Ekonometria I Temat 4. Modele nieliniowe. Karolina Konopczak & Michał Rubaszek Szkoła Główna Handlowa w Warszawie

Transkrypt

1 Ekonometria I Temat 4. Modele nieliniowe Karolina Konopczak & Michał Rubaszek Szkoła Główna Handlowa w Warszawie 1

2 Wprowadzenie Teoria ekonomiczna rzadko określa dokładną formę postaci funkcyjnej zależności między zmiennymi modelu. Postać liniowa jest jedynie przybliżeniem dla relacji nieliniowych, które zazwyczaj jest wystarczające jeżeli wnioskowanie jest prowadzone dla wąskiego przedziału zależności. Zatem: specyfikacja liniowa jest często punktem wyjścia do modelowania zależności między zmiennymi ekonomicznych. Ale: nieuwzględnienie nieliniowości może stanowić błąd specyfikacji (co prowadzi do obciążonych oszacowań i niedokładnych prognoz) Zagadnienia omawiane na zajęciach: 1. Jak wykryć błąd specyfikacji? 2. Jak usunąć błąd specyfikacji, zmieniając postać funkcyjną modelu? 3. Jak porównać konkurencyjne specyfikacje nieliniowe? 4. Jak interpretować parametry w modelach nieliniowych? 5. Jak modelować niestabilność parametrów (w czasie lub między obserwacjami)? 2

3 Błąd specyfikacji Rodzaje błędów specyfikacji: pominięcie istotnej zmiennej (zbyt uboga specyfikacja) włączenie nieistotnej zmiennej (zbyt obszerna specyfiakcja) zła postać funkcyjna modelu błąd pomiaru zmiennych Zła specyfikacja może mieć poważne konsekwencje! Na przykład, pominięcie istotnej zmiennej powoduje, że estymator dla: stałej błędów szacunku oraz - jeżeli pominięta zmienna jest skorelowana z regresorami - parametrów strukturalnych jest obciążony i niezgodny 3

4 Błąd specyfikacji Jak wykryć błąd specyfikacji? To zależy od rodzaju błędu. Najczęściej używane testy: Test Hausmana Test RESET, tj. test Ramsey'a Test pominiętej zmiennej (omitted variable) Wybór testu wymaga wstępnego ustalenia źródła błędu specyfikacji. Tak więc warto spojrzeć na odpowiednie wykresy przed przeprowadzeniem testów oraz poprawieniem specyfikacji modelu 4

5 Błąd specyfikacji \ Modelowanie danych wymaga wydobycia informacji z szumu. Model ekonometryczny działa jak filtr. To, co pozostało po przefiltrowaiu danych, powinno być czysto losowe. Wszelkie nielosowe wzorce dla reszt modelu wskazują na błąd specyfikacji. Zatem: spójrz na reszty modelu. Stała średnia, stała wariancja, brak zmiany strukturalnej 5

6 Błąd specyfikacji serie dodatnich i ujemnych reszt rosnąca zmienność (wariancja) obserwacje nietypowe: grube ogony zmiana średniej 6

7 Stages of econometric model building Postawienie hipotezy badawczej Wybór postaci funkcyjnej Zebranie danych Estymacja Weryfikacja Zastosowanie 7

8 Nieliniowości Różne rodzaje nieliniowości: "krzywoliniowość" (pochodna względem nie jest stałą) asymetria reakcji na wzrosty / spadki zmiany strukturalne w czasie w zależności od reżimu sezonowość Metody uwzględnienia nieliniowości w modelu ekonometrycznego: przekształcanie zmiennych w ramach regresji liniowej (potęgi, logarytmy, odwrotności) wprowadzenie zmiennych binarnych i interakcyjnych modele przełącznikowe (switching models) modele progowe (threshold models) regresje nieparametryczne itd. 8

9 Nieliniowości Teoria często wskazuje na możliwe odstępstwa od liniowości w ekonomii, np.: malejąca krańcowa skłonność do konsumpcji wpływ dodatkowego dochodu na konsumpcję spada wraz z dochodem Krzywa Laffera "zgarbiona" zależność między stawkami podatkowymi a dochodami budżetu Metoda rakiet i piór przy ustalaniu ceny ceny reagują szybciej ( jak rakiety ) na wzrost kosztów niż ( jak pióra ) na ich spadek Krzywa uśmiechu w globalnych łańcuchach wartości dodanej (global value chains) dwa końce łańcucha - badania i rozwój oraz marketing dają większą marżę niż środkowa część łańcucha - produkcja 9

10 Nieliniowości zmienia się z w stałym tempie zmienia się z w malejącym tempie zmienia się z w rosnącym tempie zmienia się z w zmiennym tempie 10

11 Nieliniowości Jak podsumować nieliniową zależność między zmiennymi? Efekt krańcowy Interpretacja: zmiana wywołana jednostkową zmianą ME / Elastyczność Interpretacja: procentowa zmiana wywołana procentową zmianą E / / / ln ln ME / 11

12 Nieliniowości Efekt krańcowy można zilustrować nachyleniem stycznej do krzywej (tj. pochodnej) w danym punkcie:: W relacjach liniowych efekt krańcowy jest stały, w nieliniowych zmienny 12

13 Nieliniowości Czy nieliniowości można włączyć do regresji MNK? nieliniowość względem zmiennych TAK np. funkcja kwadratowa: nieliniowość względem parametrów NIE np. wykładnicza funkcja wzrostu: Popularne transformacje stosowane w regresjach MNK: potęgi:,, logarytmy: ln odwrotności:! Jak oszacować parametry w modelach nieliniowych względem zmiennych, np.: zauważ, że ", gdzie " użyj estymatora MNK 13

14 Nieliniowości Jak wybrać właściwą postać nieliniową modelu? Łatwo, jeśli modele są zagnieżdżone, np.: model (I): # # # model (II): # # # # testujemy $ :# 0 Trudniej, jeśli modele nie są zagnieżdżone, np.: model (I): model (II): ln kryteria wyboru modelu (ale: brak rygoru statystycznego!) kryteria informacyjne (zmienna zależna i próba muszą być takie same) skorygowane' podejście kompleksowe określić model zawierający wszystkie możliwe nieliniowości + regresja krokowa (ale: współliniowość!) + procedury data science (regresja penalizowana, np. LASSO) + test Davidsona-MacKinnona 14

15 Nieliniowości Uwagi ogólne: 1. Nigdy nie poznamy prawidłowej zależności funkcjonalnej między zmiennymi. 2. Jedynie próbujemy wybrać zadowalającą formę funkcjonalną, tj. taką, która: jest zgodny z teorią ekonomii jest dobrze dopasowana do danych dla której spełnione są założenia twierdzenia Gaussa-Markowa 3. Modele można porównać na podstawie kryteriów wyboru tylko wtedy, gdy mają tę samą zmienną zależną 15

16 Modele wielomianowe Funkcja kwadratowa: /0 00 () *! /! 2, Funkcjasześcienna: () *! /! 2 3, Wielomiany wyższego rzędu:.. 16

17 Modele wielomianowe: przykład Na podstawie danych z pliku cps5.gdt oszacowano parametry modelu objaśniającego płace godzinowe -- wage [$] przez wykształcenie -- educ [lata] oraz wiek -- age [lata] and age2. Wyniki regresji to: Model: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje Zmienna zależna (Y): wage współczynnik błąd std t-studenta wartość p const 35,022 1,658 21,12 7,03e-097 *** educ 2,342 0,052 44,62 0,0000 *** age 1,038 0,073 14,15 5,23e-045 *** sq_age 0,010 0,000 11,65 3,56e-031 *** Średn.aryt.zm.zależnej 23,46008 Odch.stand.zm.zależnej 16,07305 Suma kwadratów reszt Błąd standardowy reszt 14,31377 Wsp. determ. R-kwadrat 0, Skorygowany R-kwadrat 0, Pytania: 1. jaki jest wpływ wieku na wynagrodzenie dla osoby w wieku 50 lat? 2. Dla jakiego wieku płace są najwyższe? 3. Jak najlepiej zmierzyć związek między płacą a wiekiem? 17

18 Logarytmy Właściwości funkcji logarytmicznych Dodatnie argumenty: ln2, 200. Iloczyn: ln 24 ln2ln4 Iloraz: ln 2/4 ln25ln4 Potęga: ln 2 6 7ln2 Funkcja wykładnicza: ln ln and 89 Zmiany logarytmów Changes in logariths are proxy for percentage changes: I;<=>?>=<@AB@ CD;E: procentowa zmiana. Dlaczego? ln 1 ln Δln dla małych zmian A zatem: ln ] dla małych zmian Ważne: logarytmy są często używane do regularyzacji w przypadku bardzo dużych wartości. 18

19 Logarytmy Logarytmy często stosuje się w modelowaniu : płac dochódu cen przedaży wydatki ect. funkcja gęstości dla X tj., zmiennych, których wartości są: dodatnie dodatnio skośne (z długim ogonem po prawej) Po transformacji logarytmicznej takie zmienne mają rozkład normalny funkcja gęstości dla ln X 19

20 Logarytmy Model liniowy Specyfikacja: Postać wyjściowa: Efekt krańcowy: Elastyczność: Interpretacja : # brak () *! /! ) *! /! / 1 Model Log-liniowy (log-lin) Specyfikacja: ln # Postać wyjściowa: ^!_! Efekt krańcowy: Elastyczność: () *! /! ) *! /! Interpretacja : 1 `*! *! 100% 20

21 Logarytmy Model liniowo-logarytmiczny (lin-log) Specyfikacja: #ln Postać wyjściowa: brak Efekt krańcowy: () *! /! / Elastyczność: ) *! /! / Interpretacja : Δln ]!! 0.011% /100 Model log-log Specyfikacja: ln #ln Postać wyjściowa: ^89!_! ^ _! Efekt krańcowy: () *! /! / Elastyczność: ) *! /! Interpretacja : `!! 1% `*! *! % 21

22 Logarytmy: przykład Na podstawie danych z pliku cps5.gdt oszacowano parametry 3 modeli wyjaśniających płace godzinowe -- wage [$] przez wykształcenie -- educ [lata]. Wyniki regresji to: Model A: Zmienna zależna (Y): wage współczynnik błąd standardowy t-studenta wartość p const 49,7269 1, ,02 3,50e-155 *** l_educ 27,7830 0, ,92 0,0000 *** Model B: Zmienna zależna (Y): l_wage współczynnik błąd standardowy t-studenta wartość p const 1, , ,43 0,0000 *** educ 0, , ,28 0,0000 *** Model C: Zmienna zależna (Y): l_wage współczynnik błąd standardowy t-studenta wartość p const 0, , , ,9516 l_educ 1, , ,90 0,0000 *** Pytania: 1. Jaka jest interpretacja oszacowań dla zmiennej educ /l_educ? 2. Jakie są efekty krańcowe / elastyczność dla osoby z 10-letnim wykształceniem? 22

23 Test specyfikacji Ramsey a(reset) RESET = regression specification error test (Ramsey, 1969) Cel: wykrycie błędu specyfikacji dla postaci liniowej modelu Logika testu: dodanie wielomianów wartości teoretycznych regresji MNK (b ) do pierwotnej specyfikacji model liniowego w celu wykrycia bardziej ogólnej postaci zależności b ib są po prostu nieliniowymi funkcjami regresorów dodanie ich zamiast przekształconych regresorów ogranicza spadek liczby stopni swobody 23

24 Test specyfikacji Ramsey a(reset) Etapy Stages of testu RESET RESET test 1. Oszacuj model wyjściowy: " 2. Oblicz wartości dopasowane: b c c c " 3. Oszacuj model pomocniczy: " d b d b 4. Zweryfikuj hipotezę zerową: H :γ γ 0 za pomocą testu g-walda (lub testu h() Uwaga: jeśli liczba obserwacji jest wysoka, to można przeprowadzić następującą regresję pomocniczą zamiast testu RESET: " d d d " d i " d j " d k " d l " $ :d d d d i d j d k d l 0 24

25 RESET test: przykład Na podstawie danych z pliku cps5.gdt oszacowano parametry 3 modeli wyjaśniających płace godzinowe -- wage [$] przez wykształcenie -- educ [lata]. Wyniki regresji testu RESET są następujące: Pomocnicze równanie regresji dla testu specyfikacji RESET Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje Zmienna zależna (Y): wage współczynnik błąd standardowy t-studenta wartość p const 13,7418 2, ,238 1,66e-07 *** educ 0, , ,355 0,0185 ** exper 0, , ,644 0,0082 *** yhat^2 0, , ,635 6,77e-018 *** yhat^3 0, ,34970e-05 5,736 1,00e-08 *** Statystyka testu: F = 83,270688, z wartością p = P(F(2,9794) > 83,2707) = 1,38e-036 Pytanie: jaka jest decyzja na podsatwie przeprowadzonego testu? 25

26 Zmienna binarna / zero-jedynkowa Zmienne binarne są wprowadzane, jeśli zakładamy, że wartości stałej różnią się dla niektórych obserwacji w próbie. Zdefiniujmy m jako podzbiór obserwacji (np. kobiety, cudzoziemcy, osoby posiadające dzieci, nieruchomości zlokalizowane w centrum miasta, miesiące zimowe) Zmienna binarna / zero-jedynkowa przyjmuje postać: n o 1 dla p m 0 dla p m Dla modelu sn, parametr s mierzy różnicę wartości w dwóch podpróbach 26

27 Zmienna binarna / zero-jedynkowa Przykład: tuv s n wxy n o 1 dla mężczyzn 0 dla kobiet s mierzy różnicę między średnim wynagrodzeniem mężczyzn i kobiet (kontrolując poziom wykształcenia), tj. opisuje stopień dyskryminacji na rynku pracy ze względu na płeć )tuv ~ s wxy dla mężczyzn wxy dla kobiet Możemy zatem sprawdzić, czy istnieją znaczące różnice w średniej płacy między mężczyznami i kobietami, których nie można wyjaśnić różnicami w poziomie wykształcenia $ :s 0 27

28 Zmienna binarna / zero-jedynkowa Współliniowość Zdefiniujmy n 15 n o 0 dla mężczyzn 1 dla kobiet oraz oszacujmy: tuv s n wxy uzyskamy: s 5s. Dlaczego? Wytłumacz. Czy możemy oszacować? i. tuv s n s n # wxy ii. tuv s n s n # wxy Jakich oszacowań oczekujesz? Zauważ, że n n 1 oraz przypomnij sobie założenia MNK (współliniowość) [Szersza dyskusja nt. współliniowości: Wykład 5] 28

29 Zmienna binarna / zero-jedynkowa: przykład Na podstawie danych z pliku cps5.gdt oszacowano parametry modelu wyjaśniającego płace godzinowe -- wage [$] przez wykształcenie -- educ [lata] oraz płeć female/male [dummies]. Wyniki regresji są następujące: Model A: Zmienna zależna (Y): wage współczynnik błąd standardowy t-studenta wartość p const 9, , ,99 2,81e-038 *** educ 2, , ,68 0,0000 *** female 4, , ,79 7,21e-043 *** Model B: Zmienna zależna (Y): wage współczynnik błąd standardowy t-studenta wartość p const 14,0740 0, ,58 3,86e-068 *** educ 2, , ,68 0,0000 *** male 4, , ,79 7,21e-043 *** Pytanie: jaki jest związek między parametrami modeli A i B? 29

30 Zmienne interakcyjne Skomplikujmy model i wprowadźmy zmienną interakcyjną: Nowa postać modelu: n o if p m 0 if p m sn d n Wartości dopasowane: ) o if p m if p m gdzie: s d Przesunięcie stałej (s Przesunięcie nachylenia (d) Zmienne interakcji służą do modyfikowania parametru nachylenia, gdy zakładamy, że charakter zależności między zmiennymi różni się między podpróbkami. 30

31 Zmienne interakcyjne Przykład Rozważmy model dla płac: gdzie n o 1 dla mężczyzn 0 dla kobiet tuv wxy sn d n wxy parameter d mierzy różnicę w średnich zwrotach z edukacji między mężczyznami i kobietami: )tuv o s dwxy dla mężczyzn wxy dla kobiet tuv wxy o d dla mężczyzn dla kobiet 31

32 Zmienne interakcyjne: przykład Na podstawie danych z pliku cps5.gdt oszacowano parametry modelu wyjaśniającego płace godzinowe -- wage [$] przez wykształcenie -- educ [lata] oraz płeć female [zmienna 0-1]. Wyniki regresji są następujące: Model: Zmienna zależna (Y): wage współczynnik błąd standardowy t-studenta wartość p const 9, , ,689 4,22e-022 *** educ 2, , ,62 2,20e-261 *** female 5, , ,373 0,0007 *** female_educ 0, , ,8048 0,4209 Pytanie: jak płeć wpływa na zależność między płacą i wykształceniem? 32

33 Zmienne interakcyjne Jeszcze trudniejszy przykład Zdefiniujmy n1 o 0 dla mężczyzn 1 dla kobiet, n2 o 0 dla krajana 1 dla imigranta a zatem: n1 D2 o 1 imigrantka 0 pozostali Dla modelu tuv s n1 s n2 s n1 n2 wxy )tuv c c wxy krajan c c wxy s imigrant c c wxy s krajanka c c wxy s s s imigrantka Krajanie (mężczyźni) są grupą referencyjną. s - mierzy efekt miejsca urodzenia, s - mierzy efekt płci, s - mierzy dodatkowy efekt miejsca urodzenia dla kobiet 33

34 Zmienne sezonowe Dummy variables are often used to account for seasonality in the regression model. Consider seasonal dummies for quarterly data: o 1 dla 1 0 pozostałe, o 1 dla 2 0 pozostałe, o 1 dla 3 0 pozostałe, i o 1 dla 4 0 pozostałe Wybież kwartał referencyjny, np.ˆ1 Oszacuj d d d i i Interpretacja: d - różnica między średnim poziomem zmiennej zależnej w ˆ2 oraz ˆ1 d - różnica między średnim poziomem zmiennej zależnej w ˆ3 orazˆ1 d i - różnica między średnim poziomem zmiennej zależnej w ˆ4 orazˆ1 34

35 Zmienne sezonowe: przykład Wykorzystując dane do sprzedaży e-commerce oszacowano parametry modelu wyjaśniającego dynamikę sprzedaży -- d_log_sales przez zmienne kwartalne. Wyniki oszacowań są następujące: Model 1: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 2000:1-2018:3 (N = 75) 0,4 Zmienna zależna (Y): d_l_ecomnsa 0,3 współ. błąd std. t-stud. wartość p const 0,279 0, ,41 2,26e-037 *** q1 0,448 0, ,19 2,77e-041 *** q2 0,243 0, ,86 4,91e-025 *** q3 0,246 0, ,04 2,65e-025 *** d_l_ecomnsa 0,2 0,1 0-0,1-0,2-0, Pytania: 1. Jakie jest średnie tempo wzrostu sprzedaży e-commerce w pierwszym kwartale? 2. Jakie jest średnie tempo wzrostu sprzedaży e-commerce w czwartym kwartale? 3. Jakie byłyby parametry modelu bez zmiennej q1 (a ze zmienną q4)? 35

36 Zadania 36

37 Zadania Zadanie 4.1. Student oszacował, że średnia liczba zadań ekonometrycznych, które może rozwiązać w ciągu godziny (efektywność, "), zależy od liczby godzin nauki w ciągu dnia (czas, h): " h50.02h a. Jaka jest średnia efektywność w rozwiązywaniu ćwiczeń, jeśli czas wynosi h 4. b. Jaki jest krańcowy wpływ godzin na efektywność:() Š/, jeśli h 4. c. Jaka jest elastyczność efektywności względem czasu przy h 4: ) Š/ d. Przy jakim czasie nauki efektywność jest najwyższa. e. Przelicz punkty a-d dla h 1,2 p 5 37

38 Zadania Zadanie 4.2. Popyt na pączki () w zależności od ceny ( ) wynosi: 36/ a. Zakładając, że = 2, oblicz poziom sprzedaży b. Jaki jest krańcowy wpływ ceny na sprzedaż: () / c. Oblicz poziom sprzedaży dla 3. d. Hipotetyczny poziom sprzedaży przy użyciu dla 3 wykorzystując informacje z punktów a i b. Porównaj wyniki z punktem c. e. Elastyczność sprzedaży względem ceny dla 2 oraz 3: ) / 38

39 Zadania Zadanie 4.3. Kwartalna sprzedaż lodów () wynosi: ˆ 4.0ˆ 51.5ˆi gdzie ˆ jest zmienną binarną, która przyjmuje wartość 1 dla kwartału p. a. Oblicz poziom sprzedaży w pierwszym kwartale b. Dokonaj interpretacji parametru znajdującego się przy zmiennej ˆ c. Wyjaśnij, dlaczego nie możemy dodać zmiennej ˆ do specyfikacji modelu. d. Jakie byłyby oszacowania parametrów, gdybyśmy zastąpili ˆi przez ˆ w zbiorze regresorów e. Czy wiesz, jakie byłyby oszacowania regresji (zmienną objaśnianą jest ln a nie ) ln d ˆ d ˆ 5d iˆi 39

40 Zadania Zadanie 4.4. Oszacowano model, w którym wyniki egzaminu maturalnego z matematyki (SCORE) są wyjaśnione przez: FATHER_EDU: FATHER_EDU: wykształcenie ojca (1 wyższe, 0 - inne) LN_INCOME: logarytm dochodu per capita gospodarstwa domowego GENDER: płeć (1 mężczyzna, 0 - kobieta) PRIVATE_SCHOOL: rodzaj szkoły (1 prywatna, 0 -publiczna) PRIVATE_GENDER: iloczyn GENDER i PRIVATE_SCHOOL TUTORING: liczba godzin korepetycji przed egaminem score Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] father_edu ln_income gender private_school private_gender tutoring tutoring_ _cons Gender Mean

41 Zadania 1. Zinterpretuj oszacowanie parametru przy FATHER_EDU. 2. Zinterpretuj oszacowanie parametru przy LN_INCOME. 3. Czy istnieją jakieś różnice w wynikach egzaminu między chłpcami i dziewczętami? 4. Na podstawie uzyskanych wyników doradź rodzicom, czy powinni wysłać swoje dziecko do prywatnej szkoły? Czy rekomendacja zależy od płci dziecka? 5. Czy rodzice powinni zapewnić dziecku możliwie jak najwięcej godzin korepetycji przed egzaminem? 6. Spróbuj naszkicować szacunkową zależność między liczbą godzin korepetycji a wynikiem uzyskanym na egzaminie. 41

42 Zadania Zadanie 4.5. W pliku utown.gdt znajdują się dane dotyczące cen domów - cena [1000 $], powierzchnia - sqft [100 sq. feet] oraz lokalizacji, tj. w pobliżu uniwersytetu -- utown=1 - lub daleko od uniwersytetu utown=0 1. Oszacuj następujące modele i zinterpretuj ich parametry M1: py, M2: py, sx t M3: py, sx t d, x t 2. Jaka jest interpretacja parametrów modelu z logarytmami? M4: ln py ln, M5: ln py ln, sx t 3. Czy sensowne jest uwzględnianie zmiennych interakcyjnych w modelu z logarytmami? M6: ln py ln, sx t d, x t 4. Spróbuj włączyć inne zmienne binarne do specyfikacji modelu. 42

43 Zadania Zadanie 4.6. Agencja nieruchomości Na swoim chce wprowadzić nową usługę doradczą, pozwalającą ocenić atrakcyjność ofert sprzedaży. Otrzymałeś zadanie zbudowania modelu wyceny nieruchomości. Model posłuży do ustalenia teoretycznej ceny mieszkań oferowanych na rynku. Porównując dopasowaną wartość z modelu z rzeczywistą ceną sprzedaży, będziesz w stanie ustalić, czy oferta jest atrakcyjna, a tym samym pomóc klientom w podjęciu decyzji o zakupie. Baza danych, na podstawie której ma być oszacowany model (housing_market.gdt), zawiera następujące zmienne: Cena powierzchnia (w metrach kwadratowych) piętro (0 oznacza parter, 1 - pierwsze piętro itp.) okres budowy: 0 - przedwojenna 1-40s-50s 2-60s-80s 3 - lata 90-te 4 - po 2000 r. budynek położony w centrum miasta (1 - tak, 0 - nie) w budynku jest winda (1 - tak, 0 - nie) 43

44 Zadania 1. Zbuduj model regresji liniowej dla cen mieszkań. Jakie wnioski można wyciągnąć z uzyskanych oszacowań. 2. Kierownictwo nie jest zadowolone z twojej pracy: uważa się, że dopasowanie jest zbyt niskie, aby zastosować model w praktyce. Postanawiasz zmienić specyfikację modelu. Obserwując rynek nieruchomości, zauważasz: małe mieszkania wydają się droższe za metr kwadratowy niż mieszkania większe, ludzie nie lubią mieszkać na parterze, mieszkania w centrum miasta wydają się stosunkowo drogie, cena za metr kwadratowy wydaje zależeć od okresu budowy: najtańsze mieszkania są dużych osiedlach wybudowanych w latach 60. i 80. ( wielka płyta ), a najdroższe te z ostatnich lat lub wybudowanych przed wojną 3. Zbuduj model, którego specyfikacja uwzględni twoje spostrzeżenia. 4. Czy tym razem kierownictwo będzie zadowolone z pracy? 44

45 Zadania Zadanie 4.7. Na podstawie pliku wage2.gdtustal, w jaki sposób płace zależą od wykształcenia, płci i narodowości. Użyj zmiennych interakcyjnych, specyfikacji liniowych oraz logarytmicznych. Definicja zmiennych jest następująca: wage wynagrodzenie miesięczne wynagrodzenie w PLN education wykształcenie w latach gender 0 dla mężczyzn, 1 dla kobiet nationality 0 dla Polaków, 1 dla imigrantów 45