Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki Ewa Kwaśniok

Transkrypt

1

2 Projekt Kompleksowy Trening Kompetencji - Program Rozwojowy dla Technikum nr w Zespole Szkół Łączności w Gliwicach, współfinansowany przez Unię Europejską z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki, Priorytet IX, Działanie 9. Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki Ewa Kwaśniok

3 Projekt Kompleksowy Trening Kompetencji- Program Rozwojowy dla Technikum nr w Zespole Szkół Łączności w Gliwicach, współfinansowany przez Unię Europejską z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki, Priorytet IX, Działanie 9., realizuje: Katolickie Centrum Edukacji Młodzieży KANA ul. Górna -00 Gliwice kana@kana.gliwice.pl Autorka: Ewa Kwaśniok Redakcja: Justyna Kordala, Robert Młynarz Zdjęcia na okładce ze zbiorów Zespołu Szkół Łączności w Gliwicach. Gliwice, grudzień 0

4 Spis treści. LICZBY RZECZYWISTE. OŚ LICZBOWA. PRZEDZIAŁY. DZIAŁANIA NA PRZEDZIAŁACH..... WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ POTĘGI I PIERWIASTKI OBLICZENIA PROCENTOWE.... LOGARYTMY RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYKŁADNICZE I LOGARYTMICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE FUNKCJA FUNKCJA LINIOWA FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI STOPNIA DRUGIEGO..... WIELOMIANY. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI STOPNIA N> WYRAŻENIA WYMIERNE. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYMIERNE..... CIĄGI.... TRYGONOMETRIA- PODSTAWY ZADANIA TESTOWE...

5

6 . Liczby rzeczywiste. Oś liczbowa. Przedziały. Działania na przedziałach. Zadanie Oblicz: a) 0,7, 6 b) c) 0 Zadanie Podaj przykład liczby większej od ale mniejszej od. Zadanie Wykaż, że liczba 6 6 Zadanie jest liczbą naturalną. 9. Podaj liczbę odwrotną do liczby 0 Zadanie Podaj liczbę przeciwną do liczby Zadanie 6 Podaj liczbę odwrotną do liczby.. - -

7 Zadanie 7 Podaj liczbę przeciwną do liczby 6. Zadanie 8 Zamień ułamki zwykłe na dziesiętne a dziesiętne na zwykłe: a) b) c) d) 8 7 e),0() f),() g) 0,0() Zadanie 9 Jeżeli cyfry w pewnej liczbie dwucyfrowej przestawimy miejscami, to otrzymamy liczbę mniejszą o. Jakie to liczby, jeśli wiadomo, że cyfra dziesiątek w pierwszej wymienionej liczbie jest czterokrotnie większa od cyfry jedności. Zadanie 0 Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi. Jeśli pomiędzy te cyfry wstawimy liczbę, to otrzymamy liczbę, która jest o 90 większa od wyjściowej. Wyznacz tę liczbę dwucyfrową. Zadanie Przedstaw na jednej osi liczbowej podane zbiory, a następnie zapisz wyniki poniższych działań w postaci przedziału lub sumy przedziałów: A B, A B, A ', B ', A \ B, B \ A a) A (, B,6) b) A, B (,6) c) A (, ) B, ) d) A, ) B (, ) Zadanie Zapisz za pomocą sumy, iloczynu lub różnicy zbiorów zbiór zacieniowany na rysunku: - 6 -

8 Zadanie Podany zbiór przedstaw na osi liczbowej i zapisz go za pomocą przedziału lub sumy przedziałów: A R : d) a) D R : lub b) B R : lub e) E C : c) C R : i 8 f) F C : Wykonaj działania: a) A ( B C) b) ( C \ D) A c) E F. Wartość bezwzględna. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Zadanie Oblicz wyrażenie: a) 6 c) 0 0 b) d) 6 6 Zadanie Uprość wyrażenie: a) dla, ) ; b) dla (, ) - 7 -

9 c) 9 dla, d) ; e) dla dla Zadanie Rozwiąż równania: a) e) b) f) 6 c) 0 g) d) i) 6 Zadanie Rozwiąż nierówności. Przedstaw rozwiązanie na osi liczbowej: a) e) b) f) 8 8 c) d) 0 Zadanie Rozwiąż nierówności: a) b) c) 9 d) Zadanie 6 Rozwiąż równanie: a)

10 b) c) 8 d) Zadanie 7 Rozwiąż nierówność: a) b) 6 c) 0 d) Zadanie 8 Zaznacz na płaszczyźnie podane zbiory: a) A, y: y b) B, y: y Zadanie 9 Udowodnij, że iloczyn dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest równy kwadratowi wartości liczby parzystej leżącej między nimi pomniejszonej o. Zadanie 0 Dane są zbiory: A : R 6 B : R Wyznacz zbiory: A, B, A B, A \ B, B'. Zadanie Oblicz : a) 6 b) c) - 9 -

11 Zadanie Sprawdź, czy podana równość jest prawdziwa: 8 0 Zadanie Rozwiąż równanie: dla. Zadanie Sprawdź, czy liczba spełnia nierówności: a) 6 9 c) b) d) Zadanie Do pewnej liczby dodano i zaznaczono ją na osi liczbowej. Zaznaczona liczba była w odległości 8 jednostek na osi od liczby 0. Jakimi liczbami może być? Zadanie 6 Jeśli do dwukrotności liczby dodamy to odległość powstałej liczby zaznaczonej na osi liczbowej od liczby 0 na osi wynosi 6. Wyznacz. Zadnie 7 Wypisz wszystkie elementy zbioru Z X Y, jeśli X : C oraz Y : C Potęgi i pierwiastki. Zadanie Wykonaj podane działania: a) 0, d) - 0 -

12 - - b), e) c) 0 f) Zadanie Doprowadź do najprostszej postaci a następnie oblicz: a) 0, b) Zadanie Przedstaw w postaci jednej potęgi: a) 8 e) 7 9 b) 7 f) 8 : c) : g) d) 6 h) 6 6

13 Zadanie Wyłącz czynnik przed pierwiastek: a) 8 d) b) 0 e) c) f) 6 Zadanie Usuń niewymierność z mianownika a) b) c) Zadanie 6 d) e) f) Wyznacz a b, a b, a b, y z, gdy: a) a b b) a b Zadanie 7 Dla podanych a i b oblicz a b, a b : a) a b b) a b g) h) i) a, b i wynik doprowadź do postaci b Zadanie 8 Wykaż, że liczba 8 jest rozwiązaniem równania Zadanie 9 Przedstaw liczbę a 6 w postaci y, gdzie, y są liczbami wymiernymi. Zadanie 0 Dane są zbiory liczb rzeczywistych: - -

14 A : B : Wyznacz: a) A B b) A B c) B \ A 8. Obliczenia procentowe. Zadanie Oblicz jaki procent liczby 80 stanowi liczba 0. Zadanie 8% pewnej liczby wynosi 0. Jaka to liczba? Zadanie % liczby wynosi. Oblicz wartość liczby y, która jest o % większa od liczby. Zadanie Oblicz % wartości wyrażenia: :. 7 7 Zadanie 0% pewnej liczby stanowi wartość wyrażenia:. Oblicz tą liczbę. Zadanie 6 W styczniu litr benzyny kosztował,0zł. W kwietniu cenę podwyższono o 0% a we wrześniu o kolejne 0%. Czy rację ma polityk, który twierdzi, że cena benzyny w omawianym okresie wzrosła tylko o 0%? Jeśli nie, oblicz o ile się myli? Zadanie 7 W pewnej szkole jest 0 chłopców, co stanowi 90% liczby wszystkich uczniów tej szkoły. Oblicz, ilu uczniów jest w tej szkole. Zadanie 8 W klasie liczącej 0 uczniów 0% z nich uczy się języka niemieckiego. Pozostała część młodzieży uczy się języka angielskiego. Oblicz, ilu uczniów uczy się angielskiego. - -

15 Zadanie 9 Cena roweru w styczniu wynosiła 00zł. W czerwcu ten sam rower kosztował 70zł. O ile procent podniesiono cenę? Zadanie 0 Cena cukru została obniżona o 0% a po tygodniu o kolejne 0%. O ile procent obniżono cenę cukru? Zadanie W pewnym banku reklamowana jest lokata A roczna z oprocentowaniem,% w skali roku oraz lokata B z oprocentowaniem % ale kapitalizacja odsetek odbywa się co kwartał. Pani Ania chce ulokować 0 000zł. Oblicz która z tych lokat jest bardziej korzystna dla pani Ani i o ile? Zadanie Pani Kasia wpłaciła do banku na lokatę 000zł. Stopa procentowa w tym banku wynosi,% w stosunku rocznym. Jaka kwota będzie na tej lokacie po upływie lat? Zadanie Sklep daje 0% zniżki na starą kolekcję ubrań. Musi jednocześnie doliczyć % podatku VAT. Kiedy cena towaru będzie niższa: gdy najpierw od ceny ubrań odliczymy 0% a potem doliczymy VAT, czy odwrotnie? Zadanie Cena towaru w sklepie jest uzależniona od wielu czynników. Procentowy udział pośredników sprzedaży w sklepowej cenie mleka jest przedstawiony w tabeli. Oblicz ile zarobi właściciel sklepu na sprzedaży 0 litrów mleka, jeśli cena jednego litra mleka w sklepie kosztuje zł. % ceny producent hurtownik dostawca 0 sprzedawca? Zadanie W pewnym sklepie cenę pralki obniżono o 0% a w kolejnym tygodniu o 0zł. Po tych obniżkach cena pralki wynosi 600zł. Ile kosztowała przed obniżkami? - -

16 Zadanie 6 Ile gram tłuszczu znajduje się w serku 00 gramowym, jeśli zawartość tłuszczu szacuje się na 8%?. Logarytmy. Zadanie Oblicz wartość : a) log e) log b) log f) log c) log g) log d) log h) log 0 Zadanie Oblicz wartość : a) log 9 e) log b) log f) log c) log g) log 6 7 d) log h) log 0 7 Zadanie Oblicz wartość : a) log 8 e) log 7 b) log f) log c) log 7 g) log 0,0 d) log h) log 0 - -

17 Zadanie Podaj najmniejszą liczbę całkowitą, która jest większa od: a) log 6 c) log 00 e) log b) log 6 d) log 00 f) log Zadanie Oblicz: a) b) log c) log d) Zadanie 6 Oblicz: a) c) log b) d) log log79 0 e) log f) 6 log 6 log 9 log 9 9 log Zadanie 7 Jaką liczbę należy wstawić w miejsce k, aby równość była prawdziwa? a) log k log 8 log b) log log k log 8 c) log log k log Zadanie 8 Jaką liczbę należy wstawić w miejsce m, aby równość była prawdziwa? a) log m log log b) log m log log c) log m log d) log log log m e) log m 7 log 7-6 -

18 Zadanie 9 Oblicz: a) log 8 log 8 d) log log 9 b) log 0 log 0 e) log log 9 6 c) log, log, 6 f) log,8 6, log, 8 Zadanie 0 Przedstaw podane wyrażenie jako jeden logarytm: a) log () log (y) d) log a b) log (y) log y e) log( ) log( ) 7 c) logz log log z f) log log 7 z Zadanie Przedstaw podane wyrażenie jako jeden logarytm: log log f) log 6 a) log c) log 7 e) b) log 6 d) Zadanie Przedstaw podane wyrażenie jako jeden logarytm: log log 8 a) c) e) log 7 log 7 log b) log 8 log 0 d) log 7 f) 7 log 8 Zadanie Jaki warunek musi spełniać aby podane wyrażenie miało sens log ( )? 9-7 -

19 6. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Zadanie Rozwiąż równanie: a) 8 b) c) d) 6 Zadanie Wyznacz : e) 0, f) 8 6 g) h) a) = b) 0, 8 8 Zadanie Narysuj wykres funkcji y, a następnie narysuj wykres: a) y c) b) y d) Zadanie Rozwiąż równanie: a) 9 b) c) y y d) e) f) 0 : , - 8 -

20 Zadanie Rozwiąż równanie: a) 9 0 b) 9 0 Zadanie 6 Rozwiąż nierówność: a) 9 b) 8 Zadanie 7 Rozwiąż równanie: a) log e) log b) log 0 f) log 0, c) log 7 g) log 00 d) log h) log 8 Zadanie 8 Wyznacz liczbę jeśli wiadomo, że: a) log ( ) b) log c) log 9 Zadanie 9 Oblicz: a) log 7 d) log e) log f) 0 b) log Zadanie 0 Rozwiąż równanie: a) log log log b) log log 6 log - 9 -

21 Zadanie Rozwiąż nierówność: a) log 0, log log log b) Zadanie Oblicz log 6 7 jeśli log 7 a. Zadanie a Dana jest funkcja f ( ), gdzie 0. a) Wyznacz współczynnik a wiedząc, że do wykresu funkcji należy punkt A (,8). b) Czy prawdą jest, że f ( ) f ( ) 0? Zadanie Znajdź miejsca zerowe funkcji ( ) log 9 f. 7. Wyrażenia algebraiczne. Zadanie Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych: a) kwadrat sumy liczb a i b, b) sumę kwadratów liczb i y, c) podwojony iloczyn sumy liczb a i b d) różnicę sześcianów liczb a i b e) sumę odwrotności liczb a i b Zadanie Zapisz podane wyrażenia w jak najprostszej postaci: y y y a) b) a c) ( ) Zadanie Z przedstawionych poniżej wzorów wyprowadź wskazaną wielkość: r a), d) v, r f y T - 0 -

22 b) c) ( a b) h P, h e) ( a b) h P, a f) mv E k at s, t, m Zadanie Korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci: a a e) f) a) b) c) g) d) h) Zadanie Dla podanych a oraz b oblicz: a) a b b) a b Zadanie 6 a b, a b, Oblicz wartość liczbową wyrażenia 9 a a,. b dla. Zadanie 7 Podane wyrażenia zapisz w najprostszej postaci, a następnie oblicz ich wartość dla podanej wartości i y: a) y 8, y b) y y 6, y Zadanie 8 Wykaż, że jeśli A 8 oraz Zadanie 9 Przekształć sumy algebraiczne na iloczyny: B, to B A. - -

23 a) 6 d) b) 6 y e) a ab b c) f) Zadanie 0 Z podanych równań wyznacz : a) a b c a b b) b c gdy c 0 c y 8. Funkcja. Zadanie Określ, czy podane przyporządkowanie to funkcja. Uzasadnij odpowiedź. a) Każdej osobie przypisano PESEL. b) Kwiaty mają swoje nazwy. c) W niektórych ławkach w klasie siedzą uczniowie. d) Część kobiet ma dzieci. e) Każde dziecko ma biologiczną matkę. Zadanie Na podstawie wykresu funkcji y f () naszkicuj wykres funkcji a) y f ( ) e) y f ( ) b) y f ( ) f) y f ( ) c) y f () g) y f ( ) d) y f ( ) h) y f () - -

24 Zadanie Oblicz dla jakiego a punkt f ( ). A a, należy do wykresu funkcji 9 Zadanie Na podstawie wzoru funkcji oblicz f ( ), f, f ( ) : a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) Zadanie Na podstawie podanego wykresu: a) podaj zbiór wartości tej funkcji, b) miejsca zerowe, c) współrzędne punktu przecięcia się wykresu z osią OY, d) maksymalne przedziały, w których funkcja rośnie, e) maksymalne przedziały, w których funkcja maleje, f) maksymalne przedziały, w których funkcja ma znak stały, g) przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, h) przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne. - -

25 Zadanie 6 Narysuj wykres funkcji:, dla f ( ), dla, dla Odczytaj z wykresu: a) miejsca zerowe funkcji. b) dla jakiego argumentu i ile wynosi największa wartość funkcji. c) dziedzinę funkcji, d) zbiór wartości funkcji, e) dla jakich argumentów wartość funkcji jest większa od, f) jaką wartość przyjmuje funkcja dla argumentu, g) ile argumentów przyjmuje wartość-, h) czy spełniona jest nierówność f ( ) 0 i) czy funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla, Zadanie 7 Która z przedstawionych na rysunku na stronie krzywych, nie jest wykresem funkcji? - -

26 - -

27 Zadanie 8 Narysuj wykres funkcji oraz oblicz jej miejsce zerowe:, gdy 0 a) f ( ), gdy 0, gdy b) f ( ), gdy Zadanie 9 Wyznacz dziedzinę podanej funkcji: a) f ( ) ( )( ) b) f ( ) 8 c) f ( ) d) f ( ) 9 e) f ( ) f) f ( ) g) f ( ) 8 ( )( )( ) h) f ( ) i) j) f ( ) ( )( ) f ( ) Zadanie 0 Podaj współrzędne wektora o jaki należy przesunąć wykres funkcji y aby otrzymać wykres funkcji: a) b) y ( ) f) y 6 y ( ) g) y - 6 -

28 c) y h) y d) y i) y y j) y 6 8 e) Zadanie Wyznacz wzór funkcji wykładniczej, której wykres przechodzi przez punkt,. 6 Zadanie Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji. Określ, na podstawie rysunku, czy podane stwierdzenia są prawdziwe czy nie: a) f f b) f c) Dla 0 wartość funkcji wynosi d) Funkcja ma trzy miejsca zerowe e) Największą wartość funkcja przyjmuje dla argumentu - 7 -

29 9. Funkcja liniowa. Zadanie Narysuj wykres oraz oblicz miejsca zerowe funkcji określonej wzorem: a) y b) f ( ) c) g ( ) Zadanie Nie rysując wykresu określ, czy podana funkcja jest malejąca, stała czy rosnąca: a) y b) y c) y y d) Zadanie Oblicz miejsce zerowe funkcji: a) y y b) Zadanie Wyznacz wartość funkcji a) f dla ; b) f dla podanego : f dla ; f dla, ; c) f dla. d) - 8 -

30 Zadanie Sprawdź, czy poniższa tabela przedstawia funkcję liniową. Jeśli tak, podaj jej wzór. a) f - - b) - 0 f 0 9 Zadanie 6 Wyznacz współczynnik b dla którego do wykresu funkcji y b A, 0. należy punkt Zadanie 7 Dany jest wykres funkcji f (). Na podstawie wykresu: a) wyznacz zbiór wartości tej funkcji; b) podaj wartość funkcji dla ; - 9 -

31 Zadanie 8 Na podstawie wykresu napisz wzór funkcji f (). Oblicz również f, f. Zadanie 9 Dla jakich argumentów wartość funkcji równa. f jest większa lub Zadanie 0 Rozwiąż układ równań metodą algebraiczną i graficzną. y y a) b) y 0 y Zadanie Dla jakiej wartości m podany układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań? y 0 m 8y 0 Zadanie Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej jest równa 6. Jeżeli przestawimy cyfry w tej liczbie, to otrzymamy liczbę o większą od niej. Wyznacz te liczby

32 Zadanie Na rysunkach przedstawiono graficzne rozwiązanie układu równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi. Zapisz podany układ w postaci algebraicznej i określ, czy jest on układem oznaczonym, nieoznaczonym czy sprzecznym. Zadanie Podaj wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty i B=(-,0) Oblicz miejsce zerowe tej funkcji. A=(,) Zadanie Podaj wzór funkcji liniowej, która jest a) równoległa do f ( ) i przechodzi przez punkt A=(,) b) prostopadła do g ( ) i przechodzi przez punkt A=(-,). Zadanie 6 Funkcja f () jest opisana wzorem f ( ). a) Oblicz, dla jakich argumentów funkcja f () przyjmuje wartości ujemne. b) Oblicz argument dla którego wartość funkcji f () wynosi 0. c) Sprawdź czy punkty o współrzędnych A=(,) i B=(0,) należą do wykresu tej funkcji. Zadanie 7 Wyznacz wszystkie wartości m, dla których funkcja liniowa f ( ) (m ) jest: a) stała, - -

33 b) rosnąca, c) malejąca. Zadanie 8 Wyznacz wzór funkcji liniowej, jeżeli f ( ) a miejscem zerowym jest. Zadanie 9 Dla jakiego m liczba jest miejscem zerowym funkcji: a) f ( ) (m ), b) f ( ) m Zadanie 0 Napisz równanie prostej równoległej do y i przechodzącej przez punkt A (, ). Zadanie Napisz równanie prostej prostopadłej do y i przechodzącej przez punkt A (, ). Zadanie Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych i wykresem funkcji: a) f ( ) b) f ( ) Zadanie Tomek jest trzy razy młodszy od swojego ojca. Za lat ojciec będzie dwa razy starszy od Tomka. Ile lat ma Tomek, a ile jego ojciec? Zadanie Podaj równanie prostej, która z osią OX tworzy kąt i przechodzi przez punkt A: a) A, b) 0 A, c) 60 A, d) 0 A 0,0 e) 0 A, Zadanie Podaj kąt jaki tworzy prosta y z osią OX: a) y - -

34 b) y c) y d) y Zadanie 6 Oblicz pole trójkąta ograniczonego prostymi: a) y, y 6 oraz ; b) y, y 0 oraz ; c) y, y, 7, oraz y 0. Funkcja kwadratowa. Równania i nierówności stopnia drugiego. Zadanie Dana jest funkcja a) f ( ) 6 b) f ( ) 6 c) f ( ) Dla każdej z nich: oblicz jej miejsca zerowe, wyznacz współrzędne punktu przecięcia się wykresu z osią OY, oblicz współrzędne wierzchołka, narysuj wykres tej funkcji. Zadanie Zamień postać ogólną funkcji na postać iloczynową i na kanoniczną: a) f ( ) 8 9 b) f ( ) 8 c) f ( ) d) f ( ) 0 e) f ( ) f) 8 f ( ) 9 g) f ( ) - -

35 Zadanie Odczytaj ze wzoru funkcji współrzędne jej wierzchołka: a) f ( ) ( ) 8 b) f ( ) ( ) c) f ( ) ( ) d) f ( ) 8 e) f ( ) Zadanie Wyznacz wzór funkcji kwadratowej dla której: a) współczynnik a i do wykresu funkcji należą punkty A, i B,; b) współczynnik a i wierzchołek tej funkcji ma współrzędne W, ; c) współczynnik a i miejscami zerowymi są oraz. Zadanie Znajdź wzór funkcji kwadratowej f (), której wykresem jest parabola o wierzchołku W (, ) przechodząca przez punkt o współrzędnych (, ). Narysuj wykres funkcji f (). Zadanie 6 Dana jest funkcja f ( ). Oblicz a, jeśli wiadomo, że punkt A (, a) należy do wykresu funkcji f. Zadanie 7 Dana jest funkcja f ( ). Ile miejsc zerowych ma funkcja g ( ) f ( ) f ( ). Zadanie 8 Dana jest funkcja f 6. a) Naszkicuj wykres f i podaj jej zbiór wartości. b) Podaj rozwiązanie nierówności f

36 Zadanie 9 Dla jakiego a i b wykresem funkcji h( ) f ( ) g( ), gdzie f ( ) ( a) i g( ) ( b) jest podany niżej wykres? Zadanie 0 Wyznacz wartość najmniejszą i wartość największą funkcji w podanym przedziale: a) f ( ) 8 0,, b) f ( ),, c) f ( ),, Zadanie Dla jakiego m punkt przecięcia się wykresu funkcji f () z osią OY ma współrzędne (0,)? a) f ( ) ( m) b) f ( ) ( m ) m Zadanie Rozwiąż równania: a) ( )( ) 0 b) 0 - -

37 c) 6 0 d) 8 e) 0 f) 8 0 g) 6 0 Zadanie Rozwiąż nierówności: a) 0 b) ( ) 0 c) 0 d) 6 0 Zadanie Pewien uczeń przygotowując się do matury z matematyki rozwiązał 6 zadania. Każdego dnia rozwiązywał tę samą liczbę zadań. Gdyby zmusił się do rozwiązania zadań więcej każdego dnia, to przygotowania zajęłyby mu 8 dni mniej. Oblicz ile dni przygotowywał się do matury. Zadanie Jedna z lektur ma 780 stron. Pilny uczeń czytał tyle samo stron każdego dnia. Gdyby czytał o stron więcej, skończyłby 0 dni wcześniej. Ile stron czytał każdego dnia? Zadanie 6 Odcinek trasy rajdu liczy 00 km. Gdyby rajdowiec jechał ze średnią prędkością o 0 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz z jaką średnią prędkością jechał ten rajdowiec. Wynik zaokrąglij do jedności. Zadanie 7 Długość płotka, który ogrodnik ma postawić wokół trawnika wynosi 00m. Oblicz największą powierzchnię trawnika, jeśli ma on mieć kształt prostokąta. Zadanie 8 Pewien sprzedawca kupuje choinki w hurtowni po 80 zł za sztukę. Sprzedaje je w swoim sklepie za 0 zł. Średnio w miesiącu sprzedaje 0 sztuk. Zauważył, że jeśli obniża cenę o ł, to sprzedaje o jedną więcej. Jaką cenę powinien ustalić, aby miesięczny zysk był największy? Zadanie 9 Suma dwóch liczb wynosi a ich iloczyn. Oblicz różnicę tych liczb

38 Zadanie 0 Dana jest funkcja f ( ) 8. a) Narysuj wykres funkcji f () dokładnie zaznaczając miejsca przecięcia się wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych. b) Odczytaj z wykresu zbiór wartości funkcji. c) Rozwiąż nierówność f ( ) 0. Zadanie Znajdź graficznie zbiór A B, jeżeli:, y : y B A, y Zadanie Oblicz największą wartość funkcji w przedziale: a) y 0, b) y 9, 0 c) y 0, d) y ( )( ), : y Zadanie Rozwiąż układ równań: a) b) y 8 ( )(y 0) y y c) d) y ( 0)(y ) 60 y 6 y Zadanie Wyznacz równanie osi symetrii paraboli określonej wzorem a) y 6 b) y 6 8 c) y d) y Zadanie Dla jakich argumentów funkcja f ( ) jest rosnąca? - 7 -

39 Zadanie 6 Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej : a) f ( ) d) f ( ) b) f ( ) ( )( ) e) c) ( ) f ( ) f f) f ( ) Zadanie 7 Dla jakiego a prosta o równaniu y a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) Zadanie 8 Podaj wzór ogólny funkcji kwadratowej wiedząc, że: a) a oraz miejscami zerowymi są liczby - i. b) a oraz wierzchołek ma współrzędne W (, ) Zadanie 9 Dana jest funkcja f ( ) a 6 c. Wiedząc, że dla funkcja ta osiąga wartość najmniejszą równą 0, wyznacz a i c. Podaj również postać iloczynową i kanoniczną funkcji f (). Zadanie 0 Wykres funkcji g to wykres funkcji f ( ) przesunięty wzdłuż osi OX o jednostki w lewo. a) Podaj wzór funkcji g() oraz zbiór wartości tej funkcji. b) Narysuj wykres funkcji g (). c) Rozwiąż nierówność g ( ) Zadanie Dla jakiej wartości parametru c do wykresu funkcji f c A,. należy punkt Zadanie Jakie założenia musi spełniać a, aby funkcja a) miała jedno miejsce zerowe, b) miała dwa miejsca zerowe c) nie miała miejsc zerowych f ( ) a : - 8 -

40 Zadanie Rozwiąż graficznie i algebraicznie układ równań: 7 y a) b) y 0 y y Zadanie Dla jakich wartości parametru m równanie m m m ma dwa pierwiastki dodatnie? 0 Zadanie Nie obliczając miejsc zerowych trójmianu kwadratowego, ustal ich znaki: a) f ( ) b) f ( ). Wielomiany. Równania i nierówności stopnia n>. Zadanie Dane są wielomiany W( ) oraz Q ( ). Wykonaj działania: a) Q( ) W( ) b) W ( ) Q( ) c) W( ) Q( ) W( ) Zadanie Oblicz wartość wyrażenia przedstaw w postaci a W( ) dla. Wynik b, gdzie a, b są liczbami wymiernymi. Zadanie Którego stopnia jest wielomian W( ) Q( ) P( ) jeśli: a) Q ( ) P( ) 6 8 b) Q ( ) P ( ) 7 6 c) Q ( ) (6 ) 8 P ( ) ( 6 ) 7 Zadanie Którego stopnia jest wielomian W( ) Q( ) P( ) jeśli: - 9 -

41 a) Q ( ) P ( ) 6 b) Q( ) ( ) 7 P ( ) 6 Zadanie Dla jakich a, b, c wielomiany W () oraz Q() są równe? a) W ( ) a b c Q ( ) b) W( ) Q( ) ( a b) a ( c a) b c) W ( ) (a b) ( b c) Q( ) 7 c b b Zadanie 6 Ile maksymalnie rozwiązań ma równanie a b c 0? Zadanie 7 8 Dany jest wielomian W ( ) 6. Sprawdź, czy punkt o współrzędnych (-,9) należy do wykresu tego wielomianu. Zadanie 8 Znajdź pierwiastki wielomianu i określ ich krotności: a) ( )( )( ) b) ( )( )( ) c) ( )(6 ) Zadanie 9 Rozłóż wielomian na czynniki: a) 6 b) 6 c) d) e) f) Zadanie 0 Wykonaj dzielenie: a) ( 9 ) : ( ) 7 6 b) ( 8 ) : ( ) - 0 -

42 c) ( ) : ( ) d) (0 ) : ( ) Zadanie Rozwiąż równanie: a) ( 6 0)( ) 0 b) ( )( ) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) g) 0 Zadanie Rozwiąż nierówność: a) ( )( ) ( ) 0 b) c) d) ( )( )( )( ) 0 Zadanie Dla jakich argumentów funkcja f () przyjmuje wartości dodatnie? a) f ( ) ( ) ( )( ) b) f ( ) c) f ( ) ( ) ( 9) d) f ( ) ( ) ( ) Zadanie Napisz wzór wielomianu postaci W( ) a b c d, jeśli W. wiadomo, że W W W 0 Zadanie Nie wykonując dzielenia, oblicz resztę z dzielenia wielomianu W () przez dwumian Q (). a) W ( ) Q ( ) b) W ( ) 0 Q ( ) Zadanie 6 - -

43 Dany jest wielomian W ( ) p 6. Dla jakiej wartości parametru p wielomian ten jest podzielny przez (-) a dla jakiej wartości p reszta z dzielenia tego wielomianu przez (+) jest równa? Zadanie 7 Określ, dla jakich liczb nie można obliczyć wartości poniższego wyrażenia ( )( 7 ) Zadanie 8 Oblicz dla jakiego m miejscem zerowym funkcji f ( ) m jest liczba -. Zadanie 9 Znajdź argumenty, dla których wartości funkcji f ( ) są mniejsze od wartości funkcji g ( ) ( ). Zadanie 0 Liczba jest pierwiastkiem wielomianu W ( ) 8. Sprawdź, czy iloczyn k wszystkich pierwiastków tego wielomianu spełnia nierówność k 7. Zadanie Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian jest równa, a reszta z dzielenia tego wielomianu przez jest równa -. Wyznacz. resztę z dzielenia wielomianu W przez Zadanie Liczby - i - są pierwiastkami wielomianu a b 6 a) Wyznacz wartość a i b. b) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu. W. Zadanie Iloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych dodatnich jest razy większy od sumy tych liczb. Znajdź te liczby. - -

44 - -. Wyrażenia wymierne. Równania i nierówności wymierne. Zadanie Oblicz wartość wyrażenia dla podanego : dla Zadanie Przedstaw wynik działania w postaci ilorazu wielomianów: a) f) b) 6 g) c) h) d) i) 8 e) 8 j) Zadanie Podaj dziedzinę i uprość wyrażenie: a) 8 6 b) 6 c)

45 - - d) 8 0 Zadanie Jakie liczby należy wstawić w miejsce a i b, aby zachodziła równość podanych wyrażeń? a) b a b) ) ( b a c) b a Zadanie Ile rozwiązań ma równanie: 0 9? Zadanie 6 Rozwiąż równanie: a) e) 8 b) 6 f) 6 c) 6 6 g) d) h) 6 6 Zadanie 7 Rozwiąż nierówność: a) d) 0 7 b) 6 e) 6 c) 0 0 f)

46 Zadanie 8 Wyznacz ze wzoru : a) y z Zadanie 9 b) z y q Wyznacz punkty wspólne hiperboli y. z y y oraz prostej Zadanie 0 Liczby i y są odwrotnościami dwóch kolejnych liczb naturalnych. Suma liczb, y oraz liczby jest razy większa od iloczynu i y. Znajdź liczby i y.. Ciągi Zadanie Nieskończony ciąg liczbowy a n jest określony wzorem a n, n n,,,.... Dla pewnej liczby trzywyrazowy ciąg a, a6, jest ciągiem arytmetycznym. Oblicz. Zadanie Dany jest ciąg ( a n ) określony wzorem Oblicz a oraz a. Zadanie Dany jest ciąg arytmetyczny n n n an ( ) dla n. n a dla n, w którym suma początkowych wyrazów wyraża się wzorem S, n n 6,. a) Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu a n. b) Oblicz a 0. c) Wyznacz liczbę n, dla której a 6 n - -

47 Zadanie Dany jest ciąg arytmetyczny a dla n, w którym 8 a. a) Oblicz a oraz r. a, a a jest ciągiem geometrycznym. b) Sprawdź czy, 8 n Zadanie Wykaż, że dla każdego m ciąg m m m 7,, arytmetyczny. Zadanie 6 Liczby,, y w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wiadomo, że y 8. Oblicz oraz y. Zadanie 7 Ciąg,, y jest arytmetyczny. Natomiast ciąg, y,7 jest geometryczny. Oblicz, y oraz podaj ten ciąg geometryczny. Zadanie 8 Ciąg arytmetyczny n n,,, jest a określony jest wzorem a n n, a) Oblicz a oraz różnicę ciągu r. b) Oblicz sumę piętnastu pierwszych wyrazów ciągu. c) Oblicz sumę wyrazów od a do a. Zadanie 9 Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym a oraz a. 8 a) Oblicz a oraz różnicę ciągu r. b) Podaj wzór na n-ty wyraz ciągu. c) Oblicz sumę dziesięciu pierwszych wyrazów ciągu. Zadanie 0 Pomiędzy liczby i 7 wstaw cztery takie liczby tak, aby tworzyły one ciąg arytmetyczny. Zadanie Trzy liczby (,y,8) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Liczby te są również długościami boków trójkąta prostokątnego, w którym długość przeciwprostokątnej wynosi 8. Znajdź długości pozostałych boków trójkąta. Zadanie - 6 -

48 W ciągu arytmetycznym suma wyrazu pierwszego i piątego wynosi -, a różnica wyrazu trzeciego i dziesiątego wynosi -. Oblicz sumę pierwszych jedenastu wyrazów tego ciągu. Zadanie Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny, w którym suma skrajnych wyrazów jest równa 6, a suma wyrazów środkowych. Znajdź liczby tworzące ten ciąg. Zadanie Dla jakich wartości a liczby: ( a 0,);(a 8);(6a 8) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego? Zadanie Ile wyrazów ujemnych ma ciąg a n n 6n 6 dla n? Zadanie 6 Wyrazami ciągu arytmetycznego a są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez dają resztę. Wiedząc, że a 7 oblicz a 8. Zadanie 7 Rozwiąż równanie: Zadanie 8 n Sprawdź czy w podanej kolejności liczby: tworzą ciąg arytmetyczny. 7, 6, Zadanie 9 Mama Tomka zaproponowała dwa sposoby wypłacania kieszonkowego: a) Pierwszego miesiąca 0 groszy a każdego następnego dwa razy więcej niż w poprzednim miesiącu. b) Pierwszego miesiąca 0 zł a każdego następnego o zł więcej. Oblicz, który ze sposobów jest bardziej korzystny dla Tomka i o ile, zakładając, że umawia się z mamą na wypłatę kieszonkowego na najbliższy rok. Zadanie 0 Zbadaj monotoniczność ciągu n a jeśli wiadomo, że: n a n. Zadanie Grupa turystów wyruszyła na kilkudniową wycieczkę. Poruszali się różnymi środkami transportu ale w taki sposób, że pierwszego dnia przebyli km, a każdego następnego o km więcej niż poprzedniego. Wyprawa trwała tygodnie. Oblicz: - 7 -

49 a) ile kilometrów przebyli w ostatnim dniu wycieczki, b) jaka długa była cała trasa wyprawy, c) ile kilometrów dziennie musieliby przejść turyści, gdyby każdego dnia przechodziliby jednakową liczbę kilometrów. Zadanie Trzy liczby a, b, c tworzą ciąg geometryczny. Znajdź te liczby wiedząc, że różnica trzeciej i pierwszej wynosi, a kwadrat drugiej jest równy 900. Zadanie Długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami nieparzystymi. Oblicz ile wynoszą długości boków tego trójkąta, jeśli jego obwód jest równy cm. Zadanie Pomiędzy liczby i wstaw trzy liczby tak, aby tworzyły one ciąg geometryczny. Zadanie Dany jest ciąg a n, gdzie wszystkie wyrazy tego ciągu większe od. n a n dla n,,,... Wyznacz n Zadanie 6 Pewien wykładowca matematyki zauważył, że na wykładzie liczba studentów w pierwszych trzech rzędach tworzy rosnący ciąg geometryczny. Liczba studentów w drugim rzędzie wynosiła 8, a suma wszystkich obecnych z pierwszych trzech rzędów wyniosła 7. Oblicz ilu studentów usiadło w trzecim i pierwszym rzędzie.. Trygonometria- podstawy Zadanie Dla podanych poniżej trójkątów wyznacz długości wszystkich boków wiedząc, że: a) 60? d)? b) 0? e) 7 tg c) 60? f) 60? - 8 -

50 Zadanie Oblicz wartość wyrażenia: sin 0 tg ctg 0 cos 0 a) b) sin ctg 90 tg0 ctg 60 cos 60 tg60 c) sin 90 ctg 0-9 -

51 Zadanie Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne wiedząc, że jest kątem ostrym: a) cos, sin? tg? ctg? b) sin, cos? tg? ctg? c) tg, sin? cos? ctg? d) ctg, sin? cos? tg? Zadanie Znajdź wartość trzech pozostałych funkcji trygonometrycznych: a) sin, ; b) tg, ; Zadanie Oblicz jaka musi być minimalna długość drabiny ustawionej do podłoża pod kątem 60 aby można ją było oprzeć o dach będący na wysokości 6m nad ziemią. Zadanie 6 Zbuduj kąt wiedząc, że: a) sin i 90, 80, b) cos i,, c) tg i cos 0 Zadanie 7 Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przeciwprostokątna to AC. Dane są długości przyprostokątnych AB oraz BC. Oblicz wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych kątów BAC i BCA. Zadanie 8 Czy istnieje kąt ; dla którego: a) sin i ctg? - 0 -

52 b) Zadanie 9 Wykaż, że: sin cos i tg? a) cos sin cos tg b) sin tg ctg Zadanie 0 Podaj kąt nachylenia prostej do osi OX: a) y c) y 0 b) y 0 y d) Zadanie Napisz równanie prostej nachylonej do osi OX pod kątem i przechodzącej przez punkt A: a) 0, A (, ) b), A (, ) c) 60, A (, ) d), A (0,0) e) 0, A (, ) Zadanie Oblicz jak długi jest wyciąg narciarski na równym stoku, jeżeli tenże stok nachylony jest pod kątem 0? Stacja górna jest położona 00m n.p.m. a dolna 80m n.p.m. Zadanie Pewna budowla rzuca cień o długości m. Promienie słoneczne tworzą z podłożem kąt 60. Oblicz wysokość budowli. Zadanie Dany jest trójkąt ABC o podstawie AB 8 oraz ramionach BC i AC 6. Wysokość trójkąta opuszczona z wierzchołka C na podstawę wynosi CD. Oblicz cos kątów jakie tworzy podstawa i ramiona tego trójkąta. - -

53 Zadanie Do muzeum przywieziono obraz w kształcie kwadratu. Bok obrazu wraz z ramą ma długość 88cm. Zastrzeżono, że przy przenoszeniu jeśli trzeba go pochylić względem podłoża to nie więcej niż 60. Czy obraz ten, przy wyznaczonym warunku, będzie można przenieść przez drzwi o wymiarach 0cm 0cm?. Zadania testowe Zadanie Miejscem zerowym funkcji f jest: a) b) -8 c) d) Zadanie Rozwiązaniem równania 0 jest liczba: a) i -6 b) i 6 c) - i -6 d) tylko Zadanie Rozwiązaniem nierówności jest przedział: a), b), c), d),, Zadanie Rozwiązaniem której nierówności jest przedział,7? a) 7 b) 7 c) d) Zadanie Który z podanych punktów należy do prostej danej równaniem y : a), b), 0 c), d), - -

54 Zadanie 6 Po redukcji jest równe: a) 6 b) Zadanie 7 c) d) Wyrażenie ma wartość: a) b) c) d) Zadanie 8 Wyrażenie jest równe: a) b) c) d) Zadanie 9 Która liczba spełnia nierówność a) log 6 b) c) 0 d) Zadanie 0 Wartość log 7 wynosi a) b) c) d) Zadanie Dla a i b wyrażenie a b jest równe: a) b) 0 c) d) Zadanie Dziedziną funkcji f jest: \, a) R \ b) R c) R \ d) R \,0, Zadanie Kąt nachylenia prostej y do osi OX wynosi: - -

55 a) b) 0 c) 90 d) 60 Zadanie Ile miejsc zerowych ma funkcja f 9? a) b) c) 0 d) Zadanie Miejsca przecięcia się wykresu funkcji mają współrzędne: a),0,0 0, 0, y z osią OX A B b) A,0 B,0 c) A B d) A 0, B 0, Zadanie 6 Który punkt jest wierzchołkiem paraboli y? a) p ; q b) p ; q c) p ; q d) p ; q Zadanie 7 Dana jest funkcja f dodatnie w przedziale:,,. Funkcja ta przyjmuje wartości a) b) c), d), Zadanie 8 Dla jakich wartości parametru m funkcja f m jest malejąca? a), b), c), d), Zadanie 9 Prostą prostopadłą do y jest: a) y b) y c) y d) y Zadanie 0 Prosta równoległa do y ma wzór: - -

56 a) y b) y c) y d) y Zadanie Miejscami zerowymi funkcji f 8 8 są: a) -, -, b),8 c), d) -,-, Zadanie Sumą przedziałów, oraz, jest przedział: b), c), d), a), Zadanie Po rozłożeniu wielomianu 8 otrzymamy: 7 a) b) 7 ( ) c) 7 d) 7 W na czynniki Zadanie 9 Rozwiązaniem równania 0 jest: a) i - b) tylko - c) tylko d) brak rozwiązań Zadanie Liczby,,0, są pierwiastkami wielomianu: a) W b) W c) W d) W Zadanie 6 Rozwiązaniem równania 0 są liczby: a), b) -, -, c) tylko d) -, - Zadanie 7 Pierwiastkami równania są liczby: a) tylko 0 b) 0, - c) tylko - d) 0, Zadanie 8 - -

57 Wartość wielomianu W dla wynosi: a) - b) - c) 7 d) Zadanie 9 Zbiorem wartości funkcji f jest przedział: a), b), c), d), Zadanie 0 Wartość wyrażenia W dla jest równa: a) b) c) d) Zadanie Wierzchołkiem paraboli o współrzędnych:, f jest punkt a) b), c), d), Zadanie Różnica ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym n wynosi: a) b) c) d) a n Zadanie Ósmy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy -0, a trzeci wyraz jest równy -0. Pierwszy wyraz tego ciągu wynosi: a) 0 b) - c) - d) Zadanie Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a wyrazów jest równa: a) 0 b) 0 c) 00 d) 00 n n. Suma pierwszych stu Zadanie Liczby 6,, 9 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Liczba jest równa: - 6 -

58 a) b) 7 c), d) Zadanie 6 Liczby,, w podanej kolejności tworzą rosnący ciąg geometryczny. Liczba jest równa: a), b) c) d) 9 9 Zadanie 7 n Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a n. Wyraz a n ma wzór: n n n n a) b) c) d) n n n n n n n Zadanie 8 f należy punkt: Do wykresu funkcji a), b) 8, c) 0,0 d),8 Zadanie 9 Dla pewnego kąta 7 a) ctg b) 9 tg. Inne funkcje tego kąta mają wartość: ctg c) ctg d) sin Zadanie 0 W trójkącie prostokątnym przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta ma długość, a leżąca przy tym kącie ma długość. Przeciwprostokątna ma długość. sin jest równy: a) b) c) d) 9-7 -

59 Zadanie Jeden z kątów w trójkącie prostokątnym ma miarę 60. Przyprostokątna leżąca przy tym kącie ma długość 0. Przeciwprostokątna c oraz drugi kąt ostry wynoszą odpowiednio: a) c 0, 0 b) c 0, 60 c) c 0, 0 d) c 0, 0 Zadanie Dane są długości dwóch odcinków: oraz 0. Jak długi musi być trzeci odcinek, aby można było z nich zbudować trójkąt prostokątny? a) b) 7 c) lub 7 d) 0 Zadanie cos0 Wartość wyrażenia sin 60 jest równa: tg a) Zadanie Wartość wyrażenia a) b) 6 b) c) d) cos sin tg dla 0 wynosi: c) Zadanie Wyrażenie sin tg jest równe: a) tg cos b) tg cos c) sin cos d) Zadanie 6 Jeżeli jest kątem ostrym i sin a) cos b) cos c) Zadanie 7 d) 7 6 tg cos cos d) cos - 8 -

60 Liczba tg jest liczbą: a) dodatnią b) ujemną c) równą 0 d) nie istnieje Zadanie 8 Bilet do kina kosztuje a ulgowy jest o 0% tańszy. Jakim równaniem opisano zakup trzech biletów ulgowych i jednego normalnego? a) 0, 8 b) 0, 8 c) 0, 8 d) 0, Zadanie 9 Cenę butów podwyższono o zł co stanowi % ceny początkowej. Ile kosztowały buty po podwyżce? a) b) 00 c) 8 d) 7 Zadanie 0 Cenę wycieczki podwyższono o 0% i obecnie kosztuje ona 800zł. Ile zł wynosiła podwyżka? a) 60 b) 90 c) 0 d)

61 Rozwiązanie zadań testowych:. b. c. a. b. d. a. b. c. a. c. d. d. a. c. a. d. a. b. c. d. c. a. b. d. a 6. a 6. b 6. c 6. a 6. c 7. c 7. d 7. b 7. a 7. b 8. b 8. b 8. c 8. d 8. c 9. b 9. b 9. d 9. b 9. b 0. a 0. c 0. d 0. a 0. d