XL Sympozjon "Modelowanie w mechanice" NOWE FUNKCJE INKLUZYJNE W ALGORYTMIE PRZEDZIAŁOWEJ OPTYMALIZACJI GLOBALNEJ

Transkrypt

1 XL Sympozon "Modelowanie w mecanice" NOWE FUNKCJE INKLUZYJNE W ALGORYTMIE PRZEDZIAŁOWEJ OPTYMALIZACJI GLOBALNEJ Andrze Pownuk Politecnika Śląska Wydział Budownictwa Zakład Mecaniki Teoretyczne

2 Przegląd metod optymalizaci Metody analityczne Metoda mnożników Lagrange a... Metody gradientowe analiza wrażliwości grad x x... x x λgrad x n n n x n... Metody stocastyczne -algorytmy genetyczne -metody symulacyne... Metody specalne Programowanie liniowe Programowanie kwadratowe Sekwencyne programowanie liniowe...

3 Niektóre ograniczenia istnieącyc algorytmów optymalizaci W bardzie złożonyc przypadkac nie można zastosować metod analitycznyc Algorytmy lokalne optymalizaci nie potraią znaleźć globalnego minimum Algorytmy stocastyczne potraią znaleźć globalne minimum tylko z pewnym prawdopodobieństwem Algorytmy stocastyczne wielokrotnie przeszukuą te same obszary

4 Algorytm przedziałowe optymalizaci globalne ˆ x x x ˆ x x x ˆ x ˆ < x z własności naturalnego przedziałowego rozszerzenia unkci wynika, że globalne minimum unkci nie może znadować się w przedziale x.

5 Zalety algorytmu przedziałowe optymalizaci globalne Algorytm przedziałowe optymalizaci globalne gwarantue, że wszystkie globalne minima unkci celu zostaną znalezione z zadaną dokładnością. Algorytm umożliwia uwzględnienie błędów zaokrągleń 3 Algorytm umożliwia znalezienie globalnego minimum unkci nierówniczkowalnyc i nieciągłyc 4 Podstawową wadą te metody est duża złożoność obliczeniowa.

6 Procedury przyspieszaące zbieżność -test monotoniczności -test punktu środkowego -wykorzystanie metod lokalne optymalizaci -test wypukłości unkci -przedziałowa metoda Newtona grad x -wykorzystanie algorytmów przetwarzania równoległego -wykorzystanie dobryc unkci inkluzynyc Metoda ybrydowa Obliczanie globalnego minimum przy wykorzystaniu dowolne metody globalne lub lokalne optymalizaci. Sprawdzenie czy otrzymane est rozwiązaniem globalnym przy pomocy algorytmu przedziałowego.

7 Zastosowania algorytmu przedziałowe optymalizaci globalne Firma MacNeal-Scwendler zastosowała algorytm przedziałowe optymalizaci globalne do proektowania części rakiet. Istnieą również zastosowania tego algorytmu w ekonomii. Firmy Swiss Bank oraz Banc One Corporation wykorzystały ten algorytm do optymalizaci matematycznyc modeli ekonomicznyc. Firma Magnetic Resonance Imaging Researc Center o General Electric Medical Systems oraz Genome Tereputics wykorzystały tą metodę do identyikaci parametrów w oparciu o wyniki pomiarów. Istniee wiele zastosowań tego algorytmu w cemii. Firma SUN Microsystem zastosowała algorytm przedziałowe optymalizaci globalne do rozwiązywania układów nieliniowyc równań algebraicznyc oraz globalne optymalizaci.

8 Oprogramowanie GLOBOPT - Arnold Neumaier, Uniwersytet w Wiedniu. Numerica - Pascal Van Hentenryck, Laurent Micel, i Yves Deville - irma ILOG ttp:// GIA A Global Interval Aritmetic Library or Discontinuous Intervals - Firma Delisot Ltd. ttp:// z Finlandii napisaną w ęzyku C. UniCalc - Russian Researc Institute o Artiicial Intelligence GlobSol - Zespół należący do proektu Global Solutions, który est sponsorowany przez SUN Mikrosystem oraz Marquette University

9 Algorytm

10 Testy monotoniczności y ' y Pierwszy test monotonicznosci m k k k k m m d m,...,,...,,..., > <

11 ,..., :,..., m m Ker Ker w w sign sign m... Drugi test monotoniczności,,,, *

12 Trzeci test monotonicznosci ] [ *

13 Optymalizaca kształtu kratownicy L y x w L 4 3 P y w x P kn x w [m] Rozwiązanie optymalne y w [m] 3 3 [ m ] min [ m ] A [ m ] A [ m ] A 3 [ m ] A 4 [ m ] Przedział zawieraący rozwiązanie optymalne x [m] x [m] y [m] y [m] Liczba iteraci Pozostałe Maksymalna przedziały szerokość przedziału

14 Początkowy kształt P Końcowy kształt P [kn] P Końcowy kształt P [kn] P

15 Wnioski W pracy zaprezentowano nowy algorytm optymalizaci. Algorytm wykorzystue strategię branc and bound. Metoda wykorzystue testy monotoniczności oparte na wzorze Taylora. Algorytm przeszukue dziedzinę unkci w systematyczny sposób dzięki czemu unika się wielokrotnego przeszukiwania tyc samyc obszarów co ma miesce w algorytmac stocastycznyc. Metoda ta posiada wysoką złożoność obliczeniową. Złożoność obliczeniowa silnie zależy od dokładności obliczeń.