x) / m, gdzie x nie jest wcale znane, a jedynie

Transkrypt

1 Wkł 8 Równni ruchu Bjąc ruch mienn ilnsowliśm min pęu. Bilns okłn w csie skońconm rko jes możliw. Np. erjące się ciło nje uernm cąskom powojoną wrość włsnej prękości le sm prękość włśnie wskuek ego mleje. Procenow min w rkcie krókiego ocink csu kiej prękości jes niewielk grnic sosunku / pr -> uskn kiego prliżonego ilnsu jes n scęście upełnie ścisł. W roprwnm prpku / S ρ / M. Tk pojwiją się równni wierjące pochone. osrok W prpku rkie wncliśm prękość jko unkcję ms m mienijącej się wskuek splni pliw. W m wpku nleźliśm /m -w/m. Z ch wóch prkłów rugi prpek wje się pross. Prwo iki powieiło nm ile wnosi pochon konkrenej wielkości leżnej o innej wielkości wrżon pre mienną nieleżną. Ale prpek pierws sprow się w isocie o ego rugiego g pisem owron sosunek prrosów / M / Sρ osrok. Tk npisne równnie wrż pochoną unkcji pre mienną nieleżną. Jeśli nucliśm się różnickowć pewną licę różnch unkcji o lko prm c wśró wników różnickowni jes k jk ns. G njiem ką unkcję o mm pewność że ns leżność różni się o niej lko o słą. W ochcsowch prkłch wsrcł nm njomość pochonej unkcji poęgowej n n n logrmu pr poswie e: ln / e e. i unkcji wkłnicej: Ale żcie nie jes kie prose. Nwe g prolem sprowi nm się o wnceni ej w. unkcji pierwonej jej nleienie może nie ć możliwe w żnej nnej nm lic pochonch różnch unkcji. Nie porim soie nwe prosmi równnimi g pochon leż i o miennej leżnej i nieleżnej. G chcieć rowiąć n prkł równnie α / kórm poęg oporu mieni się w rkcie ruchu jkichś powoów o wrości n pocąku o wrości smpocnie wór ni ni jko miennej nieleżnej nic nm nie pomoże. N osnim wkłie sporo uwgi poświęciliśm niu prkłu w kórm pojwi się sił leżn o położeni. W kim wpku mm F / m gie nie jes wcle nne jenie wiomo że. Mm więc wie sukne wielkości. Możn u wprwie poć się jenej T w

2 posukiwnch wielkości prękości le cenę wproweni rugiej pochonej położeni rkownego jko wielkość sukną: F / m. G rug pochon ł wrżon pre mienną nieleżną prolem sprowł się o wukronego sukni unkcji pierwonej le u k nie jes!. Owroność rugiej pochonej nie jes niese rugą pochoną unkcji owronej! No i wrescie opis ruchu nwe pojencego punku merilnego wmg wproweni więcej współręnch niż lko. N płscźnie porene jes jesce. Prw Newon ęą więc ukłem wielu równń n wiele niewiomch unkcji. Isnieją romie sposo i romie kls równń kóre możn rowiąć nlicnie o nc poć konkrene wor n osecne leżności wsskich współręnch o csu:... ec. Bęiecie je ponwć w scególności n mechnice eorecnej le re ucciwie powieieć że lic prpków rowiąwlnch w sensie wrch worów jes kroplą w moru wsskich prolemów!!! Legen krążą o w. prolemie rech cił oiłującch grwicjnie. Funowno królewskie ngro jego rowiąnie jenk poosje ono nierowiąne o seregu suleci. C ro nleż cierpieć ego powou? Sąę że nie. Posrm się pokć isij jk proso i nurlnie możn rowiąwć równni pochonmi równni różnickowe pojwijące się w wiąku prolemem ruchu meoą numercną. Zjmiem się mię innmi ruchem hrmonicnm kór nleż o ch łwch prpków le jenm prosm opisniem rech lierek mienim go w ruch whł icnego wchlonego o ± c nwe 79± prpek nie mjąc nic wspólnego ruchem hrmonicnm. I wcle nie ki łw. Inn le ropocęci rowżń numercnch prpkiem łwo rowiąwlnm poleg n łwości konroli smego mechnimu numercnego. Prjmijm powsechną konwencję że pochoną nej wielkości po csie pisujem swijąc kropkę n wielkością. I k jeśli położenie jes o prękość prspiesenie Wsskie omwine ochcs równni ją się pisć w posci To sokując proso!!!!

3 Gieś ocwiście leż pies pogren. Niewinnie wgląjące o nie jes jen mienn licow iór kilu miennch: } L. Ile ich jes? To leż. Dl równni oporem kwrowm wsrc lko. Dl równni oporem leżnm o csu pore wie mienne: T T / gie } } / } } } α α Wrescie równnie Newon ogólną siłą leżną i o csu i o położeni i o prękości: m F F / gie } } } } } Dl punku n płscźnie ęie: m F m F F F / / gie } } } } } O iore wielkości i możn mśleć jk o współręnch pewnego punku w srkcjnej presreni wnej presrenią ową. Równnie mówi nm że g roprwne wielkości opisujące ruch i cs i położeni i prękości mją określone wrości cli g sn ukłu opowi określonemu punkowi w presreni owej równnie kcnie ukł równń wnc chwilow skość premiescni się ego punku. W młm preile csu punk preniesie się o. Ale ego nowego punku nów wiem oką się preniesiem po kolejnm. I k możn ewoluowć e końc!

4 Roienie kiej ewolucji pre wpiswnie kolejnch worów nie m jenk prsłości. Ale proceur jes niesłchnie łw o reliowni n owolnm urąeniu licącm. Wsrc powsechnie nn rkus klkulcjn. G się chce osiąść kompuer prolem musi ć lece skonkreown. Jk oiecwłem n pocąek jmiem się ruchem po wpłwem sił proporcjonlnej o wchleni. m k Konkrecj prolemu musi ć le nie jes ż k źle śm musieli ecowć się jką konkrenie msę i jką słą sprężsości wierm. Dl poci się ch słch wprowim mis wkłego csu wielkość o niego proporcjonlną ω. Słą ω wierem chwilę. Dieląc równnie einiujące prękość pre ωmm ω ω Wswijąc prękości o równni prspieseniem mm ω m mω k cli: k mω Ter wić jk opłci się wrć ω. Ocwiście k k mω ω cli : k m Równni różnickowe: sją się ro smpcne!!!! Różne icne osclor sprowiliśm o jenego równni. Njpross lgorm ewolucji: użwn jes w owoch wiereń o isnieniu i jenoncności rowiąni ukłu równń różnickowch. Nie srjąc się o wielką precję uwżm że po poieleniu porenego kresu n n kwłków wielkość prrosu sje się owronie proporcjonln o n. Prros eż jes proporcjonln o /n łą wglęn prrosu jes eż /n łą ewglęn prrosu proksmownego ilocnem pochonej jes /n. Sum łęów po oniu n skłników jes /n więc możn ją ucnić owolnie młą pre więcie osecnie użego n.

5 Jeśli chcem licć np. okłnością cr o koniecność rowżni kroków może nie wgląć chęcjąco. Isnieje nlnie pros sposó ulepseni lgormu. Precież użo liżsm prw jes unnie że prękość w śroku preiłu j. w punkcie: / / / lepiej nje się o określeni prrosu ek n cłm preile niż prękość n pocąku preiłu!!!! Zem ecujem się n lgorm ewolucji: /. Słowmi: N pocąku nm lko wrość pocąkową wsskich skłowch. Znm więc prękość włącnie pocąkową jko poc. Z jej pomocą prliżm gie ęie po połowie ocink csu nsępnie w m punkcie licm jesce r cli skość min i opiero ę wrość mnożm pre unjąc o lepse prliżenie kcnego prrosu. Pre prsąpieniem o oliceń uslm jesce jeen k kór ęie niełm sprwinem okłności. Oóż różnickujm sumę kwrów: Jes on sł w csie ewolucji. N pocąek jm en emśln lgorm. Krok wiąłem rin. Wić że sum kwrów rośnie. Ale wglą ruchu jes cłkiem cłkiem... Zmin nku nsępuje pomię. G koś słsł o licie π powinien ć owolon. Poonie wkres leżności wglą jk osclcj.

6 ^^ UWAGA Wrości ujemne wpiswne są e nku minus le o n cerwono! Możn się wić łwo smemu mniejsjąc krok o. Arkus się włuż re ukrwć cęść wiers lo gnić po rkusu w e i we we co n wkłie jes nieogone. Niewąpliwą onką polepseni okłności jes ncne mniejsenie różnic mie sum kwrów jenką. Preję o nowego rkus lepsm lgormem. Oo on: 6

7 ^^ Ter sum kwrów różni się o opiero n -m miejscu po precinku. Że wncć miejsce erowe unkcji opisującej ruch mienim osni krok w rurce A k w rurce E mieć ero. Wrość csu ω wnosi 6. Trochę mło jk n pi. Brkuje 6 cli prwie %. Zmniejsm krok o. Więksość wiers n poniżsm igrmie jes schown: Ujwnione są pocąkowe i końcowe wierse 7

8 ^^ Osni krok 9 jes orn k wrość położeni w komórce E7 oprowić o er. Wrością klucowego - jes 9.. kuć i orć w ień więcie9 o plonów niem e ruu... Mimo swej proso meo jes ro skuecn. Zuwżm że pr kroku sum kwrów w okolicch 8± różnił się o o niecłe /. Ter sum różni się lewie o /. Zuwżm eż że po csie ω 9... ciło wróciło o położeni pocąkowego prękość jenie mienił nk. Cł proces okłnie się powór i po kolejnm ω 9 wrunki pocąkowe oworą się łącnie e nkiem prękości. Bn ruch jes preo ruchem okresowm. Ciło rg okresem T * 9 / ω A er oiecne whło icne. Jk pmięcie e skoł kże jk możn o nchmis oworć prspiesenie liniowe whł w kierunku scnm wnosi g sinϕ. Prspiesenie liniowe o kże l ϕ. Zem: ϕ g l sin ϕ ω Wprowjąc cs ϕ sinϕ sin ϕ ω mm osecnie: Dl młch mpliu sinus ką możn sąpić smm kąem i mm o smo równnie co poprenio. A co użmi mpliumi??? W isniejącm pliku klkulcjnm wsrc ron poprwk. Tre w ormułch n prros wpisć SIN. I o wssko! Wpisujem A*F-A*SINE/ w pocji C i -A*SINEA*F/. Dl osclor hrmonicnego nie ło ego SIN. Nie ło o prspiesenie ło określone pre nie pre jego sinus. Prwo chowni energii wiąże er kw- 8

9 r prękości wsokością ną cosinusem ką. Wrunki pocąkowe wgonie jes er wiąć kie prękość poc. ką pocąkow ł uż np. Pi*/8. ^*-COS

10 Powżs rkus jes olicon l wchleni ± j. l π. Tk ormuł jes wpisn 8 w pocji E choć n powżsm wruku wiim jej wrość 9. Po pół okresu prękość wrc o pocąkowej wrości. M o miejsce l 7Pi. Onc o iż okres whń jes łużs o 7% o okresu młch rgń. Wpisnie owolnego ką wchleni pocąkowego powl n nchmisowe uielenie opowiei n wsskie pni. Wróćm jenk o osclor hrmonicnego. Wncliśm jego ruch. Pojwił się ciekwe unkcje csu reukownego ω okresowe mienijące się w preile o o o okresie *9... Nie m ch nikogo n ej sli ko nie nł ch unkcji lo ko nie omślł się że kie sme unkcje wsępują e w innch sucjch w scególności w rgonomerii. Z minukę en wiąek usnowim. Prpomnijm iż e wglęu n równni: prros sum kwrów jes wklucon: C sm wrość ej sum wncon jes pre wrunek pocąkow. N płscźnie owej poosjem w csie ruchu n okręgu o promieniu C. Tre er określić jk się en punk premiesc wr upłwem csu. To łwe. C Zem : φ ϕ φ C φ C Z rsunku ocujem : C sin φ C cos φ ω φ

11 Prechoąc o wkłch miennch mm C sin ω φ ω ωc cos ω φ Korsjąc e nnch worów n unkcje rgonomercne sum kąów mm: C sin ω φ C sin φ cos ω C cos φ sin ω ω ωc cos ω φ ωc cos φ cos ω ωc sin φ sin ω Dwie owolne słe: mpliuę i ę możem jeśli wgoniej sąpić pocąkowmi wrościmi położeni i prękości: C sin φ ωc cos φ cos ω C cos φ cos ω ωc sin φ sin ω sin ω cos ω sin ω ω cos ω ω sin ω Jes o komplene rowiąnie prolemu ruchu osclor. Powsje pnie c woec isnieni i o k sosunkowo prosego rowiąni nlicnego wro ło jmowć się rowiąniem numercnm? No cóż. To kwesi gusu. W powżsm poejściu ię głosem Fenmn. Jes sereg le uświomieni soie jk prcują równni ruchu. Jeną korści ło nieml nchmisowe e żnego wsiłku prejście o osclor hrmonicnego o nhrmonicnego. Inn sprw o sme unkcje sinus i cosinus. Wje nm się że wiem cemu one są równe. Ale k nprwę rgonomerii o m lko wiim n rsunku jki jes ich sens licow policć o soie możem l c 6 sopni. Włśnie osnio mój wnuk mnie opuje o cuje się nieswojo no co o jes en sinus l le jkiego ką? Ocwiście w presłości mąr luie roili lice isij w le klkulorku ocm wrość sinus jm n o rin. A m soie smi policliśm! Zgląm o eli n sronie 7 krokiem i w rurce E mm wliconą pomocą opercji cso rmecnch wrość 8. Tle smo co wsęie! W wniku n ruch osclor wre są eż wżne wniki n pochone ch unkcji. Po prosu wiim że pochoną sinus jes cosinus cosinus minus sinus. Dwukrone różnickownie kżej ch unkcji kże ich owolnej komincji liniowej je powroem ę sm unkcję le minusem. Ziór włsności

12 ϕ ϕ ; ϕ ϕ ϕ einiuje jenoncnie unkcję. T unkcj wsępuje w nsej kolumnie E. T unkcj nw się sinus. T sm unkcj powl wiąć współręną punku n okręgu ługością opowieniego łuku. Funkcje rgonomercne grją k win rolę w ice że wro już er pokć jesce jeną ich włsność. Nie jes runo uskć sereg poęgow l sinus i cosinus. Punkem wjści niech ęie sereg l unkcji wkłnicej: e!!!! L Możn go uskć wpros einicji lic e i woru n wumin Newon. Z rowinięci ego wnik poswow włsność unkcji wkłnicej minowicie o iż jej pochon równ się smej unkcji. To wić. Kż cłon różnickown m mniejsą poęgę wkłnik n jeżżjąc o licnik skrc się osnim cnnikiem n! W minowniku. Tm smm kż wr rowinięci smej unkcji pojwi się w seregu pochonej le że cłon poęgą pochoi cłonu poęgą i. G seregu poęgowego unkcji wkłnicej oswim soie sme poęgi prse lo sme nieprse opiero wukrone różnickownie je nów unkcję wjściową. Nwją się one sinus hiperolicn i cosinus hiperolicn: sinh L!!! cosh L!! Mm sereg ocwisch relcji: cosh sinh sinh cosh sinhcoshe ; cosh- sinhe - ; sinh e - e - /; cosh e e - /; Jeseśm lisko! Pore nm lko nku minus pr preprowniu jeen unkcji w rugą. Osiąg się o mienijąc seregi l unkcji hiperolicnch n seregi npremienne.

13 7 sin L!!! 7! 6 cos L!! 6! Pr wukronm różnickowniu kż cłon reproukuje en wceśniejs le że kż wceśniejs sąsieni m preciwn nk! Elegncki wór osje się korsjąc lic espolonch. Poniewż i ; i i; i więc wić co się ieje po wswieniu i o seregu poęgowego l poswowej unkcji wkłnicej. Wr o poęgch poielnch pre nie mieniją się e poosłe prse mieniją nk. Grupują się w sereg l cosinus. Wr o nk osją mnożnik i e posci K osją mnonik i. Po włąceniu i osjem sereg l sinus: Słnn wór Euler: e i cos i sin pisn l π rmi i wier njwżniejsch lic: iπ e e π i! Jes eż ocwiście Uupełnienie preen l enujsów e sin e cos i i e i e Dl osó ineresownch olicenimi numercnmi jącmi włę n różnmi nierowiąwlnmi nimi mechniki poję e owou meoę ncnego ulepseni oliceń. Zsnwijąc się n lgormem ewolucji: / i i

14 możn ojść o prekonni że skoro już porim lepiej licć prros niż niwnie o cemu nie sosowć ego lepsego prliżeni o oliceni prękości w śroku preiłu? / / No cóż. W powżsm wore śroek preiłu jes wncon okłniej le rugiej sron wrość prękości w smm śroecku choć njokłniej nnm wcle nie pokrw się wrością prękości śreniej jącej ścisłą wrość prrosu. Dlego reci meo liceni prrosu m ką smą wrość priori jk meo rug. Jes jenk nieco inn i c możn ego wciągnąć jkąś korść? Mąr luie uwżli i uowonili że jeśli uupełnić e meo liceni prrosów o jesce jeen pooru ro ł o prjmując prękość min wrość prękości n końcu preiłu wnconego recią meoą: / / o ch cerech różnch sposoów uśrenijąc opowienio możn uskć reul super okłn Zpism o w sposó prejrs. Rowżm różne prros p p p p : p ; p p/ ; p p / ; p p Wrescie weźm śrenią wżoną ch cerech prrosów: p p p p p / 6 O ile prros p je ścisł wnik w jenm kroku lko we g rowiąnie jes unkcją liniową csu prros p we g rowiąnie jes owolną unkcj kwrową jk w ruchu jenosjnie prspiesonm o prros p określon powżej jes ścisł l kżego rowiąni kóre ło wielominem -ego sopni w csie. Dl innch równń i innch rowiąń łą pojencego kroku jes sopni -ego w preile csu łą sum sopni -ego. Dlego wr e wrosem lic preiłów okłność ej meo rośnie jk /n. A oo rkus klkulcjn l osclor uown w oprciu o en lgorm krokiem /

15 -^^ E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-7 Mimo -kronie więksego kroku okłność jes o rą wielkości leps niż w popreniej meoie. A porównując poprenią meoą m smm krokiem wiim rewelcjn wros okłności. Lic pi mis 6 wchoi nm 9 woec prwiwej 9... Kolumn ngłówkmi i ją okłne poną licą cr wrości sinus i cosinus w cłm preile o o 8± wlicone co rin. W rie pore kż wrość pośreni może e ruu ć eż wlicon. Wsrc wpisć opowieni prros w opowienie miejsce w kolumnie -sej.

16 6 Cłk oncon może ocwiście ć uwżn rowiąnie njprossego możliwch równń różnickowch w punkcie pr wrunku pocąkowm. Pon powżej ość wrinown meo njowni okłnego pojencego kroku wn meoą Runge Ku -ego ręu je się w m wpku wrić sprwź ro prosm worem: 6 Zocm co ją omwine r meo l cłki n n n l kolejnch poęg n. Ścisł wnik o kolejno. Meo niwn je: Jej użwnie m cech msochimu Meo nieco ulepson je:...7 Dl cęści liniowej wnik jes ścisł le cłon kwrow po scłkowniu ęąc sopni owrn jes lko w 7% Meo R-K 6 je:. Wrźnie wić porżjącą skuecność meo. Dopiero pią poęg w wniku jes ocenin nieściśle jes prescown le i k lko o %!