Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Newton vs. Lagrange - kto lepszy?"

Transkrypt

1 Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun pracy dr Krzysztof Leśniak Wydział Matematyki i Informatyki Toruń 2014 Pracę przyjmuję i akceptuję... data i podpis opiekuna pracy Potwierdzam złożenie pracy dyplomowej... data i podpis pracownika dziekanatu

2

3 Rozdział 1 Informacje 1.1 Wzór interpolacyjny Newtona Zagadnienie interpolacji 1 można sformułować w nastęujący sposób: W przedziale domkniętym [a,b] danych jest n + 1 punktów x 0, x 1, x 2,..., x n zwanych węzłami interpolacji 2. Ponadto znane są wartości y 0, y 1,..., y n, jakie funkcja f(x) przyjmuje w tych punktach, tzn. f(x j ) = y i. (1.1) Problem polega na wyznaczeniu funkcji f(x) należącej do z góry określonej klasy funkcji i spełniającej warunki (1.1). Geometryczną interpretacją problemu jest znalezienie takiej krzywej, z określonej rodziny krzywych, która przechodzi przez punkt (x i, y i ) dla i = 1, 2,..., n. Wiele jest znanych wzorów interpolacyjnych, dających efektywną postać funkcji f(x). Wśród nich rozróżniamy wzory dla przypadku, gdy odstępy między węzłami są równe. Dla takiego przypadku podstawowy jest wzór Newtona, a dla pozostałych przypadków klasyczny wzór Lagrange a. We wzorze interpolacyjnym Newtona odstęy między kolejnymi węzłami x k dla k = 0,..., n wynoszą h, czyli x k = x 0 + kh dla k = 0,..., n. (1.2) Oznaczamy (x x 0 ) (k) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k 1 ) (1.3) Szukamy funkcji f(x) spełniającej warunki (1.1) w postaci f(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) (1) + a 2 (x x 0 ) (2) a n (x x 0 ) (n), (1.4) przy czym chodzi o wyznaczenie współczynników a k dla k = 0,..., n. 1 metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami 2 Węzeł funkcji(węzeł interpolacji) to argument funkcji, dla którego znana jest jej wartość. Jeżeli: f : A B, jest funkcją z A w B, x i jest elementem A, dla którego znana jest wartość f(x i ) : y i = f(x i ), y i B to x i jest węzłem funkcji f. 3

4 4 ROZDZIAŁ 1. INFORMACJE W tym celu wprowadza się specjalny operator różnicowania k, określony następująco: 1 f(x) = f(x + h) f(x), k f(x) = 1 ( k 1 f(x)). (1.5) Włąsnością tego operatora jest, iż 1 (x x 0 ) (k) = hk(x x 0 ) (k 1). (1.6) Istotnie, na podstawie definicji operatora 1 i uwagi na (1.2) mamy 1 (x x 0 ) (k) = (x + h x 0 ) (k) (x x 0 ) (k) = = (x + h x 0 )(x x 0 ) (k 1) (x x 0 ) (k 1) [x x 0 (k 1)h] = = (x x 0 ) (k 1) (x + h x 0 x + x 0 + kh h) = = hk(x x 0 ) (k 1). Działam teraz kolejno na funkcje f(x), określoną wzorem (1.4), operatorami 1, 2,..., n, wykorzystując przy tym zależność (1.6). Otrzymamy 1 f(x) = ha 1 + 2ha 2 (x x 0 ) (1) + 3ha 3 (x x 0 ) (2) hna n (x x 0 ) (n 1), 2 f(x) = 2h 2 a 2 + 6h 2 a 3 (x x 0 ) (1) h 2 n(n 1)a n (x x 0 ) (n 2), (1.7) n = f(x) = h n n!a n Jeżeli do wzorów (1.4) i (1.7) podstawimy x = x 0, to otrzymamy f(x 0 ) = a 0, 1 f(x 0 ) = ha 1, 2 f(x 0 ) = 2h 2 a 2,... n f(x 0 ) = n!h n a n, skąd a k = k f(x 0 )k!h k (1.8) przjmując 0 f(x 0 ) = f(x 0 ). Wobec tego interpolacyjny wzór Newtona przyjmie ostateczną postać f(x) = f(x 0 ) + 1 f(x 0 ) (x x 0 ) (1) + 1!h + 2 f(x 0 ) (x x 2!h 2 0 ) (2) n f(x 0 ) (x x n!h n 0 ) (n) (1.9)

5 1.1. WZÓR INTERPOLACYJNY NEWTONA 5 f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) 4 f(x) f(x 0 ) 1 f(x 0 ) 2 f(x 0 ) 3 f(x 0 ) 4 f(x 0 ) f(x 1 ) 1 f(x 1 ) 2 f(x 1 ) 3 f(x 1 ) f(x 2 ) 1 f(x 2 ) 2 f(x 2 ) f(x 3 ) 1 f(x 3 ) f(x 4 ) Tabela 1.1: Tablica różnic W celu zastosowania w praktyce wzoru interpolacyjnego ((1.9)) należy obliczyć wartości 1 f(x), 2 f(x),..., n f(x) w odpowiednich punktach. Dla szybkiego obliczenia tych wartości buduje się następującą tablicę trójkątną, której pierwsze wyrazy (pod kreską) każdej kolumny dają szukane wartości kolejnych różnic w punkcie x 0. Poniżej podano taką tablicę dla n = 4. W tablicy tej pierwsza kolumna zawiera wartości dane z góry f(x 0 ), f(x 1 ),..., f(x n ). W następnej kolumnie 1 f(x 0 ) = f(x 1 ) f(x 0 ), 1 f(x 0 ) = f(x 2 ) f(x 1 ), 1 f(x 0 ) = f(x 3 ) f(x 2 ), 1 f(x 0 ) = f(x 4 ) f(x 3 ), Widzimy zatem, iż każdy wyraz drugiej kolumny jest różnicą pewnych dwóch wyrazów występujących kolejno w poprzedniej kolumnie. Analogiocznie postępujemy w kolejnych kolumnach tablicy. Przykład 1. Dany jest szereg statystyczny x i y i , , f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) 4 f(x) 7 4, 5 6 9, 6 14, 4 11, 5 1, 5 3, 6 4, , 1 1, 2 12, 1 0, 9 13 Szukaną funkcją f(x) jest zatem wedlug wzoru (1.9) funkcja f(x) = 7 + 4, 5x 3x(x 1) + 1, 6x(x 1)(x 2) 0, 51x(x 1)(x 2)(x 3) = = 0, 51x 4 + 4, 66x 3 13, 41x , 76x + 7

6 6 ROZDZIAŁ 1. INFORMACJE 1.2 Wzór interpolacyjny Lagrange a W przypadku, gdy różne między sobą węzły interpolacji x 0, x 1,..., x n są rozmieszczone w nierównych odstępach, dla wyznaczenia wielomianu co najwyżej stopnia n, mającego własność f(x i ) = y i dla i = 0, 1,..., n (1.10) gdzie y i są liczbami z góry dnaymi, można skorzystać ze wzoru interpolacyjnego Lagrange a n (x x 0 )(x x 1 )... (x x i 1 )(x x i+1 )... (x x n ) L n (x) = y i (1.11) (x i x 0 )(x i x 1 )... (x i x i 1 )(x i x i+1 )... (x i x n ) i=0 Dla wykazania, że L n (x) jest szukaną funkcją f(x), wygodnie jest wprowadzić pomocniczy wielomian (n+1)-go stopnia n w n+1 (x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x j 1 )(x x j+1 )... (x x n ) (1.12) j=0 Wielomian w n+1 ma następujące własnośći: 1. w n+1 (x i ) = 0 dla i = 0, 1,..., n, 2. w n+1 = (x x 0 )... (x i x i 1 )(x i x i+1 )... (x i x n ), w 3. n+1 (x) 0 dlaj i x x i = x=xj w n+1(x i ) dlaj = i. Powyższe własności wielominau w n+1 (x) pozwalają na przedstawienie funkcji L n (x) w uproszczonej potaci n w n+1 (x) 1 L n (x) = y i x x j w n+1(x i ), (1.13) i=0 Przykład 2. Znaleźć wielomian co najwyżej trzeciego stopnia, który by w punktach 0,1,3,6 przyjmował odpowiednio wartości 1,2,8,64. Obliczyć wartość tego wielomianu w punkcie 4. W tym przypadku w 4 (x) = x(x 1)(x 3)(x 6) w 4(x) = (x 1)(x 3)(x 6) + x(x 3)(x 6) + x(x 1)(x 3), w 4(0) = 18, w 4(1) = 10, w 4(3) = 18, w 4(6) = 90. Szukanym wielomianem jest zatem według wzoru (1.13) L 3 (x) = 1 18 (x 1)(x 3)(x 6) + 1 x(x 3)(x 6)+ 5 A zatem L 3 (4) = 17, x(x 1)(x 6) + x(x 1)(x 3) = 45 = x x x + 1

7 Rozdział 2 Interpolacja wielomianem tzreciego stopnia Poniżej przedstawię interpolacje niektórych charakterystycznych funkcji. Dla każdego z przykładów powtarzają się niektóre obliczenia. Do obu typów interpolacji potrzebna jest prosta tabelka: x i y i gdzie x i są kolejnymi argumentami funkcji dla i = 0, 1,..., n a y i to wartości funkcji w punktach x i. Dla interpolacji Newtona na początku tworzymy tabelę postaci 1.1. Każda z nich jest tworzona odrębnie w zależnościod wartości y i powyższej tabeli. Interpolację Lagrange a także można uprościć. W interpolacji Lagrange a korzystam z wielomianu albo w 4 (x) = x(x 1)(x 2)(x 3) (2.1) w 4 (x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) (2.2) Na ich podstawie liczę w 4(x) dostając odpowiednio: oraz w 4(x) = (x 1)(x 2)(x 3) + x(x 2)(x 3) + x(x 1)(x 3) + x(x 1)(x 2) w 4(x) = (x 2)(x 3)(x 4) + (x 1)(x 3)(x 4) + (x 1)(x 2)(x 4) + (x 1)(x 2)(x 3) (2.3) (2.4) Dalej, patrząc na definicję metody Lagrange a otzrymujemy, że: 7

8 8 ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA dla wzorów (2.1) w 4(0) = 6 w 4(1) = 2 w 4(2) = 2 w 4(3) = 6 (2.5) dla wzoru (2.2) w 4(10) = 6 w 4(2) = 2 w 4(3) = 2 w 4(4) = 6 (2.6) Ilustracje na końcu każdego podrozdziału rozdziału drugiego przedstawiają tzry wykresy funkcji. Pierwszy to wykres funkcji interpolowanej oznaczony kolorem niebieskim, drugi to interpolacja Newtona oznaczona kolorem czerwonym a trzecia to interpolacja metodą Lagrange a oznaczona kolorem zielonym. Kolor fioletowy na niektórych wykresach symbolizuje pokrywanie się funkcji pierwotnej z rozwinięciem interpolacyjnym. Tak przygotowani możemy zająć się porównaniem podstawowych funkcji. 2.1 Funkcje postaci f(x) = ax + b, f(x) = ax 2 + bx + c, f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Do każdej z tych funkcji można w sposób identyczny zastosować interpolację Newtona, jak i Lagrange a. Wynikiem będzie ta sama funkcja f(x), na której chcemy zastosować interpolację. Dla udowodnienia mojej tezy, poniżej przedstawię dwa przykłady, które potwierdzą prawdziwość moich spostrzeżeń. Przykład 3. Stosując interpolację Lagrange a znależć wielomian funkcji f(x) = 2x 2 + 5x 7. Na początku tworzę tabelkę: x i y i Korzystając z gotowych już wyników: (2.1), (2.3) i (2.5) otzrymuję L 3 (x) = 7(x 1)(x 2)(x 3) ( 0.17) + 0 x(x 2)(x 3) (0.5) + 11x(x 1)(x 3) ( 0.5) + 26x(x 1)(x 2) (0.17) =

9 2.2. FUNKCJA LN X 9 otrzymuję L 3 (x)2x 2 + 5x 7 Przykład 4. Stosując interpolację Newtona znależć wielomian funkcji f(x) = 4x 3 9x 2 + 2x 11. Na początku tworzę tabele: oraz Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy I ostatecznie: x i y i f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) F (x) = 11 3x + 6x(x 1) + 30x(x 1)(x 2) F (x) = 4x 3 9x 2 + 2x Funkcja ln x x i y i Interpolacja wg. Newtona Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) F (x) = (x 1) ! (x 1)(x 2) ! (x 1)(x 2)(x 3) I ostatecznie F (x) = 0.03x x x 1.13

10 10 ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.2), (2.4) i (2.6) otzrymuję L 3 (x) =0 (x 2)(x 3)(x 4) ( 1 6 ) (x 1)(x 3)(x 4) ( 1 2 ) + 1.1(x 1)(x 2)(x 4) ( 1 2 ) (x 1)(x 2)(x 3) ( 1 6 ) = L 3 (x) = 0.03x 3 0.3x x Wykres 2.3 Funkcja sin x x i y i Interpolacja wg. Newtona f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x)

11 2.4. FUNKCJA X 11 Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy F (x) = x x(x 1) (x 1)(x 2)(x 3) 2! 3! F (x) = 0.002x x x Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.1), (2.3) i (2.5) otzrymuję L 3 (x) =0 (x 1)(x 2)(x 3) ( 1 6 ) x(x 2)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 2) ( 1 6 ) = L 3 (x) = 0.01x x Wykres 2.4 Funkcja x x i y i

12 12 ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA Interpolacja wg. Newtona f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy F (x) = x x(x 1) (x 1)(x 2)(x 3) 2! 3! F (x) = 0.008x x x Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.1), (2.3) i (2.5) otzrymuję L 3 (x) =0 (x 1)(x 2)(x 3) ( 1 6 ) + 1 x(x 2)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 2) ( 1 6 ) = L 3 (x) = 0.08x x x

13 2.5. FUNKCJA 3 X Wykres 2.5 Funkcja 3 x x i y i Interpolacja wg. Newtona f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy F (x) = x x(x 1) (x 1)(x 2)(x 3) 2 3 F (x) = 0.11x 3 0.7x x

14 14 ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.1), (2.3) i (2.5) otzrymuję L 3 (x) =0 (x 1)(x 2)(x 3) ( 1 6 ) + 1 x(x 2)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 2) ( 1 6 ) = L 3 (x) = 0.11x x x Wykres 2.6 Funkcja e x x i y i

15 2.6. FUNKCJA E X Interpolacja wg. Newtona f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy F (x) = x x(x 1) (x 1)(x 2)(x 3) 2 6 F (x) = 0.85x x x Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.1), (2.3) i (2.5) otzrymuję A zatem L 3 (x) =1(x 1)(x 2)(x 3) ( 1 6 ) x(x 2)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 3) ( 1 2 ) x(x 1)(x 2) ( 1 6 ) = L 3 (x) = 0.85x x x + 1

16 16 ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA Wykres 2.7 Funkcja 2 x x i y i Interpolacja wg. Newtona f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy F (x) = x x(x 1) + 1 x(x 1)(x 2) 2 6 F (x) = 0.17x x + 1

17 2.8. FUNKCJA X Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.1), (2.3) i (2.5) otzrymuję L 3 (x) =1(x 1)(x 2)(x 3) ( 1 6 ) + 2 x(x 2)(x 3) ( 1 2 ) + 4x(x 1)(x 3) ( 1 2 ) + 8x(x 1)(x 2) ( 1 6 ) = L 3 (x) = 0.17x x Wykres 2.8 Funkcja x 2 x i y i

18 18 ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA Interpolacja wg. Newtona f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy F (x) = (x 1) (x 1)(x 2) 1 2! = 0.12x x x (x 1)(x 2)(x 3) 1 3! Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.2), (2.4) i (2.6) otzrymuję A zatem L 3 (x) =2(x 2)(x 3)(x 4) (x 1)(x 3)(x 4) (x 1)(x 2)(x 4) (x 1)(x 2)(x 3) 1 6 L 3 (x) = 0.06x x x Wykres

19 2.9. FUNKCJA X SIN(X) Funkcja x sin(x) x i y i Interpolacja wg. Newtona f(x) 1 f(x) 2 f(x) 3 f(x) Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy F (x) = (x 1) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 3) 2 6 F (x) = 0.001x x x Interpolacja wg. Lagrange a Korzystając z gotowych już wyników: (2.2), (2.4) i (2.6) otzrymuję L 3 (x) =0.02(x 2)(x 3)(x 4) (x 1)(x 3)(x 4) (x 1)(x 2)(x 4) (x 1)(x 2)(x 3) 1 6 L 3 (x) = 0.001x x x

20 20 ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA Wykres

21 Bibliografia [1] Eugeniusz Zeniuk, Marta Kapturczak, Krzysztof Szerszeń: Zastosowanie wielomianów interpolacyjnych Lagrange a do aproksymacji funkcji brzegowych. [2] J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis. [3] prof. dr hab. Oleksandr Gomilko: Metody numeryczne 21

22 22 BIBLIOGRAFIA

23 Spis treści 1 Informacje Wzór interpolacyjny Newtona Wzór interpolacyjny Lagrange a Interpolacja wielomianem tzreciego stopnia Funkcje postaci f(x) = ax + b, f(x) = ax 2 + bx + c, f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Funkcja ln x Interpolacja wg. Newtona Interpolacja wg. Lagrange a Wykres Funkcja sin x Interpolacja wg. Newtona Interpolacja wg. Lagrange a Wykres Funkcja x Interpolacja wg. Newtona Interpolacja wg. Lagrange a Wykres Funkcja 3 x Interpolacja wg. Newtona Interpolacja wg. Lagrange a Wykres Funkcja e x Interpolacja wg. Newtona Interpolacja wg. Lagrange a Wykres Funkcja 2 x Interpolacja wg. Newtona Interpolacja wg. Lagrange a Wykres Funkcja x Interpolacja wg. Newtona Interpolacja wg. Lagrange a Wykres Funkcja x sin(x) Interpolacja wg. Newtona

24 24 SPIS TREŚCI Interpolacja wg. Lagrange a Wykres

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 9 Różniczkowanie numeryczne

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 9 Różniczkowanie numeryczne Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 9 Różniczkowanie numeryczne Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści 1 Na czym polega różniczkowanie numeryczne

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer. METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1 Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. Autorzy scenariusza: Krzysztof Sauter (informatyka), Marzena Wierzchowska (matematyka)

SCENARIUSZ LEKCJI. Autorzy scenariusza: Krzysztof Sauter (informatyka), Marzena Wierzchowska (matematyka) SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Moduł interdyscyplinarny:

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

Skrypt 12. Funkcja kwadratowa:

Skrypt 12. Funkcja kwadratowa: Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 12 Funkcja kwadratowa: 8.

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA

MATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA MATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA 1. Funkcje i ich własności. odróżnić przyporządkowanie,

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie Funkcja kwadratowa jest to funkcja postaci y = ax 2 + bx + c, wyrażenie ax 2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, gdzie x, a, oraz a, b, c - współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego. ó ó Wykresem

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz x argumenty funkcji y wartości funkcji a współczynnik kierunkowy prostej ( a = tg, gdzie osi OX) - kąt nachylenia wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego

Bardziej szczegółowo

OPRACOWANIE MONIKA KASIELSKA

OPRACOWANIE MONIKA KASIELSKA KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI DIAGNOZA UMIEJĘTNOŚCI ZGODNYCH ZE STANDARDAMI WYMAGAŃ MATURALNYCH PRZEDMIOT : Matematyka KLASA: III TEMAT: Rozwiązywanie problemów poprzez stosowanie algorytmów. STANDARDY WYMAGAŃ

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji. 3. Temat lekcji: Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru o podanych własnościach;

Scenariusz lekcji. 3. Temat lekcji: Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru o podanych własnościach; Scenariusz lekcji 1. Informacje wstępne: Data: 16 kwietnia 2013r.; Klasa: I c liceum (profil bezpieczeństwo wewnętrzne); Czas trwania zajęć: 45 minut; Nauczany przedmiot: matematyka; 2. Program nauczania:

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUMA PUNKTÓW: 125 ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 2 (5 PKT)

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013

Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013 Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013 Zadanie 1. Dla n naturalnego mamy zdanie: Jeżeli n jest liczbą pierwszą, to n jest równa 2 lub jest liczbą nieparzystą. Możemy je zapisać

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie pierwszej szkoły ponadgimnazjalnej z wykorzystaniem komputerów.

Scenariusz lekcji matematyki w klasie pierwszej szkoły ponadgimnazjalnej z wykorzystaniem komputerów. Jadwiga Żak nauczyciel matematyki w Liceum Ogólnokształcącym im. Piotra Skargi w Grójcu Scenariusz lekcji matematyki w klasie pierwszej szkoły ponadgimnazjalnej z wykorzystaniem komputerów. Temat: Wykresy

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:

Bardziej szczegółowo

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Mathcada 1

Wprowadzenie do Mathcada 1 Wprowadzenie do Mathcada Ćwiczenie. - Badanie zmienności funkcji kwadratowej Ćwiczenie. pokazuje krok po kroku tworzenie prostego dokumentu w Mathcadzie. Dokument ten składa się z następujących elementów:.

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014 I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas - klasy pierwsze kolor zielony + gimnazjum - klasy drugie kolor zielony + kolor czerwony + gimnazjum, - klasy maturalne cały materiał 1.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Definicja 1 Jednomianem stopnia drugiego nazywamy funkcję postaci: i a 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo