PRZEDZIAŁOWE METODY OPTYMALIZACJI KONSTRUKCJI
|
|
- Stefan Cieślik
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Andrzej POWNUK PRZEDZIAŁOWE METODY OPTYMALIZACJI KONSTRUKCJI. Wprowadzenie W ostatnich latach można zaobserwować stale zwiększające się znaczenie metod numerycznych (zwanych także komputerowymi) w inżynierii lądowej [,2]. Stosowanie numerycznych modeli konstrukcji umożliwia również ich efektywną optymalizację. Zagadnienia optymalizacji obejmują bardzo szeroką klasę problemów jak np. optymalizacja ze względu na minimalny ciężar, minimalny koszt, maksymalną wytrzymałość, maksymalną niezawodność, optymalizację kształtu, optymalizacja wielokryterialna itp. Zagadnienie optymalizacji konstrukcji możemy sformułować następująco: Znaleźć minimalną wartość funkcjonału fx () () { przy warunkach ograniczających px () = 0 oraz qx () 0. W niniejszej pracy zajmę się przypadkiem, w którym funkcjonał f jest określony na przestrzeni R n n n m n r, tzn. f: R R, pr : R, qr : R. Metody poszukiwania globalnego minimum funkcji celu można podzielić na dwie grupy [3]. Pierwszą grupę stanowią heurystyczne metody, które pozwalają na znalezienie globalnego minimum jedynie z pewnym prawdopodobieństwem. Najważniejsze z nich, to algorytmy stochastyczne [4] oraz algorytmy genetyczne [5]. Drugą grupę stanowią metody pozwalające na znalezienie globalnego minimum z pewną znaną dokładnością. Oparte są one na technice zwanej branch and bound. Polega ona na podzieleniu obszaru poszukiwania na coraz mniejsze części i sprowadzeniu problemu globalnej optymalizacji do problemu optymalizacji dyskretnej dzięki podzieleniu go na skończoną liczbę podproblemów. Przykładami takich metod są algorytmy optymalizacji kombinatorycznej [3], metodę dc [3], metody optymalizacji oparte na arytmetyce przedziałowej [6-4] oraz metody oparte na oszacowaniu wartości funkcji przy pomocy warunku Lipschitza [3]. Celem pracy jest przedstawienie zastosowań algorytmu przedziałowej optymalizacji w mechanice konstrukcji. Algorytm ten umożliwia oszacowanie globalnego minimum dla dowolnej nieliniowej funkcji celu. Funkcjonał f(x) może być nieróżniczkowalny, a nawet nieciągły. Algorytm został już zaimplementowany w kilku programach komercyjnych [4]. Mgr inż., Politechnika Śląska
2 2. Podstawy matematyki przedziałowej Analiza przedziałowa jest działem matematyki zajmującym się badaniem własności działań na przedziałach liczbowych [6,0]. Zbiór wszystkich przedziałów liczbowych znajdujących się na osi rzeczywistej R oznaczymy przez I(R). Element zbioru I(R) oznaczymy przez: + [ x] = { x R x x } : x (2) W zbiorze przedziałów możemy wprowadzić działania arytmetyczne: [ x] + [ y] = [ x + y y ] + [ x] [ y] = [ x y + y ] [ x] [ y] = min{ x y, x y, x y, x y }, max{ x y, x y, x y, x y }, x (3), x (4) [ ] =, + x, x [ x] [ x] [ y] + [] x [ y ] = x + x mid( [ x] ) = (7) 2 n Naturalnym przedziałowe rozszerzenie funkcji f: R R, to przedziałowa funkcja fir! : IR, która powstaje z funkcji rzeczywistej poprzez zastąpienie wszystkich ( ) n ( ) zmiennych rzeczywistych x i odpowiednimi przedziałami [ x] i oraz wszystkich działań na liczbach rzeczywistych odpowiednimi działaniami przedziałowymi. Przykładowo gdy 2 fx () = x x, to!f([ x] ) = [ x] [ x] [ x]. Przedziałowe rozszerzenie funkcji nie jest określone jednoznacznie. Najważniejszą własnością naturalnego przedziałowego rozszerzenia funkcji jest następujące twierdzenie: { fx: () x [ x] } f! ([ x] ) (8) [ x] I( R) Przedziałowy układ równań liniowych jest to układ równań którego macierz układu i wektor wyrazów wolnych składa się z przedziałów liczbowych: [ a]... [ an ] [ b ] [ AX ] = [ B], gdzie [ A ] = , [ B ] =... (9) [ a ] [ a ] n... nn [ b n ] Rozwiązanie przedziałowego układu równań jest określone następująco: ([ A][, B] ) = { X R n : A [ A], B [ B] } (0) Rozwiązanie ([ A][, B] ) jest zwykle bardzo skomplikowanym zbiorem [9,] dlatego w zastosowaniach posługujemy się najmniejszym n-wymiarowym przedziałem, który zawiera w sobie rozwiązanie dokładne.. Przedziałowe układy równań są wykorzystywane w przedziałowej metodzie Newtona [], która umożliwia znalezienie wszystkich pierwiastków układu nieliniowych równań algebraicznych. Wspólną cechą wielu metod opartych na matematyce przedziałowej jest globalna zbieżność, uwzględnianie błędów zaokrągleń, przeprowadzanie obliczeń z tzw. gwarantowaną pewnością oraz możliwość operowania na funkcjach nieróżniczkowalnych, a nawet nieciągłych. (5) (6)
3 3. Algorytm przedziałowej optymalizacji globalnej n Niech dana jest funkcja : (,..., n) (,..., n) przedziały [ x][, x2] R n. Jeśli f [ x + ] f x 2 fr X x x fx x R! ( )! ( [ ] ) oraz dwa rozłączne < () to z własności naturalnego przedziałowego rozszerzenia funkcji f wynika, że globalne minimum funkcji f nie może znajdować się w przedziale [ x 2 ]. Powyższa własność jest podstawą algorytmu przedziałowej optymalizacji globalnej. Podstawowym algorytmem obliczeń metodą przedziałowej optymalizacji globalnej jest algorytm Moore-Skelboe a [3]. Niech [ x 0 ] oznacza przedział początkowy, w którym poszukujemy rozwiązania. Algorytm (Moore-Skelboe) y:= x0. ) Przyjąć [] [ ] 2) Obliczyć!f([ x ]). 3) Przyjąć y= f! ([ y] ). 4) Zainicjować listę L= ([ y] y) ( ),. 5) Wybrać współrzędną k wzdłuż której przedział [] y ma największą szerokość k i: max w( [] y ) = w( [ y] ) { } j i. j,...,n 6) Podzielić przedział [] y wzdłuż k -tej współrzędnej na dwa przedziały [ v][, v2]. 7) Obliczyć!f([ v ]),!f([ v 2 ]). 8) Przyjąć vi = f! ([ vi] ) dla i=,2. 9) Usunąć ([ y], y) z listy L. 0) Włączyć pary ([ v] v) ([ v2] v2) v i były w porządku niemalejącym.,,, do listy L w taki sposób aby elementy ) Oznaczyć pierwszą parę listy L jako ([ y] y) 2) Jeżeli kryteria zatrzymania obliczeń są spełnione, to idź do punktu 4. 3) Idź do punktu 5. 4) Stop. E.R. Hansen zmodyfikował algorytm tak, że oprócz wartości globalnego minimum f () min = min f x x [ X ] poszukiwał punktów x [ X ] 0 dla których funkcja celu przyjmuje wartość 0 minimalną. [7,3]. Umożliwiło to wykorzystanie algorytmu przedziałowej optymalizacji do rozwiązywania układów nieliniowych równań algebraicznych [7].,.
4 4. Procedury przyspieszające zbieżność algorytmu Rozważymy pewien przedział [ x ] leżący we wnętrzu przedziału początkowego [ x 0 ] ([ x] [ x 0 ]). Z własności przedziałowego rozszerzenia funkcji wynika, że gdy:!f([ x] ) 0 (2) x i to funkcja celu na pewno nie posiada globalnego minimum w przedziale [x] i możemy go odrzucić w dalszych obliczeniach. Jest to tzw. test monotoniczności. Okazuje się, że sprawdzanie nierówności () nie jest zawsze konieczne. Analogiczne rezultaty można uzyskać sprawdzając następujący warunek: ( ([ ] )) ([ 2] ) Gdy warunek (3) jest spełniony wtedy globalne minimum na pewno nie znajduje się w przedziale [ x 2 ] i możemy go odrzucić w dalszych obliczeniach. Jest to tzw. test punktu fmid x < f! x (3) środkowego. Test punktu środkowego przynosi tym lepsze efekty im wartość po lewej stronie nierówności (3) jest mniejsza. Dlatego do poszukiwania minimalnej wartości funkcji celu możemy wykorzystać inne algorytmy optymalizacyjne. Najczęściej korzysta się tutaj z algorytmów gradientowych. Jeżeli funkcja celu jest różniczkowalna oraz posiada lokalne minimum w punkcie x 0, to grad f( x 0 ) = 0 (4) Zatem jeśli równanie (4) nie posiada żadnego pierwiastka w przedziale [ x ], to globalne minimum na pewno nie znajduje się w tym przedziale i możemy go odrzucić w dalszych obliczeniach. Do znajdowania wszystkich pierwiastków równania (4) wykorzystujemy przedziałową metodę Newtona [7,]. Jeżeli funkcja celu jest klasy C 2, to warunkiem koniecznym wypukłości funkcji jest dodatnia określoność hesjanu funkcji celu. Warunkiem koniecznym dodatniej określoności hesjanu jest by wszystkie elementy diagonalne hii ( x0 ) były nieujemne. Dlatego gdy dla jakiegokolwiek i=,...,n hii ( x0 ) < 0 wtedy w punkcie x 0 funkcja celu f nie może mieć lokalnego ekstremum w punkcie x 0. Z własności naturalnego przedziałowego rozszerzenia!h x < 0, to globalne minimum nie może funkcji f wynika, że gdy dla jakiegokolwiek ii ([ ]) znajdować się w przedziale [ x ] i możemy go odrzucić w dalszych obliczeniach. Algorytm przedziałowej optymalizacji globalnej oparty jest na nierówności (). Efektywność algorytmu wzrasta gdy wartość przedziałowego rozszerzenia funkcji na przedziale [x] jest zbliżona do obrazu przedziału [x] poprzez odwzorowanie f. Dlatego zamiast naturalnego przedziałowego rozszerzenia funkcji f korzystamy z innych sposobów konstrukcji przedziałowego rozszerzenia [2]. Najważniejszym jest tzw. forma średnia T " f x = f x + x x f x x:= mid x (5) ( ) " " ([ ]) () ([ ] )! ' ([ ]), gdzie [ ] W celu przyspieszenia obliczania wartości pochodnych stosujemy techniki zwane automatycznym różniczkowaniem []. Czas obliczeń skraca się również po zastosowaniu algorytmów obliczeń równoległych.
5 5. Przykłady zastosowań Rozważymy kratownicę przedstawioną na rysunku. y L y 2 P x y Rys.. Optymalny kształt kratownicy-przykład Będziemy poszukiwali optymalnego kształtu kratownicy przedstawionej na rysunku. Zagadnienie to jest równoważne minimalizacji następującego funkcjonału: 4 f = N i L i (6) σ0 i= bez warunków ograniczających, przy czym symbol N i oznacza i-tą siłę osiową w pręcie, L i jest długością i-tego pręta, a σ 0 jest naprężeniem dopuszczalnym materiału z którego wykonany jest pręt. Przyjmujemy następujące dane liczbowe L= m, σ 0 = 90 MPa. Wyniki obliczeń przedstawia tablica. Tablica. Optymalne charakterystyki kratownicy przedstawionej na rysunku Eps P [kn] y [m] y 2 [m] A [ m 2 ] J min [ m 3 ] [-.0395, ] [-.0207, ] [ , ] [0.963,.0395] [ ,.0207] [ ,.03954] [ , ] [ , 0,000374] [ , ]
6 W drugim przykładzie będziemy poszukiwali kratownicy o minimalnym ciężarze zmieniając położenie węzła ( x w, yw ) (por. rys. 2). Po przyjęciu danych liczbowych L= m, σ 0 = 90 MPa wyniki obliczeń przedstawiono w tablicy 2. Tablica 2. Optymalne charakterystyki kratownicy przedstawionej na rysunku 2 P. Rozwiązanie optymalne 0 kn x w [m] y w [m] J [ m 3 ] minj [m 3 ] A [m 2 ] A 2 [m 2 ] A 3 [m 2 ] A 4 [m 2 ] Przedział zawierający rozwiązanie optymalne x [m] x + [m] y [m] y + [m] Liczba iteracji Pozostałe Maksymalna szerokość przedziału przedziały P. Rozwiązanie optymalne 00 kn x w [m] y w [m] J [ m 3 ] minj [m 3 ] A [ m 2 ] A 2 [ m 2 ] A 3 [ m 2 ] A 4 [ m 2 ] Przedział zawierający rozwiązanie optymalne x [m] x + [m] y [m] y + [m] Liczba iteracji Pozostałe Maksymalna szerokość przedziału przedziały P. Rozwiązanie optymalne 000 kn x w y w J [ m 3 ] minj [m 3 ] A [m 2 ] A 2 [m 2 ] A 3 [m 2 ] A 4 [m 2 ] Przedział zawierający rozwiązanie optymalne x [m] x + [m] y [m.] y + [m] Liczba iteracji Pozostałe Maksymalna szerokość przedziału przedziały
7 2L y x w L P y w x Rys. 2. Optymalny kształt kratownicy-przykład 2 6. Wnioski W optymalizacji konstrukcji bardzo często posługujemy się funkcjami celu, które nie są różniczkowalne. Przykładem takiej funkcji jest funkcjonał (6) ponieważ zawiera wartości bezwzględne sił osiowych N i, które to funkcje nie są różniczkowalne. Zatem nie można do jej optymalizacji bezpośrednio stosować tradycyjnych algorytmów wykorzystujących tę własność. W mechanice budowli bardzo często występują funkcje nieciągłe. Przykładem mogą tutaj być funkcje określające siły wewnętrzne oraz obciążenie powierzchniowe i objętościowe. Do optymalizacji nieciągłych oraz nieróżniczkowalnych funkcji celu można wykorzystywać algorytmy genetyczne, metodę bezgradientową Hooke a-jeevesa, metodę bezgradientową Powella, metodę złotego podziału, algorytmy optymalizacji dyskretnej i wiele innych. Jednak żaden z tych algorytmów nie potrafi zagwarantować, że otrzymane minimum jest globalne. Metoda przedziałowej optymalizacji globalnej jest jedyną metodą, która pozwala znaleźć oszacowanie globalnego minimum dla funkcji celu, która jest nieliniowa, nieróżniczkowalna, a nawet nieciągła. Oszacowanie globalnego minimum otrzymane metodą przedziałowej optymalizacji globalnej jest poprawne, w każdym kroku iteracyjnym co daje możliwość przerwania obliczeń w dowolnym momencie lub gdy osiągnięta zostanie założona dokładność. Użycie procedur przyspieszających zbieżność znacznie skraca czas obliczeń. Jedna z takich procedur oparta jest na poszukiwaniu minimum funkcji celu w danym podprzedziale. W tym celu można wykorzystać dowolną metodę minimalizacji. Daje to możliwość tworzenia metod hybrydowych. Zaprezentowane przykłady potwierdzają, że metodę można wykorzystać do rozwiązywania praktycznych problemów inżynierskich. Podstawową wadą metody przedziałowej optymalizacji globalnej jest jej stosunkowo wolna zbieżność zwłaszcza w przypadkach gdy funkcja celu ma wiele lokalnych minimów niewiele różniących się od minimum globalnego.
8 Literatura [] GOMULIŃSKI A., RAKOWSKI G., Problemy mechaniki budowli i technik komputerowych w ostatnim dziesięcioleciu, Inżynieria i budownictwo, Nr 9, 998, s [2] KLEIBER M.(red.), Mechanika Techniczna. Tom XI. Komputerowe metody mechaniki ciał stałych. Warszawa, PWN, 995 [3] HUYER W., NEUMAIER A., Global optimization by multilevel coordinate search, Journal of Global Optimization. (przyjęty do druku) [4] ZIELIŃSKI R., NEUMANN P., Stochastyczne metody poszukiwania minimum funkcji, Warszawa, WNT, 986 [5] MICHALEWICZ Z., Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy ewolucyjne, Warszawa, WNT, 996 [6] ALEFELD G., HERZBERGER J., Introduction to Interval Computation. New York, Academic Press, 983 [7] HANSEN E.R., Global optimization using interval methods. New York, Marcel Dekker, 992 [8] HYVÖNEN E., DE PASCALE S., GIA InC++ Global Interval Arithmetic and Optimization Library, Helsinki, Delisoft Ltd. 997 [9] KULPA Z., POWNUK A., SKALNA I., 998, Analysis of linear mechanical structures with uncertainties by means of interval methods, CAMES, Vol.5, No.4, 38 s. [0] MOORE R.E., Interval Analysis, New Jersey, Prentice-Hall, 966 [] NEUMAIER A., Interval methods for systems of equations, New York, Cambridge University Press, 990 [2] RATSCHEK H., ROKNE J., Computer Method for the Range of Function, New York, John Willey & Sons, 984 [3] RATSCHEK H., ROKNE J., New Computer Methods for Global Optimization, New York, John Willey & Sons, 988 [4] VAN HENTENRYCK P., MICHEL L., DEVILLE Y., Numerica: A Modeling Language for Global Optimization, Camridge, MIT Press, 997 OPTIMIZATION OF STRUCTURES USING INTERVAL ANALYSIS Summary Summary. The paper presents applications of the interval global optimization method in civil engineering. Many information about interval analysis can be found on the internet ( An interval global optimization method is very stabile and robust, universally applicable and 00% reliable. The interval algorithm guarantees that all stationary global solutions have been found. The aim of this work is to show that algorithm of interval global optimization is an effective tool for optimization of structures. The algorithm is applied to shape optimization of truss structures. Praca została wykonana w ramach grantu KBN Nr 8TF0065 pt. Przedziałowe i jakościowe metody modelowania niepewności w układach fizycznych.
XL Sympozjon "Modelowanie w mechanice" NOWE FUNKCJE INKLUZYJNE W ALGORYTMIE PRZEDZIAŁOWEJ OPTYMALIZACJI GLOBALNEJ
XL Sympozon "Modelowanie w mecanice" NOWE FUNKCJE INKLUZYJNE W ALGORYTMIE PRZEDZIAŁOWEJ OPTYMALIZACJI GLOBALNEJ Andrze Pownuk Politecnika Śląska Wydział Budownictwa Zakład Mecaniki Teoretyczne Przegląd
Metody Numeryczne Optymalizacja. Wojciech Szewczuk
Metody Numeryczne Optymalizacja Optymalizacja Definicja 1 Przez optymalizację będziemy rozumieć szukanie minimów lub maksimów funkcji. Optymalizacja Definicja 2 Optymalizacja lub programowanie matematyczne
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
11. 11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI
11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 1 11. 11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 11.1. Wprowadzenie 1. Optymalizacja potocznie i matematycznie 2. Przykład 3. Kryterium optymalizacji 4. Ograniczenia w zadaniach optymalizacji
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Politechnika Śląska Wydział Budownictwa Zakład Mechaniki Teoretycznej
olitecnika Śląska Wydział Budownictwa Zakład Mecaniki Teoretycznej Andrzej ownuk Zastosowanie teorii zbiorów rozmytyc do oceny niezawodności konstrukcji budowlanyc Cel pracy Opracowanie metod obliczania
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Metody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody poszukiwania ekstremum funkcji jednej zmiennej Materiały pomocnicze do ćwiczeń
ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ
ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Rozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Egzamin / zaliczenie na ocenę*
Zał. nr do ZW 33/01 WYDZIAŁ / STUDIUM KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Optymalizacja systemów Nazwa w języku angielskim System optimization Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Inżynieria Systemów
SZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 13. PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Optymalizacja poszukiwanie
Sympozjum Trwałość Budowli
Sympozjum Trwałość Budowli Andrzej ownuk ROJEKTOWANIE UKŁADÓW Z NIEEWNYMI ARAMETRAMI Zakład Mechaniki Teoretycznej olitechnika Śląska pownuk@zeus.polsl.gliwice.pl URL: http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk
Metody optymalizacji Optimization methods Forma studiów: stacjonarne Poziom studiów II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 1W, 1Ć
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści dodatkowych Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Metody Optimization methods Forma studiów: stacjonarne Poziom studiów
Plan. Zakres badań teorii optymalizacji. Teoria optymalizacji. Teoria optymalizacji a badania operacyjne. Badania operacyjne i teoria optymalizacji
Badania operacyjne i teoria optymalizacji Instytut Informatyki Poznań, 2011/2012 1 2 3 Teoria optymalizacji Teoria optymalizacji a badania operacyjne Teoria optymalizacji zajmuje się badaniem metod optymalizacji
Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ
ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ Zalety: nie wprowadzają żadnych ograniczeń na sformułowanie problemu optymalizacyjnego. Funkcja celu może być wielowartościowa i nieciągła, obszar
METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Metoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych
inż. Marek Duczkowski Metoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych słowa kluczowe: algorytm gradientowy, optymalizacja, określanie wodnicy W artykule
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
OPTYMALIZACJA ZBIORNIKA NA GAZ PŁYNNY LPG
Leon KUKIEŁKA, Krzysztof KUKIEŁKA, Katarzyna GELETA, Łukasz CĄKAŁA OPTYMALIZACJA ZBIORNIKA NA GAZ PŁYNNY LPG Streszczenie Praca dotyczy optymalizacji kształtu zbiornika toroidalnego na gaz LPG. Kryterium
Bezgradientowe metody optymalizacji funkcji wielu zmiennych. informacje dodatkowe
Bezgradientowe metody optymalizacji funkcji wielu zmiennych informacje dodatkowe Wybór kierunku poszukiwań Kierunki bazowe i ich modyfikacje metody bezgradientowe. Kierunki oparte na gradiencie funkcji
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 78 Electrical Engineering 2014 Seweryn MAZURKIEWICZ* Janusz WALCZAK* ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU W artykule rozpatrzono problem
Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawy optymalizacji Plan prezentacji 1 Podstawy matematyczne 2 3 Eliminacja ograniczeń Metody
Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2
Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z
Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.
Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora
Metoda Karusha-Kuhna-Tuckera
Badania operacyjne i teoria optymalizacji Poznań, 2015/2016 Plan 1 Sformułowanie problemu 2 3 Warunki ortogonalności 4 Warunki Karusha-Kuhna-Tuckera 5 Twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera 6 Ograniczenia w
Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Przegląd metod optymalizacji wielowymiarowej. Funkcja testowa. Funkcja testowa. Notes. Notes. Notes. Notes. Tomasz M. Gwizdałła
Przegląd metod optymalizacji wielowymiarowej Tomasz M. Gwizdałła 2012.12.06 Funkcja testowa Funkcją testową dla zagadnień rozpatrywanych w ramach tego wykładu będzie funkcja postaci f (x) = (x 1 1) 4 +
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: PODSTAWY MODELOWANIA PROCESÓW WYTWARZANIA Fundamentals of manufacturing processes modeling Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności APWiR Rodzaj
Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Optymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 14 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
KADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda
Optymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 0. Wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 11 Kontakt wojciech.kotlowski@cs.put.poznan.pl http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/mp/
Zagadnienia - równania nieliniowe
Zagadnienia - równania nieliniowe Sformułowanie zadania poszukiwania pierwiastków. Przedział izolacji. Twierdzenia o istnieniu pierwiastków. Warunki zatrzymywania algorytmów. Metoda połowienia: założenia,
Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
Procesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy w ramach treści kierunkowych, moduł kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Strategia minimalizacji wielowymiarowej Zakładamy, że metody poszukiwania minimów
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Opisy przedmiotów do wyboru
Opisy przedmiotów do wyboru moduły specjalistyczne oferowane na stacjonarnych studiach II stopnia (magisterskich) dla 1 roku matematyki semestr letni, rok akademicki 2017/2018 Spis treści 1. Algebra i
Wstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Optymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 4. Metody kierunków poprawy (metoda spadku wzdłuż gradientu) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 21.03.2019 1 / 41 Plan wykładu Minimalizacja
Optymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Technologie informatyczne
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Technologie informatyczne Interpolacja metoda funkcji sklejanych Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;
Programowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
automatyka i robotyka II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI
Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji
ZASTOSOWANIE METOD OPTYMALIZACJI W DOBORZE CECH GEOMETRYCZNYCH KARBU ODCIĄŻAJĄCEGO
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 40, s. 43-48, Gliwice 2010 ZASTOSOWANIE METOD OPTYMALIZACJI W DOBORZE CECH GEOMETRYCZNYCH KARBU ODCIĄŻAJĄCEGO TOMASZ CZAPLA, MARIUSZ PAWLAK Katedra Mechaniki Stosowanej,
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Ekonometria - ćwiczenia 10
Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na
KADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Optymalizacja konstrukcji
Optymalizacja konstrukcji Kształtowanie konstrukcyjne: nadanie właściwych cech konstrukcyjnych przeszłej maszynie określenie z jakiego punktu widzenia (wg jakiego kryterium oceny) będą oceniane alternatywne
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności Inżynieria cieplna i samochodowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
MES1 Metoda elementów skończonych - I Finite Element Method - I. Mechanika i Budowa Maszyn I stopień ogólnoakademicki
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2016/2017 MES1 Metoda elementów skończonych - I Finite Element Method - I A. USYTUOWANIE
Laboratorium Metod Optymalizacji
Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 2, ZAKRES PODSTAWOWY
1 Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań na oceny 2 Trygonometria Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym 3-4 Trygonometria Funkcje trygonometryczne
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice
9 - Rozwiązywanie układów równań nieliniowych Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Anna Marciniec
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5
CHARAKTERYSTYKA I ZASTOSOWANIA ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ. E. ZIÓŁKOWSKI 1 Wydział Odlewnictwa AGH, ul. Reymonta 23, Kraków
36/3 Archives of Foundry, Year 004, Volume 4, 3 Archiwum Odlewnictwa, Rok 004, Rocznik 4, Nr 3 PAN Katowice PL ISSN 64-5308 CHARAKTERYSTYKA I ZASTOSOWANIA ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ E. ZIÓŁKOWSKI
Procesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ
Jarosław MAŃKOWSKI * Andrzej ŻABICKI * Piotr ŻACH * MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ 1. WSTĘP W analizach MES dużych konstrukcji wykonywanych na skalę
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody bezgradientowe optymalizacji bez ograniczeń Materiały pomocnicze do ćwiczeń
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c
Wymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania