Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego"

Transkrypt

1 Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową lub wektorem losowym. Wyznaczenie rozkładu statystyki jest często bardzo trudnym zadaniem. Przykład 1 (Momenty z próby) Momentem rzędu k z próby X = (X 1,..., X n ) nazywamy statystykę A k = 1 n Xi k. (1.1) n W szczególności, moment rzędu 1 z próby X = (X 1,..., X n ) nazywamy średnią z próby i oznaczamy przez X, czyli X = 1 n X i. (1.2) n Momentem centralnym rzędu k z próby X = (X 1,..., X n ) nazywamy statystykę M k = 1 n (X i n X) k. (1.3) W szczególności, moment centralny rzędu 2 z próby X = (X 1,..., X n ) nazywamy wariancją z próby i oznaczamy przez S 2 0, czyli S0 2 = 1 n (X i n X) 2. (1.4) Często za definicję wariancji z próby przyjmuje się statystykę postaci S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 = n n 1 S2 0. (1.5) 1

2 Twierdzenie 1 Jeżeli X = (X 1,..., X n ) jest próbą z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), to (i) średnia X z próby X ma rozkład normalny N (µ, σ 2 /n); (ii) (n 1)S 2 /σ 2 ma tzw. rozkład χ 2 o n 1 stopniach swobody; (iii) zmienne losowe X i S 2 są niezależne; (iv) zmienna losowa X n S ma tzw. rozkład t-studenta o n 1 stopniach swobody. Przykład 2 (Statystyki pozycyjne) W praktyce duże znaczenie mają tzw. statystyki pozycyjne z próby X = (X 1,..., X n ). Statystykę X i:n, której wartość jest równa i-tej co do wielkości wartości w uporządkowanym rosnąco ciągu zmiennych losowych X 1,..., X n nazywamy i-tą statystyką pozycyjną. Najczęściej wyznacza się pierwszą statystyką pozycyjną (minimum), która jest postaci X 1:n = min{x 1,..., X n } (1.6) oraz n-tą statystyką pozycyjną (maksimum), która jest postaci X n:n = max{x 1,..., X n }. (1.7) 2

3 Rozdział 2 Estymacja parametryczna Estymacja parametryczna jest formą wnioskowania statystycznego, której zadaniem jest oszacowanie nieznanych parametrów, bądź ich funkcji, na podstawie obserwacji realizacji x obserwowalnego wektora losowego X o rozkładzie zależnym od tych parametrów. W teorii estymacji wyróżniamy dwa podejścia: estymację punktową i estymację poprzez podanie tzw. zbioru ufności. W przypadku, gdy szacowany parametr jest parametrem rzeczywistym, w tym drugim podejściu, najczęściej konstruuje się tzw. przedział ufności i estymację tego typu nazywamy estymacją przedziałową. 2.1 Estymacja punktowa Definicja 2 Estymatorem parametru ϑ nazywamy statystykę ˆϑ = T (X 1,..., X n ), której wartość, dla konkretnej realizacji (x 1,..., x n ) wektora losowego X = (X 1,..., X n ), przyjmujemy za ocenę nieznanego parametru ϑ. Otrzymaną na podstawie jednej konkretnej realizacji x wektora losowego X wartość estymatora ˆϑ nazywamy oceną (oszacowaniem) nieznanego parametru ϑ Metody wyznaczania estymatorów Istnieje szereg metod wyznaczania estymatorów punktowych. Do najczęściej stosowanych zaliczamy: metodę momentów, metodę największej wiarogodności, metodę najmniejszych kwadratów, metodę kwantyli, metodę podstawiania dystrybuanty empirycznej, metodę podstawiania częstości, uogólnioną metodę momentów, metodę najmniejszej odległości, metodę funkcji estymujących. W dalszej części wykładu omówimy dwie pierwsze metody z wyżej wymienionych. 3

4 Metoda momentów Metoda momentów polega na przyrównaniu pewnej liczby (najczęściej kolejnych) momentów z próby do odpowiednich momentów rozkładu, które są funkcjami nieznanych parametrów. Wykorzystujemy tyle momentów ile jest parametrów do oszacowania i rozwiązując otrzymany układ równań ze względu na ϑ, uzyskujemy oceny tych parametrów. Na przykład niech ϑ = (ϑ 1..., ϑ k ) będzie nieznanym parametrem, który chcemy estymować na podstawie obserwacji x próby X = (X 1..., X n ). Niech A j = 1 n X j n i oznacza moment rzędu j z próby X, a m j = E(X1) j moment rzędu j obserwowalnych zmiennych losowych X 1,..., X n (wektor X jest próbą, zatem zmienne losowe X 1,..., X n mają ten sam rozkład, więc E(X1) j =... = E(Xn)). j Wówczas rozwiązując układ równań A 1 (X) = m 1 (ϑ 1,..., ϑ k ) A k (X) = m k (ϑ 1,..., ϑ k ) ze względu na ϑ 1,..., ϑ k, uzyskamy estymator ˆϑ metodą momentów (MM) parametru ϑ. Metoda momentów jest często bardzo prosta w użyciu, co pokazuje następujący przykład. Przykład 3 Niech X = (X 1..., X n ) będzie próbą z rozkładu Poissona P(λ) z parametrem λ, który chcemy estymawać. W tym przypadku nieznany parametr jest jednowymiarowy (k = 1) i do wyznaczenia estymatora parametru λ wystarczy przyrównać jeden moment z próby do odpowiedniego momentu rozkładu Poissona. Wiadomo, że wartość oczekiwana E(X) w rozkładzie Poissona jest równa λ, zatem m 1 = λ i po przyrównaniu tego momentu do odpowiedniego momentu z próby, czyli A 1 = X, otrzymujemy równanie X = λ, którego właściwie nawet nie musimy rozwiązywać (ze względu na λ). Estymatorem parametru λ w rozkładzie Poissona, uzyskanym metodą momentów, jest zatem ˆλ = X. Zauważmy jednak, że do wyznaczenia estymatora parametru λ w rozkładzie Poissona możemy również wykorzystać momenty centralne i przyrównać na przykład moment centralny rzędu 2 z próby do momentu centralnego rzędu 2 rozkładu. Stąd mamy równanie M 2 = S0 2 = 1 n (X i n X) 2 = E[X 1 E(X 1 )] 2 = Var(X 1 ) = λ i otrzymujemy drugi estymator parametru λ, uzyskany metodą momentów, postaci ˆλ = S0. 2 4

5 Z powyższego przykładu widać, że metoda momentów może prowadzić do różnych estymatorów nieznanego parametru i to jest jedną z jej wad. Przykład 4 Niech X = (X 1..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N (µ, σ 2, gdzie µ R i σ > 0 są nieznanymi parametrami, które chcemy oszacować. Przyrównując pierwszy moment zwykły rozkładu N (µ, σ 2, czyli µ, do momentu rzędu 1 z próby X, czyli X, oraz drugi moment centralny rozkładu N (µ, σ 2, czyli σ 2, do momentu centralnego rzędu 2 z próby X, czyli S0, 2 otrzymujemy następujące estymatory nieznanych parametrów µ i σ ˆµ = X, ˆσ = S 0. Metoda największej wiarogodności Niech X = (X 1,..., X n ) będzie obserwowalnym wektorem losowym o rozkładzie, który zależy od niezananego parametru ϑ = (ϑ 1,..., ϑ k ) Θ. W przypadku, gdy wektor losowy X jest typu ciągłego, oznaczmy przez f gęstość jego rozkładu, natomiast, gdy jest on typu dyskretnego, oznaczmy przez p jego funkcję prawdopodobieństwa. Zauważmy, że z założenia, że rozkład wektora losowego X zależy od nieznanego parametru ϑ, f lub p są funkcjami nie tylko obserwacji x, ale również parametru ϑ. Fakt ten będziemy zaznaczać, podając nieznany parametr w indeksie funkcji f lub p następująco: f ϑ (x) lub p ϑ (x). Definicja 3 Funkcją wiarogodności obserwowalnego wektora losowego X nazywamy funkcję gęstości lub funkcję prawdopodobieństwa wektora X, traktowaną jako funkcję parametru ϑ przy ustalonej wartości realizacji x. Funkcję wiarogodności oznaczamy przez L(ϑ; x). Przykład 5 Niech X = (X 1..., X n ) będzie próbą z rozkładu Poissona P(λ) z parametrem λ. Rolę niezanego parametru ϑ pełni w tym przypadku parametr λ, k = 1 i Θ = (0, ). Funkcja prawdopodobieństwa p λ wektora losowego X jest w tym przypadku postaci n λ x i p λ (x 1,..., x n ) = x i! exp( λ) = λ n x i n x i! exp( nλ), gdzie x i {0, 1, 2,...}, i = 1,..., n. Zatem funkcja wiarogodności L jest postaci L(λ; x 1,..., x n ) = λ n x i n exp( nλ), (2.1) x i! gdzie argumentem jest λ (0, ), natomiast x 1,..., x n traktowane są jako znane realizacje zmiennych losowych odpowiednio X 1,..., X n. 5

6 Definicja 4 Oszacowaniem parametru ϑ, uzyskanym metodą największej wiarogodności, nazywamy wartość ˆϑ, która spełnia następującą równość gdzie Θ oznacza domknięcie zbioru Θ. L( ˆϑ; x 1,..., x n ) = max L(ϑ; x 1,..., x n ), θ Θ Uwaga 2 Dla konkretnej realizacji x obserwowalnego wektora losowego X może nie istnieć maksimum funkcji wiarogodności i w konsekwencji może nie istnieć oszacowanie największej wiarogodności parametru ϑ. Można również podać przykłady, w których dla konkretnej realizacji x obserwowalnego wektora losowego X istnieje nieskończenie wiele wartości, dla których funkcja wiarogodności L przyjmuje wartość największą. Ponadto, w praktyce, często oszacowanie największej wiarogodności możemy wyznaczyć jedynie numerycznie. W celu wyznaczenia oszacowania największej wiarogodności parametru ϑ = (ϑ 1,..., ϑ k ) należy wyznaczyć maksimum funkcji wiarogodności L na zbiorze Θ. Jeżeli funkcja L jest różniczkowalna ze względu na ϑ i, i = 1,..., k, to punktami podejrzanymi o ekstremum funkcji L są rozwiązania układu równań wiarogodności postaci L ϑ i = 0, i = 1,..., k. Funkcja wiarogodności jest najczęściej iloczynem funkcji zależnych od θ i wyznaczenie pochodnej iloczynu, a następnie szukanie jej miejsc zerowych może być trudnym zadaniem. Możemy jednak uprościć zadanie wyznaczenia maksimum funkcji L. Korzystając z tego, że logarytm jest funkcją ściśle rosnącą, mamy, że funkcja L i funkcja l := ln L mają maksima w tych samych punktach. W wielu przypadkach dużo prościej wyznacza się pochodną funkcji l niż pochodną funkcji L. Równania postaci l ϑ i = 0, i = 1,..., k, również nazywamy równaniami wiarogodności. Przykład 6 W przypadku obserwacji próby z rozkładu Poissona P(λ) z parametrem λ, funkcja wiarogodności jest postaci (2.1). W celu wyznaczenia oszacowania największej wiarogodności prametru λ, wyznaczymy maksimum funkcji wiarogodności L. Funkcja L jest funkcją różniczkowalną ze względu na λ, ale jak widać, prościej będziemy mogli wyznaczyć pochodną i miejsca zerowe pochodnej funkcji l = ln L, która jest w tym przypadku postaci n n l(λ; x 1,..., x n ) = ln(λ) x i ln( x i!) nλ. (2.2) 6

7 Równanie wiarogodności jest w tym przypadku postaci l (λ; x 1,..., x n ) = n x i λ n = 0. (2.3) Rozwiązaniem równania wiarogodności (2.2) jest ˆλ = n x i /n = x i l (ˆλ) < 0, czyli ˆλ jest maksimum funkcji l i również L i jest zatem oszacowaniem największej wiarogodności parametru λ Własności estymatorów Dla danego parametru ϑ można utworzyć wiele estymatorów ˆϑ, ale pożądane jest by charakteryzowały go pewne narzucone z góry własności optymalności. Do takich własności zaliczamy: nieobciążoność, efektywność, zgodność. Definicja 5 Estymator T = ˆϑ nazywamy estymatorem nieobciążonym parametru ϑ, jeżeli dla każdego θ Θ jego wartość oczekiwana jest równa szacowanemu parametrowi θ, tzn. E ϑ (T ) = ϑ, θ Θ. Przykład 7 Średnia X z próby X = (X 1,..., X n ) jest nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej ϑ = E(X i ). Przykład 8 Wariancja S 2 z próby X = (X 1,..., X n ) jest nieobciążonym estymatorem wariancji σ 2 = E(X EX) 2. Definicja 6 Niech T 1 i T 2 będą dwoma nieobciążonymi estymatorami parametru ϑ. Jeżeli Var(T 1 ) Var(T 2 ), dla każdego θ Θ, to mówimy, że estymator T 1 jest lepszy od estymatora T 2. Definicja 7 Estymator T = ˆϑ nazywamy estymatorem najefektywniejszym parametru ϑ, jeżeli jest niebciążony i jeżeli dla dowolnego estymatora nieobciążonego T 1, V ar θ (T ) V ar ϑ (T 1 ) dla każdego θ Θ. Estymator najefektywniejszy nazywany jest często estymatorem najlepszym. 7

8 Przykład 9 Jeżeli X 1,..., X n jest próbą z rozkładu normalnego N(µ, σ 2 ), to średnia z próby X i wariancja z próby S 2 są najlepszymi estymatorami odpowiednio µ i σ 2. Definicja 8 Estymator T = ˆϑ nazywamy estymatorem zgodnym, jeżeli dla każdego dodatniego ϵ spełniony jest warunek lim P ( T ϑ > ϵ) = 0. n 2.2 Estymacja przedziałowa Niech X = (X 1,..., X n ) będzie obserwowalnym wektorem losowym z rozkładu P ϑ, gdzie ϑ Θ R jest nieznanym parametrem, który chcemy oszacować. Metody estymacji punktowej pozwalają uzyskiwać oceny punktowe nieznanych parametrów, przy czym na ich podstawie nie potrafimy odpowiedzieć na pytanie jaka jest dokładność uzyskanej oceny. Estymacja przedziałowa jest sposobem estymacji dającym możliwość oceny tej dokładności i polega na podaniu tzw. przedziałów ufności dla nieznanych parametrów (bądź funkcji tych parametrów) danego rozkładu. Definicja 9 Niech X = (X 1,..., X n ) będzie obserwowalnym wektorem losowym o rozkładzie P ϑ, ϑ Θ R. Przedziałem ufności dla parametru ϑ na poziomie ufności 1 α, 0 < α < 1, w oparciu o wektor X, nazywamy losowy przedział (T L, T U ) spełniający następujące warunki: jego końce T L = T L (X), T U = T U (X) są funkcjami wektora X = (X 1,..., X n ) i nie zależą od szacowanego parametru ϑ i innych nieznanych parametrów, jeżeli takie występują w modelu, prawdopodobieństwo pokrycia przez ten przedział nieznanego parametru ϑ wynosi co najmniej 1 α, dla każdego ϑ Θ, tzn. P ϑ (T L (X) < ϑ < T U (X)) 1 α, θ Θ Metody wyznaczania przedziałów ufności Istnieje kilka metod konstrukcji przedziałów ufności. Jedna z nich polega na wykorzystaniu tzw. funkcji centralnych (wiodących, estymujących). Definicja 10 Niech X = (X 1,..., X n ) będzie obserwowalnym wektorem losowym o rozkładzie P ϑ. Funkcję Q(X, ϑ) nazywamy funkcją centralną (wiodocą lub estymującą) dla parametru ϑ, jeżeli jej rozkład prawdopodobieństwa nie zależy od ϑ. 8

9 Przykład 10 Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(µ, σ 2 0), gdzie µ R jest nieznanym parametrem, a σ 0 znaną liczbą dodatnią. Niech Q(X, µ) = n(x µ)/σ 0, (2.4) gdzie X = 1 n n X i. Można pokazać, że funkcja Q(X, µ) ma rozkład normalny N(0, 1), niezależny od nieznanego parametru µ. Jest więc ona funkcją centralną dla parametru µ. Przykład 11 Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(µ, σ 2 ), gdzie µ 0 jest znane, a σ R + jest nieznanym parametrem. Niech S1 2 = 1 n Można pokazać, że funkcja n (X i µ 0 ) 2. Q(X, σ 2 ) = ns 2 1/σ 2 (2.5) ma rozkład χ 2 z n stopniami swobody, niezależny od nieznanego parametru σ 2. Jest więc ona funkcją centralną dla parametru σ 2. Przykład 12 Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(µ, σ 2 ), gdzie µ R i σ R + są nieznanymi parametrami. Niech Można pokazać, że funkcja X = n 1 n X i oraz S 2 = n 1 n 1 (X i X) 2. Q(X, µ) = n(x µ)/s (2.6) ma rozkład t Studenta z n 1 stopniami swobody, niezależny od nieznanego parametru µ i również niezależny od nieznanego parametru σ. Jest więc ona funkcja centralną dla parametru µ. Również można pokazać, że funkcja Q(X 1,..., X n, σ 2 ) = n 1S 2 /σ 2 (2.7) ma rozkład χ 2 z n 1 stopniami swobody, niezależny od σ 2 i również niezależny od nieznanego parametru µ. Jest więc ona funkcją centralną dla parametru σ 2. 9

10 Załóżmy teraz, że dysponujemy funkcją centralną Q(X, ϑ) dla parametru ϑ. Przedział ufności dla parametru ϑ konstruuje się w następujący sposób. Wybieramy liczby a i b tak, aby spełniały równość P ϑ (a Q(X, ϑ) b) 1 α, dla każdego ϑ Θ i zadanego α. W przypadku, gdy Q(X, ϑ) jest funkcją ciągłą i ściśle monotoniczną parametru ϑ, to nierówność a Q b jest równoważna nierówności T L (X, a, b) ϑ T U (X, a, b). Stąd T L (X, a, b) oraz T U (X, a, b) są odpowiednio dolnym i górnym końcem 100(1 α)% przedziału ufności dla parametru ϑ. Jeżeli x = (x 1,..., x n ) jest realizacją obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ), to przedział [T L (x, a, b), T U (x, a, b)] nazywamy realizacją przedziału ufności dla parametru ϑ lub 100(1 α)% oceną przedziałową parametru ϑ. W konkretnym problemie funkcja centralna może nie istnieć lub może istnieć kilka takich funkcji. W tym drugim przypadku należy wybrać funkcję optymalną ze względu na pewne kryteria (np. długość przedziału ufności, który przy wykorzystaniu danej funkcji otrzymamy). Często wybiera się funkcje centralne będące funkcjami statystyk dostatecznych, czy też optymalnych estymatorów punktowych. Przy konstrukcji przedziału ufności oprócz problemu wyboru funkcji centralnej natrafiamy również na problem wyboru stałych a i b. Często, gdy dysponujemy już konkretną funkcją centralną, stałe a i b możemy wybrać na nieskończenie wiele sposobów. Wówczas przy ich wyborze też powinniśmy kierować się spełnieniem pewnych kryteriów optymalności. Przykładem takiego kryterium jest długość przedziału ufności lub wartość oczekiwana jego długości Przedziały ufności dla wartości średniej Model I Populacja generalna ma rozkład normalny N (µ, σ 2 ). Wartość średnia µ jest nieznana, odchylenie standardowe σ 0 w populacji jest znane. Z populacji tej pobrano próbę o liczebności n elementów, wylosowanych niezależnie. Korzystając z funkcji centralnej Q(X, µ), określonej wzorem (2.4), otrzymujemy następujące granice ufności dla parametru µ na poziomie ufności 1 α T L = X z(1 α 2 ) σ 0 n, T U = X z(α 1 ) σ 0 n, 10

11 gdzie z(p) oznacza kwantyl rzędu p standardowego rozkładu normalnego oraz α 1 +α 2 = α. Można pokazać, że przyjmując α 1 = α 2 = α/2, otrzymamy najkrótszy przedział ufności dla parametru µ w klasie przedziałów ufności na poziomie ufności 1 α, skonstruowanych przy użyciu funkcji centralnej określonej wzorem (2.4). Także w praktyce przyjmuje się najczęściej następujące granice przedziału ufności dla parametru µ w rozkładzie normalnym, gdy σ 0 jest znane T L = X z(1 α/2) σ 0 n, T U = X + z(1 α/2) σ 0 n. (2.8) Długość tego przedziału jest nielosowa i wynosi L = 2z(1 α/2)σ 0 / n. Model II Populacja generalna ma rozkład normalny N (µ, σ 2 ). Nieznana jest zarówno wartość średnia µ, jak i odchylenie standardowe σ w populacji. Z populacji tej pobrano małą próbę o liczebności n elementów, wylosowanych niezależnie. Korzystając z funkcji centralnej Q(X, µ), określonej wzorem (2.6), otrzymujemy następujące granice ufności dla parametru µ na poziomie ufności 1 α T L = X t n 1 (1 α 2 ) S n, T U = X + t n 1 (α 1 ) S n, gdzie t n 1 (p), oznacza kwantyl rzędu p rozkładu Studenta z n 1 stopniami swobody oraz α 1 + α 2 = α. Można pokazać, że przyjmując α 1 = α 2 = α/2, otrzymamy przedział ufności dla parametru µ o najmniejszej oczekiwanej długości w klasie przedziałów ufności na poziomie ufności 1 α, skonstruowanych przy użyciu funkcji centralnej określonej wzorem (2.6). Także w praktyce przyjmuje się najczęściej następujące granice przedziału ufności dla parametru µ w rozkładzie normalnym, gdy σ nie jest znane T L = X t n 1 (1 α/2) S n, T U = X + t n 1 (1 α/2) S n. Długość tego przedziału jest losowa i wynosi L = 2t n 1 (1 α/2)s/ n. Model III Populacja generalna ma rozkład normalny N (µ, σ 2 ), bądź dowolny inny rozkład o średniej µ i skończonej wariancji σ 2 (nieznanej). Z populacji tej pobrano do próby n niezależnych obserwacji, przy czym rozmiar n próby jest duży. Wówczas można pokazać, że zmienna losowa Q(X, µ) = n(x µ)/s ma w przybliżeniu standardowy rozkład normalny. Korzystając z tego faktu dolna T L i górna T U granica przedziału ufności dla wartości oczekiwanej µ na poziomie ufności równym w przybliżeniu 1 α wyraża się wzorem (2.8) jak w modelu I, w którym zamiast σ przyjmujemy wartość odchylenia standardowego S obliczonego z próby. Długość tego przedziału jest losowa i wynosi L = 2z(1 α/2)s/ n. 11

12 2.2.3 Przedziały ufności dla wariancji Model I Populacja generalna ma rozkład normalny N (µ 0, σ 2 ). Odchylenie standardowe σ w populacji nie jest znane, wartość średnia µ 0 jest znana. Z populacji tej pobrano próbę o liczebności n elementów, wylosowanych niezależnie. Korzystając z funkcji centralnej Q(X, σ), określonej wzorem (2.5), otrzymujemy następujące granice ufności dla parametru σ 2 na poziomie ufności 1 α T L = ns 2 1 χ 2 n(1 α 2 ), T U = ns2 1 χ 2 n(α 1 ), (2.9) gdzie χ 2 n(p) oznacza kwantyl rzędu p rozkładu χ 2 n z n stopniami swobody oraz α 1 +α 2 = α. W praktyce przyjmuje się najczęściej α 1 = α 2 = α/2. Długość otrzymanego w ten sposób przedziału ufności jest losowa i wynosi ns 2 1[1/χ 2 n(α/2) 1/χ 2 n(1 α/2)]. Model II Populacja generalna ma rozkład normalny N (µ, σ 2 ) o nieznanych parametrach µ i σ. Z populacji tej wylosowano niezależnie do próby n elementów (n jest małe, tj. n < 30). Korzystając z funkcji centralnej Q(X, σ), określonej wzorem (2.7), otrzymujemy następujące granice ufności dla parametru σ 2 na poziomie ufności 1 α T L = (n 1)S2 χ 2 n 1(1 α 2 ), T U = (n 1)S2 χ 2 n 1(α 1 ), (2.10) gdzie χ 2 n 1(p) oznacza kwantyl rzędu p rozkładu χ 2 n 1 z n 1 stopniami swobody oraz α 1 + α 2 = α. W praktyce przyjmuje się najczęściej α 1 = α 2 = α/2. Długość otrzymanego w ten sposób przedziału ufności jest losowa i wynosi ns 2 [1/χ 2 n 1(α/2) 1/χ 2 n 1(1 α/2)]. Model III Populacja generalna ma rozkład normalny N (µ, σ 2 ), bądź dowolny inny rozkład o średniej µ i skończonej wariancji σ 2. Z populacji tej pobrano do próby n niezależnych obserwacji, przy czym rozmiar n próby jest duży. Wówczas można pokazać, że zmienna losowa Q(X, σ) = 2(n 1)S/σ 2n 3 ma w przybliżeniu standardowy rozkład normalny. Korzystając z tego faktu dolna T L i górna T U granica przedziału ufności dla odchylenia standardowego σ na poziomie ufności równym w przybliżeniu 1 α wyraża się następującym wzorem T L = S 2n 2/(z(1 α 2 ) + 2n 3), T U = S 2n 2/(z(α 1 ) + 2n 3), (2.11) gdzie z(p) oznacza kwantyl rzędu p standardowego rozkładu normalnego oraz α 1 +α 2 = α. 12

13 Uwaga 3 Przedziały ufności na poziomie ufności 1 α dla odchylenia standardowego σ w modelu I i w modelu II otrzymujemy pierwiastkując granice ufności określone odpowiednio wzorami (2.9) i (2.10). Natomiast przedziały ufności na poziomie ufności 1 α dla wariancji σ 2 w modelu III otrzymujemy podnosząc do kwadratu granice ufności określone wzorem (2.11) Przedziały ufności dla prawdopodobieństwa sukcesu Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu dwumianowego B(1, p), gdzie p (0, 1) jest nieznanym parametrem. Oznaczmy X = n X i. Wiadomo, że X ma rozkład B(n, p). Na podstawie obserwacji zmiennej losowej X chcemy skonstruować przedział ufności, na poziomie ufności 1 α, dla parametru p. Granice ufności T L i T U będą zatem funkcjami X, n i α takimi, że P p (T L (X, n, α) < p < T U (X, n, α)) 1 α. Istnieje wiele metod konstrukcji przedziałów ufności dla parametru p (zobacz np. Blyth i Still, 1983). Najczęściej metody te są dzielone na dwie grupy: przedziały ufności w przypadku, gdy rozmiar n próby jest mały oraz przedziały ufności w przypadku, gdy rozmiar próby jest duży. Przypadek małego rozmiaru próby Oznaczmy przez Be q (a, b) kwantyl rzędu q rozkładu beta z parametrami a, b. Dolna granica przedziału ufności Cloppera-Pearsona dla parametru p, na poziomie ufności 1 α jest postaci 0, gdy X = 0, T L (X) = Be α/2 (X, n X + 1), gdy X 0, natomiast górna granica przedziału ufności wyraża się wzorem 1, gdy X = n, T L (X) = Be 1 α/2 (X + 1, n X), gdy X n. Powyższe przedziały ufności zostały zaproponowane przez Cloppera-Pearsona w roku Posiadają one wiele pożądanych własności, ale charakteryzują się dość dużą oczekiwaną długością i z tego powodu były modyfikowane w różny sposób. 13

14 Przypadek dużego rozmiaru próby W przypadku, gdy rozmiar n próby X jest duży, przy wyznaczaniu przedziałów ufności dla parametru p możemy skorzystać z następującej aproksymacji n(ˆp p) N (0, 1) (2.12) ˆp(1 ˆp) lub n(ˆp p) p(1 p) N (0, 1), (2.13) gdzie ˆp = X/n. Korzystając z aproksymacji (2.12), otrzymujemy następujące granice ufności T L (X, n, α) = ˆp c ˆp(1 ˆp) (2.14) i T U (X, n, α) = ˆp + c ˆp(1 ˆp), (2.15) gdzie c = z(1 α/2) n, (2.16) i z(1 α/2) jest kwantylem rzędu 1 α/2 standardowego rozkładu normalnego. Natomiast korzystając z aproksymacji (2.13) otrzymujemy następujące granice ufności T L (X, n, α) = 2ˆp + c2 c c 2 + 4ˆp(1 ˆp), (2.17) 2(1 + c 2 ) T U (X, n, α) = 2ˆp + c2 + c c 2 + 4ˆp(1 ˆp), (2.18) 2(1 + c 2 ) Przedziały ufności dla różnicy dwóch prawdopodobieństw sukcesu Istnieje co najmniej jedenaście metod konstrukcji przedziałów ufności dla różnicy dwóch prawdopodobieństw sukcesu (zobacz np. Newcombe, 1998 i Prendergast, 2014). 14

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012 Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,

Bardziej szczegółowo

Statystyka w przykładach

Statystyka w przykładach w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne Teoria estymacji Jędrzej Potoniec Bibliografia Bibliografia Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) Próba losowa (x 1, x 2,...,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów w modelu normalnym

Estymacja parametrów w modelu normalnym Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarogodności

Metoda największej wiarogodności Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 14 18 stycznia 2010 Model statystyczny ROZKŁAD DWUMIANOWY ( ) {0, 1,, n}, {P θ, θ (0, 1)}, n ustalone P θ {K = k} = ( ) n θ k (1 θ) n k, k k = 0, 1,, n Geneza: Rozkład Bernoulliego

Bardziej szczegółowo

Na podstawie dokonanych obserwacji:

Na podstawie dokonanych obserwacji: PODSTAWOWE PROBLEMY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ Niech mamy próbkę X 1,..., X n oraz przestrzeń prób X n, i niech {X i } to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie P θ P. Na podstawie obserwacji chcemy

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa. Przedział ufności

Estymacja przedziałowa. Przedział ufności Estymacja przedziałowa Przedział ufności Estymacja przedziałowa jest to szacowanie wartości danego parametru populacji, ρ za pomocą tak zwanego przedziału ufności. Przedziałem ufności nazywamy taki przedział

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI Szkic wykładu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 2 3 4 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy

Bardziej szczegółowo

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 IV WYKŁAD STATYSTYKA 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 4 Populacja generalna, próba, losowanie próby, estymatory Statystyka (populacja generalna, populacja próbna, próbka mała, próbka duża, reprezentatywność,

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady

Bardziej szczegółowo

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p. Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 TEORIA ESTYMACJI I 1. ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH PRÓBA P (m) (m-elementowa) Obliczenie: ; s bez wyników wątpliwych Odrzucenie wyników z poza przedziału: 3s PRÓBA LOSOWA

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA FRAKCJI. Ryszard Zieliński. XXXVIII Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA FRAKCJI. Ryszard Zieliński. XXXVIII Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009 Ryszard Zieliński XXXVIII Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009 ESTYMACJA FRAKCJI W populacji składającej się z N elementów jest nieznana liczba M elementów

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

6.4 Podstawowe metody statystyczne

6.4 Podstawowe metody statystyczne 156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład X, 9.05.206 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH II: PORÓWNYWANIE TESTÓW Plan na dzisiaj 0. Przypomnienie potrzebnych definicji. Porównywanie testów 2. Test jednostajnie

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I Szkic wykładu 1 Przykład wprowadzajacy 2 Prawo wielkich liczb Bernoulliego i centralne tw. graniczne 3 4 Przykład wprowadzajacy W Polsce różne głosowania odbywaja

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE Ryszard Zieliński, IMPAN Warszawa O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE XXXIX Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane-Kościelisko 7-14 września 2010 r Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: estymacja punktowa

Wykład z analizy danych: estymacja punktowa Wykład z analizy danych: estymacja punktowa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Cel wykładu Model statystyczny W pewnej zbiorowości (populacji generalnej) obserwowana jest pewna cecha

Bardziej szczegółowo

Metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach

Bardziej szczegółowo

Estymatory nieobciążone

Estymatory nieobciążone Estymatory nieobciążone Zadanie 1. Pobieramy próbkę X 1,..., X n niezależnych obserwacji z rozkładu Poissona o nieznanym parametrze λ. Szacujemy p 0 = e λ za pomocą estymatora ˆp 0 = e X, gdzie X jest

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii SPIS TREŚCI Przedmowa... 11 Wykaz symboli... 15 Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku... 15 Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii mnogości (rachunku zbiorów)... 16 Symbole stosowane

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji ML Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Test t-studenta dla jednej średniej

Test t-studenta dla jednej średniej Test t-studenta dla jednej średniej Hipoteza zerowa: Średnia wartość zmiennej w populacji jest równa określonej wartości a 0 (a = a 0 ). Hipoteza alternatywna 1.: Średnia wartość zmiennej w populacji jest

Bardziej szczegółowo

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.

Bardziej szczegółowo