Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW

Transkrypt

1 Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

2 Plan wykładu 1 Wstęp 2 Semantyka rozmyta 3 Składnia logiki rozmytej 4 Pełność logiki rozmytej Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

3 Logika prawdziwościowa Logika possybilistyczna przedstawiona poprzednio nie była prawdziwościowa (truth-functional, truth-preserving). Przedstawimy teraz kolejny system logiczny związany z pojęciami teorii zbiorów rozmytych, który będzie systemem prawdziwościowym. Ponownie będziemy rozpatrywać zbiór formuł atomowych P. Będziemy się ograniczać do operacji,,. Zbiór wszystkich wyrażeń zbudowanych z atomów za pomocą operacji logicznych oznaczymy, jak poprzednio, przez L. W tym systemie całkowicie odchodzimy od klasycznych wartości logicznych prawdy i fałszu reprezentowanych przez 0 i 1. Zamiast tego będziemy się posługiwali liczbami z przedziału [0,1], przy czym nadal 0 oznacza całkowity fałsz a 1 całkowitą prawdę. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

4 Plan wykładu 1 Wstęp 2 Semantyka rozmyta 3 Składnia logiki rozmytej 4 Pełność logiki rozmytej Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

5 Interpretacje Interpretacja (podstawienie) w naszym systemie będzie zatem przyporządkowaniem I : P [0, 1]. Ponownie, przez wykorzystanie operacji możemy rozszerzyć I do I : L [0, 1]. Dla uproszczenia będziemy dalej zakładać, że oznacza implikację Łukasiewiczowską tj. I (φ ψ) = min(1 I (φ) + I (ψ), 1), a i są odpowiednio ciągłą T-normą i ciągłą T-konormą. Definicja formuła impllikacyjna Wyrażenie postaci ϕ p, gdzie p P, a ϕ jest formułą logiczną złożona z atomów i operatorów,, nazywamy formułą implikacyjną. Przez I oznaczamy zbiór wszystkich formuł implikacyjnych. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

6 Rozmyta baza wiedzy Rozmyta baza wiedzy Rozmytą bazą wiedzy nazwiemy przyporządkowanie w : I P [0, 1] Rozmyta baza wiedzy może być rozpatrywana jako dolne ograniczenie dla I indukowanego przez interpretację I. Inaczej mówiąc, dla każdej formuły w ϕ I P stopień prawdziwości winien być nie mniejszy niż w(ϕ). Zwykła baza wiedzy W I P może być interpretowana jako rozmyta baza wiedzy w : I P [0, 1] taka, że { 1 dla ϕ W w(ϕ) = 0 w p.p. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

7 Teorie rozmyte Odpowiednik relacji konsekwencji logicznej (semantycznej) będziemy wprowadzać dla logiki rozmytej w inny sposób niż dotychczas. Zbudujemy mianowicie zbiór rozmyty zawierający wszystkie konsekwencje (teorię rozmytą) zamiast, jak dotychczas, definiować relację =. Definicja interpretacja zgodna z bazą wiedzy Niech w będzie rozmytą bazą wiedzy, a I : P [0, 1] interpretacją. Powiemy, że I jest zgodna z w, gdy dla każdego ϕ I P zachodzi w(ϕ) I (ϕ). Definicja zbiór rozmyty konsekwencji (wniosków) Niech w będzie rozmytą bazą wiedzy. Przekształcenie Th w : L [0, 1] jest zadane przez: Th w = inf{i (ϕ) : I jest interpretacją zgodną z w} Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

8 Teorie rozmyte Th w jest funkcją o wartościach w [0,1]. Teraz stosujemy cwany trick. Th w będzie odpowiadał zbiorowi rozmytemu (jego funkcji przynależności) wszystkich wyrażeń, które mogą być semantycznie wyprowadzone z w. Definicja ta odpowiada uproszczonej definicji teorii w logice klasycznej. W klasycznym sensie Th (klas.) W jest zdefiniowana jako zbiór tych wszystkich formuł ϕ, takich że: ( ψ W I (ψ) = true) I (ϕ) = true. W jest klasyczną bazą wiedzy gdy jest po prostu niesprzecznym zbiorem formuł. Definicje interpretacji zgodnej i teorii rozmytej pozwalają wprowadzić część semantyczną naszego systemu logicznego. Dalej zajmiemy się wprowadzeniem składni. W tym celu będziemy wprowadzać odpowiednik reguły modus ponens. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

9 Plan wykładu 1 Wstęp 2 Semantyka rozmyta 3 Składnia logiki rozmytej 4 Pełność logiki rozmytej Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

10 Wyprowadzenie rozmyte Rozważmy rozmytą bazę wiedzy w, formułę implikacyjną ϕ p i interpretację I zgodną z w. Wprowadzamy interpretację I w, gdzie I w (q) = w(q) dla q P. Ponieważ I jest zgodna z w, mamy I w I. Dzięki monotoniczności i ciągłości T-normy i T-konormy otrzymujemy I w(ϕ) I (ϕ), a ponieważ I zgodna z w, mamy: w(ϕ p) I (ϕ p) = min(1 I (ϕ) + I(p), 1). Stąd Zatem w(ϕ p) 1 I (ϕ) + I(p). w(ϕ p) + I w(ϕ) 1 w(ϕ p) + I (ϕ) 1 I(p). To oznacza, że dzięki znajomości w możemy wprowadzić nowe dolne ograniczenie na prawdziwość atomu p. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

11 Wywód w systemie rozmytym Możemy teraz wprowadzić wywód (dowód formalny) w logice rozmytej. Definicja wywód rozmyty Niech w i w będa rozmytymi bazami wiedzy. 1 w może być bezpośrednio wywiedzione z w jeśli istnieje fomuła implikacyjna ϕ p taka, że: (a) w (p) max(w(ϕ p) + I w(ϕ) 1, w(p)) (b) dla każdego ψ (I P) \ {p} zachodzi w (ψ) w(ψ). 2 w może być wywiedzione z w jeśli istnieje sekwencja rozmytych baz wiedzy w 0, w 1,..., w n taka, że: (a) w 0 = w (b) w n = w (c) w i+1 może być bezpośrednio wywiedziona z w i. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

12 Konsekwencja syntaktyczna Tak samo jak w przypadku semantyki, do opisania zbioru konsekwencji syntaktycznych posłużymy się zbiorem rozmytym. Definicja rozmyta konsekwencja syntaktyczna Niech w będzie rozmytą bazą wiedzy. Przekształcenie th w : P [0, 1] jest zadane jako: th w (p) = sup{w (p) : w może być wyprowadzona z w} th w jest zbiorem rozmytym wszystkich atomów, które mogą byc syntaktycznie wywiedzione z w. Wyposażeni w zbióry rozmyte odpowiadające semantyce (Th w ) i składni (th w ) naszego systemu przystąpimy do wykazania jego pełności. Wykazanie najpierw poprawności, a następnie pełności będzie polegało na pokazaniu, jak odpowiednie zbiory rozmyte mają się do siebie. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

13 Plan wykładu 1 Wstęp 2 Semantyka rozmyta 3 Składnia logiki rozmytej 4 Pełność logiki rozmytej Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

14 Poprawność logiki rozmytej Poprawność Niech w będzie rozmytą bazą wiedzy i p P. Wtedy: th w (p) Th w (p) Szkic dowodu Wywodliwość została zdefiniowana tak, by zachowywać zgodność tzn., że jeśli interpretacja I jest zgodna z w, to I jest także zgodna z każdą rozmytą bazą wiedzy w bezpośrednio wywodliwą z w. Wykorzystując tę własność możemy (przez zwykłą indukcję zupełną) pokazać, że jeśli I jest zgodna z w, to I jest także zgodna z każdą rozmytą bazą wiedzy wywodliwą z w. Zatem dla wszystkich wyrażeń i wszystkich baz wiedzy rozmytej w, dla których zgodnie z definicjami th w i Th w liczymy odpowiednio infima i suprema, zachodzi nierówność w (p) I(p). To zaś pociąga za sobą prawdziwość twierdzenia o poprawności. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

15 Pełność logiki rozmytej Jak zwykle w przypadku dowodzenia pełności, pozostała nam do wykazania druga implikacja. Pełność Niech w będzie rozmytą bazą wiedzy i p P. Wtedy: th w (p) Th w (p) Szkic dowodu Kładziemy I 0 = th w. Najpierw wykażemy, że interpretacja I 0 jest zgodna z w. Zgodnie z definicją th w dla każdego atomu q P zachodzi nierówność w(q) I 0 (q). Niech ϕ q będzie formułą implikacyjną. Zakładamy, że zachodzi w(ϕ q) > I 0(ϕ q) = I 0 (q) I 0(ϕ) + 1 to jest w(ϕ q) + I 0(ϕ) 1 > I 0 (q). Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

16 Dowód pełności logiki rozmytej Niech p i1,..., p in będą atomami występującymi w ϕ. Ponieważ T-norma i T-konorma, których używamy są z założenia ciągłe i monotoniczne, istnieją takie ε 1,..., ε n > 0 że warunek: jest spełniony dla w(ϕ q) + I 1(ϕ) 1 > I 0 (q) I 1 (r) = { I0 (r) ε j gdy r = p ij 0 w p.p. Definiujemy rozmytą bazę wiedzy w następująco: { w I1 (ψ) gdy ψ P (ψ) = w(ψ) gdy ψ I Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17

17 Dowód pełności logiki rozmytej c.d. Dla każdego atomu p ij (j = 1,..., n) istnieje rozmyta baza wiedzy w j, która może zostać wyprowadzona z w przez wykorzystanie nierówności w j (p ij ) > w (p ij ), gdyż zachodzi w (p ij ) < th w (p ij ). Zatem w też może być wywiedziona z w. Ale jednocześnie z w możemy bezpośrednio wywieść rozmytą bazę wiedzy w, taką, że: { w w(ϕ q) + I (ψ) = w (ϕ) 1 gdy ψ = q w (ψ) w p.p. To zaś prowadzi do sprzeczności, bo: I 0 (q) < w(ϕ q) + I 1(ϕ) 1 = w (q) < th w (q) Zatem I 0 nie może być zgodne z w, a stąd wynika, że dla wszystkich p P zachodzi: th w (p) = inf{i(p) : I jest zgodne z w} = Th w (p) Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 17