwości parowania z q 0. Na rys. 6(b) przedstawiona została zależność temperatury krytycznej od promienia nanodrutu, dla H = 0. Widoczne na rysunku ostre maksima temperatury krytycznej są wynikiem kwantowego efektu rozmiarowego. W modelu BCS wartość T c (oraz przerwy nadprzewodzącej) zależy bowiem od gęstości stanów w pobliżu energii Fermiego. W układach nanoskopowych quasi-1d, gęstość stanów gwałtownie wzrasta w tzn. osobliwościach van Hove a [67], występujących w układzie za każdym razem, gdy dno podpasma przechodzi przez energię Fermiego. Dla promieni R, dla których konfiguracja elektronowa powoduje występowanie osobliwości van Hove a obserwujemy gwałtowny wzrost temperatury krytycznej. Na rys. 7(a) przedstawiona została zależność nadprzewodzącej przerwy energetycznej w funkcji natężenia pola magnetycznego, wyznaczona dla promienia nanodrutu R zaznaczonego na rys. 6(b) symbolem (II). Widzimy, że przejście nadprzewodnik-metal indukowane polem magnetycznym odbywa się w formie kolejnych niewielkich spadków przerwy nadprzewodzącej. Każdy z nich związany jest z niszczeniem nadprzewodnictwa w kolejnych podpasmach elektronowych, których siła sprzężenia z polem magnetycznym zależy od wartości orbitalnej liczby kwantowej, m. Rys. 7(a) pokazuje również, że wartość niedopasowania wektora Fermiego dla poszczególnych podpasm ±m może zostać skompensowania niezerowym pędem par Coopera, q, prowadząc do powstania naprzemiennie występujących faz BCS oraz FF. Na rys. 7(b) przedstawiona została zależność wektora q w funkcji pola magnetycznego. Każda z wartości wektora q wyznaczona

19 19 została poprzez minimalizację energii swobodnej układu. Minimum energii dla niezerowego q (faza FF) zaprezentowano na rys. 7(c). Nasze dalsze obliczenia pokazały, że faza FF nie występuje dla dowolnych promieni R - patrz rys. 7(d). W pracy [H3] sformułowano warunek jaki musi być spełniony, aby diagram fazowy, poza fazą BCS, zawierał fazę FF. Mianowicie, konieczne jest aby tzn. stan rezonansowy, odpowiadający za wzrost temperatury krytycznej dla danego promienia R, ulegał deparowaniu w wyższym polu magnetycznym od pozostałych podpasm biorących udział w nadprzewodnictwie. Ponadto zauważmy, że podobny diagram fazowy z naprzemiennie występującymi fazami BCS i FF uzyskujemy dla realistycznego modelu z uwzględnieniem efektu Zeemana [rys. 7(d)]. Należy podkreślić, że zaproponowany mechanizm powstawania fazy FF indukowanej efektem orbitalnym występuje jedynie dla układów, w których parowaniu podlega niewielka liczba podpasm. Z tego powodu rozpatrywane średnice nanodrutów są nierealistycznie małe, a uzyskiwane wartości pól krytycznych sięgają wartości kilkudziesięciu tesli. Dlatego też, opisany efekt może być zaobserwowany jedynie w strukturach o niskiej koncentracji ładunku (małym potencjale chemicznym), co powoduje przesunięcie parametrów układu w stronę realistycznych wartości promieni nanodrutu. [H4] P. Wójcik, J. Adamowski, M. Wołoszyn, B. J. Spisak. Resonant Landau Zener transitions in a helical magnetic field. Semicond. Sci. Technol. 30 (2015), Jak wspomniano w rozdziale 4.1 obecne prace nad tranzystorem spinowym prowadzone są w dwóch kierunkach, z których jeden polega na poszukiwaniu nowych koncepcji tranzystora, różnych od tej zaproponowanej w roku 1990 przez Dattę i Dasa [5]. Jedna z alternatywnych architektur tranzystora spinowego została zaprezentowana ostatnio na łamach czasopisma Science [34, 68], a jej wyższość nad pierwotną ideą [5] polega na znaczącym wzroście odległości, na której mierzony jest sygnał spinowy. W zaprezentowanym eksperymencie [34] kontrola spinu odbywa się za pomocą wypadkowego pola magnetycznego, będącego złożeniem pola zewnętrznego oraz pola spiralnego (helikalnego) pochodzącego od ferromagnetycznych pasków zlokalizowanych nad kanałem przewodzenia z (Cd,Mn)Te. Akcja tranzystorowa indukowana jest poprzez przełączenie układu zewnętrznym polem magnetycznym w stan, w którym dochodzi do przejścia Landaua-Zenera [35] pomiędzy pasmami spinowymi. W rezultacie, elektrony ulegają wstecznemu rozproszeniu, prowadząc do stanu wysokiej rezystancji (stan off tranzystora). (b) przejście Landaua-Zenera Rysunek 8: (a) Energie najniższego stanu elektronowego ze spinem równoległym (stan ϕ + ) oraz antyrównoległym (stan ϕ ) do kierunku pola magnetycznego, dla różnych wartości parametru γ. Dla B ext = B h (γ = 1) prawdopodobieństwo przejścia Landaua-Zenera w środku nanourządzenia jest bliskie jedności, w skutek czego elektrony ulegają wstecznemu odbiciu (środkowy panel) prowadząc do stanu wysokiej rezystancji (stan off tranzystora). (b) Schemat rezonansowego przejścia Landaua-Zenera będącego źródłem dodatkowych stanów wysokiej rezystancji dla B ext B h. [H4]. Praca [H4] dotyczy symulacji zależnego od spinu transportu elektronowego w strukturze

20 20 tranzystora spinowego zaproponowanej w [34]. W tym celu rozpatrzono dwuwymiarowy nanodrut z (Cd,Mn)Te w obecności pola magnetycznego będącego kombinacją jednorodnego pola B ext = (0, 0, B ext ) oraz pola helikalnego B h (w eksperymencie pochodzącego od ferromagnetycznych pasków) ( B h (r) = B h sin 2πx ) 2πx, 0, cos, (10) a a gdzie B h to amplituda zmian pola magnetycznego, zaś a oznacza okres modulacji. W rozpatrywanym modelu energia stanu elektronowego ze spinem równoległym E + oraz antyrównoległym E do pola magnetycznego zmienia się wraz z położeniem i w zakresie adiabatycznym dana jest wzorem E ± (x) = ± 1 2 g eff µ B B h 1 + γ 2 + 2γ cos (2πx/a), (11) gdzie γ = B ext /B h determinuje przestrzenną zmianę energii spinowo rozszczepionych stanów elektronowych, jak zaprezentowano na rys. 8(a). W szczególności, dla γ = 1 prawdopodobieństwo przejścia Landaua-Zenera w obszarze centralnym nanourządzenia jest bliskie jedności. Zauważmy jednak, że elektron początkowo wstrzyknięty do układu w stanie ϕ, po przejściu Landau-Zenera do stanu ϕ +, nie może opuścić urządzenia ponieważ energia stanu ϕ + w prawym kontakcie jest wyższa niż energia Fermiego (energia wstrzykniętego elektronu). Elektron odbija się wstecznie, powodując spadek konduktancji (stan off tranzystora) - patrz rysunki 8(a) oraz 9. Istotnym elementem zaproponowanego modelu jest konieczność utrzymywania transportu elektronowego w zakresie adiabatycznym, poza zakresem parametrów, dla którym wywoływana jest akcja tranzystorowa. Parametr adiabatyczności w rozpatrywanym układzie można zdefiniować jako Q = ω L /ω mod, gdzie ω L = g eff µ B B/ to częstość precesji Larmora, zaś ω mod = 2πv F /a to częstość zmian pola magnetycznego mierzona w układzie odniesienia związanym z poruszającym się elektronem, gdzie V F to prędkość Fermiego. W zakresie adiabatyczny Q 1. Rysunek 9: Wykresy konduktancji G w funkcji energii Fermiego µ F oraz zewnętrznego pola magnetycznego B ext, wyznaczone dla trzech różnych wartości okresu a. Odpowiadającą im wartość parametru Q umieszczono na wykresach. [H4]. Praca [H4] dotyczy symulacji działania tranzystora spinowego w zakresie parametrów, w których warunek adiabatyczności nie jest spełniony. W tym celu wykonane zostały symulacje zależnego od spinu transportu elektronowego dla różnych wartości okresu modulacji pola helikalnego a. Na rys. 9 przedstawiono wykresy konduktancji G w funkcji energii Fermiego µ F oraz zewnętrznego pola magnetycznego B ext, wyznaczone dla trzech różnych wartości okresu a. Odpowiadająca im wartość parametru Q została umieszczona na wykresach. W obliczeniach zakres energii µ F dobrano tak, aby elektron był wstrzykiwany do nanourządzenia w niższym pasmie, ϕ. Wyraźny spadek konduktancji dla B ext = B h (przyjęto B h = 50 mt), dla każdej z rozpatrywanych wartości parametru a, wynika z przejścia Landaua-Zenera oraz związanego z nim rozpraszania wstecznego, jak opisano powyżej. Zauważmy jednak, że dla małych wartości parametru Q [rys. 9(a)], na wykresie obserwujemy dodatkowe spadki konduktancji dla pól B ext B h. Okres występowania dodatkowych obszarów zerowej konduktancji (w funkcji potencjału chemicznego)

21 21 maleje wraz ze wzrostem parametru Q, a efekt ten niemal całkowicie zanika w zakresie adiabatycznym, dla a = 8 µm (Q = 25) [rys. 9(c)]. Wyjaśnienie tego zjawiska zostało szczegółowo opisane w naszej pracy [H4] i poparte analizą rozkładu koncentracji ładunku oraz zależnych od położenia współczynników przejść międzypasmowych. W skrócie, efekt ten związany jest z rezonansowymi przejściami Landaua-Zenera i można go opisać w następujący sposób. Dla małych wartości parametru a (w zakresie nieadiabatycznym) zmiana pola magnetycznego w układzie odniesienia związanym z poruszającym się elektronem jest tak szybka, że spin elektronu nie nadąża za zmianami pola magnetycznego. Oznacza to, że elektron początkowo wstrzyknięty do układu w najniższym pasmie ϕ (ze spinem antyrównoległym do pola magnetycznego), przechodząc przez nanourządzenie opisany jest kombinacją stanów ϕ oraz ϕ +, ze spinem antyrównoległym oraz równoległym do pola magnetycznego. Ponieważ jego funkcja falowa ψ(x) = c + (x)ϕ + (x) + c (x)ϕ (x), prawdopodobieństwo przejść międzypasmowych staje się różne od zera. Jeśli energia wstrzykniętego elektronu jest wyższa od E + min, zdefiniowanej jako minium energii w nanourządzeniu w pasmie ϕ + [patrz rys. 8(a)], elektron przepływając przez nanourządzenie w pasmie ϕ napotyka na efektywną studnię potencjału w pasmie ϕ +, jak schematycznie zaprezentowano na rys. 8(b). Jeśli energia wstrzykniętego elektronu odpowiada energii stanu quasi-związanego w tej studni, prawdopodobieństwo przejścia Landaua-Zenera do pasma ϕ + staje się równe jedności (tzn. rezonansowe przejście Landaua-Zenera). W rezultacie, elektron wstrzyknięty w pasmie ϕ ulega przejściu międzypasmowemu do stanu ϕ +. Ponieważ energia pasma ϕ + w prawym kontakcie jest większa od energii Fermiego, elektron ulega wstecznemu odbiciu, co prowadzi do dodatkowych spadków konduktancji dla B ext B h widocznych na rys. 9(a)(b). Schemat rezonansowych przejść Landaua-Zenera został przedstawiony na rys. 8(b). W celu potwierdzenia zaproponowanej hipotezy wyznaczono energie stanów quasizwiązanych w efektywnej studni kwantowej, jaka tworzy się w pasmie ϕ +. Wyznaczone energie stanów kwazi-związanych, oznaczone białą linią przerywaną na rys. 9(b), dokładnie odpowiadają występowaniu dodatkowych spadków konduktancji, co potwierdza zaproponowane wyjaśnienie oparte na rezonansowych przejściach Landaua-Zenera. [H5] P. Wójcik, J. Adamowski. Electrically controlled spin-transistor operation in a helical magnetic field. Semicond. Sci. Technol. 31 (2016), Mimo, że nowa koncepcja tranzystora spinowego [34] wydaje się być bardziej odporna na dekoherencję spinową, posiada ona jedną zasadniczą wadę, a mianowicie akcja tranzystorowa w zaproponowanym nanourządzeniu indukowana jest zewnętrznym polem magnetycznym. Precyzyjne przyłożenie pola magnetycznego na małym obszarze nie jest proste z eksperymentalnego punktu widzenia i stanowi poważne ograniczenie w kontekście zastosowań tego typu tranzystorów w zintegrowanych układach elektronicznych. Dlatego w swojej kolejnej pracy [H5] zaproponowałem model tranzystora spinowego oparty na polu helikalnym, w którym akcja tranzystorowa generowana jest polem elektrycznym pochodzącym od bramek bocznych. Idea stojąca za tym rozwiązaniem polega na zastąpieniu zewnętrznego pola magnetycznego efektywnym polem oddziaływania SO typu Rashby. Schematyczny model zaproponowanego tranzystora przedstawiono na rys. 10. W rozpatrywanym modelu, nanodrut InSb charakteryzujący się silnym oddziaływaniem SO, podobnie jak w eksperymencie, położony jest na ferromagnetycznych paskach, które w obszarze nanodrutu wytwarzają pole helikalne ( B h (r) = B h sin 2π(x x 0), 0, cos 2π(x x ) 0) a a, (12) gdzie B h to amplituda zmian pola, a jego okres modulacji, zaś x 0 oznacza położenie ferromagnetycznego paska. Dla uproszczenia rozpatrzono nanodrut o długości L odpowiadającej jednemu okresowi zmian pola helikalnego, L = a, zakładając x 0 = L/2. Dynamika spinu w rozpatrywanym urządzeniu określona jest przez wypadkowe, efektywne pole

22 22 Rysunek 10: (a) Schematyczny model zaproponowanego tranzystora spinowego. Nanodrut InSb [111] w helikalnym polu magnetycznym pochodzącym od ferromagnetycznych pasków (Dy) umiejscowionych w pobliżu nanodrutu. Efektywne pole Rashby B R jest kontrolowane polem elektrycznym poprzez odpowiednie napięcia przyłożone do bramek g 1 i g 2. (b) Schematyczny profil przestrzennych zmian poszczególnych składowych pola helikalnego oraz spinu. [H5]. magnetyczne będące sumą pola helikalnego oraz efektywnego pola Rashby. W zakresie adiabatycznym, zależne od położenia energie stanów jednoelektronowych, równoległych E + i antyrównoległych E do wypadkowego pola efektywnego, dane są wzorem ( ) 2π(x E ± x0 (x) = ±αk x 1 + γ 2 ) + 2γ cos, (13) a gdzie γ = 1 2 g eff µ B B h /αk x. Parametr γ zależy od stałej sprzężenia Rashby α, która jest kontrolowana zewnętrznym polem elektrycznym pochodzącym od bocznych elektrod g 1 i g 2. Rysunek 11: (a) Prawdopodobieństwo przejścia Landaua-Zenera P w funkcji stałej Rashby α dla dwóch różnych wektorów Fermiego, k F. (b) Wykres konduktancji G w funkcji α. Na wykresie widoczny jest spadek konduktancji (stan off tranzystora) związany z przejściem Landaua- Zenera. Źródło [H5]. Zauważmy, że obraz fizyczny, w którym elektron porusza się w zmiennym polu magnetycznym może zostać zastąpiony obrazem, w którym elektron poddany jest zależnemu od czasu zaburzeniu, które pochodzi od efektywnego pola magnetycznego. Dla rozpatrywanego układu dwustanowego, który poddany jest działaniu zaburzenia zależnego od czasu, prawdopodobieństwo przejścia Landaua-Zenera dane jest wzorem P = exp ( 2π ε β ), (14) gdzie ε 12 = αk x γ 1 odpowiada połowie minimalnej energii pomiędzy pasmami E ±. Parametr β = 1 ( d dt E + E ) określa szybkość z jaką zbliżają się do siebie pasma o energiach E ± w

23 23 układzie odniesienia związanym z poruszającym się elektronem. Korzystając z relacji E/ t = ( E/ x)( x/ t) = ( E/ x)v F, gdzie V F prędkość Fermiego, β przyjmuje postać β = 2πg eff µ B B h V F a ( ) 2π(x x0 ) a 2 sin 1 + γ 2 + 2γ cos ( ). (15) 2π(x x0 ) a Widzimy zatem, że prawdopodobieństwo przejścia Landaua-Zenera zależy od wzajemnej odległości energetycznej pomiędzy stanami E ±, która z kolei zdeterminowana jest siłą oddziaływania SO. Ta związana jest nie tylko ze stałą α, ale również z wektorem Fermiego k F. Na rys. 11(a) przedstawiony został wykres prawdopodobieństwa przejścia Landaua-Zenera w funkcji stałej sprzężenia Rashby α, dla dwóch różnych wartości wektora Fermiego k F. Widzimy, że maksimum prawdopodobieństwa przesuwa się w stronę wyższych wartości α wraz ze wzrostem wektora k F. Przejście Landaua-Zenera pomiędzy stanami spinowymi, podobnie jak w pracy [H4], skutkuje rozpraszaniem wstecznym oraz spadkiem konduktancji zaprezentowanym na rys. 11(b). A zatem, dla określonej energii Fermiego, poprzez odpowiednio dobrane pole elektryczne (za pomocą potencjałów bramek) możemy przełączać układ w stan wysokiej rezystancji (stan off tranzystora). Należy nadmienić, że obecne prace eksperymentalne, które pokazują możliwość dołączenia do nanodrutu bocznych bramek [69], jednoznacznie wskazują możliwość eksperymentalnej realizacji zaproponowanego modelu tranzystora spinowego. [H6] P. Wójcik, J. Adamowski. Effect of inter- and intra-subband spin orbit interactions on the operation of a spin transistor with a double quantum well structure. Semicond. Sci. Technol. 31 (2016), Praca [H6] dotyczy tranzystora spinowego opartego na sprzężonych drutach kwantowych, gdzie poza wewnątrzpasmowym oddziaływaniem spin-orbita, w układzie pojawia się międzypasmowe oddziaływanie SO. Oddziaływanie to, choć często pomijane w badaniach teoretycznych, jest źródłem wielu interesujących zjawisk, m.in. anomalnego efektu Zitterbewegung [70], czy wewnętrznego spinowego efektu Halla w układach z symetrycznym potencjałem uwięzienia [71]. W swojej pracy [H6] skoncentrowałem się na zbadaniu wpływu międzypasmowego oddziaływania SO na działanie tranzystora spinowego opartego na sprzężonych studniach kwantowych. W zaproponowanym modelu tranzystora, kanał przewodzenia w postaci sprzężonych nanodrutów 2D (studni kwantowych) jest umieszczony pomiędzy dwoma ferromagnetycznymi kontaktami pełniącymi funkcję źródła oraz detektora spinu. Dla uproszczenia założono, że efektywność wstrzykiwania i detekcji spinu w ferromagnetycznych kontaktach osiąga wartość 100 %. Na rys. 12(a) przedstawiony został schemat rozpatrywanego nanourządzenia z przekrojem heterostuktury w kierunku wzrostu - wykres (b). Układ studni kwantowych Al 0.48 In 0.52 As/Ga 0.47 In 0.53 As oddzielony jest barierą z Al 0.3 In 0.7 As o szerokości w b, która determinuje sprzężenie pomiędzy stanami elektronowymi w obu studniach. Po obu stronach umieszczono cienkie warstwy domieszkowane donorowo, z koncentracją domieszek N d = cm 3. W rozpatrywanym układzie akcja tranzystorowa indukowana jest polem elektrycznym pochodzącym od zewnętrznych bramek zlokalizowanych pod i nad nanodrutem. Poprzez przyłożenie odpowiednich napięć bramek układ ulega przełączeniu od stanu niskiej ( on ) do stanu wysokiej ( off ) rezystancji, jak pokazano na rys. 12(e). Symulacje zależnego od spinu transportu elektronowego przez rozpatrywane nanourządzenie wykonano korzystając z metody macierzy rozpraszania w modelu dwupasmowym, która pozwoliła na wyznaczenie współczynników transmisji Tnm σσ, gdzie σ, σ =, to indeks spinowy, zaś n, m = 1, 2 określa podpasmo. Przy założeniu, że całkowita spinowa polaryzacja elektronów w kontaktach P = 1, konduktancja przez rozpatrywane nanourządzenie dana jest wzorem Ladauera G = 2 n,m=1 G nm = e2 h T nm(e) ( ff D (E, E F ) E ) de, (16)

24 24 Rysunek 12: (a) Schemat tranzystora spinowego opartego na układzie sprzężonych studni kwantowych. Nanodrut o szerokości W umieszczony jest pomiędzy dwoma ferromagnetycznymi kontaktami pełniącymi funkcję polaryzatora oraz analizatora spinu. Dynamika spinu w kanale przewodzenia kontrolowana jest poprzez napięcia V g1, V g2 przyłożone do bramek zlokalizowanym nad oraz pod kanałem przewodzenia, które indukują wewnątrz oraz międzypasmowe oddziaływanie SO. (b) Przekrój rozpatrywanej heterostruktury. (c) Struktura pasmowa układu sprzężonych studni kwantowych. (d) Samouzgodniony profil potencjału w nanourządzeniu wraz z funkcjami falowymi dwóch najniższych stanów ϕ 1 oraz ϕ 2. (e) Przykładowa charakterystyka G(V g ) z zaznaczonym stanem on i off. [H6]. gdzie f F D to rozkład Fermiego-Diraca, zaś E F oznacza energię Fermiego. Rysunek 13: (a) Konduktancja G w funkcji wewnątrzpasmowej (α) oraz międzypasmowej (α 12 ) stałej oddziaływania Rashby. (b) G(α) dla kilku różnych wartości α 12. Wykres wewnętrzny przedstawia rozkład gęstości z-towej składowej spinu w obu pasmach dla α 12 = 0 oraz napięcia V g oznaczonego na rysunku pionową linią przerywaną. [H6]. Naszą analizę wpływu międzypasmowego oddziaływania SO na działanie tranzystora spinowego zaczęliśmy od czysto teoretycznego modelu dwupasmowego z pasmami odległymi energetycznie o ε = ε 1 ε 2, w którym wewnątrzpasmowe (α 11, α 22 ) oraz międzypasmowe (α 12 ) stałe oddziaływania Rashby traktowane są jako parametry symulacji. Ponadto, założono α 11 = α 22 = α. Wykres konduktancji G w funkcji wewnątrzpasmowej α oraz międzypasmowej α 12 stałej oddziaływania Rashby przedstawiono na rys. 13(a). Zgodnie z przewidywaniem, dla α 12 = 0 [rys. 13(b)] konduktancja oscyluje w funkcji α ze stałą amplitudą oraz okresem, zgodnie ze wzorem ( ) G = 2G 0 cos 2 klg 2 ( m = 2G 0 cos 2 ) αl g 2, (17) gdzie k = k F k F, m to masa efektywna elektronu, zaś L g to długość bramki. Oscylacje konduktancji wynikają z precesji spinu elektronu, niezależnie w każdym z podpasm,

25 25 wokół efektywnego pola Rashby, jak zaprezentowano na rys. 13(b) (patrz wykres wewnętrzny). Maksimum konduktancji odpowiada całkowitej wielokrotności obrotu spinu, zaś minimum jego wielokrotności połówkowej - wówczas elektron opuszcza kanał przewodzenia ze spinem, który nie może zostać zaabsorbowany przez spinowo-spolaryzowany dren (P = 1) i ulega wstecznemu odbiciu. Regularne oscylacje konduktancji ulegają istotnej modyfikacji, gdy do układu wprowadzimy międzypasmowe oddziaływanie SO, α Wówczas prawdopodobieństwo przejść międzypasmowych z obrotem spinu staje się niezerowe. Rys. 13(a)(b) pokazuje, że w pewnym zakresie stałej α 12, oddziaływanie międzypasmowe jedynie w niewielkim zakresie modyfikuje okres oscylacji, prowadząc raczej do zmniejszenia ich amplitudy - wykres dla α 12 = 10 mevnm. Niemniej jednak, istnieje pewna wartość parametru α 12, dla której oscylacje konduktancji ulegają przesunięciu fazowemu - wykres dla α 12 = 18 mevnm. Zauważmy bowiem, że nawet przy wewnątrzpasmowej stałej Rahby α = 0, konduktancja oscyluje w funkcji stałej międzypasmowej α 12. Efekt ten związany jest z przejściami międzypasmowymi z obrotem spinu, a długość precesji spinu λ SO w tym przypadku można wyznaczyć analitycznie λ SO = 2π k = 2π k 2 k 1, (18) gdzie 2m k 1 = ( E F ε α2 12 m E F (E F ε ) E F α ε 2 ) m α12 4, (19) m 2 2m k 2 = ( E F ε α2 12 m E F (E F ε ) E F α ε 2 ) m α12 4, (20) m 2 przy czym ε ± = (ε 1 ± ε 2 )/2. W pracy [H6], interpretacja zmian konduktancji przy α 12 0 została podparta analizą rozkładu gęstości ładunku oraz spinu w obu pasmach. Ponadto, przedyskutowano wpływ asymetrii związanej z różną stałą oddziaływania Rashby w obu pasmach, α 11 α 22. W drugiej części pracy [H6] rozpatrzono realistyczną strukturę opartą na Al 0.48 In 0.52 As/ Ga 0.47 In 0.53 As [rys. 12(a,b)]. Wartości wewnątrzpasmowej oraz międzypasmowej stałej Rashby zostały wyznaczone w oparciu o 8 pasmowy model k p, z uwzględnieniem oddziaływania elektronowego w modelu pola średniego (model Schrödingera-Poissona). Stałą oddziaływania Dresselhausa oszacowano korzystając z wyrażenia β n = β 3D ϕ n ˆk 2 z ϕ n, (21) gdzie β 3D = mevnm 3 [72]. Na rys. 14 przedstawiono stałe oddziaływania SO w funkcji potencjału bramki V g, dla różnych koncentracji elektronowych n e. Widzimy, że w rozpatrywanym zakresie napięć stała β związana z oddziaływaniem Dresselhausa jest dwa rzędy wielkości razy mniejsza od stałej Rashby. Dlatego w dalszych rozważaniach oddziaływanie SO typu Dresselhausa zostało pominięte. Rys. 14(c) pokazuje, że stała oddziaływania międzypasmowego jest parzystą funkcją napięcia bramki i wykazuje zachowanie rezonansowe dla V g = 0. Jednocześnie, stałe oddziaływania wewnątrzpasmowego α 11, α 22 gwałtownie zmieniają znak dla V g = 0, co szczególnie widoczne jest dla dużych koncentracji elektronowych. Nagła zmiana stałej Rashby wokół V g = 0 czyni rozpatrywany układ obiecującym z punktu widzenia konstrukcji tranzystora spinowego, w którym akcja tranzystorowa powinna być indukowana w jak najwęższym zakresie napięć. Dla wyznaczonej w ten sposób struktury elektronowej oraz współczynników α nm, obliczono konduktancję w funkcji napięcia bramki V g, którą zaprezentowano na rys. 15(a). Konduktancja wykazuje maksymalną

26 26 Rysunek 14: Wewnątrzpasmowe (a) α 11, (b) α 22 oraz (c) międzypasmowe α 12 stałe oddziaływania Rashby w funkcji napięcia bramki V g, wyznaczone dla różnych koncentracji elektronowych n e. (d) Stała Dresselhausa β(v g ) dla n e = cm 2. [H6]. Rysunek 15: (a) Wykres konduktancji G w funkcji napięcia bramki V g dla różnych wartości koncentracji elektronowej n e. (b) Wartość konduktancji G(V g = 0) w funkcji koncentracji elektronowej n e. (c) Różnica energii pomiędzy dwoma najniższymi pasmami ε w funkcji V g. [H6]. wartość dla V g = 0 (stan niskiej rezystancji on tranzystora), a niewielka zmiana napięcia powoduje przejście układu do stanu wysokiej rezystancji (stan off tranzystora). Stosunek G on /G off zależy od koncentracji elektronów i jest najwyższy dla wysokich wartości n e. Zauważmy, że w tak zaprojektowanym tranzystorze spinowym akcja tranzystorowa zachodzi w niewielkim zakresie napięć wokół V g = 0, w którym międzypasmowa stała Rashby osiąga maksimum [rys. 14(c)]. Wpływ oddziaływania międzypasmowego można zauważyć analizując maksimum konduktancji dla V g = 0, dla którego stałe wewnątrzpasmowe α 11 = α 22 = 0. Jak pokazano w pierwszej części pracy, przy V g = 0 konduktancja przez rozpatrywany układ przyjmuje wartość G = 2G 0. Jak pokazano na rys. 15(a), dla V g = 0 wartość tą otrzymujemy jedynie dla niskiej koncentracji elektronowej, dla której międzypasmowe oddziaływanie SO jest pomijalnie małe. A zatem, spadek G(0) w funkcji n e widoczny na rys. 15(b), jest bezpośrednio związany ze wzrostem międzypasmowego oddziaływania Rashby, które dla V g 0 wywołuje przejścia międzypasmowe z obrotem spinu. Prawdopodobieństwo takiego przejścia zależy nie tylko od stałej α 12, ale również od energetycznej odległości pomiędzy pasmami ε, która została przedstawiona na rys. 15(c). Podsumowując, obecność międzypasmowego oddziaływania SO prowadzi do zmniejszenia wartości konduktancji dla V g = 0, a przez to do redukcji współczynnika G on /G off, istotnego z

27 27 punktu widzenia zastosowań. Niewątpliwą zaletą zaproponowanego rozwiązania jest natomiast fakt, że dla dużych koncentracji n e akcja tranzystorowa może być indukowana zmianą napięcia w niewielkim zakresie wokół V g = 0. [H7] P. Wójcik, J. Adamowski. Spin filtering effect generated by the inter-subband spin-orbit coupling in the bilayer nanowire with the quantum point contact. Scientific Reports 7 (2017), Eksperymentalna realizacja efektywnie działającego tranzystora spinowego opartego na sprzężonych studniach kwantowych [H6], z odpowiednio dużym poziomem sygnału na wyjściu, wymaga zaprojektowania kompatybilnych filtrów spinowych opartych na materiałach półprzewodnikowych, które pozwolą na uzyskanie 100% efektywności wstrzykiwania oraz detekcji spinu (przypomnijmy, że nie jest to możliwe w przypadku kontaktów ferromagnetycznych ze względu na niedopasowanie rezystancji pomiędzy ferromagnetykiem, a półprzewodnikowym kanałem przewodzenia). Dlatego w swojej kolejnej pracy [H7] zaproponowałem model filtra spinowego opartego na sprzężonych drutach kwantowych z kwantowym kontaktem punktowym (QPC), w którym efekt filtracji spinowej indukowany jest międzypasmowym oddziaływaniem SO. W pracy [H7] rozpatrzono układ dwóch sprzężonych studni kwantowych w formie nanodrutu o szerokości W, z kwantowym kontaktem punktowym zlokalizowanym w jego środku. Do układu przyłożono boczne pole elektryczne F = (0, F y, 0), które jak pokazują ostatnie eksperymenty [13, 22] może zostać wytworzone poprzez odpowiednie napięcia przyłożone do bramek bocznych. Schemat rozpatrywanego nanourządzenia przedstawiono na rys. 16(a), wraz z przykładowym profilem materiałowym heterostruktury, w której realizowany jest układ dwóch sprzężonych studni kwantowych [rys. 16(b)]. Rysunek 16: (a) Schemat rozpatrywanego filtra spinowego opartego na sprzężonych studniach kwantowych. (b) Przykładowy schemat heterostruktury opartej na Al 0.48 In 0.52 As/ Ga 0.47 In 0.53 As. [H7]. Do opisu układu zastosowano model dwupasmowy, w którym Hamiltonian oddziaływania SO związany z poprzecznym polem elektrycznym przyjmuje postać ) H SO = β e F yˆkx 1 σ z βδ e F y τ y σ x + β 12 τ x (σ xˆky σ yˆkx, (22) gdzie ˆk x(y) = / x(y) to operatory poszczególnych składowych wektora falowego, β to poprzeczna stała oddziaływania Rashby, β 12 to poprzeczna międzypasmowa stała oddziaływania Rashby, δ = 1, σ / z 2, σ to stała sprzężenia międzypasmowego, zaś (σ x, σ y, σ z ) i (τ x, τ y, τ z ) to macierze Pauliego zdefiniowane odpowiednio w przestrzeni spinowej oraz dwustanowej przestrzeni orbitalnej (pasmowej). Do wyznaczenia zależnej od spinu konduktancji przez rozpatrywane nanourządzenie zastosowano formułę Landauera z współczynnikami transmisji policzonymi numerycznie za pomocą metody macierzy rozpraszania. Na rys. 17(a) przedstawiono wykres zależnej od spinu konduktancji G, w funkcji energii Fermiego E F dla dwóch wartości parametru δ, przy β 12 = 0. Dla δ = 0 (czarna przerywana

28 28 Rysunek 17: (a) Wykres zależnej od spinu konduktancji G, G w funkcji energii Fermiego E F dla różnych wartości parametru δ. (b) Spinowa polaryzacja prądu P w funkcji energii Fermiego E F dla δ = 10 2 nm 1. [H7]. linia) G = G, a poszczególne stopnie konduktancji wynikają z aktywowania kolejnych kanałów przewodzenia w obszarze QPC. Dla δ 0 konduktancja dla elektronów o przeciwnych spinach różni się od siebie powodując, że w pewnym zakresie energii Fermiego, spinowa polaryzacja prądu P = (G G )/(G + G ) osiąga wartość bliską jedności, jak zaprezentowano na rys. 17(b). Zaprezentowany efekt filtracji spinowej wynika z oddziaływania międzypasmowego indukowanego poprzecznym polem elektrycznym oraz uwięzienia w obszarze QPC i został szczegółowo wyjaśniony w pracy [H7] na podstawie rozkładów gęstości stanów, ładunku oraz spinu. Opiszmy go w skrócie w oparciu o schematyczny rys. 19 oraz rozkłady z-towej składowej gęstości spinu przedstawione na rys. 18, gdzie s nσ m oznacza gęstość spinową w pasmie m obliczoną dla przypadku, w którym elektron o spinie σ wstrzyknięto do układu w pasmie n. Rysunek 18: Rozkład z-towej składowej gęstości spinu, gdzie s nσ m oznacza gęstość spinową w pasmie m obliczoną dla przypadku, w którym elektron o spinie σ wstrzyknięto do układu w pasmie n. [H7]. Nawet pobieżna analiza rys. 18 jednoznacznie wskazuje, że spinowa polaryzacja prądu na wyjściu związana jest z transportem elektronów wstrzykniętych do urządzenia w stanach 1, oraz 2,. Aby zrozumieć zaprezentowany efekt filtracji spinowej rozważmy kolejno transport elektronu wstrzykniętego do nanourządzenia w stanie (i) 1,, (ii) 1,, (iii) 2, oraz (iv) 2,. Poniższa analiza poprowadzona zostanie w oparciu o relacje dyspersji w poszczególnych częściach nanodrutu przedstawione na rys. 19(a). (i) Dla zadanej energii Fermiego, elektron wstrzyknięty do nanourządzenia w stanie 1, przepływa przez układ niemal nie zmieniając swojego stanu spinowego - patrz rys. 18 (w

29 29 Rysunek 19: (a) Relacje dyspersji E(k) w poszczególnych obszarach nanourządzenia. Przerywana linia pozioma oznacza energię Fermiego, dla której rozkłady gestości spinowej zostały przedstawiona na rys. 18. (b) Schemat transportu elektronowego przez rozpatrywane nanourządzenie. [H7]. rzeczywistości zmienia się on w niewielkim stopniu w obszarze oddziaływania SO). Ponieważ energia Fermiego w obszarze QPC jest wyższa od dna pasma 1, [rys. 19(a)] elektron w stanie 1, przechodzi przez obszar QPC dając wkład do spinowo spolaryzowanego prądu elektronowego na wyjściu. (ii) Dynamika spinu elektronu wstrzykniętego w stanie 1, jest znacznie bardziej interesująca ze względu na hybrydyzację stanów 1, oraz 2, indukowaną oddziaływaniem SO - na relacjach dyspersji w obszarze oddziaływania SO widzimy wyraźne odpychanie stanów 1, oraz 2, (anticrossing). Mieszanie pasm powoduje, że elektron początkowo wstrzyknięty w pasmie 1,, w obszarze oddziaływania SO, ulega przejściu do stanu 2,. Ponieważ dno pasma 2, w obszarze QPC ma energię wyższą od energii Fermiego, elektron odbija się wstecznie nie wnosząc wkładu do prądu elektronowego na wyjściu. (iii) Odwrotny proces zachodzi dla elektronu wstrzykniętego do nanourządzenia w stanie 2,. W wyniku hybrydyzacji stanów 1,, 2,, elektron początkowo wstrzyknięty w pasmie 2, ulega przejściu Landaua-Zenera do stanu 1, przed obszarem QPC. Ponieważ dno pasma 1, w obszarze QPC jest położone poniżej energii Fermiego, elektron przepływa przez QPC i w obszarze oddziaływania SO, tuż za QPC, ulega ponownemu przejściu Landaua-Zenera do stanu 2, dając wkład do spinowo spolaryzowanego prądu na wyjściu - patrz rys. 18. (iv) Dla zadanej energii Fermiego, elektron wstrzyknięty do nanourządzenia w stanie 2, dociera do obszaru QPC niemal nie zmieniając swojego stanu spinowego. Ponieważ energia Fermiego jest mniejsza od energii dna pasma 2, w obszarze QPC [rys. 19(a)] elektron wstrzyknięty w stanie 2, ulega wstecznemu odbiciu. Widzimy zatem, że spinowa polaryzacja prądu na wyjściu nanourządzenia związana jest głównie z procesami transportu (i) oraz (iii). Wszystkie opisane powyżej procesy (i-iv) zostały schematycznie zaprezentowane na rys. 19(b). W pracy [H7] opisany efekt filtracji spinowej został przeanalizowany również w funkcji międzypasmowego oddziaływania SO (β 12 ) oraz zmiany parametru sprzężenia międzypasmowego (δ). Pokazano, że efekt filtracji spinowej występuje w pewnym zakresie parametru δ, a uzyskana polaryzacja prądu oscyluje w funkcji β 12 stopniowo zmniejszając swoją amplitudę.

30 30 [H8] M. P. Nowak, P. Wójcik. Renormalization of the Majorana bound state decay length in a perpendicular magnetic field. Phys. Rev. B 97 (2018), Praca [H8] związana jest z moją aktualną aktywnością naukową, która w głównej mierze dotyczy topologicznych stanów materii w fizyce fazy skondensowanej, a w szczególności stanów Majorany realizowanych w układach hybrydowych półprzewodnik/nadprzewodnik [39, 40, 41]. Nieabelowa statystyka kwantowa, której podlegają fermiony Majorany czyni je interesującymi z punktu widzenia obliczeń kwantowych [50]. Ponieważ wykonanie nawet najprostszej operacji bradingu wymaga układów co najmniej trójterminalowych, obecne zainteresowania eksperymentatorów w tej dziedzinie skupione są wokół wieloterminalowych układów hybrydowych półprzewodnik/nadprzewodnik [51, 52, 53], jako prototypów topologicznych bramek logicznych. W strukturach takich, pole magnetyczne prostopadłe do płaszczyzny układu (w przeciwieństwie do eksperymentów na pojedynczych nanodrutach, gdzie pole magnetyczne jest skierowane wzdłuż osi nanodrutu) staje się bardziej korzystne, ponieważ taka orientacja pola indukuje stany Majorany w każdej z gałęzi nanostruktury dla każdej gałęzi pole magnetyczne jest prostopadłe do efektywnego pola Rashby. Przy prostopadłym ułożeniu pola magnetycznego efekty orbitalne zaczynają odgrywać istotną rolę, a ich wpływ na długość zaniku funkcji falowej stanów Majorany jest przedmiotem pracy [H8]. Nasze badania pokazały, że efekty orbitalne pochodzące od prostopadłego pola magnetycznego nie tylko nie niszczą stanów Majorany, jak powszechnie sądzono, ale redukują ich długość zaniku, co jest korzystne z punktu widzenia zastosowań w obliczeniach kwantowych. W pracy rozpatrzono nanodrut półprzewodnikowy 2D charakteryzujący się silnym oddziaływaniem spin-orbita (InSb) w polu magnetycznym skierowanym prostopadle do osi nanodrutu. W zakresie słabego sprężenia nadprzewodnik/półprzewodnik możemy założyć, że w układzie indukuje się jednorodna przerwa nadprzewodzącą. Hamiltonian rozpatrywanego układu przyjmuje postać ( ) H = 2 k 2 /2m µ σ 0 τ z + σ 0 τ x + α(σ x k y σ y k x )τ z + E z σ z τ 0, (23) gdzie m to masa efektywna, µ to potencjał chemiczny, α to stała oddziaływania spin-orbita, E z = 1 2 gµ BB to energia rozszczepienia Zeemana, σ i (τ i ) to macierze Pauliego zdefiniowane odpowiednio w przestrzeni spinowej oraz przestrzeni elektron-dziura, zaś k = i + ea/ τ z to pęd kanoniczny - przyjęto cechowanie Lorentza A = [ yb, 0, 0]. W pracy [H8] wyprowadzono analityczną formułę na długość zaniku stanów Majorany uwzględniającą efekty orbitalne pochodzące od pola magnetycznego. W tym celu Hamiltonian (23) zapisano w bazie dwóch najniższych stanów nieskończonej studni potencjału, związanej z uwięzieniem elektronów w kierunku poprzecznym. Redukcja układu do modelu dwupasmowego wydaje się zasadna ponieważ, jak wykazały prace eksperymentalne, wytwarzanie stanów Majorany w nanodrutach półprzewodnikowych jest najbardziej efektywne przy obsadzeniu stanu podstawowego. Prostopadłe pole magnetyczne sprzęga jednak stany poprzeczne w skutek efektu paramagnetycznego ( k x yb) pochodzącego zarówno od wyrazu kinetycznego, jak i oddziaływania spin-orbita. Dla uproszczenia, w modelu uwzględniono tylko pierwszy stan wzbudzony, z którym sprzężenie stanu podstawowego jest największe. Hamiltonian układu w modelu dwupasmowym przyjmuje postać ( ) H11 H H = 12, (24) H 21 H 22 przy czym H 11(22) = H 1D + (E 1(2) + E dia 1(2) )σ 0τ z, (25) H 12 = H 21 = ε p k x σ 0 τ 0 + Ep SO σ y τ 0 + E SO σ x τ z, (26) gdzie E n = n 2 π 2 2 /2mW 2 to energia stanów elektronowych w nieskończonej studni potencjału o szerokości W, En dia = Ψ n y 2 Ψ n e 2 B 2 /2m to wyraz diamagnetyczny w n-tym podpasmie [ Ψ 1 y 2 Ψ 1 = (π 2 6)W 2 /12π 2 oraz Ψ 2 y 2 Ψ 2 = (2π 2 3)W 2 /24π 2 ], ε p = Ψ 1 y Ψ 2 eb /m =

31 31 16W eb /9mπ 2 to energia oddziaływania paramagnetycznego wynikająca z wyrazu kinetycznego, Ep SO = Ψ 1 y Ψ 2 αeb/ = 16W αeb/9 π 2 to energia oddziaływania paramagnetycznego wynikająca z Hamiltonianu spin-orbita, zaś E SO = iα Ψ 1 / y Ψ 2 = 8iα/3W to poprawka do energii stanu transwersalnego wynikająca z oddziaływania spin-orbita. W równaniu (25) H 1D = ( 2 kx 2 ) 2m µ σ 0 τ z + σ 0 τ x αk x σ y τ z + E Z σ z τ 0. (27) Zakładając, że E 2 jest największą energia w układzie, Hamiltonian dwupasmowy (24) możemy zredukować do efektywnego modelu jednopasmowego z poprawkami pochodzącymi od sprzężenia pomiędzy pasmami wynikającymi z efektów orbitalnych. Korzystając z przekształcenia H(E) = H 11 H 12 (H 22 E) 1 H 21, (28) otrzymujemy Hamiltonian (27) ze znormalizowaną masą efektywna m, potencjałem chemicznym µ oraz stałą oddziaływania spin-orbita α, które dane są wzorami 1 m = 1 m 2ε2 p 2 E 2, (29) µ = µ E 1 E1 dia + (ESO p E SO)2, (30) E 2 α = α + 2 ESO p ε p. (31) E 2 Długość zaniku stanów Majorany wyznaczamy analitycznie korzystając z modelu zaprezentowanego w pracy [73] ( ξ 1 2 ) 2 ( 2 ) 2 µ + α2 + α m m (Ez 2 2 µ 2 ). (32) Rysunek 20: Długości zaniku stanów Majorany ξ w zakresie topologicznym, w funkcji pola magnetycznego B dla dwóch wartości parametru α. Krzywa przerywana prezentuje wyniki uzyskane bez uwzględnienia efektu orbitalnego, krzywa przerywana kropką wyniki z uwzględnieniem efektu orbitalnego jedynie w wyrazie kinetycznym, natomiast krzywa ciągła z krzyżykami wyniki uzyskane z uwzględnieniem efektów orbitalnych pochodzących zarówno od wyrazu kinetycznego, jak i oddziaływania spin-orbita. [H8]. Na rys. 20 przedstawiony został wykres długości zaniku stanów Majorany w zakresie topologicznym, w funkcji pola magnetycznego dla dwóch wartości parametru α. Widzimy, że wprowadzenie efektów orbitalnych poprzez uwzględnienie potencjału wektorowego jedynie w wyrazie kinetycznym (krzywa przerywana kropkami) prowadzi do znaczącego zmniejszenia długości

32 32 zaniku ξ w stosunku do sytuacji, w której efekty orbitalne nie są uwzględniane (krzywa przerywana). Uwzględnienie efektów orbitalnych pochodzących zarówno od wyrazu kinetycznego jak i oddziaływania spin-orbita (krzywa ciągła z krzyżykami) osłabia uzyskany efekt. Jednakże i w tym przypadku, długość ξ pozostaje mniejsza od uzyskanej przy braku efektów orbitalnych. W pracy szczegółowo przeanalizowano wpływ poszczególnych wyrazów pochodzących od efektów orbitalnych na długość zaniku stanów Majorany. Ponadto, numeryczne obliczenia długości zaniku uwzględniające efekt sprzężenia z większą ilością podpasm pokazały, że zaobserwowany efekt zmniejszenia długości ξ jest znacznie silniejszy, niż to wynika z zaprezentowanego modelu dwupasmowego. Wyniki uzyskane w pracy [H8] stanowią zatem istotny krok w kierunku budowy topologicznych bramek logicznych opartych na układach hybrydowych półprzewodnik/nadprzewodnik. [H9] P. Wójcik, M. P. Nowak. Durability of the superconducting gap in Majorana nanowires under orbital effects of a magnetic field. Phys. Rev. B 97 (2018), Praca [H9] stanowi rozszerzenie badań przeprowadzonych w pracy [H8] na przypadek silnego sprzężenia półprzewodnik/nadprzewodnik. Ma ona zatem szczególne znaczenie w kontekście najnowszych eksperymentów z cienką powłoką nadprzewodnika Al nanoszoną epitaksjalnie na ściankach nanodrutu półprzewodnikowego [40, 53]. W pracy [H9] zbadano wpływ efektu orbitalnego na wartość wyindukowanej przerwy nadprzewodzącej pokazując, że poprawny sposób uwzględnienia efektów orbitalnych wymaga minimalizacji energii swodobnej, co gwarantuje, że opisywany układ znajduje się w stanie stacjonarnym. Okazuje się bowiem, że poprzednie prace teoretyczne [74, 75] dotyczące wpływu efektu orbitalnego pokazują, że niewielkie odchylenie pola magnetycznego od osi nanodrutu skutkuje zamknięciem przerwy nadprzewodzącej, a tym samym zniszczeniem fazy topologicznej. W trakcie badań zauważyliśmy, że powyższy wniosek wynika z uwzględnienia efektów orbitalnych poprzez zastosowanie cechowania, które nie gwarantuje stacjonarności układu, tzn. w układzie płynie prąd nadprzewodzący. Rysunek 21: (a)(c)topologiczna przerwa nadprzewodząca w funkcji pola magnetycznego B oraz potencjału chemicznego µ. (b)(d) Relacje dyspersji E(k) wyznaczone dla µ = 2.3 mev oraz B = 0.4 T. Górny wiersz: wyniki dla układu umieszczonego symetrycznie względem osi x. Dolny wiersz: wyniki uzyskane dla układu umieszczonego niesymetrycznie względem osi x. [H9]. W pierwszej części pracy [H9] rozpatrzono nanodrut 2D z polem magnetycznym przyłożonym prostopadle do nanodrutu, zakładając cechowanie Lorentza A = [ yb, 0, 0]. Potencjał wektorowy A uwzględniono poprzez odpowiednie podstawienie Peierlsa t n,m t n,m exp ( i e Adl).

33 33 Dla przypadku, w którym nanodrut umiejscowiony jest symetrycznie względem osi x, wartość przerwy topologicznej w funkcji pola magnetycznego oraz potencjału chemicznego przedstawiono na rys. 21(a). Wartość wyznaczona została w oparciu o relacje dyspersji E(k), jak zaprezentowano na rys. 21(b). Następnie, przy ustalonym cechowaniu przesunięto układ tak, by był on położony niesymetrycznie względem osi x. Widzimy, że relacje dyspersji E(k) ulegają przechyleniu w skutek efektu orbitalnego [rys. 21(d)]. W rezultacie, przerwa topologiczna ulega zamknięciu dla niewielkiego pola magnetycznego B. Na rys. 21(c) widzimy, że obszar parametrów dla których 0 uległ znacznej redukcji. Tak przeprowadzone obliczenia prowadzą do błędnej konkluzji, że efekty orbitalne pochodzące od pola magnetycznego zamykają przerwę topologiczną w zakresie parametrów, gdzie przerwa jest nadal otwarta [porównaj rys. 21(a) i (c)]. Podkreślmy, że powyższy eksperyment myślowy nie ma nic wspólnego z łamaniem symetrii cechowania, tzn. odpowiednia transformacja cechowania nie zmienia wyników, ale nie odpowiada również na pytanie, który z zaprezentowanych wykresów (a) czy (c) jest poprawny fizycznie. Okazuje się bowiem, że wynik, jaki otrzymujemy po przesunięciu układu, spowodowany jest niezerowym prądem nadprzewodzącym j c, wynikającym z przyjętego cechowania. A zatem, wyniki zaprezentowane na panelach (c) i (d) opisują stan wzbudzony z j c 0. Jak pokazaliśmy w pracy [H9], poprawne uwzględnienie efektów orbitalnych w stanie stacjonarnym wymaga, aby j c = 0. Cechowanie realizujące ten warunek można uzyskać poprzez minimalizację energii swobodnej, która dla temperatury T = 0 sprowadza się do minimalizacji energii kondensacji, zdefiniowanej jako różnica energii układu w stanie nadprzewodzącym i normalnym. Zakładając cechowanie w postaci A = [ (y y 0 )B, 0, 0] wykonaliśmy obliczenia energii kondensacji w funkcji parametru y 0 dla układu niesymetrycznego względem osi x, zaprezentowanego na z rys. 21(c). Rysunek 22: Energia kondensacji ε w funkcji parametru y 0 obliczona dla układu przedstawionego na rys. 21(c). [H9]. Wykres energii kondensacji ε w funkcji y 0 (rys. 22) jednoznacznie pokazuje, że warunek minimum energii ε uzyskuje się dla punktu y 0, który odpowiada środkowi nanodrutu wzdłuż osi y. Obliczenia wykonane dla tak zadanego cechowania pokrywają się z wynikami przedstawionymi na rys. 21(a). Oczywiście, dla rozpatrywanego przypadku translacji układu jednorodnego, postać pola wektorowego można łatwo odgadnąć. Niemniej jednak, inne formy złamania symetrii układu np. poprzez przyłożenie poprzecznego pola elektrycznego (przypadek ten zaprezentowano w pracy [H9]), wymagają wyznaczenia potencjału wektorowego poprzez minimalizację energii swobodnej. Z eksperymentalnego punktu widzenia najistotniejszym z układów ze złamaną symetrią przestrzenną jest nanodrut półprzewodnikowy z cienką warstwą aluminium Al naniesioną na ścianki nanodrutu. W pracy [H9] opracowano model numeryczny do wyznaczania efektywnej przerwy nadprzewodzącej w zakresie silnego sprzężenia półprzewodnik/nadprzewodnik, z uwzględnieniem efektów orbitalnych oraz znacznej różnicy masy efektywnej i potencjału chemicznego pomiędzy nadprzewodnikiem i półprzewodnikiem. Poprzez odpowiedni dobór potencjału bramki oraz energii przesunięcia pasmowego pomiędzy materiałami, rozpatrywany układ (rys. 23) ustawiono tak, aby wartość wyindukowanej przerwy w półprzewodniku była zbliżona do przerwy energetycznej

34 34 Rysunek 23: Energia kondensacji ε w funkcji parametru y 0 obliczona dla układu hybrydowego półprzewodnik/nadprzewodnik przedstawionego na rysunku wewnętrznym. [H9]. Rysunek 24: Relacje dyspersji E(k) dla układu hybrydowego półprzewodnik/nadprzewodnik wyznaczone dla pola magnetycznego (a) B = 0.2 T oraz (b) B = 0.4 T. [H9]. w obszarze nadprzewodnika - wartość taką uzyskuje się w wyniku pomiarów. Jak pokazano w pracy [H9], jest to możliwe jedynie w przypadku, gdy najniższy energetycznie stan elektronowy w nanodrucie półprzewodnikowym ulega silnemu sprzężeniu z jednym ze stanów nadprzewodnika. Dla tak dobranego układu zbadano wpływ efektów orbitalnych na wartość wyindukowanej przerwy nadprzewodzącej. W celu poprawnego uwzględnienia efektów orbitalnych, które zapewnia stacjonarność układu (j c = 0), dokonano minimalizacji energii kondensacji zakładając cechowanie w postaci A = [ (y y 0 )B, 0, 0]. Jak pokazuje rys. 23, minimum energii ε odpowiada y 0 położonemu dokładnie w środku nadprzewodnika. Tak przyjęte cechowanie skutkuje przechyleniem relacji dyspersji dla stanów w półprzewodniku, związane z efektem orbitalnym (rys. 24). Uzyskana z obliczeń numerycznym wartość pola krytycznego B c = 0.4 T, dla której przerwa ulega zamknięciu (założono grubość Al ok. 10 nm, co odpowiada grubości stosowanej w eksperymentach) zgadza się z wartością pola krytycznego uzyskaną w wyniku pomiarów [45]. [H10] P. Wójcik, A. Bertoni, G. Goldoni. Tuning Rashba spin-orbit coupling in homogeneous semiconductor nanowires. Phys. Rev. B 97 (2018), We wszystkich pracach zaprezentowanych powyżej wartość stałej oddziaływania spin-orbita odgrywa kluczową rolę. Z jednej strony, możliwość zmiany tego parametru za pomocą zewnętrznych potencjałów bramek daje możliwość kontroli spinu w nanourządzeniach spintroniki, z drugiej, w przypadku stanów Majorany, wartość stałej oddziaływania Rashby determinuje wielkość przerwy topologicznej. Dlatego w swojej kolejnej pracy [H10] zająłem się obliczeniami stałej oddziaływania spin-orbita typu Rashby w nanodrutach półprzewodnikowych. Praca [H10] jest efektem mojej aktualnej współpracy z grupą teoretyków z Uniwersytetu w Modenie, w ramach której zajmujemy się obliczeniami własności elektronowych nanodrutów półprzewodnikowych o

35 35 strukturze rdzeniowo-powłokowej. W pracy [H10] zastosowano 8-pasmowy model k p zaadoptowany do opisu nanodrutów półprzewodnikowych, w celu wyznaczenia stałej oddziaływania Rashby dla różnych konfiguracji bramek. Wyprowadzony z tym modelu Hamiltonian oddziaływania Rashby dla elektronów przewodnictwa przyjmuje postać przy czym H SO = (α x σ x + α y σ y )k z, (33) α x (x, y) = 1 3 P 2 ( 1 E 2 0 α y (x, y) = 1 3 P 2 ( 1 E 2 0 ) 1 V (x, y) (E ) 2, (34) y ) 1 V (x, y) (E ) 2, (35) x gdzie E 0 to przerwa energetyczna, 0 to energia rozszczepienia spinowego w pasmie walencyjnym, V (x, y) to samouzgodniony potencjał będący sumą potencjału Hartree oraz potencjału pochodzącego od zewnętrznych bramek, zaś P to stała sprzężenia pomiędzy pasmem przewodnictwa oraz pasmem walencyjnym. Wartość międzypasmowej oraz wewnątrzpasmowej stałej Rashby definiuje się jako αx(y) nm = ψ n (x, y)α x(y) (x, y)ψ m (x, y)dxdy, (36) gdzie ψ n (x, y) to funkcja falowa stanu n związana z ograniczeniem ruchu elektronów w kierunku poprzecznym. Obliczenia prowadzone były w dwóch zakresach: (i) przy stałym potencjale chemicznym, µ = const, oraz (ii) przy stałej koncentracji elektronowej, n e = const, które odpowiadają dwóm różnym warunkom przeprowadzanych eksperymentów. W opracowanym modelu teoretycznym oddziaływanie elektronowe uwzględnione zostało w modelu pola średniego poprzez zastosowanie procedury Schrödingera-Poissona. W pracy rozpatrzono nanodruty w kierunku wzrostu [111] o strukturze blendy cynkowej. Zachowana symetria inwersji w tym kierunku powoduje, że oddziaływanie Dresselhausa jest pomijalnie małe. Rysunek 25: Stała oddziaływania Rashby αx 11 oraz αy 11 w funkcji napięcia bramki V g dla trzech różnych konfiguracji bramek przedstawionych schematycznie w lewym górnym rogu każdego z rysunków. Rysunki wewnętrzne przedstawiają rozkłady koncentracji elektronowej obliczone dla napięć V g = 0.4, 0, 0.4 V. [H10]. Pierwsze obliczenia przeprowadzono dla nanodrutów z GaAs, który mimo że nie charakteryzuje się dużym oddziaływaniem SO, jest ważnym materiałem z punktu widzenia zastosowań elektronicznych. Na rys. 25 przedstawione zostały współczynniki Rashby w funkcji napięcia bramki dla różnych konfiguracji bramek. Dla V g = 0 współczynniki Rashby αx 11 = αy 11 = 0, co

36 36 wynika z symetrii inwersji charakteryzującej układ. Przyłożenie napięcia do elektrod bramek łamię symetrię, prowadząc do niezerowej wartości współczynników Rashby. Zauważmy, że niektóre z konfiguracji bramek zachowują symetrię względem osi y, co w rezultacie prowadzi do αy 11 = 0 w całym zakresie przyłożonego napięcia. Silna asymetria współczynnika Rashby αx 11 w funkcji V g widoczna na rys. 25 jest wynikiem wzajemnej interakcji pomiędzy potencjałem uwięzienia, oddziaływaniem elektronowym oraz potencjałem elektrostatycznym pochodzącym od zewnętrznych bramek. Ich wzajemne oddziaływanie zostało szczegółowo wyjaśnione w pracy [H10] w oparciu o samouzgodnione profile potencjału oraz rozkłady gęstości ładunku. Nasze obliczenia przeprowadzone w zakresie stałej koncentracji elektronowej, dla konfiguracji dolnej bramki, pokazały bardzo interesujące zachowanie stałej Rashby wokół V g = 0. Okazuje się, że dla dużych koncentracji elektronów stała Rashby αx 11 gwałtownie zmienia znak w wąskim zakresie napięć wokół V g = 0, jak zaprezentowano na rys. 26(a). Co ciekawe, szybkość zmian sta- Rysunek 26: (a) Stała oddziaływania Rashby αx 11 w funkcji napięcia bramki V g dla różnych koncentracji elektronowych. (b) Wykres szybkości zmian stałej Rashby χ = dαx 11 /dv g Vg=0 w funkcji koncentracji elektronowej n e. [H10]. łej Rashby χ = dα 11 x /dv g dla V g = 0 zmienia się nieliniowo w funkcji koncentracji elektronowej [rys. 26(b)]. Zachowanie przedstawione na rys. 26(a) jest wynikiem oddziaływania elektronowego. Dla niskich koncentracji n e, oddziaływanie Hartree jest znikomo małe. Gęstość elektronowa zlokalizowana jest w centralnej części nanodrutu, a przyłożone napięcie zaburza symetryczny rozkład elektronów w nanodrucie jedynie w niewielkim stopniu, powodując powolny wzrost stałej oddziaływania Rashby w funkcji napięcia V g. Dla dużych wartości n e wzajemne odpychanie elektronów jest na tyle silne, że elektrony akumulują się głównie w pobliżu ścian nanodrutu oraz w jego rogach. Symetryczna lokalizacja ładunku w rogach nanodrutu może być łatwo zniszczona poprzez wprowadzenie do układu nawet niewielkiej asymetrii - w naszym przypadku asymetria ta związana jest z potencjałem bramki. Wówczas stan podstawowy staje się silnie asymetryczny prowadząc do znaczącego wzrostu stałej oddziaływania Rashby wokół V g = 0. W pracy [H10] opisywany mechanizm został poparty analizą rozkładu koncentracji ładunku oraz samouzgodnionego profilu potencjału. W drugiej części pracy [H10], opracowany model teoretyczny zastosowany został do wyznaczenia stałej Rashby dla układu eksperymentalnego przedstawionego w pracy [31], w którym zmierzona wartość stałej oddziaływania Rashby dla nanodrutu InSb wyniosła α = me- Vnm. Obliczenia zostały przeprowadzone dla układu odpowiadającego przedstawionemu w eksperymencie, z zachowaniem parametrów geometrycznych - nanodrut InSb z dwiema bramkami, górną oraz dolną, oddzielonymi od nanodrutu warstwami dielektryków o określonych grubościach [rys. 27(a)]. Na rys. 27(b)(c) przedstawione zostały wykresy stałej oddziaływania Rashby αx 11 w funkcji napięcia bramki dolnej V bg oraz górnej V tg. Rozpatrywane zakresy napięć odpowiadają zastosowanym w eksperymencie. Zauważmy [rys. 27(b)], że stała Rashby zmienia się w funkcji potencjału dolnej bramki jedynie w niewielkim zakresie, co wynika z silnego ekranowania pola

37 37 Rysunek 27: (a) Schemat rozpatrywanego nanourządzenia odpowiadający przedstawionemu w eksperymencie [31]. (b),(c) Stała oddziaływania Rashby αx 11 w funkcji potencjału bramki dolnej V bg (przy V tg = 0) oraz górnej V tg (przy V bg = 0). (d) Mapa αx 11 w funkcji V bg oraz V tg. [H10]. elektrycznego pochodzącego od tej bramki grubą warstwą dielektryka SiO 2 (d SiO2 = 285 nm). Dla V bg = 0 stała oddziaływania Rashby αx 11 0, co wynika z asymetrii wprowadzonej do układu poprzez asymetryczne umiejscowienie bramek. Znacznie lepszą kontrolę stałej Rashby otrzymujemy poprzez zmianę potencjału górnej bramki, silnie sprężonej z nanodrutem poprzez cienką warstwę dielektryka. Jak pokazano na rys. 27(c) przyłożenie dodatniego napięcia do górnej elektrody zmienia stałą αx 11 w szerokim zakresie. Zauważmy, że dla napięć stosowanych w eksperymencie otrzymujemy wartość stałej Rashby odpowiadającą wartości eksperymentalnej α = mevnm. Opracowany model teoretyczny daje zatem wyniki zgodne z eksperymentem. W pracy [H10] poza wewnątrzpasmowymi stałymi oddziaływania SO zbadano również zachowanie stałych międzypasmowych. Okazało się, że dla pewnych geometrii eksperymentu i wysokich koncentracji elektronowych, międzypasmowa stała oddziaływania Rashby osiąga wartości zbliżone do stałej wewnątrzpasmowej. [H11] P. Wójcik, A. Bertoni, Goldoni G. Enhanced Rashba spin-orbit coupling in core-shell nanowires by the interfacial effect. Appl. Phys. Lett. 114 (2019), Moje badania nad oddziaływaniem spin-orbita w nanodrutach półprzewodnikowych zostały rozszerzone na druty o strukturze rdzeniowo-powłokowej. W pracy [H11] pokazaliśmy, że w nanodrutach InAs/InAs 1 x P x składowa oddziaływania SO związana z występowaniem międzypowierzchni (αr int ), pomiędzy rdzeniem a zewnętrzną powłoką może być większa od składowej elektrostatycznej (αr V ), wynikającej z pola elektrycznego wytwarzanego przez potencjały bramek [rys. 28(a)]. Jak pokazano na rys. 28(b), współczynnik αr int/αv R zależy od składu powłoki, który determinuje wysokość bariery potencjału pomiędzy rdzeniem a powłoką. Dla pewnego zakresu x wysokość bariery potencjału jest na tyle mała, że elektron wnika w obszar powłoki, powodując wzrost stałej Rashby, związany z silnym polem elektrycznym na styku obu materiałów. Wzrost stałej oddziaływania SO w drutach o strukturze rdzeniowo-powłokowej został zaob-