Kolokwium ze statystyki matematycznej

Transkrypt

1 Kolokwium ze statystyki matematycznej Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę : 1 przy alternatywie : 1. a) Wyznaczyć obszar krytyczny testu jednostajnie najmocniejszego na poziomie istotności 0,05. (5 pkt) b) Obliczyć moc testu wyznaczonego w podpunkcie a) dla hipotezy alternatywnej : 2. (5 pkt) Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 0 i wariancją. a) Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej. (5 pkt) b) Załóżmy, iż mamy do dyspozycji próbkę liczącą 10 obserwacji. Testujemy hipotezę : 1 wobec alternatywy : 1 za pomocą testu o obszarze krytycznym,, :, gdzie S jest zdefiniowane jak w podpunkcie a). Dobierz stałą c, aby otrzymać test na poziomie istotności 0,05. (5 pkt) Zadanie 3 Zmierzono czas 9 losowo wybranych rozmów telefonicznych w pewnej grupie klientów i otrzymano następujące wyniki w minutach: 3 5 4,5 5, Zakładamy, że czas rozmowy ma rozkład normalny, 2. a) Wyznaczyć przedział ufności dla przeciętnego czasu rozmowy na poziomie ufności 0,9. (4 pkt) b) Jak liczną próbkę należy dolosować, aby otrzymać przedział ufności o długości nie większej niż 1? Przyjąć ponownie poziom ufności 0,9. (2 pkt) c) Przetestuj hipotezę : 3 wobec alternatywy : 3 przyjmując poziom istotności 0,05. Proszę wyznaczyć p-value. (4 pkt) Zadanie 4 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie o gęstości 2 dla x > 0. a) Wyznacz estymator największej wiarygodności parametru. (5 pkt) b) Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję estymatora wyznaczonego w podpunkcie a). (5 pkt)

2 Zadanie 5 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie o gęstości dla x > 1. Zadanie 6 a) Wyznacz estymator parametru w oparciu o metodę kwantyli wykorzystując medianę z próby. (5 pkt) b) Niech oznacza estymator parametru wyznaczony w oparciu o metodę największej wiarygodności. Wyznaczyć w przybliżeniu rozmiar próbki n taki, żeby 0,01 0,95. Proszę posłużyć się aproksymacją rozkładem normalnym dla estymatora metody największej wiarygodności. (5 pkt) a) Tabela przedstawia indeksy jednopodstawowe cen pewnego artykułu w latach Za rok bazowy przyjęto rok Lata Indeks 0,90 1,20 1,00 1,20 1,25 1,10 0,90 Wyznaczyć tempo zmian ceny w okresie (2 pkt) Wyznaczyć indeks jednopodstawowy za rok 2006, gdy za rok bazowy przyjmiemy rok (1 pkt) W którym roku (z lat ) w stosunku do roku poprzedniego był największy wzrost ceny? (2 pkt) b) Losowa próbka 200 niezależnych obserwacji miesięcznych wydatków na żywność rodzin 3- osobowych dała następujące wyniki wydatki w tyś. zł Liczebności (1.0; 1.2] 30 (1.2; 1.4] 50 (1.4; 1.6] 70 (1.6; 1.8] 40 (1.8; 2.0] 10 Oblicz średnią, odchylenie standardowe oraz dominantę. (3 pkt) Uzupełnij zdanie: 50% rodzin przeznacza na wydatki na żywność co najmniej... (2 pkt)

3 Zadanie 1 a) Czyli obszar krytyczny jest postaci: : Pozostaje tylko dobrać stałą c: 0, Ostatecznie można zapisać: : ln 20/19 / b) 1 / 2 / 1 ln0,95 ln 20/19 / 1 Zadanie 2 a) ~0, 0,5 0,5 ~0,1 ~ Γ, 1 0,5 0,5 1 b) ~ 2 0,05 1 : 1 : 1 /10 /10 : 1 1 F /10 - czyli /10 jest kwantylem rzędu 0,95 dla rozkładu z jednym stopniem swobody. 3,841 38,41 10 Zadanie 3 a) 4 Przedział ufności ma postać: ;, gdzie z jest kwantylem rzędu 0,95 dla rozkładu 0,1. b) długość przedziału = 2 ; 2 1,64 4 ; 4 2 1,64 2,91; 5, ,56 43,0336 Czyli potrzeba przynajmniej 44 obserwacji, mamy już 9, więc musimy jeszcze dolosować 35. c) 4

4 1) Statystyka testowa: 9 1,5 2)Obszar krytyczny:, ; 1,64; 3) brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej 1 Φ1,5 0,0668 Zadanie 4 a) 2 2 ln 0 / b) Zaczynamy od wyznaczenia rozkładu zmiennej losowej. Dla 0 mamy: 0, gdzie F oznacza dystrybuantę zmiennej losowej X Obliczamy gęstość zmiennej losowej :, 2,, czyli ~ Z tego wynika, że ~Γ, Zadanie 5 a) Wyznaczamy medianę rozkładu teoretycznego (m): 0,5 1 2 / Niech me oznacza medianę wyznaczoną na podstawie próbki liczącej n obserwacji. Wówczas estymator metody momentów wyznaczony jest z równania: 2 / 2/ b) Wiemy, że ma asymptotyczny rozkład, 1/ 1

5 Czyli ma asymptotyczny rozkład, i z tego wynika, że ma w przybliżeniu rozkład 0,1. 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 Φ0,01 Φ0,01 Φ0,01 1 Φ0,01 2Φ0,01 1 0,95 Φ0,01 0,975 0,01 1, Zadanie 6 a) Tempo zmian ceny w okresie : / / / 1 0,9 1 0 Indeks jednopodstawowy za rok 2006, gdy za rok bazowy przyjmiemy rok 2003: / / /, 4/3, Wyznaczamy indeksy łańcuchowe dla okresu : / / /, 4/3, / 1/ 1/1,2 5/6 / 1,2 / / / 1,25/1,2 1,04 Największy wzrost ceny w stosunku do roku poprzedniego był w 2004 b) X0 X1 środek liczebność skumulowane środek*liczebność, 1 / 1 (środekśrednia)^2*liczebność 1,0 1,2 1, ,675 1,2 1,4 1, ,125 1,4 1,6 1, ,175 1,6 1,8 1, ,5 1,8 2,0 1, ,025 SUMA ,5 Średnia 1,45 Odchylenie standardowe, 0,22

6 Moda 1,4 Mediana: / / / 1, , 1,46 0,2 1,48 50% rodzin przeznacza na wydatki na żywność co najmniej 1,46 tyś. złoty