SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania

Transkrypt

1 SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru a ii) Wartość oczekiwaną zmiennej X iii) Odchylenie standardowe zmiennej X iv) Prawdopodobieństwo P ( X, 5) v) Prawdopodobieństwo warunkowe P (X <, 5 X > ) i) f(x)dx = f(x)dx = a = = a = ii) Wartość oczekiwana: EX = ( ) 7 = iii) E(X ) = ( Wariancja: [ a( x)dx = a x ] x = a xf(x)dx = ) x f(x)dx = = V X = E(X ) (EX) = = Odchylenia standardowe: σx = V X = iv) P ( X, 5) = ( 8 + ) = 7 6 v) P (X <, 5 X > ) = x ( x)dx = (x x )dx = [ x ] x x ( x)dx = (x x )dx = [ x ] 4 x4 f(x)dx = P ( < X <, 5) P (X > ) ( x)dx = = = ( x)dx = [x ].5 x =

2 P (X > ) = f(x)dx = ( + ) = 4 P (X <, 5 X > ) = ( x)dx = ( x)dx = [ x ] x = = 7 6. Dany jest rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) : X Y..,.., 4 a., Znaleźć: i) Wartość parametru a ii) Rozkłady brzegowe zmiennych X i Y iii) Rozkład warunkowy Y pod warunkiem X iv) Korelację X i Y v) Prawdopodobieństwo P (X + Y > ) i) ij p ij = p ij =. +. +, , + a +. +, =. + a ij. + a = = a =. ii) Rozkład brzegowy zmiennej X p i = j p ij x i p i.4., Rozkład brzegowy zmiennej Y p j = i p ij y j 4 p j..4, iii) Rozkład warunkowy Y pod warunkiem X Z = Y X P (z = y j ) = P (Y = y j X ) = P (Y = y j X ) P (X )) P (X ) =.6 P (Y = X ) =.

3 P (Y = X ) =. P (Y = 4 X ) =. z j 4 p j iv) Korelację X i Y EX = i x i p i = =.5 E(X ) = i x i p i = =. V X = E(X ) (EX) =..5 =.65 EY = j y j p j = = E(Y ) = j y j p j = = 6.4 V Y = E(Y ) (EY ) = =.4 E(X Y ) = ij Kowariancja: x i y j p ij = = cov(x, Y ) = E(X Y ) EX EY =.5 = corr(x, Y ) = cov(x, Y ) σx σy = v) Prawdopodobieństwo P (X + Y > ) =.6. Firma ubezpieczeniowa ma klientów. Wartość oczekiwana rocznej wypłaty jest równa 4 pln, a odchylenia standardowe jest równe 8 PLN. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, żę całkowita roczna wypłata odszkodowań przekroczy,7 miliona PLN. X i - zmienna losowa - kwota odszkodowania wypłaconego jednemu klientowi W - zmienna losowa - kwota całkowitego odszkodowania wypłaconego przez firmę n = liczba klientów W = X + X + X + + X Zakładamy, że zmienne X i mają ten sam rozkład i są niezależne. Z treści zadania mamy: m = EX i = 4 σ = σx i = 8 Z Centralnego twierdzenia granicznego wynika, że zmienna W ma w przybliżeniu rozkład normalny: N(nm, σ n) czyli: N(4, 8) Zmienna W 4 ma więc rozkład N(, ) 6 Obliczmy prawdopodobieństwo:

4 ( ) W P (W > 7) = P > = ( 6 6 W 4 P > ) ( ) W 4 = P >, 75 = Φ(, 75) Z tablic odczytujemy Φ(, 75) =, stąd szukane prawdopodobieństwo: P = Φ(, 75) =, W pewnym zakładzie usługowym zebrano dane o dziennej liczbie obsługiwanych klientów. k - liczba klientów dokonujących zakupów n k - liczba dni, w których zanotowano k - klientów. k n k Zweryfikować na poziomie istotności α =.5 hipotezę, że rozkład dziennej liczby obsługiwanych klientów jest rozkładem Poisssona. X - zmienna losowa - dzienna liczba obsługiwanych klientów Hipoteza zerowa H : X - ma rozkład Poisssona Hipoteza alternatywna H : X - ma inny rozkład Rozkład Poissona zależy od parametru λ. Parametr ten znajdujemy z zależności: λ = EX. Zamiast nieznanej wartości oczekiwanej wstawiamy jej estymator: λ = X Obliczanie wartości estymatora: k Σ n k kn k X = Σkn k Σn k = Będziemy korzystać z testu χ. Grupujemy dane tak, aby w każdej grupie było dużo elementów. k 4 n k Mamy N = 5 grup. Statystyka χ będzie więc miała w przybliżeniu rozkład χ z trzema stopniami swobody. Liczba stopni swobody: N =. Znajdujemy przedział krytyczny statystyki. Dla α =.5 i -stopni swobody odczytujemy z tablic χ g = Przedział krytyczny O k =< χ g, ) Obliczamy wartość statystyki χ = Σ (n k np k ) np k, gdzie n = Σn k =.

5 Prawdopodobieństwa p k odczytujemy z tablic rozkładu Poissona dla λ =, k =,,, P (X 4) = p p p p k 4 Σ n k p k np k n k np k (n k np k ) (n k np k ) np k Otrzymana wartość statystyki: χ = 4.7 Ponieważ 4.7 należy do przedziału krytycznego, więc hipotezę zerową odrzucamy. Czyli rozkład ten nie jest rozkładem Poissona.