Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka

Transkrypt

1 Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 1 / 34

2 Warunki zaliczenia 1 Dwa kolokwia (prawdopodobnie i ostatnie ćwiczenia), każde kolokwium po 10 punktów 2 Raport na max 10 punktów (obowiązkowy do zaliczenia ćwiczeń i zdania przedmiotu) 3 Dodatkowo za aktywność na ćwiczeniach można uzyskać max 5 punktów 4 Ocena końcowa na podstawie zdobytych punktów 5 Osoba nie zgadzająca się z oceną lub nie uczestnicząca w kolokwiach pisze egzamin w sesji Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 2 / 34

3 Literatura Bowers N. i in. (1997) Actuarial mathematics, Society if Actuaries Wuthrich M. (2017) Non-life insurance: mathematics and statistics, SSRN Manuscript Otto W. (2004), Ubezpieczenia majątkowe; t. I - Teoria ryzyka, WN-T, Warszawa. Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J., Denuit, M. (2001) lub wydania następne, Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer Academic Publishers, Boston. Kowalczyk P., Poprawska E., Ronka-Chmielowiec W. (2013), Metody aktuarialne. Zastosowania matematyki w ubezpieczeniach, PWN PWN, Warszawa. Klugman S., Panjer H., Willmot G. (1998 lub 2008) Loss Models, From Data to Decisions, Wiley Buhlmann H. i Gisler A. (2005), A Course in Credibility Theory and its Applications, Springer Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 3 / 34

4 Literatura cd. Niemiro Wojciech Teoria ryzyka w ubezpieczeniach, wniem/ryzyko/ryzykoub.pdf Wüthrich M.V., Merz M. (2008), Stochastic claims reserving methods in insurance, Wiley Hossak J.B., Pollard J.H., Zehnwirth B. (1999), Introductory statistics with applications in general insurance, Cambridge University Press. Gray R.J., Pitts S.M. (2012), Risk modelling in general insurance: from principles to practise, Cambridge University Press Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 4 / 34

5 Plan 1 Ekonomia ubezpieczeń, składka, podział ryzyka, typy ubezpieczeń, tw. o optymalnym ubezpieczeniu 2 Model ryzyka indywidualnego i kolektywnego, kalkulacja składki, metody aproksymacji 3 Rozkłady częstości szkód, rozkłady złożone i mieszane 4 Kalkulacja rezerw techniczno-ubezpieczeniowych, trójkąty szkód, chain ladder 5 Rozkłady wysokości szkód, estymacja przy danych uciętych i okrojonych 6 Teoria zaufania (credibility) 7 Teoria ruiny Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 5 / 34

6 Co to jest ubezpieczenie? Ubezpieczenie - urządzenie gospodarcze zapewniające pokrycie przyszłych potrzeb majątkowych, wywołanych u poszczególnych jednostek przez zdarzenia losowe, w drodze rozłożenia ciężaru tego pokrycia na wiele jednostek, którym te same zdarzenia zagrażają. Umowa ubezpieczeniowa (polisa) - umowa między ubezpieczanym (ubezpieczającym) a ubezpieczycielem (zakładem ubezpieczeń) w której ubezpieczany zobowiazuje się uiścić opłatę - składkę ubezpieczeniową (jednorazowo lub ratalnie) na rzecz zakładu ubezpieczeń, zakład ubezpieczeń zobowiązuje się do wypłacenia w razie zajścia wypadku ubezpieczeniowego określonego w polisie lub w ściśle określonym terminie sumy ubezpieczenia, wartości ubezpieczenia, odszkodowania na rzecz określonych w ubezpieczeniu osób. Reasekuracja - ubezpieczenie jednego zakładu ubezpieczeń w innym na wypadek zbyt dużych roszczeń Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 6 / 34

7 Użyteczne rozkłady Rozkład ( gęstość f (x) F (x) EX VarX bin(n, θ) n ) x θ x (1 θ) n x nθ nθ(1 θ) θ (0, 1) x = 0, 1,..., n λ λx Poiss(λ) e λ λ x! λ > 0 x = 0, 1, 2,... bin Γ(r+x) (r, p) x!γ(r) pr (1 p) x r(1 p) r(1 p) p p 2 r > 0, p (0, 1) x = 0, 1, 2,... Γ(α+β)x α 1 (1 x) β 1 Beta(α, β) B(α, β, x) Γ(α)Γ(β) α, β > 0 x (0, 1) x (0, 1) N(µ, σ 2 ) σ > 0 1 2πσ exp exp[ 1 2 ( ) (x µ) 2 2σ 2 ln x µ ( ) 2 ] σ xσ 2π α α+β αβ (α+β) 2 (α+β+1) Φ( x µ σ ) µ σ2 LN(µ, σ) µ R, σ > 0 x > 0 wykładniczy θe θx 1 e θx 1 θ Ex(θ) θ > 0 x > 0 ln x µ Φ( ) e µ+ 1 2 σ2 e 2µ+σ2 (e σ2 1) σ 1 θ 2 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 7 / 34

8 β Gamma(α, β) α x α 1 e βx α Γ(α, βx) Γ(α) β α, β > 0 x > 0 β IGamma α x α 1 e β x Γ(α, β ) β Γ(α) x α 1 α, β > 0 x > 0 TGamma β α τ Γ(α) x ατ 1 e βxτ Γ(α, βx τ ) Γ(α+ 1 τ ) Γ(α)β 1 τ α β 2 β 2 (α 1) 2 (α 2) EX 2 = Γ(α+ 2 τ ) Γ(α)β 2 τ α, β, τ > 0 x > 0 ( β LG(α, β) α (ln x) α 1 Γ(α, β ln x) β ) α ( β ) α ( x β+1 Γ(α) β 1 β 2 β ) 2α β 1 α, β > 0 x > 0 β > 1 β > 2 λ Pareto(θ, λ) θ θ 1 λθ λ (λ+x) θ+1 (λ+x) θ θ 1 λ, θ > 0 x > 0 θ > 1 θ > 2 Burr(θ, λ, τ) τθλ θ xτ 1 (λ+x τ ) θ+1 1 ( λ λ+x τ ) θ Γ(θ 1 τ )Γ(1+ 1 τ ) λ 1 τ Γ(θ) τ, λ, θ > 0 x > 0 τθ > 1 Weibull(c, τ) cτx τ 1 e cxτ 1 e cxτ Γ(1+ τ 1 ) c, τ > 0 x > 0 Γ(θ+τ)λ θ x τ 1 λ 2 θ (θ 1) 2 (θ 2) EX 2 = λ 2 τ Γ(θ 2 τ )Γ(1+ 2 τ ) Γ(θ) τθ > 2 Γ(1+ 2 c 1/τ τ ) Γ(1+ τ 1 ) c 2/τ λτ θ 1 λ 2 τ(θ+τ 1) (θ 1) 2 (θ 2) GPareto B(τ, θ, u) Γ(θ)Γ(τ)(λ+x) θ+τ (θ, λ, τ) u = x θ > 1 θ > 2 x+λ Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 8 / 34

9 AWERSJA DO RYZYKA u - funkcja użyteczności, awersja do ryzyka - u > 0, u < 0 PRZYKŁAD: u(w) = ln w, u(w) = exp( βw), u(w) = w βw 2, u(w) = u Zachodzi nierówność Jensena: Niech X będzie zmienną losową i u funkcją wklęsłą, wtedy u(ex ) > E(u(X )). Niech w oznacza majątek a X losową stratę. Jeżeli w H = E(w X ) to u(w H) > Eu(w X ) Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 9 / 34

10 ILE JESTEŚMY SKŁONNI ZAPŁACIĆ ZA UBEZPIECZENIE Rozważmy ubezpieczenie pełne majątku w narażonego na stratę losową X, wtedy maksymalna opłata H za ubezpieczenie spełnia E (u(w X )) = u(w H) Przy u odpowiadającej awersji do ryzyka H spełnia H > EX. PRZYKŁAD: Przy u(w) = ln w składka max H = w exp(e ln(w X )) Przy u(w) = exp( βw) składka max H = 1 ln (E(exp(βX ))) β Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 10 / 34

11 PODZIAŁ RYZYKA (RODZAJE POLIS) X, S - strata, wypadek ubezpieczeniowy (loss), roszczenie (claim) - zmienna losowa I (X ) - odszkodowanie (indemnity) - zmienna losowa, 0 I (X ) X ubezpieczenie pełne I (X ) = X Wtedy EI (X ) = EX i VarI (X ) = VarX pokrycie częściowe 0 I (X ) < X U = X I (X ) - udział ubezpieczonego w szkodzie PRZYKŁAD: Wartość szkody x Odszkodowanie I (x) 0 0,4 2 6 P(X = x) 0,8 0,1 0,06 0,04 Wyznacz EX, VarX, EI (X ), VarI (X ) EX = 0, 8 VarX = 3, 96 EI (X ) = 0, 4 VarI (X ) = 1, 536 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 11 / 34

12 RODZAJE POLIS, cd. Kontrakt proporcjonalny I (X ) = ax a (0, 1) Polisa z{ franszyzą integralną (warunkową) 0 gdy X < d I (X ) = X gdy X d Polisa z udziałem własnym d (z franszyzą redukcyjną - bezwarunkową, deductible) { 0 gdy X < d I (X ) = X d gdy X d = (X d) + Ubezpieczenia { z górnym limitem odpowiedzialności X gdy X < d I (X ) = = min(x, d) d gdy X d Polisa z udziałem własnym d i górnym limitem odpowiedzialności M 0 gdy X < d I (X ) = X d gdy d X M M d gdy X > M Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 12 / 34

13 RODZAJE POLIS, cd. Polisa z indywidualną franszyzą redukcyjną { (ubezpieczenie 0 gdy X < d częściowe z udziałem własnym) I (X ) = a(x d) gdy X d Ubezpieczenie częściowe warstwy ograniczonej górnym limitem odpowiedzialności M i udziałem własnym d 0 gdy X < d I (X ) = a(x d) gdy d X M a (0, 1) a(m d) gdy X > M Ubezpieczenie ze znikającą franszyzą redukcyjną 0 gdy X < d I (X ) = X d gdy d X M X gdy X > M Ubezpieczenia z udziałem własnym i pełnym pokryciem strat w 0 gdy X < d X d gdy d X m granicach ustalonych limitów I (X ) = X gdy m < X < M M gdy X M Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 13 / 34

14 TWIERDZENIE o optymalnym ubezpieczeniu Jeżeli pewien decydent posiada początkowy zasób majątku w przejawia awersję do ryzyka narażony jest na stratę X gotów jest przeznaczyć kwotę H na zakup ubezpieczenia i 0 H (1 + θ)ex oraz rynek ubezpieczeniowy oferuje wszystkie możliwe kontrakty I takie, że 0 I (X ) X o ustalonej EI (X ) po cenie (1 + θ)ei (X ), to decydent osiągnie max oczekiwanej użyteczności zakupując kontrakt { I 0 gdy X d (X ) = X d gdy X > d gdzie H = (1 + θ)ei (X ). Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 14 / 34

15 PRZYKŁAD Podejmujący decyzję o ubezpieczeniu dysponuje majątkiem 100 i narażony jest na stratę X U(0, 100). Podmiot postępuje racjonalnie a w swoich decyzjach kieruje się maksymalizacją oczekiwanej użyteczności. Jego funkcja użyteczności jest postaci u(x) = x. Wyznacz polisę optymalną, jeśli decydent chce przeznaczyć na ubezpieczenie 18j, a koszt polisy jest równy EI (X ), gdzie I (X ) oznacza odszkodowanie dla szkody o wartości X. Jaką maksymalna składkę skłonny byłby zapłacić właściciel za pełne ubezpieczenie? Odp: Polisa optymalna d = 40, max. składka H = 100 (20/3) 2. Użyteczny wzór: E(X d) + = + d (x d)f (x)dx = + d (1 F (x))dx Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 15 / 34

16 Reasekuracja, podział ryzyka X - ryzyko X r = X h(x ) wielkość przekazana do ponownego ubezpieczenia, X c = h(x ) - udział własny Funkcja h (funkcja retencyjna) spełnia: h jest niemalejąca, k(x) = x h(x) (funkcja kompensacji) jest niemalejąca, 0 h(x) x oraz h(0) = 0. Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 16 / 34

17 Kontrakty reasekuracyjne, Reasekuracja proporcjonalna Reasekuracja z udziałem procentowym (quota-share), X r = αx, α (0, 1), X c = (1 α)x. Wady kontraktu proporcjonalnego: małe szkody dzielone są między cedenta i reasekuratora. Dominują wtedy koszty administracyjne likwidacji szkody. Reasekuracja nadwyżkowa (surplus) { (1 s X r = I )X gdy I > s 0 gdy I s { s X c = I X gdy I > s X gdy I s gdzie s jest poziomem retencji, czyli górnym limitem odpowiedzialności towarzystwa ubezpieczeniowego, a I górną wartością szkody. Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 17 / 34

18 Kontrakty reasekuracyjne- reasekuracja nieproporcjonalna Reasekuracja nadwyżkowa (kontrakt stop-loss) X r = (X d) +, X c = min(x, d), d > 0 Uwaga: Jeżeli X to łączna wartość szkód (np. z portfela) X = N i=1 X i, to rozróżniamy dwa typy reasekuracji nadwyżkowej: X r = N i=1 (X i d) + - (excess-of-loss), X r = (X d) + - (stop-loss). Reasekuracja k największych wypłat. X 1:n, X 2:n,..., X n:n - uporządkowane straty w portfelu, reasekurator pokrywa k największych wypłat, tzn. k n k X r = X (n i+1):n, X c = i=1 Reasekuracja ECOMOR X 1:n, X 2:n,..., X n:n - uporządkowane straty w portfelu, reasekurator pokrywa nadwyżkę ponad poziom X n k:n dla ustalonego k, czyli k n k X r = (X (n i+1):n X n k:n ), X c = X i:n + kx n k:n i=1 i=1 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 18 / 34 i=1 X i:n

19 Własności kontraktu stop-loss Tw. Niech S będzie ustalonym ryzykiem oraz C ustaloną wartością netto udziału własnego, Czyli Eh(S) = C, wtedy gdzie E min(d, S) = C. min Varh(S) = Var min(d, S) {h:eh(s)=c} Tw. Dla ustalonego kapitału początkowego w, wklęsłej funkcji użytecznosci u oraz 0 H E[S] max E(w + k(s) S H) = E(w + (S d ) + S H) {k:ek(s)=h} gdzie E(S d ) + = H Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 19 / 34

20 Składka S - zmienna losowa równa wysokości odszkodowań (świadczeń zakładu w pewnej grupie ryzyka) w przyszłości zdyskontowaną na moment zawierania umowy B - składka brutto, H składka (premium) H > ES, K - koszty B = H + K H = Π + R(S) Π = ES - składka netto (czysta składka), równa oczekiwanej wypłacie, nie odzwierciedla ryzyka związanego z ubezpieczeniem, wyznaczana w drodze analiz aktuarialnych; R(S) - składka na ryzyko związane z losowością szkód oraz z popytem i podażą (narzut związany z ryzykiem), wyznaczana w drodze analiz aktuarialnych i ekonomicznych, narzut bezpieczeństwa; K - składka na pokrycie kosztów, wyznaczana w drodze analiz finansowo-księgowych, często wyrażana jako K = βb, wtedy B = H 1 β Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 20 / 34

21 PRAKTYCZNE ZASADY USTALANIA SKŁADEK A) zasada równoważności (zasada czystej składki) H = Π = ES B) zasada wartości oczekiwanej H = (1 + θ)es C) zasada wariancji H = ES + αvars D) zasada odchylenia standardowego H = ES + β VarS E) zasada percentyli (składka kwantylowa) - H spełnia warunek P(S > H) = ε związana z miarą ryzyka value at risk VaR 1 ε (S) = FS 1 (1 ε), jest to składka z ustalonym poziomem bezpieczeństwa Liczby θ, α, β, ε ustalane przez zakład ubezpieczeniowy. Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 21 / 34

22 TEORETYCZNE METODY USTALANIA SKŁADKI Zasada zerowej użyteczności u(w ) = Eu(W + H S) gdzie u - funkcja użyteczności ubezpieczyciela, W - majątek ubezpieczyciela ZADANIE. Wyznacz składkę odpowiadającą funkcji u(x) = 1 e cx c F) składka wykładnicza H = 1 c ln E ( e cs) Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 22 / 34

23 POŻĄDANE WŁASNOŚCI SKŁADKI 1 H ES 2 H max odszkodowanie 3 H(S + a) = H(S) + a (zgodność) 4 H(aS) = ah(s) dla a > 0 (dodatnia jednorodność) 5 S 1 i S 2 ryzyka niezależne, to H(S 1 + S 2 ) = H(S 1 ) + H(S 2 ) (addytywność dla ryzyk niezależnych) 6 H(H(S Y )) = H(S) własność A B C D E F Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 23 / 34

24 VaR i składka kwantylowa Zatem VaR ma własności podobne do składki kwantylowej: VaR p (c + S) = c + VaR p (S) VaR p (as) = avar p (S) dla a > 0 Jeżeli S 1 S 2 to VaR p (S 1 ) VaR p (S 2 ) dla każdego p (0, 1) Nie jest koherentną miarą ryzyka, istnieją S 1 i S 2 takie, że VaR p (S 1 + S 2 ) > VaR p (S 1 ) + VaR p (S 2 ) Przykład. Oblicz VaR 0,95 (S 1 + S 2 ) i VaR 0,95 (S 1 ) jeśli S 1, S 2 i.i.d. i P(S 1 = 0) = 0, 97 = 1 P(S 1 = 1) Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 24 / 34

25 Funkcja tworząca momenty zmiennej X > 0 Przykład. X Ex(λ) M X (t) = Ee tx M X (t) = dla t < λ i M(t) = dla t λ. 0 e tx λe λx dx = λ λ t rozkład X M X (t) Bin(p, n) [1 + p(e t 1)] n Poiss(λ) exp(λ(e t 1)) Bin (r, p) ( p 1 (1 p)e ) r t e tb e ta t(b a) U(a, b) N(m, σ) exp(tm σ2 t 2 ) Gamma(α, β) ( β β t )α Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 25 / 34

26 WŁASNOŚCI MGF 1 M X (0) = 1; 2 M (k) X 3 dk (t) = M dt k X (t) = dk Ee tx = E(X k e tx ) dla k = 1, 2,... ; dt ] k = EX k ; t=0 [ d k dt k M X (t) 4 VarX = M X (0) (M X (0))2 ; 5 jeżeli Y = ax to M.G.F. Y jest równa M Y (t) = M X (at). 6 Niech S = X + Y, gdzie X i Y niezależne, wtedy M S (t) = M X (t)m Y (t). 7 jeżeli Y = a + X to M.G.F. Y jest równa M Y (t) = Ee ta+tx = e ta M X (t). 8 Jeżeli M X (t) = M Y (t) dla t (a, b), to X = Y wg rozkładu 9 Niech X n 0 i X n X wg rozkładu, to M Xn (t) M X (t) dla t < 0. Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 26 / 34

27 Funkcja tworząca kumulanty C X (t) = ln M X (t) WŁASNOŚCI: 1 C X (t) = M X (t) M X (t) = C X (0) = M X (0) = EX 2 C X M X (t) = (t)m X (t) (M X (t))2 = C (M X (t)) 2 X (0) = VarX 3 C (3) X (0) = E(X EX )3 = γ X = C (3) X (0) 4 C (4) (C X (0)) 3 2 X (0) = E(X EX )4 3Var 2 X = κ X = 5 S = n i=1 X i, X i niezależne, to C S (t) = n i=1 ln M Xi (t) = n i=1 C Xi (t) 6 C (3) S (t) = n i=1 C (3) 7 γ S = n i=1 C (3) X i (0) ( n i=1 VarX i ) 3 2 E(X EX )4 X (0) (C X (0))2 Var 2 X 3 = C (4) X i (t) stąd E(S ES) 3 = n i=1 E(X i EX i ) 3 = n i=1 γ Xi (VarX i ) 3 2 ( n i=1 VarX i) W szczególności jeżeli X i i.i.d. γ Xi = γ i VarX i = σ 2, to γ S = nγ Xi σ 3 (nσ 2 ) 3 2 = γ X i n Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 27 / 34

28 Składka kwantylowa S = X 1 + X X n - portfel składa się z n ryzyk (np. polis), suma szkód to suma szkód z poszczególnych polis Cel: wyznacz H aby P(S > H) = ε Rozkład zmiennej S = X 1 + X 2 gdy X 1 F 1, X 2 F 2 F S (s) = P(X 1 + X 2 s) = P(X 1 s X 2 ) = R F 1 (s x)df 2 (x) = F 1 F 2 (s) Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 28 / 34

29 PRZYKŁAD Wyznacz rozkład S = X 1 + X 2 jeśli X 1, X 2 są niezależne i dystrybuanty zmiennych X i są równe 0 gdy x < 0 F 1 (x) = 0, 8 + 0, 1x gdy x [0, 1) 1 gdy x 1 0 gdy x < 0 F 2 (x) = 0, 7 + 0, 2x gdy x [0, 1) 1 gdy x 1 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 29 / 34

30 Składka kwantylowa - aproksymacje S = X 1 + X X n - portfel składa się z n ryzyk (np. polis), suma szkód to suma szkód z poszczególnych polis Cel: wyznacz H aby P(S > H) = ε Szukamy kwantyla rozkładu zmiennej S - trudne Często łatwo wyznaczyć momenty zmiennej S: Jeżeli S = X 1 + X X n i X 1,..., X n i.i.d. to ES = nex 1, VarS = nvarx 1 E(S ES)3 γ S = = E(X 1 EX 1 ) 3 (VarS) 3 3 = γ X 1 2 nvarx 2 n 1 Jeżeli S = S 1 + S S k i S 1,..., S k niezależne to k k ES = ES i VarS = VarS i γ S = i=1 k (VarS i ) 3 2 γ Si ( k ) 3 i=1 i=1 VarS 2 i i=1 k i=1 = E(S i ES i ) 3 (VarS) 3 2 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 30 / 34

31 Metoda symulacyjna Znamy lub umiemy oszacować: rozkład liczby szkód w portfelu rozkład wartości szkody w portfelu Proces wyznaczania H Powtarzamy K razy symulację zachowania portfela: 1. generujemy liczbę szkód N 2. generujemy wartości poszczególnych szkód Y 1,..., Y N 3. Wyznaczamy sumę S = N i=1 Y i Otrzymane wyniki S 1,..., S K ustawiamy rosnąco i za oszacowanie H przyjmujemy statystykę pozycyjną o numerze [K(1 ε)] + 1 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 31 / 34

32 Aproksymacja rozkładem normalnym CTG: Jeżeli X 1, X 2,..., X n i.i.d. EX i = m i VarX i = σ 2 i S n = X 1 + X X n, to ( ) z lim P Sn nm n + σ z = Φ(z) n WNIOSEK: Jeżeli możemy szacować S N(ES, VarS) to otrzymujemy aproksymację: P(S > H) = ε = P( S ES VarS > H ES VarS ) = H = ES + u 1 ε VarS Uwagi: składka w formie zasady odchylenia standardowego składka wg zasady wartości oczekiwanej H = (1 + θ)es gdzie narzut bezpieczeństwa θ = u 1 ε VarS ES Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 32 / 34

33 Przesunięty rozkład gamma Z Gamma(α, β, x 0 ), to Z x 0 Gamma(α, β) Gęstość p α,β,x0 (x) = βα Γ(α) (x x 0) α 1 exp( β(x x 0 )) x > x 0 ( ) funkcja tworząca momenty M Z (t) = e tx 0 β α β t funkcja tworząca kumulanty C Z (t) = tx 0 + α ln β α ln(β t) Momenty: EZ = x 0 + α β γ Z = 2 α VarZ = α β 2 κ Z = 6 α = 3 2 γ2 Z Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 33 / 34

34 Aproksymacja rozkładem gamma Jeżeli S ma rozkład Gamma(α, β, x 0 ), to parametry α, β, x 0 wyznaczamy z układu równań x 0 + α β = ES α = VarS β 2 2 α = γ S Jeżeli składka H ma spełniać warunek P(S > H) = ε i S Gamma(α, β, x 0 ), to H = F 1 Gamma(α,β) (1 ε) + x 0 Inne aproksymacje: zastosowanie przybliżonych formuł na obliczenie odpowiedniego kwantyla - formuły Wilsona-Hilferty, formuły Fishera-Cornisha, aproksymacja przesuniętym rozkładem odwrotnym gaussowskim, aproksymacja mieszana. Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 34 / 34