Wybór związku konstytutywnego do analizy zachowania się materiału pierścienia rozpęczanego impulsowym silnym polem elektromagnetycznym

Transkrypt

1 BIULETYN WAT VOL. LVI NR Wybór związku konstytutywnego do analizy zachowania się materiału ierścienia rozęczanego imulsowym silnym olem elektromagnetycznym ROBERT PANOWICZ EDWARD WŁODARCZYK* JACEK JANISZEWSKI* Wojskowa Akademia Techniczna Instytut Otoelektroniki *Wydział Mechatroniki Warszawa ul. S. Kaliskiego 2 Streszczenie. W racy dokonano analizy wybranych równań konstytutywnych oisujących zachowanie się metali w warunkach dynamicznego odkształcenia zachodzącego z bardzo dużymi szybkościami. Analizę tę wykonano w kontekście wyboru związku konstytutywnego który najbardziej orawnie oisuje zachowanie się metalu odczas rozęczania cienkościennego ierścienia za omocą silnego imulsowego ola elektromagnetycznego. Jako kryterium wyboru związku konstytutywnego rzyjęto jakościową/ilościową zgodność wyników numerycznych z analogicznymi danymi doświadczalnymi zaczerniętymi z racy [1]. W wyniku analizy stwierdzono że największą zgodność z ekserymentem otrzymano rzy zastosowaniu związku Steinberga-Guinana oraz PTW. Słowa kluczowe: dynamiczne właściwości metali równania konstytutywne metoda ierścieniowa Symbole UKD: Wrowadzenie Badanie reakcji materiałów na ekstremalne warunki dynamicznych obciążeń realizowanych w bardzo krótkim czasie jest interdyscylinarną dziedziną nauki [2]. Zjawiska które mają miejsce kiedy ciało jest oddawane gwałtownej zmianie obciążeń zwykle są znacząco różne od tych które wystęują w warunkach statycznych i quasi-statycznych. Badanie tych zjawisk należy do bardzo trudnych i złożonych zagadnień a onadto wymaga stosowania nietyowej i drogiej aaratury doświadczalnej.

2 202 R. Panowicz E. Włodarczyk J. Janiszewski Dotychczas oracowano kilka metod ekserymentalnych umożliwiających badanie materiałów w warunkach dynamicznego obciążenia do których można zaliczyć: dzielony ręt Hokinsona (ang. slit Hokinson resure bar) [3] uderzeniowy test Taylora (ang. imact Taylor test) [4] test tyu łyta-łyta (ang. lanar late imact method) [5] a także test ierścieniowy (ang. freely exanding ring test) [6]. Stosunkowo rostą i wciąż rozwijaną techniką dynamicznych badań materiałów jest metoda ierścieniowa. Pozwala ona badać materiały rzy szybkościach odkształceń od 10 2 s 1 do 10 5 s 1. Największe rędkości odkształceń (~ s 1 ) uzyskuje się rzy wybuchowym naędzaniu ierścienia. Jeżeli jednak nie jest konieczne badanie materiału z tak dużymi szybkościami odkształceń to do naędzania ierścienia można użyć imulsowego ola elektromagnetycznego [7]. Elektromagnetyczna metoda ierścieniowa ozwala osiągać szybkość odkształcenia rzędu 10 4 s 1. Przy maksymalnej szybkości odkształcenia eksansja ierścienia zachodzi z rędkością radialną wynoszącą około 400 m/s. Od kilku lat w Wojskowej Akademii Technicznej rowadzone są race badawcze dotyczące określania dynamicznych właściwości materiałów za omocą metody ierścieniowej [8]. Do tej ory badano materiały za omocą metody wybuchowego rozszerzania ierścienia w której do rejestracji radialnego ruchu ścianek ierścienia stosowano technikę rentgenografii imulsowej. Obecnie rozoczęto race badawcze których celem jest zbudowanie stanowiska do elektromagnetycznego rozszerzania róbek ierścieniowych. Równocześnie odjęto race teoretyczne [9 10] i teoretyczno-numeryczne dotyczące oracowania modelu matematyczno-fizycznego który oisywałby dynamiczne właściwości materiału cienkościennego ierścienia rozszerzającego się radialnie od działaniem sił silnego imulsowego ola elektromagnetycznego. Przy budowie tego modelu odstawowym roblemem okazał się wybór równania konstytutywnego które najleiej oisywałoby zachowanie się materiału w warunkach elektromagnetycznego rozszerzania ierścienia. W związku z tym w niniejszym artykule odjęto róbę analizy rzydatności wybranych związków konstytutywnych w symulacji rocesu elektromagnetycznego rozszerzania ierścienia. Wyboru związku konstytutywnego dokonano stosując metodykę analizy orównawczej a za unkt odniesienia rzyjęto wyniki badań doświadczalnych zarezentowane w racy [1]. 2. Elektromagnetyczna metoda ierścieniowa W orównaniu z wybuchową metodą ierścieniową technika rozęczniania ierścienia za omocą ola elektromagnetycznego osiada kilka istotnych zalet [11] a mianowicie: (1) Ruch jest nadawany róbce ierścieniowej w wyniku działania sił masowych zamiast obciążenia uderzeniowego w wyniku czego nie wystęują oczątkowe zjawiska uderzeniowe (falowe). (2) Warunki obciążenia róbki są dużo

3 Wybór związku konstytutywnego do analizy zachowania się materiału ierścienia łatwiejsze do kontrolowania dzięki możliwości zmiany szybkości narastania i amlitudy imulsu rądowego naędzającego róbkę ierścieniową. (3) Badanie materiałów tą metodą można rzerowadzać w tyowych warunkach laboratoryjnych odczas gdy w rzyadku metody wybuchowej należy wykonywać je w secjalnie rzygotowanych omieszczeniach (bunkrach). Elektromagnetyczna metoda ierścieniowa nie jest też ozbawiona wad. Możemy do nich zaliczyć: nagrzewanie się materiału róbki w wyniku rzeływu rądu (nagrzewanie indukcyjne) oraz możliwość owstawania odczas fragmentacji ierścienia łuku elektrycznego który wywołuje dodatkowe lokalne nagrzewanie się materiału owodując zmianę warunków ekserymentu. Radialne rozszerzanie metalowych ierścieni za omocą imulsowego ola elektromagnetycznego zachodzi ogólnie w rezultacie wzajemnego oddziaływania ól elektromagnetycznych które owstają w wyniku rzeływu rądów rzez cewkę i rozszerzany ierścień. Schemat stanowiska laboratoryjnego realizującego elektromagnetyczne rozszerzanie ierścienia rzedstawiono na rysunku 1. Układ elektryczny składa się ze źródła zasilania w ostaci baterii kondensatorów dwóch kluczy cewki oraz badanego cienkościennego ierścienia wykonanego z rzewodzącego materiału. Cały roces radialnego rozęczniania metalowego ierścienia odbywa się nastęująco: oczątkowo kondensatory są ładowane do naięcia V 0 (zazwyczaj wartości naięcia ładowania mieszczą się w rzedziale od 4 do 10 kv) a nastęnie obwód elektryczny zasilania jest zamykany kluczem K 1 (rys. 1). W obwodzie Rys. 1. Schemat ideowy układu elektromagnetycznego rozęczania metalowych ierścieni; K 1 K 2 klucze rzełączające V naięcie na kondensatorach R rezystancja obwodu

4 204 R. Panowicz E. Włodarczyk J. Janiszewski zaczyna łynąć rąd który osiąga wartość kilkudziesięciu kiloamerów. Płynący zmienny w czasie rąd generuje zmienne ole elektromagnetyczne wokół cewki. W wyniku tego rzez metalowy ierścień który jest osadzony na cewce tak jak to okazano na rysunku 1 rzechodzi zmienny w czasie strumień ola elektromagnetycznego. Indukuje on w ierścieniu rąd którego kierunek jest rzeciwny do kierunku rądu w obwodzie cewki. Prąd ten z kolei indukuje wokół ierścienia ole elektromagnetyczne które wzajemnie oddziaływuje z olem cewki. Konsekwencją oisanego wyżej oddziaływania jest wzajemne odychanie się cewki i ierścienia. Duże zmiany strumienia ola magnetycznego wywołane rzez duże zmiany rądu owodują ojawienie się tak dużych sił że dochodzi do rozszerzania ierścienia z rędkościami radialnymi osiągającymi kilkaset metrów na sekundę w rzyadku sztywnego zamocowania zwojów cewki. Nastęnie w chwili t 1 kiedy rąd w obwodzie cewki ma małą bezwzględną wartość rzełącznik K 2 odłącza od obwodu kondensatory. Od tego momentu ierścień orusza się wyłącznie dzięki siłom bezwładności a mierzona wartość oóźnienia ierścienia jest zależna tylko od własności fizyko-mechanicznych materiału z którego wykonano ierścień. Przyjmuje się że w obszarze tym zarówno regresja rędkości jak i szybkość odkształcenia jest stała. Końcowym stadium eksansji ierścienia jest jego fragmentacja która zachodzi o czasie charakterystycznym dla danego materiału i warunków naędzania. Aby oszacować odkształcenia szybkość odkształcenia oraz narężenia wystęujące w ierścieniu odczas rozęczania należy zmierzyć zmianę romienia ierścienia w czasie lub zmianę rędkości radialnej romienia w czasie. Pomiar tych wielkości jest zazwyczaj realizowany za omocą kamery do rejestracji zjawisk szybkozmiennych rentgenografii imulsowej lub za omocą interferometru do omiaru rędkości (ang. VISAR). 3. Równania oisujące układ badawczy ierścień-cewka Do wyrowadzenia równań oisujących układ badawczy ierścień-cewka wykorzystano odstawowe zależności z teorii elektrodynamiki i mechaniki. Na rysunku 2 rzedstawiono schematy obwodów elektrycznych które odowiadają konfiguracji układu badawczego w danym momencie rocesu rozszerzania ierścienia. Wykorzystując drugie rawo Kirchoffa do obwodów z rysunku 2 otrzymuje się równania oisujące rądy w układzie cewki i ierścienia: Q disel dm di 0 = Isel Rsel + + Lsel + vi + M (1) C dt dx dt sel dl di dm disel dm 0 = I R + vi + L + visel + M + visel (2) dr dt dr dt dr

5 Wybór związku konstytutywnego do analizy zachowania się materiału ierścienia I sel 1 = 0 dq = (3) dt t t1 t > t 1 (4) I rąd w elemencie badanym; R rezystancja ierścienia; L indukcyjność ierścienia; υ rędkość radialna ierścienia; C sel ojemność kondensatorów; L sel indukcyjność własna cewki; Q ładunek zgromadzony na kondensatorze; M indukcyjność wzajemna. Rys. 2. Schematy obwodów elektrycznych dla oszczególnych etaów rocesu naędzania elektromagnetycznego: (a) obwód elektryczny w chwili oczątkowej t = 0; (b) obwód elektryczny dla t t 1 ; (c) obwód dla t t 1 ( t 1 czas zadziałania klucza K 2 ) R rezystancja C ojemność L indukcyjność własna M indukcyjność wzajemna K 1 K 2 klucze rzełączające Człony w których wystęuje rędkość ierścienia są związane ze zmianą arametrów elektrycznych układu na skutek zmiany romienia ierścienia. Indukcyjność ierścienia oisuje zależność [12 15]: ( ) L = 0 mr ln 8r rrz 2 + µ 0 rzenikalność dielektryczna różni; µ m rzenikalność dielektryczna ośrodka; (5)

6 206 R. Panowicz E. Włodarczyk J. Janiszewski r rz romień rzewodnika; ϕ wsółczynnik: ϕ = 0 kiedy rąd łynie o owierzchni rzewodnika (efekt naskórkowy) i ϕ = 1/4 kiedy jest równomiernie rozłożony w rzewodniku. Zakładając że w ierścieniu wystęuje tylko obwodowy (jednowymiarowy) stan narężenia oraz liniowy rozkład ola magnetycznego równanie ruchu ierścienia można rzedstawić w ostaci: dv dl I = + (6) dt A A dr r r 2 b( r) 1 r 0 I Isel 4 4 ρ gęstość; r romień bieżący ierścienia (wsółrzędna Eulera); A ole rzekroju orzecznego; σ φ narężenie wystęujące w ierścieniu; b(r) czynnik geometryczny wynikający z zastosowania rawa Biota-Savarta do cewki [13]. W rozatrywanym roblemie rzyjęto że gęstość róbki ρ = const. Przyjęcie takich założeń ociąga za sobą konieczność stosowania ierścieni o niewielkim rzekroju orzecznym. Stosowane cewki i ierścienie mają średnicę rzędu kilku centymetrów nakłada to wymóg stosowania róbek o rozmiarze charakterystycznym (grubość ierścienia) nie większym niż kilka milimetrów. W rzeciwnym wyadku wystęują duże rozbieżności omiędzy wynikami ekserymentalnymi a teoretycznymi czy też symulacjami komuterowymi. Pierwszy człon równania (6) związany jest z siłą Lorentza działającą na badany element znajdujący się w olu magnetycznym cewki. Charakter drugiego członu jest taki sam ale związany jest z rądem indukowanym w elemencie badanym i wytworzonym rzez ten rąd olem magnetycznym. Obie te siły owodują rozszerzanie ierścienia. Przeciwdziała im siła związana z wytrzymałością ierścienia trzeci człon równania. Końcowa faza rocesu gdy odłączone są kondensatory (t > t 1 ) decyduje o zachowaniu róbki. Wartość oóźnienia z jakim orusza się róbka zależy liniowo od wystęującego w niej narężenia. Narężenie to oisuje w zakresie srężystym rawo Hooka a w zakresie lastycznym rzyjęty związek konstytutywny danego materiału. Zakres stosowalności rawa Hooka określa warunek lastyczności Hubera-Misesa-Hencky ego lub Treski. W obliczeniach stosowano ierwszy z tych warunków. Przeływ dużych rądów w elemencie badanym mimo jego niewielkiego ooru owoduje wydzielenie znacznych ilości cieła które odnosi temeraturę elementu rzez co wływa na zmianę jego własności mechanicznych. Drugą rzyczyną

7 Wybór związku konstytutywnego do analizy zachowania się materiału ierścienia ogrzewania się róbki są odkształcenia lastyczne. Przy założeniu braku wymiany cieła z otoczeniem i uwzględnieniu zjawisk wływających na temeraturę badanego elementu równanie energii rzyjmuje ostać: dt d 2 cm = RI + V (7) dt dt c cieło właściwe rzy stałym ciśnieniu; m masa elementu badanego; V objętość róbki; ε odkształcenie lastyczne w róbce; T temeratura róbki; χ = 09 czynnik Taylora-Quinney a określający jaka część energii ochodzącej z odkształceń lastycznych jest zamieniana na cieło. Przyczyną zmiany temeratury cewki jest tylko i wyłącznie łynący rzez nią rąd dlatego: dtsel c 2 selmsel = Rsel Isel (8) dt m sel masa cewki; T sel temeratura cewki; c sel cieło właściwe rzy stałym ciśnieniu. Cieło właściwe określano z zależności: A c B c stałe; C ojemność cielna; M atm masa atomowa. C = A + B T (9) c c c = C M atm (10) Natomiast rezystancję rzewodników z: ( ) Rsel = Rsel ao sel Tsel T 0 (11) 2r R = 1 + aor ( T T 0 ) A (12) R sel0 rezystancja cewki w temeraturze odniesienia T 0 ;

8 208 R. Panowicz E. Włodarczyk J. Janiszewski a ol wsółczynnik temeraturowy; ξ oór właściwy a zmianę szybkości odkształcenia lastycznego ierścienia z [1]: d dt = tot 2 tot d 1 RI d E d E c V dt 1 d d 1+ + E d E c dt tot r (13) E moduł Younga badanego materiału; ε tot odkształcenie w elemencie badanym; ( ) 2 = v r = v r v r. tot tot Przedstawiony wyżej układ równań (1)-(13) wraz z wybranym związkiem konstytutywnym rozwiązywano za omocą metod numerycznych. 4. Związki konstytutywne Jak wsomniano wyżej ruch ierścienia w drugiej fazie ekserymentu zależy raktycznie tylko od własności fizyko-mechanicznych elementu. Znając rędkość lub ołożenie elementu w różnych chwilach można określić niektóre arametry związku konstytutywnego oisującego materiał z którego wykonana jest róbka. Jednak nie wszystkie związki w równym stoniu odzwierciedlają zachodzące zjawiska w róbce. Dlatego należy srawdzić który związek konstytutywny będzie najleiej oisywał zachowanie się róbki w kształcie cienkościennego ierścienia. W racy oddano analizie ięć najczęściej stosowanych w badaniach dynamicznych związków konstytutywnych: a) Johnsona-Cooka b) Steinberga-Guinana c) Zerilli-Armstronga dla metali o strukturze fcc d) MTS e) PTW. Analizy dokonywano modelując zachowanie się eksandującego ierścienia wykonanego z miedzi dla której dostęne są rzetelne dane teoretyczne i ekserymentalne. Do obliczeń wykorzystano literaturowe wartości arametrów oisujących badany materiał którego właściwości fizyczno-mechaniczne odowiadają miedzi badanej doświadczalnie w racy [1] miedź w gatunku OFE o wielkości ziarna 10 µm i twardości 60 HV.

9 Wybór związku konstytutywnego do analizy zachowania się materiału ierścienia Związek Johnsona-Cooka W 1983 roku Johnson i Cook (JC) zaroonowali ierwszy fenomenologiczny związek o szerokim zakresie stosowania. Prawo to obejmuje: zakres wysokich temeratur dużych odkształceń i szybkości odkształcenia. Jest jednym z rostszych równań dla którego dostęne są liczne dane materiałowe. Narężenie w obszarze odkształceń lastycznych (ang. flow stress) w tym związku wyrażone jest zależnością: n tot * m ( A B( ) ) 1 C ln ( 1 T ) = T T T = T T * 0 A B C n m stałe materiałowe; T m temeratura tonienia. m 0 (14) (15) Dane materiałowe użyte do obliczeń zawarto w tabeli 1. Stałe materiałowe miedzi dla związku Johnsona-Cooka [2] Tabela 1 A [MPa] B [MPa] C [ ] n [ ] m [ ] T m [K] Związek Steinberga-Guinana Do tej samej gruy związków ekserymentalnych zaliczamy równanie oracowane rzez Steinberga i Guinana (SG) [17]. Podstawową różnicą omiędzy związkiem Johnsona-Cooka a omawianym jest brak w tym drugim członu wiążącego wartość narężenia ulastycznienia i szybkość odkształcenia lastycznego. Równanie to oisują nastęujące zależności: n ( 1 ) 1 b( ) 1 3 h( T 300) = n ( 1 ) 0 max (16) + (17) = 0 dla T > T m (18)

10 210 R. Panowicz E. Włodarczyk J. Janiszewski β n b h σ 0 σ max stałe; ciśnienie; ρ 0 gęstość oczątkowa. Zależność na ciśnienie rzyjmowano za [16] w ostaci: = k x + k x + k x + E (19) x = 1 (20) 0 k2 = 0 x < 0 (21) E E T = (22) E E = E + E x + E x + E x + E x (23) E energia wewnętrzna właściwa; E 00 E 01 E 02 E 03 E 04 k 1 k 2 k 3 arametry; γ 0 wsółczynnik Grüneisena. Dane wykorzystane w obliczeniach zawarto w tabeli 2. Tabela 2 Stałe materiałowe miedzi dla związku Steinberga-Guinana [16 17] σ 0 [MPa] σ max [MPa] β [ ] n [ ] b [Ga 1 ] T m [K] h [K 1 ] γ 0 [ ] E 00 [J/kg] E 01 [J/kg] E 02 [J/kg] E 03 [J/kg] E 04 [J/kg] k 1 [GPa] k 2 [GPa] k 3 [GPa]

11 Wybór związku konstytutywnego do analizy zachowania się materiału ierścienia Związek Zerilli-Armstronga dla metali o strukturze fcc Równanie konstytutywne oracowane rzez F. J. Zerillego i R. W. Armstronga (ZA) w 1987 roku na odstawie teorii dyslokacji [14] jest ierwszym związkiem oartym na rzesłankach fizycznych a nie tylko ekserymentalnych. Każda struktura krystalograficzna materiału (bcc fcc HPC) oisana jest trochę innym związkiem konstytutywnym gdyż inaczej zachowuje się od wływem dynamicznych obciążeń. Autorzy tego równania rzyjęli że narężenia lastycznego łynięcia można rzedstawić w ostaci: ( ) = + T G th (24) ierwszy człon jest stałym atermicznym członem określonym rzez długozasięgowe bariery n. granice ziaren wystęujących w materiale a drugi oisuje wływ krótkozasięgowych barier łaszczyzn oślizgu które mogą być rzekraczane gdy materiał będzie miał odowiednią energię termiczną temeraturę. Korzystając z teorii dyslokacji można rzedstawić ten człon dla metali tyu fcc w ostaci: ( ) = 1 2 ( + ) ex ln. (25) T s s T s T th Na wartość lastycznego łynięcia ma wływ także wielkość ziaren materiału. Zależność ta jest zwykle oisywana równaniem Hall-Petcha. Gdy uwzględni się te zależności równanie (24) rzyjmuje ostać: ( ) = G + s1 ex s2t + s3t ln + kd (26) σ G s 1 s 2 s 3 k stałe materiałowe; d średnica ziaren. Wartości stałych w związku rzyjęto za Zerillim i Armstrongiem [14] (tab. 3). Stałe materiałowe dla związku Zerilli-Armstronga [14] Tabela 3 σ G [MPa] s 1 [MPa] s 2 [K 1 ] s 3 [K 1 ] k [MPa x mm 1/2 ]

12 212 R. Panowicz E. Włodarczyk J. Janiszewski Związek MTS Związek MTS (ang. mechanical threshold stress) (Follansbee i Kocks 1988 r.) oarty jest na tych samych rzesłankach fizycznych jak zależność Zerillego i Armstronga (teoria dyslokacji). Ma on ogólną formę w ostaci [19 20]: ( T ) ( T ) = + S (27) a i i 0 ierwszy człon jest członem atermicznym mającym taki sam sens jak σ G w związku Zerilli-Armstronga; µ moduł ścinania; µ 0 moduł ścinania w temeraturze 0 K; S i określa stosunek omiędzy narężeniem a narężeniem lastycznego łynięcia dla danego tyu dyslokacji; σ i składowe uwzględniające oddziaływania różnego tyu dyslokacji wystęujących w materiale. Najczęściej związek ten rzyjmuje ostać: ( T ) ( ) ( T ) = + S + S (28) a i i e e 0 σ i uwzględnia wływ szybkości odkształcenia na narężenie; σ e zmienna oisująca roces lastycznego wzmocnienia materiału. Dla miedzi równanie (28) uraszcza się do ostaci [20]: S e ( T ) ( T ) = + S (29) a e e 0 1 e 1 qe kt 0e = 1 ln. 3 g0eb ( T ) (30) Ewolucja mikrostruktury oisana jest zależnością: e = ( ) e (31)

13 Wybór związku konstytutywnego do analizy zachowania się materiału ierścienia ( ) ( 1 e 0 F ( e )) = (32) θ 0 określa utwardzenie materiału na skutek gromadzenia dyslokacji a θ 0 F(σ e ) jego ulastycznienie. Zjawiska fizyczne wystęujące w rocesie utwardzania nie zostały do tej ory dobrze zbadane. Dlatego utwardzanie materiału oisuje emiryczna formuła: a funkcję oisującą ulastycznienie: = a + a ln + a (33) F ( ) e ( ) e tanh es = (34) tanh es kt ln = ln 3 0es g0esb ( T ) oes k stała Boltzmana; b wektor Burgersa; σ a σ oes g oe g oes e q e 0 e oes równania konstytutywnego. α σ e0 a 0 a 1 a 2 arametry (35) W związku z (31) jest to jedyne równanie które uwzględnia nie tylko bieżący stan materiału ale także jego wcześniejszą ewolucję. Stałe materiałowe miedzi dla związku MTS [20] Tabela 4 σ a [MPa] σ oes [MPa] g oe [ ] g oes [ ] e [ ] q e [ ] 0e [s 1 ] / oes [s 1 ] α [ ] σ e0 [ ] a 0 [GPa] a 1 [MPa] a 2 [MPa] b [m]

14 214 R. Panowicz E. Włodarczyk J. Janiszewski Moduł ścinania rzyjęto za [20] w ostaci: µ 0 D T 0 arametry. D ( T ) = 0 ex 1 ( T T ) 0 (36) Stałe materiałowe do modułu ścinania (36) [20] Tabela 5 µ 0 [GPa] D [GPa] T 0 [K] Wartości stałych wykorzystanych w obliczeniach w których stosowano związek MTS zawarto w tabelach 4 i 5. Związek PTW Związek o najszerszym zastosowaniu w zakresie temeratur (do temeratury tonienia) i szybkości odkształcenia (do s 1 ) został oracowany w 2003 roku rzez Prestona Tonksa i Wallace a. Właściwie składa się z dwóch zależności. Do tyowego równania uwzględniającego uogólnione rawo Voce włączono oracowaną rzez Wallace a teorię silnych fal uderzeniowych w metalach [21 22] co ozwoliło rozszerzyć zakres stosowalności związku. Prawo Voce oisuje zmniejszenie energii otrzebnej do umocnienia materiału gdy narężenie w materiale osiąga wartość graniczną. Uogólnione rawo uwzględnia dodatkowo fakt że dla metali tyu fcc zmniejszenie energii umocnienia nastęuje w mniejszym stoniu dla większych wartości narężenia granicznego: = ( T ) ˆ ˆ s ex 1 dˆ s ˆ 0 y = d ˆ ˆ s y ex 1 s ˆ 0 y ˆ y = y ( T ) narężenie granicznego odkształcenia lastycznego (ang. yield stress); ˆ s = s ( T ) wartość narężenia granicznego (ang. saturation stress); s 0 θ arametry.

15 Wybór związku konstytutywnego do analizy zachowania się materiału ierścienia Związek ten ma nastęującą ostać [18]: 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ s y = s + s0 y ) ln 1 1 ex s ˆ 0 y ex. ˆ ˆ s y ( s ˆ 0 y ) ex 1 s ˆ 0 y (37) Wartość narężenia granicznego odkształcenia lastycznego oisana jest zależnością: ˆ max 0 ( 0 ) ˆ y = s s s erf kt ln y2 s1 min y1 s0 a wartość narężenia granicznego: s1 ˆ max 0 ( 0 ) ˆ s = s s s erf kt ln s0 (38) (39) 1 3 ( T ) = 2 3M (40) Tˆ = T T m M masa atomowa; ρ gęstość; s 0 s y 0 y k γ θ s 1 y 1 y 2 arametry równania konstytutywnego. Stałe materiałowe dla związku PTW [18] Tabela 6 s 0 [ ] S [ ] y 0 [ ] Y [ ] [ ] k [ ] M [g/mol] s 1 [ ] Y 1 [ ] y 2 [ ] θ [ ] α [ ] γ [ ] µ 0 [GPa]

16 216 R. Panowicz E. Włodarczyk J. Janiszewski Moduł ścinania rzyjęto za [18] w ostaci: ( T ) 0( Tˆ ) = 1. (41) Dane materiałowe dla miedzi rzedstawiono w tabeli Analiza Analizę orównawczą związków konstytutywnych wykonano na odstawie zachowania się rozszerzanych elektromagnetycznie ierścieni miedzianych o średniej średnicy 32 mm i rzekroju orzecznym ścianki 1 1 mm. Tak jak w ekserymencie zarezentowanym w racy [1] rzyjęto że naięcie baterii kondensatorów wynosiło 4 kv. Pozostałe arametry układu zasilania zostały zawarte w tabeli 7 [1]. Parametry układu zasilania Tabela 7 A r [cm 2 ] C sel [µf] R sel0 [Ω] L sel [µη] T 0 [C] A c [J/mol K] B c [J/mol K 2 ] a o [K 1 ] ξ r [Ω m] E r [GPa] Oceny badanych równań dokonywano na odstawie orównania zmiany rędkości radialnej ierścienia w czasie oraz zależności narężenia lastycznego łynięcia od odkształcenia. Jak wsomniano wcześniej wyniki otrzymane z oszczególnych związków orównano z analogicznymi wynikami badań doświadczalnych zawartych w racy [1]. Wykres rędkości rozęczania elektromagnetycznego ierścienia miedzianego został rzedstawiony na rysunku 3. Zawiera on krzywą ekserymentalną oraz krzywe otrzymane z rozwiązania rzedstawionego wcześniej modelu matematyczno-fizycznego (1)-(13) dla różnych zależności konstytutywnych. Przebieg rocesu rozęczania ierścienia można odzielić na trzy etay. W ierwszym etaie ierścień znajdując się w zmiennym olu elektromagnetycznym rzysiesza od 0 do około 95% rędkości maksymalnej. W drugim etaie orusza się ze zmiennym malejącym rzysieszeniem. Koniec tego etau określa unkt w którym ierścień zaczyna oruszać się ze stałym oóźnieniem. W ostatnim trzecim etaie ierścień orusza się z tym oóźnieniem aż do momentu fragmentacji. Z oznawczego unktu widzenia najważniejszy jest trzeci eta. Podczas tej fazy

17 Wybór związku konstytutywnego do analizy zachowania się materiału ierścienia Rys. 3. Prędkość elektromagnetycznie naędzanego ierścienia; Eks. ekseryment [1] JC Johnson-Cook MTS Mechanical Threshold Stress ZA Zerilli-Armstrong SG Steinberg-Guinana PTW Preston Tonks Wallace rozęczania na ierścień nie działają już siły elektromagnetyczne. Porusza się on tylko dzięki siłom inercji a oóźnienie z jakim się orusza zależy wyłącznie od własności wytrzymałościowych. Na odstawie tego oóźnienia można określić dynamiczne właściwości materiału ierścienia. Znajomość ierwszych dwóch etaów jest konieczna do określenia stanu oczątkowego ierścienia (T σ ε ) rzed trzecim etaem rozęczania. W ierwszej fazie w wyniku działania sił ochodzących od zmiennego ola elektromagnetycznego rozęczanie zachodzi częściowo w zakresie odkształceń srężystych. Jak widać na rysunku 3 w tej fazie rocesu naędzania ierścienia (do około 15 µs) osiągnięto bardzo dobrą zgodność omiędzy teorią a ekserymentem. Stąd można sądzić że rzedstawiony model niezależnie od rzyjętego związku konstytutywnego orawnie oisuje tę część rozęczania. W drugiej fazie rocesu maleją rądy w układzie cewki i róbki. Siły elektromagnetyczne rzestają dominować w rocesie naędzania. Coraz większą rolę zaczynają odgrywać własności wytrzymałościowe róbki (trzeci człon równania 6). Punkt ten odowiada ok. 96% rędkości maksymalnej róbki. Pierścień osiąga go o czasie 151 µs. Z analizy wyników modelowych wynika że w tej chwili rąd w obwodzie cewki I sel = 19 ka jest mniejszy o 39 ka od rądu maksymalnego natomiast rąd w róbce wynosi 272 ka. Przy czym maksymalny obliczony rąd w ierścieniu wynosił 446 ka. Wartość maksymalnej rędkości radialnej osiągniętej w drugim etaie dla ekserymentu zarezentowanego w racy [1] wyniosła 185 m/s. Z kolei wartości

18 218 R. Panowicz E. Włodarczyk J. Janiszewski rędkości ierścienia otrzymane w wyniku modelowania dla oszczególnych związków konstytutywnych zostały rzedstawione w tabeli 8. Największą rędkość rozęczania otrzymano gdy do obliczeń zastosowano związek PTW a najmniejszą w rzyadku związku MTS. Największa różnica względna wyniosła 37% w rzyadku zastosowania równania PTW. Wartości maksymalnej rędkości elementu badanego Tabela 8 Związek Eks. JC SG ZA MTS PTW V max [m/s] różnica [%] W trzeciej fazie ekserymentu ierścień orusza się tylko w wyniku działania sił bezwładności ze stałym oóźnieniem zależnym jedynie od własności wytrzymałościowych materiału ierścienia i warunków naędzania. Wartości obliczonych oóźnień zawarto w tabeli 9. Oóźnienia elementu badanego w końcowej fazie ruchu Tabela 9 Związek Eks. JC SG ZA MTS PTW a [m/s 2 ] różnica [%] W tym zakresie rozęczania ierścienia najleszą zgodność z ekserymentem otrzymano dla związku PTW. Dla tej zależności względna różnica nie była większa niż 02%. Porównując obliczoną i zmierzoną [1] zależność narężenia lastycznego łynięcia w funkcji odkształcenia (rys. 4) otrzymujemy wyjaśnienie różnic w rofilach rędkości (rys. 3). Narężenie lastycznego łynięcia dla ε > 04 wyliczone na odstawie rawa Johnsona-Cooka jest rawie o 35% mniejsze od wartości ekserymentalnej. Jest to najgorszy wynik ze wszystkich rzebadanych równań konstytutywnych. Otrzymane krzywe narężenie-odkształcenie (rys. 4) ozostałych związków konstytutywnych układają się w taki sosób że tworzą dwie gruy od względem zgodności z krzywą ekserymentalną. Pierwsza grua krzywych charakteryzuje się dużą rozbieżnością od krzywej ekserymentalnej. Do tej gruy należą krzywe otrzymane z obliczeń w których wykorzystano związki konstytutywne Zerilli-Arm-

19 Wybór związku konstytutywnego do analizy zachowania się materiału ierścienia Rys. 4. Dynamiczne krzywe narężenie-odkształcenie; Eks. ekseryment [1] JC Johnson- -Cook MTS Mechanical Threshold Stress ZA Zerilli-Armstrong SG Steinberg-Guinana PTW Preston Tonks Wallace stronga i MTS. Druga grua (Steinberg-Guinana PTW) charakteryzuje się dobrą zgodnością z wynikami doświadczalnymi. W tym miejscu należy wsomnieć że związki MTS i ZA należą do tej samej gruy modeli konstytutywnych teoretycznych oartych na teorii dyslokacji. Równanie SG należy do gruy związków ekserymentalnych razem z zależnością JC z kolei PTW należy do gruy związków teoretycznych. O ile równania konstytutywne MTS i ZA ochodząc z tej samej gruy owinny charakteryzować się odobnymi wynikami modelowania o tyle w rzyadku zależności SG i PTW trudno jest uzasadnić małą różnicę omiędzy otrzymanymi wynikami. Najleszą zgodność z doświadczalną krzywą narężenie odkształcenie mają równania z drugiej gruy związków konstytutywnych. Przykładowo dla związku SG maksymalna różnica w końcowej fazie rocesu (02 < ε < 04) omiędzy krzywą ekserymentalną a obliczoną wynosiła 61%. Z kolei dla równania PTW różnica ta wynosiła 98%. Analizując warunki ekserymentu oraz rzyjęte założenia modelowe można dostrzec ewne różnice mające wływ na końcowy wynik. Przykładem tego może być geometria cewki która w rzeczywistości nie jest zbiorem osiowosymetrycznych ierścieni lecz układem sześciu równoległych zwojów drutu. Różnice te można uwzględnić rzez wrowadzenie wsółczynnika korekcji η do czynnika geometrycznego b(r) w równaniu (6). Był on dobierany na drodze ekserymentu komuterowego tak aby otrzymać taką samą rędkość maksymalną wynoszącą 185 m/s dla wszystkich związków konstytutywnych. Zabieg ten miał na celu stworzenie orównywalnych warunków naędzania (faza oczątkowa) niezależnie od zastosowanego równania konstytutywnego. Dzięki temu narężenia w ierścieniu na oczątku trzeciego etau rozęczania miały orównywalną wartość.

20 220 R. Panowicz E. Włodarczyk J. Janiszewski W tabeli 10 rzedstawiono dobrane wartości arametru η. Wartości wsółczynnika η Tabela 10 Związek JC SG ZA MTS PTW η Zmiana ta nie sowodowała istotnych różnic w oóźnieniu ierścienia. Największa różnica w oóźnieniu wystąiła dla związku PTW którego wyniki raktycznie okryły się z wynikami otrzymanymi dla równania SG (rys. 5). Rys. 5. Prędkość elektromagnetycznie naędzanego ierścienia z uwzględnieniem arametru η; Eks. ekseryment [1] związek SG η dla η = związek PTW dla η = 1 związek PTW η dla η = Z rzerowadzonego orównania wynika że zastosowanie związków z drugiej gruy (SG lub PTW) w oisie rocesu elektromagnetycznego naędzania ierścienia daje wyniki najbliższe ekserymentowi. Dla tych równań różnica omiędzy ekserymentalnie otrzymaną wartością narężenia lastycznego łynięcia a obliczoną nie była większa niż 98% a oóźnienie 02%. Z tych dwóch raw związek konstytutywny Steinberga-Guinana wydaje się leszy do modelowania rzedstawionego zjawiska. Wiąże się to z większą dostęnością danych literaturowych dla wielu różnorodnych materiałów oraz leszym doasowaniem do krzywej ekserymentalnej bez konieczności znajomości rędkości maksymalnej elementu badanego i wrowadzania wsółczynnika η.

21 Wybór związku konstytutywnego do analizy zachowania się materiału ierścienia Zakończenie Z analizy otrzymanych rezultatów wynika że rzedstawiony model matematyczno-fizyczny elektromagnetycznego rozęczania cienkościennego ierścienia z odowiednio dobranym związkiem konstytutywnym bardzo dobrze oddaje rzebieg całego rocesu. Stwierdzono że do określenia własności wytrzymałościowych na odstawie elektromagnetycznego testu ierścieniowego najleiej nadaje się zależność Steinberga-Guinana lub PTW. Przy zastosowaniu tych związków różnice względne nie były większe niż kilka rocent. Małe różnice omiędzy wynikami ekserymentalnymi a teoretycznymi wynikają z uwzględnienia zjawisk towarzyszących rzeływom dużych rądów w tym także rocesów dysyatywnych. Potwierdziły się doniesienia literaturowe o wystęujących rozbieżnościach omiędzy danymi ekserymentalnymi a wynikami obliczeń dla niektórych materiałów otrzymywanymi z wykorzystaniem równania Johnsona-Cooka dla ewnej gruy ekserymentów [23 24]. Stąd można uzasadnić liczne róby modyfikacji tego równania konstytutywnego. Pracę zrealizowano w ramach rojektu badawczego własnego nr 0 T00C finansowanego rzez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego. Artykuł włynął do redakcji r. Zweryfikowaną wersję o recenzji otrzymano w listoadzie 2007 r. LITERATURA [1] W. H. Gourdin Analysis and assessment of electromagnetic ring exansion as a high-strain-rate test J. Al. Phys [2] M. A. Meyers Dynamic behaviour of materials Johs Wiley and Sons INC New York-Chichester-Brisbane-Toronto-Singaoure [3] H. Kolsky An investigation of the Mechanical Proerties of Materials at Very High Rates of Loading Proc. Phys. Soc. B [4] G. Taylor The use of flat-ended rojectiles for determining dynamic yield stress I. Theoretical considerations Proc. Roy. Soc. London Series A [5] J. E. Field i in. Review of exerimental techniques for high rate deformation and shock studies Int. J. Imact Engng. vol [6] P. C. Johnson B. A. Stein R. S. Davis Measurement of Dynamic Plastic Flow Proerties under Uniform Stress in Symosium on the Dynamic Behavior of Materials ASTM Secial Publications no [7] F. I. Niordson A Unit for Testing Materials at High Strain Rates Exermiental mechanics 5(1) [8] E. Włodarczyk J. Janiszewski Static and dynamic ductility of coer and its sinters J. Tech. Phys [9] E. Włodarczyk J. Janiszewski Z. Głodowskki Dynamiczny stan narężenia i odkształcenia w cienkim rozszerzanym wybuchowo metalowym ierścieniu Biul. WAT LIV

22 222 R. Panowicz E. Włodarczyk J. Janiszewski [10] E. Włodarczyk J. Janiszewski Dynamiczny jednoosiowy stan narężenia i skończonego odkształcenia w cienkościennym ierścieniu naędzanym wybuchowo Biul. WAT LIV [11] D. E. Grady D. A. Benson Fragmentation of metal Rings by Electromagnetic Loading Exerimental Mechanics [12] Tablice fizyczno-astronomiczne Wyd. Adamantan Warszawa [13] M. Zahn Pole elektromagnetyczne PWN Warszawa [14] F. J. Zerilli R. W. Armstrong Dislocation mechanics based constitutive relations for material dynamics calculations J. Al. Phys. 61(5) [15] A. C. M. de Queiroz Mutual inductance and inductance calculations by Maxwell s Method Internet. [16] K. Jach i in. Komuterowe modelowanie dynamicznych oddziaływań ciał metodą unktów swobodnych PWN Warszawa [17] D. J. Steinberg S. G. Cochran M. W. Guinan A constitutive model for metals alicable at high-strain rate J. Al. Phys [18] D. L. Preston D. L. Tonks D. C. Wallace Model of lastic deformation for extreme loading conditions J. Al. Phys [19] S. R. Chen M. G. Stout U. F. Kocks i in. Constitutive modeling of a 5182 aluminum as a function of strain rate and temerature Hot deformation of aluminum alloys II symosium Rosemont USA [20] M. A. Zocher P. J. Maudlin S. R. Chen E. C. Flower-Maudlin An evaluation of several hardening models using Taylor cylinder imact data Euroean congress on comutational methods in alied sciences and engineering Barcelona Sain [21] D. C. Wallace Irreversible thermodynamics of overdriven shocks in solids Phys. Rev. B [22] D. C. Wallace Nature of the Process of Overdriven Shocks in Metals Phys. Rev. B [23] G. R. Johnson T. J. Holmquist Evaluation of cylinder-imact test data for constitutive model constants J. Al. Phys. 64 (8) [24] W. K. Rule S. E. Jones A revised form for the Johnson-Cook strength model Int. J. Imact Engng. vol. 21 no R. PANOWICZ E. WŁODARCZYK J. JANISZEWSKI Selection of constitutive model for analysis of behaviour rediction of ring material exanded by ulse electromagnetic field Abstract. The selection of a constitutive model from among commonly used models which in the best way describe dynamic behaviour of material during electromagnetic exanding ring test is our rimary goal in this aer. Five more oular constitutive models are deicted and examined: Johnson-Cook (JC) Steinberg-Guinan (SG) Zerilli-Armstrong (ZA) MTS and Preston-Tonks- Wallace (PTW) models. As a criterion of the selection qualitative/quantitative agreement of the numerical results with analogous data obtained from exeriment resented in Ref. 1 was taken. It was found that numerical results obtained by using SG or PTW model were the best consistent with exerimental data. Keywords: high-strain-rate material roerties stress-strain relations electromagnetic exanding ring test constitutive models Universal Decimal Classification: