Rzędem równania nazywamy rząd najwyższej pochodnej występującej w równaniu. Np. równanie. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rzędem równania nazywamy rząd najwyższej pochodnej występującej w równaniu. Np. równanie. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego"

Transkrypt

1 Rówaa różczow Rówa różczow RR azwa rówa zawrając ochod cj wadoj żl ozj cj jdj zj o rówa różczow zawrając ochod zwczaj j cj azwa rówa różczow zwczaj żl ozj cj wl zch o rówa różczow zawrając ochod cząow j cj azwa rówa różczow cząow Rzęd rówaa azwa rząd ajwżzj ochodj węjącj w rówa N rówa " j rówa różczow rzęd dro Rówaa różczow zwczaj rzęd rwzo Rówa różczow rzęd rwzo azwa rówa F dz D F R oać a j zb oóla ab orłować wrdza o jdozaczośc rozwązaa rówaa cz odawać w od rozwązwaa o rówaa Sao rozwązaa j robl ór zawra w ob robl a cj właj orśloj rzz rówa zaa daj ę rozwłać rówa z wzlęd a ochodą dz D R o zw oać orala rówaa różczowo rzęd rwzo Irracja ** a rzładz ; < < ażd c obzar D rówa ** orśla ol rów Doładj w ażd c obzar D rśl jdoow odc o środ w c achlo do o OX od ą óro a j rów Rozwąza rówaa różczowo D Rozwąza rówaa azwa cję orśloą a w rzdzal IR łającą war j różczowala a rzdzal I I DF F

2 D Rozwąza całą rówaa azwa cję orśloą a w rzdzal IR łającą war j różczowala a rzdzal I I D rzład Rozwąza całą rówaa = j dowola cja = + R orśloa a dowol rzdzal IR Zacś obcęc rozwązaa do rzdzał I j rówż rozwąza Moża oawć oczw a z da rozwąza I j zacś jaoś o rozwązaa? Iaczj cz da rozwąza oża rzdłżć a rzdzał KI? żl dao rozwązaa oża rzdłżć o rozwąza o azwa wco Z rzład wdać ż jśl arzc a rozwąza dodaowch warów o RR a zwl ończ wl rozwązań Dla RR awa węc robl ocząow ach o żl owżz robl a jdozacz rozwąza o azwa jdozaczośc Twrdz o jdozaczośc wrja rozczoa żl cj cął a obzarz D D o robl a doład jdo rozwąza wco ą Rozwąza zczól oól ooblw Nch I będz rozwąza rówaa ; DR żl dla ażdo I j jdozaczośc o rozwąza I rówaa azwa rozwąza zczól Zbór wzch rozwązań zczólch azwa rozwąza oól Rozwąza I óro ażd j jdozaczośc azwa rozwąza ooblw owżz odzał rozwązań j wczrjąc Z rozwązaa zczólo ooblwo oża czaa lć rozwąza dając ę laować w owżz oób rzład Rozważ rówa dać ż = j rozwąza rówaa żl o rówa j rówoważ rówa d d óro rozwąza ą cj =+

3 dać ż j rozwąza ooblw Rozwązaa zczól ą = ; = -; =- ; =- - Fcja ] [ j rówż rozwąza rówaa różczowo rawdzć al j o rozwąza zczól a ooblw Rówaa różczow wżzch rzędów ład rówań rzęd rwzo Nch R I : będz różczowalą cją worową orśloą a rzdzal I a R D I : zadaą cją worową orow rówa różczow raj jao ład rówań różczowch Rówa różczow rzęd w oac oralj oża rzz zdowa worowj cj = =-

4 rowadzć do ład rówań różczowch rzęd rwzo odwro rz wch założach doczącch rlarośc rawj ro ład rówań różczowch rzęd rwzo oża o rowadzć do rówaa różczowo rzęd oaż o a rzładz Różczjąc rwz rówa a zaczając o l o ożlw z jdo z ch rówań cję odawając za orza rówa rzęd F o wzacz rozwązaa rówaa wlcz brając a rozwąza ład Borąc od waę owżz zwąz oędz łada a rówa wżzch rzędów oda wrdz o jdozaczośc rozwązaa robl ocząowo dla ład Twrdz carda-lldlöa żl cja R R : j cąła a zborz b a : { rz cz M oraz ła war Lchza wzlęd zj w zborz j v v L dla wj ałj L o zaad ach o a jdozacz rozwąza a rzdzal dz L M b a Dowód w oarc o wrdz Baacha o c ał oża zalźć alczw Rówaa różczow zwczaj r 7

5 bra rówań rzęd rwzo I Rówa o zch rozdzloch arowalch Rówa dając ę zaać w oac S h azwa rówa o zch rozdzloch Ławo zaważć ż jżl h = dla wo o cja ała = j jd z rozwązań rówaa S obzar z w ór h rówa S oża zaać w oac d lb rówoważ w oac różczowj d h h ałjąc owżz rówa d worzjąc wzór a całowa rzz odaw orzj d d h dz j dowolą ałą rzczwą a = rzład d d o rozdzl zch całowa orzj rozwąza w oac właj arc = arc + dz j dowolą ałą żl o ojąc wzór do wraża arc - arc = orzj rzjjąc dz j ałą dowolą żl = o rzzałca rówość arc - arc = do oac arcc arcc c c Sojąc wzór c orzj c c ąd Odowdź dz j ałą dowolą lb II Rówa jdorod Uwaa żl o rówa j rówa S żl = dla wo o = j jd z rozwązań rówaa rzz odaw = = + rowadza rówa do rówaa S =- 5

6 rzład Rozwązać rówa Dla oż rzzałcć rówa do oac o odaw orzj dać ż = ą rozwązaa owżzo rówaa czl = ą rozwązaa wjścowo rówaa Dla < a d d ąd o całowa arc =l > a aę = l rz cz l < Oacz = l = III Rówa =a+b+c b odaw = a+b+c Srowadza o rówa do S Rzczwśc = a+b odaw do rówaa =a+b+c rowadz do a b rzład Rozwązać rówa ; + a co o b odaw = + = + rowadz do rówaa ór oża zaać w oac d d o całowa orzj arc a ąd arc co o rzzałc oża zaać w oac Orzalś rozwąza w oac właj Ławo oża wlczć rozwłać rówa z wzlęd a 6

7 7 IV Rówa low Rówa oac RLN azwa rówa różczow low jdorod rzęd rwzo Naoa rówa oac RL azwa rówa różczow low jdorod rzęd rwzo Djąc low oraor różczow L d d : I I L oż zaać RLN w oac L ] [ FKT : ORN=OR+SRN ała Oóla Rówaa Njdorodo j ą ał Oólj Rówaa dorodo ał Szczólj Rówaa Njdorodo Iaczj jądro oraora L j jdowarową odrzrzą a SRN j dowol wbra rozwąza RLN RL j rówa o zch rozdzloch S d d ąd OR: d dz całę d roz jao dowolą aloą cję rwoą SRN ozj odą zaa ałj MUS w oac d o zróżczowa d d waw do rówaa RLN orzj d d d czl d co o całowa daj d d Sałą całowaa wbralś rówą dż rj a rozwąza zczól węc oż wbrać ajdoodjzą oać cj rwoj SRN : d d d ORN: d d d d rzład Rozwązać rówa RL:

8 8 d d OR: SRN MUS : = SRN: ORN: V Rówa Brolo: Uwaa: Dla = a RL a dla = RLN rzz odaw rowadza rówa Brolo do RLN rzład Rozwązać rówa ; > odaw : RLN: RL: d d OR: SRN: = SRN: węc ORN: racając do cj orzj rozwąza rówaa Brolo

9 9 VI Rówa zł D Rówa różczow d+d= azwa rówa zł w w obzarz jżl lwa roa z d+d j różczą złą wj cj U z d d du d d U U Rozwąza rówa zło w oac właj j zada rówoścą U Tw żl cj ą la w obzarz jdoój D o war ocz warczając a o b rówa d+d= bło rówa zł w D j war w D rzład Rozwązać rówa 6 6 d d w R rówa zł w R d U d U du d d Sąd U U a rozwąza rówaa oż rzdawć w oac właj F= az rzad 6 U ałjąc d orzj U Uwzlędając dr war U a 6 6 U ąd orzj Rozwąza rówaa rzdawa w oac Uwaa żl rówa d+d= j zł o oż ozwać wj cj zwaj cz całjąc o j właośc ż rówa d+d= j rówa zł śl j cz całjąc oac dz j zaą cją o rzjjąc ozacz a rówa

10 Sąd o l j złoż cj rzad zczól: jśl czl o d jśl czl o d jśl czl o d jśl czl o d 5 jśl czl o d rzład Zalźć rówa rzwj lżącj w rwzj ćwarc ład wółrzędch rzchodzącj rzz dla órj ol rójąa lżąco w I ćwarc worzoo rzz oś O czą wor wodząc czośc j ał rów Nch będz ozwaą rzwą Rówa czj do rzwj w c a oać Odcęa rzcęca j roj z oą O j rówa obc owżzo orzj rówa ór o zaa a rowadz do rówaa * d d d d rówa j rówa zł Sza cza całjąco Możąc rówa * rzz orzj rówa zł ** d d F F F F Rozwąza w oac właj lż a ozwaj rzwj ąd węc ławo wzacz ozwa rozwąza

11 Lowa zalżość cj la b a D Uład cj azwa lowo zalż w rzdzal ab wd lo wd d ło j war c b a c = Tw żl cj ą la b a z ają w ab cął ochod do rzęd - o cj ą lowo zalż w rzdzal ab wd lo wd d rzdzal ab Uwaa zacz azwa wzacz rońo lb wrońa Dow Różczjąc oljo - raz orzd lacj z dcj lowj zalżośc orzj jdorod ład rówań lowch albracz c c c ór a jd zrow rozwąza d wzacz ład j róż od rzład Fcj a a ą lowo zalż w R dż a a a a a a a w R

12 Rówa różczow low rzęd Rówa oac RLN a a a dz a azwa rówa różczow low jdorod rzęd a rówa oac RL a a a azwa rówa różczow low jdorod rzęd Djąc low oraor różczow rzęd wzor oż zaać odowdo d d d L a a a a d d d RLN L[ ] RL L [ ] Załadając ż wz wółcz cj a I czl ą cąl a zaa cja I j -ro różczowala w oób cął oż oraować RLN jao rówa low L[ ] dz I odob ja w rzad RLN rzęd rwzo rawdzw j FKT : ORN=OR+SRN OR j jądr oraora różczowo L ądro Kr L j oczwśc odrzrzą rzrz I Dowodz ę ż zacza OR d Kr L Dla a oólch od wzaczaa OR Dla órch zczól ważch rówań rzęd dro ch rozwązaa dją ow cj zw cj cjal cj Bla d żl wz wółcz a w RL ą cja ał o a RL azwa RL o ałch wółczach dząc ż ochoda cj władczj j cją władczą wdząc ż OR j lową obacją lowo zalżch SR ozj SR w oac = r oważ r rzz r orzj zw rówa chararcz RH RH : ar ar a r o waw do RL róc ór j rówa albracz zod z zaadcz wrdz albr a oo doład rwaów w cl lczb zoloch zczólośc ór rwa a aw wz oą bć rzczw

13 żl a r j ro rwa RH o cj a a a ą lowo zalż SR r j ro rwa RH r j rówż ro rwa RH bo wloa w RH a wółcz rzczw cj co co co ą lowo zalż SR OR j lową obacją SR zach w owżzch zaad zacza SRN Nch = + + będz OR I Moda zaa ałj MUS- oóla dla dowolch RLN SRN za w oac = + + czl w aj oac ja OR z ż ał zaęj cja zo ał rz cz cj łają ład rówań a Uzaad Różczjąc ożaość = + + orzj oważ ozj rozwązaa zczólo oż zażądać ab łało oo war: dla ażdo ówcza orzj Różczjąc owżzą ożaość a Zów żąda ab ówcza Oblczając olj ochod awając odob żądaa orzj ; =- w ońc orza awając oblczo ochod do RLN orzj

14 a a o orządowa orzj a a a a a a a a Uwzlędając a ż = ą SR czl a a = orzj a Zbrając orza rówaa orzj zaowdza wczśj ład rówań z ochod ór a doład jdo rozwąza dż wzacz o ład o wzacz rońo ór j róż od dla ład lowo zalżch SRN o całowa orzj = Sał ór ojawają ę w w całowaa oż rzjąć dowol rzjj dż ozj rozwązaa zczólo II Moda rzwdwań M- lo do RLN o ałch wółczach zczólą oacą Modę rzwdwań oża oować jd do zalza SRN o ałch wółczach z rawą roą będącą rozwąza jaoś o rówaa jdorodo o ałch wółczach Tabla R S ozaczają wloa oa - o Uwa SRN a co+ a co+ SUM j rwa RH j ro rw RH a j rwa RH a a j ro rw RH a j rwa RH R co+ S j ro rw RH R co+ S a j rwa RH a R co+ S a j ro rw RH a R co+ S SUM

15 rzład Rozwązać RLN OR: RL r r RH r r SRN M oważ rawa roa j wloa oa j -ro rwa RH rzwdj SRN w oac B = B Sąd B 6B 6B o waw oblczoch ochodch do RLN orzj 6B 6B a o orządowa 6B 6B Sąd orzj ład rówań 6B 6B óro rozwąza j = B= - = Orzalś węc SRN: w owcj ORN: + Dla orówaa wzacz SRN odą zaa ałj SRN: rz cz Rozwązjąc ład rówań doaj a ąd o całowa awając wzaczo do orzj Orzalś wc ORN: + ozor roż ę od orzdo zao raż + oż bć włączo do OR orzz rzdowa ałch + - w oób zj w w orzdj or 5

16 6 Koarz rzadach w órch oża oować M rowadz oa zwl do rozch rachów ż MUS Uwa o ładach rówań różczowch lowch Uład rówań różczowch lowch rwzo rzęd oża rowadzć do rówaa różczowo lowo rzęd odob rówa różczow low rzęd oża rowadzć do ład rówań różczowch lowch rwzo rzęd jaś o a rzładz rzład Rozwązać ład rówań bra dowol rówa owdz rwz różczj obro orzjąc odawając do rawj ro owżzo rówaa za wraża z wjścowo ład rówań orzj 8 lczając z odawając do orzj rówa RLN rzęd Rozwąza rówaa j 9 6 a z rówośc wzacza = 9 6 orzjąc rozwąza ład rówań Rozwąza o zaz w oac acrzowj Rozwąza ład jdorodo j oac B zać rozwąza ład jdorodo łająco war ocząow rozwązj ład rówań Oacz Z wrdza carda-lldlöa wa ż rozważa rzładz

17 Rówaa rzęd II rowadzal do rówań rzęd I Rozważ rówa różczow dro rzęd F dz D F R wch zczólch rzadach ora rowadzć rówa rzęd do rówaa rzęd F lb w oac oralj oać oralą alż ro całować d F F d F lb w oac oralj rzjjąc odaw a F F lb w oac oralj d d rzjjąc odaw a w owcj F d d aw rzład rzład zaczć rówa rch adająco wobod cała o a z wzlęd oor owrza roorcjoalo do rędośc cała Zalźć rozwąza rówa z wara ocząow v Orjąc oś oową OX w órę a rówa rch rowadząc do robl ocząowo rzjjąc odaw orzj rówa Brollo Ozaczając w w rowadza rówa Brollo do RLN w w w ąd w ; racając do ozwaj cj Nch ; Sąd d d l l a Sąd a a a l a coh 7

18 Uład lowch rówań różczowch rzęd oazalś ż rówa rzęd oża rowadzć do ład rówań rzęd Uład rówań różczowch lowch rwzo rzęd a oać RN z war ocząow dz a a a a Twrdz żl cj ą cął dla a b o rzz ażd zbor a b R rzchodz doład jda rzwa całowa rówaa RLN Maal rzdzał a rozwązaa j rzdzał a b Dowódzc rawa roa RLN ła loal war Lchza Możlwość rzdłża rozwązaa a cał rzdzał a b j owcją oraczoośc rozwązaa ażd c rzdzał a b wo z la Growalla alczw r śl cja o ład lowch rówań różczowch R azwa jdorod o d rozwąza ład jdorodo R z zrow war ocząow j rozwąza ożaoścowo rów Twrdz alczwr 7 Zbór rozwązań ład jdorodo R worz warową odrzrzń lową E rzrz a b śl j rozwąza zczól RN a wor aową bazę 8 rzrz E o rozwąza oól ład jdorodo a oać c d OR j jądr oraora różczowo L d ORN=OR+SRN L : a b; R a b; R Załóż ż a w rzrz E rozwązań ład jdorodo bazę złożoą z cj worowch Trając cj jao ol bdj z ch cj acrz Oczwśc acrz a ła rówa

19 9 Macrz wadraową łającą owżz rówa dla órj d azwa acrzą daalą ład RL a wzacz j acrz azwa wzacz rońo wrońa Moża oazać alczw r 7 ż r d Ozacza o ż jśl ład rozwązań j lowo zalż w w c o j o lowo zalż dla ażdo b a śl doj acrzą daalą dla RL o wlowarow wara MUS oża zać ORN w oac d Rzczwśc- OR oża zaać w oac c dz c c ORN ozj oac c dz c c o odaw do rówaa RN orzj Z wa a a ż a a z ooblwośc acrz a o całowa d śl a bć ło war ocząow o czl ówcza d Sąd d robl a wzaczć acrz daalą bazę w rzrz E ora o zrobć jd dla ład o ałch wółczach z Macrz wadraowa o ałch lach rrzj doorz rzrz R Dj ow doorz jao ę zr:

20 I!!! Zbżość zr j owcją zbżośc zr or!!! Uwaa: I B B o l acrz B ą rz z B B!!! rzz bzośrd rach rawdza ż!!!!! d d d d d d oado z rówośc r d a d r o Macrz j acrzą daalą RL Rozwąza ład j jd rozwąza łając war ocząow wo z wrdza carda-ldlöa a wzaczć? Mo ż acrz j acrzą rzczwą oraj ją jao zoloą rrzjącą doorz rzrz zoloj adoo z r albr ż j ooblw rzzałc rrzjąc zaę baz w a ż j acrzą aoczj oac laowj ordaa dz ażda z la j laą daoalą lb laą oac Oczwśc

21 rzrzń j ą roą H H rzrz H o j właośc ż ażda H j rzrzą zczą dla z H H a w H wor wła odowadając warośc właj a z o ż węc warcz oazać ja orować blo Bzośrdo z dcj wa ż dla acrz daoalj Dla la ordaa rozar dooj doozcj K I oważ acrz I K ą rz a K K K I K I dz!!!! K wzacza z dcj orzając z a ż wz wżz oę acrz K ocząwz od -j ą acrza zrow zr aj ę ą ończoą Oacz!!!!

22 rzład: d I d I co co racając do rozważao wczśj rzład zalś a rozwąza ór zaz w oac acrzowj Rozwąza ład jdorodo j oac B zać rozwąza ład jdorodo łająco war ocząow rozwązj ład rówań Oacz Z wrdza carda-lldlöa wa ż rozważa rzładz

23 Zając oać acrz daalj dla ład o ałch wółczach odawow właośc acrz oż zaać rozwąza robl ocząowo w oac d rzład Rozwąż ład rówań różczowch 5 zacza wloa chararcz acrz 5 d I Macrz a warośc wła zacza wor wła dla or worzą ol acrz rzjśca co 5 co OR: co 5 co SRN: d d d co co 8 co 5 8 co co 5co 8 co co 5 co ORN: co co 8 co 5 co