Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

Transkrypt

1 Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun pracy dr Krzysztof Leśniak Wydział Matematyki i Informatyki Toruń 2014 Pracę przyjmuję i akceptuję... data i podpis opiekuna pracy Potwierdzam złożenie pracy dyplomowej... data i podpis pracownika dziekanatu

2

3 Rozdział 1 Informacje 1.1 Wzór interpolacyjny Newtona Zagadnienie interpolacji 1 można sformułować w nastęujący sposób: W przedziale domkniętym [a,b] danych jest n + 1 punktów x 0, x 1, x 2,..., x n zwanych węzłami interpolacji 2. Ponadto znane są wartości y 0, y 1,..., y n, jakie funkcja f(x) przyjmuje w tych punktach, tzn. f(x j ) = y i. (1.1) Problem polega na wyznaczeniu funkcji f(x) należącej do z góry określonej klasy funkcji i spełniającej warunki (1.1). Geometryczną interpretacją problemu jest znalezienie takiej krzywej, z określonej rodziny krzywych, która przechodzi przez punkt (x i, y i ) dla i = 1, 2,..., n. Wiele jest znanych wzorów interpolacyjnych, dających efektywną postać funkcji f(x). Wśród nich rozróżniamy wzory dla przypadku, gdy odstępy między węzłami są równe. Dla takiego przypadku podstawowy jest wzór Newtona, a dla pozostałych przypadków klasyczny wzór Lagrange a. We wzorze interpolacyjnym Newtona odstęy między kolejnymi węzłami x k dla k = 0,..., n wynoszą h, czyli x k = x 0 + kh dla k = 0,..., n. (1.2) Oznaczamy (x x 0 ) (k) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k 1 ) (1.3) Szukamy funkcji f(x) spełniającej warunki (1.1) w postaci f(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) (1) + a 2 (x x 0 ) (2) a n (x x 0 ) (n), (1.4) przy czym chodzi o wyznaczenie współczynników a k dla k = 0,..., n. 1 metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami 2 Węzeł funkcji(węzeł interpolacji) to argument funkcji, dla którego znana jest jej wartość. Jeżeli: f : A B, jest funkcją z A w B, x i jest elementem A, dla którego znana jest wartość f(x i ) : y i = f(x i ), y i B to x i jest węzłem funkcji f. 3

4 4 ROZDZIAŁ 1. INFORMACJE W tym celu wprowadza się specjalny operator różnicowania k, określony następująco: 1 f(x) = f(x + h) f(x), k f(x) = 1 ( k 1 f(x)). (1.5) Włąsnością tego operatora jest, iż 1 (x x 0 ) (k) = hk(x x 0 ) (k 1). (1.6) Istotnie, na podstawie definicji operatora 1 i uwagi na (1.2) mamy 1 (x x 0 ) (k) = (x + h x 0 ) (k) (x x 0 ) (k) = = (x + h x 0 )(x x 0 ) (k 1) (x x 0 ) (k 1) [x x 0 (k 1)h] = = (x x 0 ) (k 1) (x + h x 0 x + x 0 + kh h) = = hk(x x 0 ) (k 1). Działam teraz kolejno na funkcje f(x), określoną wzorem (1.4), operatorami 1, 2,..., n, wykorzystując przy tym zależność (1.6). Otrzymamy 1 f(x) = ha 1 + 2ha 2 (x x 0 ) (1) + 3ha 3 (x x 0 ) (2) hna n (x x 0 ) (n 1), 2 f(x) = 2h 2 a 2 + 6h 2 a 3 (x x 0 ) (1) h 2 n(n 1)a n (x x 0 ) (n 2), (1.7) n = f(x) = h n n!a n Jeżeli do wzorów (1.4) i (1.7) podstawimy x = x 0, to otrzymamy f(x 0 ) = a 0, 1 f(x 0 ) = ha 1, 2 f(x 0 ) = 2h 2 a 2,... n f(x 0 ) = n!h n a n, skąd a k = k f(x 0 )k!h k (1.8) przjmując 0 f(x 0 ) = f(x 0 ). Wobec tego interpolacyjny wzór Newtona przyjmie ostateczną postać f(x) = f(x 0 ) + 1 f(x 0 ) (x x 0 ) (1) + 1!h + 2 f(x 0 ) (x x 2!h 2 0 ) (2) n f(x 0 ) (x x n!h n 0 ) (n) (1.9)

5 1.1. WZÓR INTERPOLACYJNY NEWTONA 5 f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) 4 f(x) f(x 0 ) 1 f(x 0 ) 2 f(x 0 ) 3 f(x 0 ) 4 f(x 0 ) f(x 1 ) 1 f(x 1 ) 2 f(x 1 ) 3 f(x 1 ) f(x 2 ) 1 f(x 2 ) 2 f(x 2 ) f(x 3 ) 1 f(x 3 ) f(x 4 ) Tabela 1.1: Tablica różnic W celu zastosowania w praktyce wzoru interpolacyjnego ((1.9)) należy obliczyć wartości 1 f(x), 2 f(x),..., n f(x) w odpowiednich punktach. Dla szybkiego obliczenia tych wartości buduje się następującą tablicę trójkątną, której pierwsze wyrazy (pod kreską) każdej kolumny dają szukane wartości kolejnych różnic w punkcie x 0. Poniżej podano taką tablicę dla n = 4. W tablicy tej pierwsza kolumna zawiera wartości dane z góry f(x 0 ), f(x 1 ),..., f(x n ). W następnej kolumnie 1 f(x 0 ) = f(x 1 ) f(x 0 ), 1 f(x 0 ) = f(x 2 ) f(x 1 ), 1 f(x 0 ) = f(x 3 ) f(x 2 ), 1 f(x 0 ) = f(x 4 ) f(x 3 ), Widzimy zatem, iż każdy wyraz drugiej kolumny jest różnicą pewnych dwóch wyrazów występujących kolejno w poprzedniej kolumnie. Analogiocznie postępujemy w kolejnych kolumnach tablicy. Przykład 1. Dany jest szereg statystyczny x i y i , , f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) 4 f(x) 7 4, 5 6 9, 6 14, 4 11, 5 1, 5 3, 6 4, , 1 1, 2 12, 1 0, 9 13 Szukaną funkcją f(x) jest zatem wedlug wzoru (1.9) funkcja f(x) = 7 + 4, 5x 3x(x 1) + 1, 6x(x 1)(x 2) 0, 51x(x 1)(x 2)(x 3) = = 0, 51x 4 + 4, 66x 3 13, 41x , 76x + 7

6 6 ROZDZIAŁ 1. INFORMACJE 1.2 Wzór interpolacyjny Lagrange a W przypadku, gdy różne między sobą węzły interpolacji x 0, x 1,..., x n są rozmieszczone w nierównych odstępach, dla wyznaczenia wielomianu co najwyżej stopnia n, mającego własność f(x i ) = y i dla i = 0, 1,..., n (1.10) gdzie y i są liczbami z góry dnaymi, można skorzystać ze wzoru interpolacyjnego Lagrange a n (x x 0 )(x x 1 )... (x x i 1 )(x x i+1 )... (x x n ) L n (x) = y i (1.11) (x i x 0 )(x i x 1 )... (x i x i 1 )(x i x i+1 )... (x i x n ) i=0 Dla wykazania, że L n (x) jest szukaną funkcją f(x), wygodnie jest wprowadzić pomocniczy wielomian (n+1)-go stopnia n w n+1 (x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x j 1 )(x x j+1 )... (x x n ) (1.12) j=0 Wielomian w n+1 ma następujące własnośći: 1. w n+1 (x i ) = 0 dla i = 0, 1,..., n, 2. w n+1 = (x x 0 )... (x i x i 1 )(x i x i+1 )... (x i x n ), w 3. n+1 (x) 0 dlaj i x x i = x=xj w n+1(x i ) dlaj = i. Powyższe własności wielominau w n+1 (x) pozwalają na przedstawienie funkcji L n (x) w uproszczonej potaci n w n+1 (x) 1 L n (x) = y i x x j w n+1(x i ), (1.13) i=0 Przykład 2. Znaleźć wielomian co najwyżej trzeciego stopnia, który by w punktach 0,1,3,6 przyjmował odpowiednio wartości 1,2,8,64. Obliczyć wartość tego wielomianu w punkcie 4. W tym przypadku w 4 (x) = x(x 1)(x 3)(x 6) w 4(x) = (x 1)(x 3)(x 6) + x(x 3)(x 6) + x(x 1)(x 3), w 4(0) = 18, w 4(1) = 10, w 4(3) = 18, w 4(6) = 90. Szukanym wielomianem jest zatem według wzoru (1.13) L 3 (x) = 1 18 (x 1)(x 3)(x 6) + 1 x(x 3)(x 6)+ 5 A zatem L 3 (4) = 17, x(x 1)(x 6) + x(x 1)(x 3) = 45 = x x x + 1

7 Rozdział 2 Interpolacja wielomianem tzreciego stopnia Poniżej przedstawię interpolacje niektórych charakterystycznych funkcji. Dla każdego z przykładów powtarzają się niektóre obliczenia. Do obu typów interpolacji potrzebna jest prosta tabelka: x i y i gdzie x i są kolejnymi argumentami funkcji dla i = 0, 1,..., n a y i to wartości funkcji w punktach x i. Dla interpolacji Newtona na początku tworzymy tabelę postaci 1.1. Każda z nich jest tworzona odrębnie w zależnościod wartości y i powyższej tabeli. Interpolację Lagrange a także można uprościć. W interpolacji Lagrange a korzystam z wielomianu albo w 4 (x) = x(x 1)(x 2)(x 3) (2.1) w 4 (x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) (2.2) Na ich podstawie liczę w 4(x) dostając odpowiednio: oraz w 4(x) = (x 1)(x 2)(x 3) + x(x 2)(x 3) + x(x 1)(x 3) + x(x 1)(x 2) w 4(x) = (x 2)(x 3)(x 4) + (x 1)(x 3)(x 4) + (x 1)(x 2)(x 4) + (x 1)(x 2)(x 3) (2.3) (2.4) Dalej, patrząc na definicję metody Lagrange a otzrymujemy, że: 7

8 8 ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA dla wzorów (2.1) w 4(0) = 6 w 4(1) = 2 w 4(2) = 2 w 4(3) = 6 (2.5) dla wzoru (2.2) w 4(10) = 6 w 4(2) = 2 w 4(3) = 2 w 4(4) = 6 (2.6) Ilustracje na końcu każdego podrozdziału rozdziału drugiego przedstawiają tzry wykresy funkcji. Pierwszy to wykres funkcji interpolowanej oznaczony kolorem niebieskim, drugi to interpolacja Newtona oznaczona kolorem czerwonym a trzecia to interpolacja metodą Lagrange a oznaczona kolorem zielonym. Kolor fioletowy na niektórych wykresach symbolizuje pokrywanie się funkcji pierwotnej z rozwinięciem interpolacyjnym. Tak przygotowani możemy zająć się porównaniem podstawowych funkcji. 2.1 Funkcje postaci f(x) = ax + b, f(x) = ax 2 + bx + c, f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Do każdej z tych funkcji można w sposób identyczny zastosować interpolację Newtona, jak i Lagrange a. Wynikiem będzie ta sama funkcja f(x), na której chcemy zastosować interpolację. Dla udowodnienia mojej tezy, poniżej przedstawię dwa przykłady, które potwierdzą prawdziwość moich spostrzeżeń. Przykład 3. Stosując interpolację Lagrange a znależć wielomian funkcji f(x) = 2x 2 + 5x 7. Na początku tworzę tabelkę: x i y i Korzystając z gotowych już wyników: (2.1), (2.3) i (2.5) otzrymuję L 3 (x) = 7(x 1)(x 2)(x 3) ( 0.17) + 0 x(x 2)(x 3) (0.5) + 11x(x 1)(x 3) ( 0.5) + 26x(x 1)(x 2) (0.17) =

9 2.2. FUNKCJA LN X 9 otrzymuję L 3 (x)2x 2 + 5x 7 Przykład 4. Stosując interpolację Newtona znależć wielomian funkcji f(x) = 4x 3 9x 2 + 2x 11. Na początku tworzę tabele: oraz Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy I ostatecznie: x i y i f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) F (x) = 11 3x + 6x(x 1) + 30x(x 1)(x 2) F (x) = 4x 3 9x 2 + 2x Funkcja ln x x i y i Interpolacja wg. Newtona Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) F (x) = (x 1) ! (x 1)(x 2) ! (x 1)(x 2)(x 3) I ostatecznie F (x) = 0.03x x x 1.13

10 10 ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.2), (2.4) i (2.6) otzrymuję L 3 (x) =0 (x 2)(x 3)(x 4) ( 1 6 ) (x 1)(x 3)(x 4) ( 1 2 ) + 1.1(x 1)(x 2)(x 4) ( 1 2 ) (x 1)(x 2)(x 3) ( 1 6 ) = L 3 (x) = 0.03x 3 0.3x x Wykres 2.3 Funkcja sin x x i y i Interpolacja wg. Newtona f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x)

11 2.4. FUNKCJA X 11 Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy F (x) = x x(x 1) (x 1)(x 2)(x 3) 2! 3! F (x) = 0.002x x x Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.1), (2.3) i (2.5) otzrymuję L 3 (x) =0 (x 1)(x 2)(x 3) ( 1 6 ) x(x 2)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 2) ( 1 6 ) = L 3 (x) = 0.01x x Wykres 2.4 Funkcja x x i y i

12 12 ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA Interpolacja wg. Newtona f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy F (x) = x x(x 1) (x 1)(x 2)(x 3) 2! 3! F (x) = 0.008x x x Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.1), (2.3) i (2.5) otzrymuję L 3 (x) =0 (x 1)(x 2)(x 3) ( 1 6 ) + 1 x(x 2)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 2) ( 1 6 ) = L 3 (x) = 0.08x x x

13 2.5. FUNKCJA 3 X Wykres 2.5 Funkcja 3 x x i y i Interpolacja wg. Newtona f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy F (x) = x x(x 1) (x 1)(x 2)(x 3) 2 3 F (x) = 0.11x 3 0.7x x

14 14 ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.1), (2.3) i (2.5) otzrymuję L 3 (x) =0 (x 1)(x 2)(x 3) ( 1 6 ) + 1 x(x 2)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 2) ( 1 6 ) = L 3 (x) = 0.11x x x Wykres 2.6 Funkcja e x x i y i

15 2.6. FUNKCJA E X Interpolacja wg. Newtona f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy F (x) = x x(x 1) (x 1)(x 2)(x 3) 2 6 F (x) = 0.85x x x Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.1), (2.3) i (2.5) otzrymuję A zatem L 3 (x) =1(x 1)(x 2)(x 3) ( 1 6 ) x(x 2)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 2) ( 1 6 ) = L 3 (x) = 0.85x x x + 1

16 16 ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA Wykres 2.7 Funkcja 2 x x i y i Interpolacja wg. Newtona f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy F (x) = x x(x 1) + 1 x(x 1)(x 2) 2 6 F (x) = 0.17x x + 1

17 2.8. FUNKCJA X Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.1), (2.3) i (2.5) otzrymuję L 3 (x) =1(x 1)(x 2)(x 3) ( 1 6 ) + 2 x(x 2)(x 3) ( 1 2 ) + 4x(x 1)(x 3) ( 1 2 ) + 8x(x 1)(x 2) ( 1 6 ) = L 3 (x) = 0.17x x Wykres 2.8 Funkcja x 2 x i y i

18 18 ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA Interpolacja wg. Newtona f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy F (x) = (x 1) (x 1)(x 2) 1 2! = 0.12x x x (x 1)(x 2)(x 3) 1 3! Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.2), (2.4) i (2.6) otzrymuję A zatem L 3 (x) =2(x 2)(x 3)(x 4) (x 1)(x 3)(x 4) (x 1)(x 2)(x 4) (x 1)(x 2)(x 3) 1 6 L 3 (x) = 0.06x x x Wykres

19 2.9. FUNKCJA X SIN(X) Funkcja x sin(x) x i y i Interpolacja wg. Newtona f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy F (x) = (x 1) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 3) 2 6 F (x) = 0.001x x x Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.2), (2.4) i (2.6) otzrymuję L 3 (x) =0.02(x 2)(x 3)(x 4) (x 1)(x 3)(x 4) (x 1)(x 2)(x 4) (x 1)(x 2)(x 3) 1 6 L 3 (x) = 0.001x x x

20 20 ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA Wykres

21 Bibliografia [1] Eugeniusz Zeniuk, Marta Kapturczak, Krzysztof Szerszeń: Zastosowanie wielomianów interpolacyjnych Lagrange a do aproksymacji funkcji brzegowych. [2] J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis. [3] prof. dr hab. Oleksandr Gomilko: Metody numeryczne 21

22 22 BIBLIOGRAFIA

23 Spis treści 1 Informacje Wzór interpolacyjny Newtona Wzór interpolacyjny Lagrange a Interpolacja wielomianem tzreciego stopnia Funkcje postaci f(x) = ax + b, f(x) = ax 2 + bx + c, f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Funkcja ln x Interpolacja wg. Newtona Interpolacja wg. Lagrange a Wykres Funkcja sin x Interpolacja wg. Newtona Interpolacja wg. Lagrange a Wykres Funkcja x Interpolacja wg. Newtona Interpolacja wg. Lagrange a Wykres Funkcja 3 x Interpolacja wg. Newtona Interpolacja wg. Lagrange a Wykres Funkcja e x Interpolacja wg. Newtona Interpolacja wg. Lagrange a Wykres Funkcja 2 x Interpolacja wg. Newtona Interpolacja wg. Lagrange a Wykres Funkcja x Interpolacja wg. Newtona Interpolacja wg. Lagrange a Wykres Funkcja x sin(x) Interpolacja wg. Newtona

24 24 SPIS TREŚCI Interpolacja wg. Lagrange a Wykres