METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I JEJ MODYFIKACJE

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2017 nr 62, ISSN X METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I JEJ MODYFIKACJE Iwona Adamiec-Wójcik 1a, Leonard Grinke 1b 1 Katedra Modelowania Komputerowego, Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej a i.adamiec@ath.bielsko.pl, b lgrinke@ath.bielsko.pl Streszczenie W artykule przedstawiono trzy sformułowania metody sztywnych elementów skończonych: metodę klasyczną, pierwszą modyfikację, w której uwzględnia się podatności giętną i skrętną z zapewnieniem ciągłości przemieszczeń oraz modyfikację drugą, w której stosuje się współrzędne absolutne, uwzględnia podatność wzdłużną, a ciągłość przemieszczeń zapewniona jest poprzez równania więzów. Wyniki obliczeń na podstawie modeli przedstawionych w artykule zostały porównane z wynikami otrzymanymi metodą elementów skończonych, prezentowanymi przez innych autorów. Wykazano ponadto, że metody mogą być stosowane do analizy dynamicznej drgań układów nieliniowych o dużych ruchach unoszenia i przedstawiono wnioski dotyczące zakresu stosowalności metod Słowa kluczowe: metoda sztywnych elementów skończonych, dynamika, podatność, odkształcenia wzdłużne RIGID FINITE ELEMENT METHOD AND ITS MODIFICATIONS Summary The paper presents three formulations of the Rigid Finite Element Method: classical approach and two modifications. The first modification takes into account bending and torsional flexibilities assuring the continuity of displacements. The second modification uses absolute coordinates and takes into account longitudinal flexibility while continuity of displacements is ensured by means of constraint equations. The results of calculations based on models presented are compared with results obtained by means of finite element method presented by other authors. It is shown the methods can be used for dynamic analysis of nonlinear systems with large base motions and conclusions concerned with the range of applicability are presented. Keywords: rigid finite element method, dynamics, flexibility, longitudinal deformations 1. WSTĘP Istotną cechą członów podatnych jest możliwość wystąpienia dużych odkształceń. Bardzo często elementy te są posadowione na bazach, które są ruchome. Analiza statyczna i dynamiczna takich konstrukcji wymaga użycia metod dynamiki układów złożonych podlegających dużym odkształceniom. Metody dyskretyzacji układów podatnych o dużych ruchach unoszenia są rozwijane od wielu lat, a najbardziej znaną i popularną jest metoda elementów skończonych (MES) [13]. Różne sformułowania MES wykorzystywane w modelowaniu dynamiki układów podatnych przedstawiają Dwivedy i Eberhard [6] oraz Shabana [11]. Szczególnie istotnym zagadnieniem w modelowaniu dynamiki układów podatnych jest analiza dużych ruchów unoszenia i dużych odkształceń[5,12]. Do modelowania tego typu układów można również zastosować metodę sztywnych elementów skończonych (), która jest oryginalną, polską metodą sformułowaną przez prof. Jana Kruszewskiego z Politechniki Gdańskiej [7]. Przez wiele lat metoda ta z powodzeniem była wykorzystywana do modelowania podatności zarówno w układach płaskich jak i przestrzennych. Nowe obszary zastosowań stymulowały 5

2 METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I JEJ MODYFIKACJE rozwój metody widoczny w nowych sformułowaniach i modyfikacjach [8,9]. Metoda była i jest nadal rozwijana w różnych ośrodkach akademickich, na Politechnice Gdańskiej, Akademii Techniczno-Humanistycznej w Bielsku-Białej i Politechnice Szczecińskiej. Każda z modyfikacji posiada wady i zalety oraz różną efektywność numeryczną, a przez to różne pola zastosowań. 2. MODYFIKACJE METODY SES Dyskretyzacja układu ciągłego we wszystkich odmianach metody SES przebiega w taki sam sposób. Belkę o długości dzieli się na określoną liczbę np. równych elementów w tak zwanym podziale pierwotnym (rys.1). Następnie w podziale wtórnym w środkach elementów z podziału pierwotnego umieszcza się elementy sprężystotłumiące () skupiając w nich własności sprężyste dyskretyzowanego układu (rys.2). Elementy sztywne () powstają pomiędzy elementami sprężystymi. Rys. 1. Podział pierwotny Rys. 2. Podział wtórny na i Poszczególne sformułowania metody różnią się sposobem doboru układu współrzędnych, względem których opisuje się ruch elementów sztywnych, oraz doborem współrzędnych uogólnionych. 2.1 METODA KLASYCZNA W klasycznym sformułowaniu metody sztywnych elementów skonczonych [7,8] pozycja -tego sztywnego elementu skończonego ( ) jest opisywana względem bezwładnościowego układu współrzędnych przez sześć współrzędnych uogólnionych (rys. 3), które są składowymi następującego wektora: = (1),, współrzędne środka masy,,, kąty obrotu ZYX Eulera tego elementu. Rys. 3. Układy współrzędnych w metodzie klasycznej Równania ruchu wyprowadzane są z równań Lagrange a drugiego rodzaju. Operatory Lagrange a dla -tego przyjmują postać: =! # =#,,, ' =',, (,,,.!=# $ +& (2) Zaletą takiego wyboru współrzędnych uogólnionych jest łatwość wyprowadzania równań ruchu na podstawie energii kinetycznej, wadą złożoność wyrażeń wyprowadzonych z energii odkształcenia sprężystego. W przypadku drgań liniowych klasyczne sformułowanie metody SES prowadzi do diagonalnej macierzy mas oraz pasmowych macierzy sztywności i tłumienia. Elementy sztywne mają w ogólnym przypadku 6 stopni swobody, a ciągłość przemieszczeń nie jest zachowana. Ruch jest ograniczony poprzez elementy sprężysto-tłumiące, które opisują związki pomiędzy elementami sztywnymi. Wektor współrzędnych uogólnionych dla całej belki przyjmuje postać: =*+, - / 0 (3) a równania ruchu można zapisać następująco: # 1 $ =2 +' 3!! (4) # 1 jest blokowo-diagonalną macierzą mas, 2 jest wektorem sił uogólnionych, ' jest zagregowanym wektorem prawych stron operatorów Lagrange a, 4 jest energią odkształcenia sprężystego. Konsekwencją takiego podejścia jest to, że w opisywanym ujęciu nie można wyeliminować (w przypadku przestrzennym) ścinania i odkształceń wzdłużnych, co powoduje konieczność użycia małego kroku całkowania. 6

3 Iwona Adamiec-Wójcik, Leonard Grinke 2.2 MODYFIKACJA 1 W tym podejściu [4,8] lokalny układ współrzędnych dla -tego umieszcza się w poprzedzającym go (rys.4), a ruch tego elementu opisuje się względem jego poprzednika poprzez trzy współrzędne uogólnione będące składowymi następującego wektora: poprzedzającym skończony element sztywny (rys.5). Ciągłość przemieszczeń zostaje zapewniona poprzez równania więzów. 56 =7 8 (5) Rys. 5. Układy współrzędnych w modyfikacji 2 Wektor współrzędnych uogólnionych definiowany jest następująco: 5= = (8) Rys. 4. Układy współrzędnych w modyfikacji 1 Wektor współrzędnych podatnej belki podzielonej na +1 sztywnych elementów skończonych połączonych elementami sprężystymi przyjmuje postać: : 56 =, / 56 (6) Równania ruchu wyprowadzone z równań Lagrange a drugiego rodzaju można przedstawić w następującej postaci macierzowej: Istotna tego podejścia w stosunku do poprzednich sformułowań polega na konieczności obliczania energii kinetycznej elementu sztywnego jako sumy energii kinetycznych dwóch części tego elementu: gdzie = 6 + = 6 = 6,,,,,, = = =,,,,,,. Operatory Lagrange a -tego przyjmują postać: (9) # 56 $56 =; 56 (7) =# 5= $ 5= +' 5= (10) # 56 =# 56,, jest pełną macierzą mas, ; 56 =; 56,, (,,, jest wektorem zawierającym wyrażenia pochodzące od sił uogólnionych oraz energii potecjalnej sił ciężkości oraz sprężystej. Takie podejście zapewnia ciągłość przemieszczeń, a poprzez pominięcie ścinania oraz odkształceń wzdłużnych eliminuje się wysokie częstości drgań, co skutkuje możliwością zastosowania dużego kroku całkowania. Jednakże pełna macierz mas wydłuża czas całkowania równań ruchu. 2.3 MODYFIKACJA 2 Modyfikacja druga [1-3] w porównaniu do sformułowania klasycznego polega na eliminacji ścinania oraz wprowadzeniu w środku każdego dodatkowego elementu sprężystego odzwierciedlającego podatność wzdłużną. Lokalny układ współrzędnych, podobnie jak w modyfikacji 1, umieszcza się w elemencie sprężysto-tłumiącym # 5= =# 5= 5= jest macierzą 7x7, ' 5= =' 5= + 5=, 5= - jest wektorem o 7 elementach. Równania więzów zapewniające ciągłość przemieszczeń przyjmują postać: A6? A6 =. (11) Uwzględniając reakcje w połączeniach (rys.6), równania ruchu -tego można zapisać następująco: # 5= $ 5= BCD B D E6 =2 (12) gdzie 2 =2 +, A6 5=, 5=, E6 5=, A6 5=, 5=, E6 5= - zawiera również siły uogólnione pochodzące od momentów przenoszonych przez, BC jest macierzą 7x3 o stałych elementach, B =B,,, jest macierzą 7x3. 7

4 METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I JEJ MODYFIKACJE Rys. 7. Swobodnie opadająca podatnaa belka Rys.6. Reakcje w połączeniach między kolejnymi Ostatecznie równania ruchu można zapisać następująco: # 5= $5= BD= ; 5= B $ =G gdzie # 5= =HIJ# 5=,,,# 5= /, ; 5= jest wektorem sił uogólnionych, D jest wektorem reakcji, G jest wektorem prawych stron równań więzów. Macierz B jest macierzą współczynnikóww reakcji więzów i przyjmuje postać: N B C B, O O O O S MO BC B 6 R M R B= MO O BC B O OR M R M R LO O O O BCQ Zaletą tej modyfikacji jest łatwość zmia swobody w zależności od rodzaju odkształceń. W przypadku, gdy nie rozważania odkształceń wzdłużnych liczba stopni swobody może zostać pięciu. (13.1) (13.2) 3. SYMULACJE NUMERYCZNE (14) any liczby stopni analizowanych ma konieczności bądź skrętnych, zmniejszona do W literaturze nowe metody analizy dynamicznej ukłatzw. benchmar- dów nieliniowych prezentowane są dla ków, wśród których występuje wirująca bądź swobodnie opadająca belka. W celu analizy efektywności nume- z wyko- rycznej oraz dokładności wyników otrzymanych rzystaniem przedstawionych sformułowań metody SES analizie poddano podatną swobodnie opadającą belkę (rys.7) o parametrach podanych w artykule [12], w którym Zheng i Shabana wprowadzają nowy odkształ- elementów calny element ANCF/CRBF w metodzie skończonych. Element ten zapewnia ciągłość naprężeń oraz obrotów w węzłach i jest wykorzystywany do modelowania układów o dużych przemieszczeniach i odkształceniach. Autorzy w pracy [12] analizowalii belkę o następujących parametrach: długość = 1,2 m, pole przekroju po- bezwładności prze- przecznego =0,0016 m =, moment kroju X=8, A] m^, gęstość d=5540 kg/m i, współczynnik Poissona _ = 0,3, moduł Younga =0,70 10 ] Pa, stała grawitacyjna J9,81 k l m. Belka ulega dużym odkształceniom wzdłużnym, jej wydłużenie w najniższym punkcie ruchu wynosi 0,095 m, co stanowi 8% jej długości. Na rys.8 przedstawiono porównanie przemieszczeń końca belki w kierunku pionowym otrzymanych dla trzech odmian metody SES z wynikami przedstawionymi w pracy [12]. Prezentowane wynikii otrzymano, dokonując dyskretyzacji belki na =6 elementów, podobnie jak w przypadku wyników przedstawionych w [12]. y [m] 0,2 0-0,1 0,1 0,3 0,5-0,2-0,4-0,6-0,8-1 -1,2-1,4 t[s] Rys. 8. Przemieszczenie pionowe końca belki 0,7 0,9 1,1 Shabana Klasyczny Modyfikacja 2 Analiza wykresów wskazuje na dużą zgodność wyników otrzymanych klasyczną metodą SES oraz modyfikacją 2, w której uwzględnia się podatność wzdłużną. Modyfika- wzdłużnej i wyniki cja 1 nie uwzględnia podatności otrzymane tą metodą nie pokazują wydłużenia belki. Ze względu na to, że modyfikacjaa pierwsza nie uwzględ- błędów nie porów- nia podatności wzdłużnej, w analizie nano wyników otrzymanych tą metodą z wynikami uzyskanymi przez autorów [12]. Obliczono wartość bezwzględną różnic pomiędzy współrzędną w modelu MES a wartościami współrzędnej uzyskanymi klasycz- względną odniesiono ną i modyfikacją 2. Różnicę do długości belki. Uzyskano dużą zgodność wyników. 8

5 Iwona Adamiec-Wójcik, Leonard Grinke Cechy różnic pomiędzy podanymi wartościami przedstawiono w tabeli 1. Tab. 1. Porównanie wyników klasyczne modyfikacja 2 bezwzględna względna bezwzględna względna maksymalna 0, ,8% 0, ,8% średnia 0, ,6% 0, ,0% mediana 0, ,2% 0, ,4% odchylenie standardowe 0, ,0237 Rys. 11. Odkształcenie belki w 0,9 sekundy ruchu Dla klasycznej metody sztywnych elementów skończonych i obydwu modyfikacji dokonano pomiaru czasu obliczeń dla różnej liczby. Rys.12. Czasy obliczeń dla różnej liczby Rys.12 pokazuje, że modyfikacje metody SES, zarówno pierwsza jak i druga, są bardziej efektywne numerycznie od metody klasycznej aż do 30 elementów dyskretyzowanej belki. Powyżej tej liczby czas obliczeń dla modyfiznacznie szybciej niż dla pozostałych kacji 2 rośnie sformułowań. Kolejne wykresy (rys. 9, 10,11) przedstawiają położenie belki w kilku chwilach czasowych odpowiadających kolejno 0,1; 0,5 oraz 0,9 sekundy ruchu. Jedynie w pierwszej fazie ruchu (0,1 s) wyniki otrzymane z zastomodyfikacji 1 pokrywają się z wynikami sowaniem otrzymanymi z zastosowaniem modyfikacji 2. Zastosotej belki nie jest właściwe ze względu na brak możliwości uwzględnienia dużych odkształceń wzdłużnych. Modyfikacja 1 może być stosowana do analizy układów o dominującej podat- wanie tej metody do analizy drgań ności giętnej. Rys. 9. Odkształcenie belki w 0,1 sekundy ruchu Powyższe analizy pokazują, że wszystkie sformułowania metody SES mogą być z powodzeniem stosowane w analizach układów o dużych ruchach unoszenia. Wybór odpowiedniego sformułowania zależy od rodzaju rozpatrywanych odkształceń. Wyniki analizy dynamiki swostalowego o następujących bodnie opadającego pręta parametrach: długość 1,2 m,, kołowy przekrój poprzeczny o promieniu n 0, m, gęstość d 7850 kg/m i, moduł Younga 2, Pa przed- stawiono na rys.13. Analizowano przemieszczenia w kierunku pionowym końca belki w czasie 5 s przyjmując, że liczba,, na które dzielono belkę w podziale pierwotnym, wynosiła 20. Rys. 10. Odkształcenie belki w 0,5 sekundy ruchu 9

6 METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I JEJ MODYFIKACJE końca belki otrzymanego o dla współczynnika sztywności odpowiadającego stali oraz o pomijalnej wartości. Rys.13. Drgania końca pręta stalowego Jak widać, wyniki otrzymane każdą z metod prawie się nie różnią. Dobór metody dyskretyzacji ma znaczenie w zależności od rodzaju rozpatrywanych odkształceń. Ponieważ odkształcenia wzdłużne nie są uwzględniane w modyfikacji 1, która powinna być raczej wykorzystywana do modelowania układów o dominującej podatnastępny przykład dotyczy belki o pomijalnej wartości współczynnika sztywności giętnej. W takim przypadku belka może być utożsamiana z kablem, liną ności giętej, bądź łańcuchem. Podobnie jak w poprzednim przykładzie analizie poddano swobodnie opadającą belkę (rys.7) o takiej samej długości 1,2 m,, o przekroju kołowym o promieniu n0,005 m. W tym modelu ze względów numerycznych współczynnik sztywności giętnej różny od zera, ale o bardzo małej wartości p q 1 [Nm/rad]. Podobnie jak poprzednio belkę podzielono na 20. Wyniki otrzymane przy zastosowaniu różnych sformułowań metody przedstawiono na rys.14. Rys.15. Przemieszczenia końca belki o różnych współczynnikach sztywności wyznaczone metodą klasyczną. Pominięcie sztywności giętnej może prowadzić do bardzo zróżnicowanych wyników. 4. PODSUMOWANIE Metoda sztywnych elementów skończonych zarówno w postaci klasycznej jak i zmodyfikowanej może być z powodzeniem stosowana do analizy dynamicznej nieliniowych układów podatnych. Wyniki uzyskane tymi metodami wykazują dobrą zbieżność z wynikami uzy- skanymi metodą podatnych elementów skończonych. Modyfikacja 2, w której wprowadzono dodatkowy elepodatności wzdłużnej umożliwia analizę obliczeniową dużych wydłużeń podobnie jak w ment sprężysty o pracy [12]. Cechy poszczególnych sformułowań przed- stawia tabela 2. Tab. 2. Cechy różnych sformułowań metody sztywnych elementów skończonych Rodzaj współrzędnych Liczba stopni swobody Ciągłość przemieszczeń klasyczna absolutne płaski: 3 przestrzenny: 6 brak modyfikacja 1 złączowe płaski: 1 przestrzenny: 3 jest modyfikacja 2 absolutne płaski: 3-4 przestrzenny: 5-7 równania więzów Macierz mas diagonalna pełna diagonalna Rys.14. Drgania belki o pomijalnym współczynniku podatności giętnej Zaprezentowane nowe sformułowania metody sztywnych elementów skończonych pozwalają na uwzględnienie różnego rodzaju odkształceń. Następny wykres pokazuje wpływ sztywności giętnej na przemieszczenia belki poprzez porównanie przemieszczenia współrzędnej y Zaletą wszystkich sformułowań metody sztywnych elementów skończonych jest stosowanie metod opracoukładów wieloczłonowych do mode- wanych do analizy lowania układów podatnych, a modele układów sztywmożna otrzymać w prosty sposób, zmieniając liczbę współrzędnych uogólnionych bez konieczności wyprowadzania nowych równań ruchu. Klasyczna metoda sztywnych elementów skończonych może być nych wykorzy- 10

7 Iwona Adamiec-Wójcik, Leonard Grinke stywana do obliczeń statycznych oraz własnych. częstości drgań W tym podejściu uwzględnia się odkształcenia wzdłużne, ścinanie, zginanie oraz skręcanie. W przypadku dominu- modyfika- jącej podatności giętnej należy wykorzystać cję 1, a w przypadku istotnej podatności wzdłużnej modyfikację 2. W drugiej modyfikacji ze względu na wprowadzenie równań więzów i przedstawienia ich w postaci przyśpieszeniowej może pojawić się konieczność zastosowania metod stabilizacyjnych, co powoduje wydłużenie czasu obliczeń. Literatura 1. Adamiec-Wójcik I., Brzozowska L..: Homogenous transformations in dynamics of off-shore slender structures. Dynamical Systems Theory, Łódź: Press of Łódź University of Technology, 2013, p Adamiec-Wójcik I., Brzozowska L. and Wojciech S.: Modification of the rigid finite element method in modeling dynamics of lines and ropes. The Archive of Mechanical Engineering 2013, Vol. LX, No.3, p Adamiec-Wójcik I., Wittbrodt E. and Wojciech S.: Rigid finite element in modelling of bending and longitudinal vibrations of ropes. Int. J. of Applied Mechanics and Engineering 2012, Vol.17, No.3, p Adamiec-Wójcik I. and Wojciech S..: Application of the rigid finite element method in dynamic analysis of plane manipulator. Mech. Mach. Theory 1993, Vol.28, No3, p Boer S.E., Aarts R.G.K.M., Meijard J.P., Brouwer D.M. and Jonker J.B.: A nonlinear two-node superelement for use in flexible multibody systems. Multibody Syst. Dyn. 2014, Vol.31, No.4, p Dwivedy S.K. and Eberhard P.: Dynamic analysis of flexible manipulators, a literature review. Mechanism and Machine Theory 2006, Vol.41, p Kruszewski J. Gawroński W., Wittbrodt E., Najbar F. and Grabowski S.: Metoda sztywnych elementów skończonych. Warszawa: Arkady, Wittbrodt E., Adamiec-Wójcik I. and Wojciech S.: Dynamics of flexible multibody systems: rigid finite element method. Berlin: Springer, Wittbrodt E., Szczotka M., Maczyński A. and Wojciech S.: Rigid finite element method in analysis of dynamics of offshore structures. Berlin: Springer, Shabana A.A.: Dynamics of multibody systems. Cambridge University Press, Cambridge, Simo J.C. and L.Vu-Quoc: On the dynamics of flexible beams under large overall motions The plane case: Parts I and II, ASME Journal of Applied Mechanics 1996, 53, p Zheng Y., A.A Shabana : A two-dimensionabeam element-nonlinear Dyn, : DOI /s shear deformable ANCF consistent rotation-based formulation 13. Zienkiewicz O.C., Taylor, R.L.: The finite element method. Vol 2: Solid mechanics. 5 th ed. Oxford: Butterworth- Heinemann, Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. 11