Logika Stosowana. Wykład 5 - Zbiory i logiki rozmyte Część 1. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
|
|
- Mirosław Jarosz
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Logika Stosowana Wykład 5 - Zbiory i logiki rozmyte Część 1 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
2 Plan wykładu 1 Wstęp Definicje i własności Operacje na zbiorach rozmytych Reguły lingwistyczne 2 Zbiory i wnioskowania rozmyte Podstawowe operacje raz jeszcze Relacje rozmyte 3 Rozmyte operatory logiczne Implikacja rozmyta Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
3 Źródła pojęć rozmytych W odróżnieniu od precyzyjnego ale ograniczonego języka, jakiego używaliśmy dotąd do opisywania pojęć wykorzystywanych do budowania systemów (logicznego) wnioskowania, pojęcia w świecie rzeczywistym są zwykle określone znacznie mniej dokładnie. Weżmy dla przykładu zdanie z języka naturalnego: Jaś jest wysoki Może ono wyrażać różne rzeczy zależnie od kontekstu czy perspektywy (np. pojęcie wysoki może byc inne w Japonii). Jednak jeśli chcemy wprowadzić dane Jasia do komputera, musimy podać jego wzrost dokładnie - powiedzmy 190 cm. A co jesli nie wiemy jak (dokładnie) wysoki jest Jaś? Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
4 Źródła pojęć rozmytych Na codzień doskonale radzimy sobie z rozumieniem zdań takich jak: Potrzeba około 40 minut, aby dojechać na lotnisko o ile ruch uliczny nie jest zbyt duży. Co jednak, gdybyśmy chcieli zmusić komputer, aby rozumiał i posługiwał się takimi pojęciami? Jak moglibyśmy przetwarzać w maszynie takie stwierdzenia? W jaki sposób reprezentować około czy zbyt duży? Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
5 Pojęcia i zbiory rozmyte W 1965 Lotfi Zadeh zaproponował nowe spojrzenie na pojęcie zbioru i należenia. Jego celem było umożliwienie wyrażania zależności, które są ze swojej natury niedokładne, żozmyte"(ang. fuzzy). Wróćmy do przykładu stwierdzenia w języku naturalnym: Jaś jest wysoki. Jeżeli wiemy, że Jaś ma 175 cm wzrostu, to możemy się zastanawiać nad prawdziwością powyższego stwierdzenia. W terminach klasycznej teorii mnogości, musielibyśmy twardo zdecydować, czy 175 cm kwalifikuje Jasia jako wysokiego czy nie. W teorii zbiorów rozmytych, możemy wyrazić to subtelniej, określając w jakim stopniu można uznać Jasia za osobę wysoką. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
6 Zbiory rozmyte W klasycznej teorii mnogości każdy podzbiór A w pewnej przestrzeni X można utożsamić z jego funkcją charakterystyczną określoną jako: { 1 gdy x A χ A (x) = 0 gdy x / A W przypadku teorii zbiorów rozmytych zastępujemy binarną funkcję charakterystyczną χ A przez funkcję przynależnoci µ A : X [0, 1]. Funkcję µ A nazywamy funkcją przynależności lub funkcją należenia. Jeżeli x X µ A (x) {0, 1} to zbiór A jest zbiorem w zwykłym sensie i jest nazywany zbiorem ostrym, definiowalnym lub dokładnym (ang. crisp). Jeżeli istnieje x X takie, że 0 < µ A (x) < 1 to zbiór A jest rozmyty. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
7 Zbiory rozmyte przykłady Klasycznym przykładem zbioru rozmytego jest zbiór prawie zero (near zero) przedstawiony przez Zadeha dla reprezentowania pojęcia liczby rzeczywistej bliskiej 0. Ten zbiór może być zadany na przykład następującą funkcją przynależności: Która wygląda tak: µ prawie zero = x 2 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
8 Zbiory rozmyte przykłady Wcześniej rozważane pojęcie wysoki, może być zadane dla wzrostu x w centymetrach funkcją przynależności: 0 if x 125 µ wysoki = 1 if x 185 x if 125 < x < 185 Kóra wygląda tak: 1 µ wysoki Wzrost w cm Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
9 Zbiory rozmyte przykłady Inny przykład to zbiory rozmyte reprezętujące trzy pojęcia zimny (cold), ciepły (warm) i gorący (hot), dla x będącego temperaturą w stopniach. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
10 Plan wykładu 1 Wstęp Definicje i własności Operacje na zbiorach rozmytych Reguły lingwistyczne 2 Zbiory i wnioskowania rozmyte Podstawowe operacje raz jeszcze Relacje rozmyte 3 Rozmyte operatory logiczne Implikacja rozmyta Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
11 Zbiory rozmyte definicje i własności Aby móc mówić o teorii zbiorów trzeba wprowadzić podstawowe pojęcia. Zbiór normalny Powiemy, że zbiór rozmyty A zadany przez funkcję przynależności µ A : X [0, 1] jest normalny jeśli x X µ A (x) = 1. Zawieranie romyte Niech A, B będą zbiorami rozmytymi w tej samej przestrzeni X. Zbiór rozmyty A jast zawarty zbiorze rozmytym B (A B) wtedy i tylko wtedy, gdy x X µ A (x) µ B (x). Charakterystyki zbioru rozmytego Dla danego zbioru rozmytego A określamy następujące wartości: Wysokość A: height(a) = h(a) = max x X µ A (x). Nośnik A: Supp(A) = {x X : µ A (x) > 0}. Jądro A: Core(A) = {x X : µ A (x) = 1}. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
12 Zbiory rozmyte definicje i własności Dla dobrego określenia własności zbiorów rozmytych musimy wprowadzić podstawowe pojęcia takie jak zawieranie czy zbiór pusty. Pusty zbiór rozmyty Powiemy że zbiór rozmyty jest pusty wtedy i tylko wtedy gdy x X µ (x) = 0 Normalnie moc zbioru mierzymy liczbą jego elementów. W przypadku zbiorów rozmytych posługujemy się funkcją przynależności. Moc zbioru rozmytego Dla danego zbioru rozmytego A określamy jego moc { n P ower(a) = A = i=1 µ A(x) gdy X = {x 1,..., x n } X µ A(x)dx w p.p. Wprowadzimy teraz operacje mnogościowe na zbiorach rozmytych. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
13 Plan wykładu 1 Wstęp Definicje i własności Operacje na zbiorach rozmytych Reguły lingwistyczne 2 Zbiory i wnioskowania rozmyte Podstawowe operacje raz jeszcze Relacje rozmyte 3 Rozmyte operatory logiczne Implikacja rozmyta Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
14 Zbiory rozmyte operacje W przypadku zbiorów rozmytych operacje takie jak suma, dopełnienie czy przecięcie możemy definiować na wiele sposobów. Jednakże w przeważającej większości (ponad 90%) zastosowań praktycznych wykorzystujemy minimum stopni przynależności (jako przecięcie) i maksimum stopni przynależności (jako sumę). Podstawowe operatory na zbiorach rozmytych Dla zbiorów rozmytych A i B o funkcjach przynależności (odpowiednio) µ A i µ B, mamy: Suma zbiorów rozmytych A B: µ A B = max(µ A, µ B ). Przecięcie zbiorów rozmytych A B: µ A B = min(µ A, µ B ). Dopełnienie zbioru rozmytego \A: µ \A = 1 µ A. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
15 Zbiory rozmyte operacje µ B (x) µ B (x) µ A (x) µ A (x) x x Alternatywą dla operatorów min i max są na przykład: µ A B = max(0, µ A + µ B 1), µ A B = min(1, µ A + µ B ) tak zwane operatory Łukasiewicza. µ A B = µ A + µ B µ A µ B, µ A B = µ A µ B tak zwane operatory produktowe. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
16 Ważna uwaga o zbiorach rozmytych Jest bardzo ważne, zby zdawać sobie sprawę, że: 1 Teoria zbiorów rozmytych NIE jest alternatywą dla klasycznej teorii mnogości. Jest ona rozszerzeniem klasycznej teorii mnogości, które nie może istnieć niezależnie od niej. Aparat klasycznej teorii mnogości jest niezbędny w definicji zbioru rozmytego. Zatem teoria zbiorów rozmytych nie jest niezależna od teorii mnogości. 2 Teoria zbiorów rozmytych, pomimo pozornych podobieństw, NIE jest w stanie zastąpić wnioskowań probabilistycznych. Fakt, że obie teorie są oparte o wartości w przedziale [0, 1] nie wystarcza. Może być tak, że nie istnieje rozkład prawdopodobieństwa, który opisuje zadaną rodzinę zbiorów rozmytych. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
17 Plan wykładu 1 Wstęp Definicje i własności Operacje na zbiorach rozmytych Reguły lingwistyczne 2 Zbiory i wnioskowania rozmyte Podstawowe operacje raz jeszcze Relacje rozmyte 3 Rozmyte operatory logiczne Implikacja rozmyta Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
18 Reguły lingwistyczne Reguły lingwistyczne (rozmyte) to wyrażenia postaci: IF A 1 AND A 2 AND... AND A k THEN D gdzie warunki A 1,..., A k i decyzja D odpowiadają zbiorom rozmytym. Na przykład: IF pogoda jest dobra AND ruch jest niewielki AND mamy dość paliwa THEN będziemy na lotnisku za około 30 minut. Takie reguły możemy otrzymywać od ekspertów lub wydobywać (uczyć się) z danych eksperymentalnych. Aby ich używać wykorzystująć zbiory rozmyte posłużymy się (logicznymi) operatorami rozmytymi. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
19 Plan wykładu 1 Wstęp Definicje i własności Operacje na zbiorach rozmytych Reguły lingwistyczne 2 Zbiory i wnioskowania rozmyte Podstawowe operacje raz jeszcze Relacje rozmyte 3 Rozmyte operatory logiczne Implikacja rozmyta Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
20 Plan wykładu 1 Wstęp Definicje i własności Operacje na zbiorach rozmytych Reguły lingwistyczne 2 Zbiory i wnioskowania rozmyte Podstawowe operacje raz jeszcze Relacje rozmyte 3 Rozmyte operatory logiczne Implikacja rozmyta Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
21 Operatory rozmyte W przypadku klasycznych zbiorów posługujemy się jednoznacznie określonymi operacjami takimi jak suma, dopełnienie, przecięcie czy różnica symetryczna. W przypadku zbiorów rozmytych możemy definiować takie operacje na (nieskończenie) wiele sposobów. Wynika to z faktu że istnieje wiele: 1 Funkcji spełniających warunki dla T-normy odpowiednik przecięcia. 2 Funkcji spełniających warunki dla T-konormy (S-normy), odpowiednik sumy. 3 Funkcji spełniających warunki dla dopełnienia (negacji). Dalej przedstawimy różne przykłady takich funkcji. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
22 Przecięcie rozmyte T-norma Każda sposród funkcji należących do klasy T-norm może byc wykorzystana jako przecięcie zbiorów rozmytych. Definicja T-norma T-normą nazwiemy każdą funkcję T : [0, 1] 2 [0, 1] spełniającą następujące warunki dla a, b, c, d [0, 1]: Przemienność: T (a, b) = T (b, a); Łączność: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c); Monotoniczność: T (a, b) T (c, d) gdy a c, b d; Tożsamość jedynki: T (a, 1) = a Jak łatwo zauważyć, funkcja T (a, b) = min(a, b) jest prawidłową T-normą. Co więcej, funkcja min(.,.) jest elementem maksymalnym (punktowo) w klasie T-norm. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
23 Rozmyta suma T-konorma (S-norma) Analogicznie, sumę zbiorów rozmytych będziemy definiowali używając pojęcia S-normy (zwanej też T-konormą). Definicja S-norma S-normą (T-konormą) nazwiemy każdą funkcję S : [0, 1] 2 [0, 1] spełniającą następujące warunki dla a, b, c, d [0, 1]: Przemienność: S(a, b) = S(b, a); Łączność: S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c); Monotoniczność: S(a, b) S(c, d) gdy a c, b d; Tożsamość zera: S(a, 0) = a Widzieliśmy już przykłady T-norm i S-norm: T (a, b) = max(0, a + b 1), S(a, b) = min(1, a + b) operatory Łukasiewicza. T (a, b) = ab, S(a, b) = a + b ab operatory produktowe. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
24 Dopełnienie rozmyte Dopełnienie zbioru (negację rozmytą) możemy także zdefiniować dla zbiorów rozmytych na wiele sposobów. Definicja dopełnienie rozmyte (negacja) Operatorem neacji nazwiemy każdą funkcję N : [0, 1] [0, 1] spełniającą następujące warunki dla a, b [0, 1]: Zachowywanie stałych: N(0) = 1;N(1) = 0; Odwracanie porządku: N(a) N(b) gdy b a; Inwolucja: N(N(a)) = a. Jeżeli w powyższej definicji nie jest spełniony warunek inwolucji to mamy do czynienia z tak zwaną negacją intuicjonistyczną. Najcześciej (praktycznie zawsze) używanym przykładem operacji dopełnienia jest µ \A (x) = 1 µ A (x). W dalszej części wykładu będziemy zawsze przyjmować, że posługujemy się właśnie tą operacją negacji. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
25 Dualność T-norm i S-norm Posiadanie operatora negacji pozwala na definiowanie S-normy (T-konormy) dualnej do zadanej T-normy (i vice versa). Definicja S-norma dualna Dla T-normy T : [0, 1] 2 [0, 1] definiujemy S-normę (T-konormę) dualną S, jako: S(a, b) = N(T (N(a), N(b))) W większości przypadków będziemy się posługiwać: S(a, b) = 1 T (1 a, 1 b) W większości przypadków będziemy sie ograniczać do pary min/max. Ważną własnością tej pary operacji jest spełnianie praw rozdzielności: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Ponadto, min (max) są jedynymi idempotentnymi operacjami w klasie T-norm (T-konorm). Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
26 Plan wykładu 1 Wstęp Definicje i własności Operacje na zbiorach rozmytych Reguły lingwistyczne 2 Zbiory i wnioskowania rozmyte Podstawowe operacje raz jeszcze Relacje rozmyte 3 Rozmyte operatory logiczne Implikacja rozmyta Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
27 Relacje rozmyte W zwykłej teorii mnogości relację definiuje się jako podzbiór produktu kartezjańskiego. W przypadku zbiorów rozmytych ta definicja jest analogiczna. Dalej będziemy się zajmować tylko relacjami binarnymi. Ma to na celu uproszczenie notacji, bo wszystkie podane dalej pojęcia przenoszą się na przypadek relacji n-arnych. Definicja - relacja rozmyta Relacją rozmytą określoną na X Y nazwiemy każdy podzbiór rozmyty iloczynu katezjańskiego X Y. Tak określona relacja rozmyta ma wszystkie pożądane własności. Zauważmy jednak, że do jej wprowadzenia nie jest używane pojęcie iloczynu kartezjańskiego zbiorów rozmytych. Powstaje zatem pytanie czym jest taki iloczyn i jak ma się on do wprowadzonego właśnie pojęcia relacji rozmytej. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
28 Iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych Wprowadzimy iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych i pokażemy jak ma się do pojęcia relacji rozmytej. Defincja iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych Niech A, B zbiory rozmyte w przestrzeniach (odpowiednio) X i Y. Iloczynem katezjańskim A B nazwiemy relację R (ozn. R = A B) określoną na X Y przez: W ogólnym (n-arnym) przypadku: µ R (x, y) = min(µ A (x), µ B (y)) µ R (x 1,..., x n ) = min i (µ Ai (x i )), gdzie R = A 1 A 2... A n dla zbiorów rozmytych A 1, A 2,..., A n. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
29 Rozszerzenie cylindryczne i projekcja W pewnych sytuacjach potrzebujemy rozważać własności realcji rozmytych ze względu na poszczególne współrzędne. Służą temu (między innymi) pojęcia rozszerzenia cylindrycznego i projekcji. Definicja Rozszerzenie cylindryczne i projekcja Niech A będzie zbiorem rozmytym w X. Rozszerzeniem cylindrycznym zbioru A na iloczyn kartezjański X Y nazywamy relację rozmytą  = A Y zadaną przez funkcję przynależności: µâ(x, y) = T (µ A (x), µ Y (y)) = T (µ A (x), 1) = µ A (x), gdzie T jest T-normą. Niech R będzie relacją rozmytą określona na X Y. Projekcją R na X (analogicznie na inne współrzędne) nazywamy zbiór rozmyty A w X oznaczany A = P roj x (A) i zadany przez: µ A (x) = max (µ A(x, y)). y Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
30 Plan wykładu 1 Wstęp Definicje i własności Operacje na zbiorach rozmytych Reguły lingwistyczne 2 Zbiory i wnioskowania rozmyte Podstawowe operacje raz jeszcze Relacje rozmyte 3 Rozmyte operatory logiczne Implikacja rozmyta Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
31 Klasyczne vs. rozmyte W przypadku klasycznej teorii mnogości operacje na zbiorach są jednoznacznie związane z operacjami logicznymi na zdaniach. W przypadku zbiorów rozmytych sytuacja jest bardziej złożona choćby ze względu na wiele możliwych sposobów wprowadzenia operacji na zbiorach. Dlatego przy rozpatrywaniu operacji logicznych związanych z pojęciami zbiorów rozmytych przyjmuje się inny sposób określania wartości logicznej dla formuły. W klasycznej logice zdaniowej podstawienie było funkcją v : V AR {0, 1}. Zatem wartościowanie [φ] v dla każdej formuły φ zawsze było równe 0 (fałsz) albo 1 (prawda). W logice rozmytej będziemy przyjmować, że formuła może przyjmować wartość logiczną pomiędzy 0 a 1. Dokładniej, [φ] v [0, 1], czyli możemy mówić o stopniu prawdziwości formuły. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
32 Rozmyte operatory logiczne Operatory logiczne rozmyte nie mogą już być określane za pomocą tabelek (truth table). Są to bowiem funkcje [0, 1] 2 [0, 1] ([0, 1] [0, 1] w przypadku negacji). Używając T-norm i T-konorm możemy w naturalny sposób wprowadzić koniunkcję i alternatywę jako: [φ ψ ] v = T ([φ] v, [ψ ] v ), [φ ψ ] v = S([φ] v, [ψ ] v ) Zwykle będziemy przyjmować, że T-norma T i S-norma S w powyższej definicji są do siebie dualne. Podobnie dla negacji możemy się posłużyć funkcją spełniającą warunki z definicji dopełnienia (negacji). Najczęściej przyjmować będziemy, że: [ φ] v = 1 [φ] v Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
33 Rozmyte operatory logiczne Równoważność określamy za pomocą implikacji i koniunkcji jako: Przyjmując założenie, że [φ ψ ] v = [(φ ψ) (ψ φ)] v [φ] v [ψ ] v [φ ψ ] v = 1, otrzymujemy [φ ψ ] v = 1 lub [ψ φ] v = 1. Dla koniunkcji określonej za pomocą jakiejś T-normy otrzymujemy zatem [φ ψ ] v = min([φ ψ)] v, [ψ φ)] v ) i to niezależnie od wyboru operatora koniunkcji (T-normy). Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
34 Plan wykładu 1 Wstęp Definicje i własności Operacje na zbiorach rozmytych Reguły lingwistyczne 2 Zbiory i wnioskowania rozmyte Podstawowe operacje raz jeszcze Relacje rozmyte 3 Rozmyte operatory logiczne Implikacja rozmyta Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
35 Implikacje rozmyte Pozostaje nam zdefiniować operator implikacji, czyli określić znaczenie dla φ ψ (wartość [φ ψ ] v ) w przypadku rozmytym. Nie jest wielkim zaskoczeniem fakt, że można to zrobić na wiele sposobów. W tabeli poniżej zostały przedstawione najpowszechniej używane operatory implikacji rozmytej: nazwa implikacji [φ ψ ] v Łukasiewicza min(1 { [φ] v + [[ψ ] v, 1) 1 gdy [[φ]v [ψ ] Gödla v { [ψ ] v w p.p. 1 gdy [[φ]v = 0 Goguen a min(1, [[ψ]] v [[φ]] v ) w p.p. Kleene-Dienes a max(1 [φ] v, [ψ ] v ) Zadeha max(1 [φ] v, min([ψ ] v, [φ] v )) Reichenbacha 1 [φ] v + [[ψ ] v [φ] v Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
36 Operatory rozmyte rozmaitości W przypadku operacji rozmytych można, podobnie jak w przypadku klasycznych spójników logicznych, definiować jedne za pomocą innych korzystając z różnych tautologii. Trzeba jednak zachowac przy tym ostrożność, gdyż zależnie od używanej metody możemy uzyskać różne wyniki. I tak na przykład, używając implikacji Łukasiewicza możemy wprowadzić dwie różne operacje alternatywy wykorzystując dwie znane zależności między spójnikami logicznymi. [φ 1 ψ ] v = [ φ ψ ] v = min([φ] v + [[ψ ] v, 1) (1) [φ 2 ψ ] v = [ φ (ψ φ)] v = max([φ] v, [ψ ] v ) (2) W klasycznej logice obie formuły φ ψ i φ (ψ φ) są równoważne alternatywie. W zwykłej logice moglibyśmy wydefiniować implikację za pomocą dowolnej z nich. W przypadku logiki rozmytej i implikacji Łukasiewicza możemy się posłużyć tylko negacją i alternatywą, czyli (1). Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 36
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoTechnologie i systemy oparte na logice rozmytej
Zagadnienia I Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Mają zastosowania w sytuacjach kiedy nie posiadamy wystarczającej wiedzy o modelu matematycznym rządzącym danym zjawiskiem oraz tam gdzie zbudowanie
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA SYSTEMY ROZMYTE Adrian Horzyk Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Katedra Automatyki i Inżynierii Biomedycznej Laboratorium
Bardziej szczegółowoInteligencja obliczeniowa
Ćwiczenie nr 1 Zbiory rozmyte logika rozmyta Tworzenie: termów zmiennej lingwistycznej o różnych kształtach, modyfikatorów, zmiennych o wielu termach; operacje przecięcia, połączenia i dopełnienia 1. Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoSTANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI. METODY HEURYSTYCZNE wykład 6. (alternatywa dla s) (zdef. poprzez klasę s) GAUSSOWSKA F.
METODY HEURYSTYCZNE wykład 6 STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI 2 GAUSSOWSKA F. PRZYNALEŻNOŚCI F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY s środek; a określa szerokość krzywej 3 4 F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY π F. PRZYNALEŻNOŚCI
Bardziej szczegółowoSztuczna inteligencja: zbiory rozmyte
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego lab 1 1 Klasyczna teoria zbiorów 2 Teoria zbiorów rozmytych 3 Zmienne lingwistyczne i funkcje przynależności 4 System rozmyty 5 Preprocesing danych Każdy element
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoLOGIKA STOSOWANA Wykład monograficzny Semestr letni, 2016/2017
LOGIKA STOSOWANA Wykład monograficzny Semestr letni, 2016/2017 Nguyen Hung Son, Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Warszawa, ul.banacha 2 szczuka@mimuw.edu.pl 2 Spis treści 1 Rachunek zdań 5 1.1 Język
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Bardziej szczegółowoSID Wykład 7 Zbiory rozmyte
SID Wykład 7 Zbiory rozmyte Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW slezak@mimuw.edu.pl Wstęp Language Ontological Commitment Epistemological Commitment (What exists in the world) (What an agent
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoSztuczna inteligencja : Zbiory rozmyte cz. III
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego lab 3 Notacja Zadeha: symboliczny zapis zbioru rozmytego dla przestrzeni dyskretnej. Dla X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów X = {x 1, x 2,...,
Bardziej szczegółowoKurs logiki rozmytej. Wojciech Szybisty
Kurs logiki rozmytej Wojciech Szybisty 2009 Spis treści 1 Co to jest logika rozmyta 3 1.1 Podstawy teorii zbiorów rozmytych........................ 3 1.2 Historia.......................................
Bardziej szczegółowoZasada rozszerzania. A U A jest zbiorem rozmytym, B jest obrazem zbioru A Przeniesienie rozmytości A w odwzorowaniu f na zbiór B. sup.
Zasada rozszerzania f U V U jest zbiorem rozmytym V = f( ), jest obrazem zbioru Przeniesienie rozmytości w odwzorowaniu f na zbiór v) = ( v)? ( f ( ) = sup ( u) gdy ( v) 0 1 = 1 u f ( v) f( ) ( v) 1 0
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoJeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów:
Logika rozmyta 2 Zbiór rozmyty może być formalnie zapisany na dwa sposoby w zależności od tego z jakim typem przestrzeni elementów mamy do czynienia: Jeśli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 10. WNIOSKOWANIE W LOGICE ROZMYTEJ Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska WNIOSKOWANIE W LOGICE DWUWARTOŚCIOWEJ W logice
Bardziej szczegółowoProblemy złożone trudno jest analizować precyzyjnie Wiedza eksperta w złożonych przypadkach daje się opisać tylko w sposób nieprecyzyjny, np.
ZBIORY ROZMYTE Problemy złożone trudno jest analizować precyzyjnie Wiedza eksperta w złożonyc przypadkac daje się opisać tylko w sposób nieprecyzyjny, np. W dużym mieście, powinien istnieć regionalny port
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Bardziej szczegółowoZBIORY ROZMYTE I WNIOSKOWANIE PRZYBLIŻONE
SYSTEMY ROZMYTE ZBIORY ROZMYTE I WNIOSKOWANIE PRZYBLIŻONE 2 965 Lotfi A. Zadeh: Fuzzy sets Metoda reprezentacji wiedzy wyrażonej w języku naturalnym: Temperatura wynosi 29 o C informacja liczbowa - naturalna
Bardziej szczegółowoSztuczna inteligencja : Zbiory rozmyte cz. 2
Sztuczna inteligencja : Zbiory rozmyte cz. 2 Przemysław Juszczuk Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 1 marca 2012 Funkcja trójkątna: Funkcja trójkątna: Funkcja przynależności γ (gamma): Rysunek:
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoSchematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Bardziej szczegółowoInżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe. Logika rozmyta. dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska
Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe Logika rozmyta dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska http://torus.uck.pk.edu.pl/~beretam/ beretam@torus.uck.pk.edu.pl 1 Wyostrzanie Ostateczna, ostra wartość
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 10 Rozmyta reprezentacja danych (modelowanie i wnioskowanie rozmyte)
WYKŁAD 10 Rozmyta reprezentacja danych (modelowanie i wnioskowanie rozmyte) Motywacje:! przezwyciężenie wad tradycyjnych algorytmów komputerowych, które zawodzą zwłaszcza w sytuacjach, w których człowiek
Bardziej szczegółowoLogika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.
Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoInterwałowe zbiory rozmyte
Interwałowe zbiory rozmyte 1. Wprowadzenie. Od momentu przedstawienia koncepcji klasycznych zbiorów rozmytych (typu 1), były one krytykowane za postać jaką przybiera funkcja przynależności. W przypadku
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowoZadanie 0 gdy nie mamy logiki rozmytej. Zadanie 1- gdy już mamy logikę rozmytą
Zadanie 0 gdy nie mamy logiki rozmytej Wyobraźmy sobie, że chcemy oceniad czy dana temperatura świadczy o tym, że jest gorąco czy raczej zimno. A więc znając wartośd liczbową temperatury chcemy oceniad
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna
Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowoImplikacje rozmyte. Zbigniew Suraj. Instytut Informatyki Uniwersytet Rzeszowski. Seminarium naukowe Grupy badawczej RSPN, 8 kwietnia 2013, Rzeszów
mlikacje rozmyte Zbigniew uraj nstytut nformatyki Uniwersytet Rzeszowski eminarium naukowe Gruy badawczej RPN, 8 kwietnia 2013, Rzeszów Logika klasyczna arystotelesowska) 1. twierdzenia są albo rawdziwe
Bardziej szczegółowoWstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoRozmyte systemy doradcze
Systemy ekspertowe Rozmyte systemy doradcze Plan. Co to jest myślenie rozmyte? 2. Teoria zbiorów rozmytych. 3. Zmienne lingwistyczne. 4. Reguły rozmyte. 5. Wnioskowanie rozmyte (systemy doradcze). typu
Bardziej szczegółowoINŻYNIERIA WIEDZY I SYSTEMY EKSPERTOWE
Temat: Podstawowe pojęcia z logiki rozmytej Instrukcja do ćwiczeń przedmiotu INŻYNIERIA WIEDZY I SYSTEMY EKSPERTOWE Dr inż. Barbara Mrzygłód KISiM, WIMiIP, AGH mrzyglod@ agh.edu.pl 1 Wprowadzenie Sterowanie
Bardziej szczegółowoWnioskowanie rozmyte. Krzysztof Patan
Wnioskowanie rozmyte Krzysztof Patan Wprowadzenie Informacja precyzyjna jest to jedyna postać informacji akceptowanej przez konwencjonalne metody matematyczne, najczęściej dostarczana jest przez precyzyjne
Bardziej szczegółowoKultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór
Bardziej szczegółowoZadanie 0 gdy nie mamy logiki rozmytej
Zadanie 0 gdy nie mamy logiki rozmytej Wyobraźmy sobie, że chcemy oceniad czy dana temperatura świadczy o tym, że jest gorąco czy raczej zimno. A więc znając wartośd liczbową temperatury chcemy oceniad
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana Ćwiczenia
Logika Stosowana Ćwiczenia Systemy sterowania wykorzystujące zbiory rozmyte Marcin Szczuka Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski Semestr letni 2014/15 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2014/15
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMatematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1 Zasady współpracy https://mat.ug.edu.pl/~matpz/ wykłady nie są obowiązkowe, ale nieobecności będą odnotowywane nieobecności nie należy usprawiedliwiać,
Bardziej szczegółowoRachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Bardziej szczegółowoW narzędziu typu Excel, Calc czy Gnumeric napisz formułę logiczną która wyznaczy wartośd przynależności dla podanej temperatury do zbioru gorąco.
Zadanie 0 Wyobraźmy sobie, że chcemy oceniad czy dana temperatura świadczy o tym, że jest gorąco czy raczej zimno. A więc znając wartośd liczbową temperatury chcemy oceniad wartośd funkcji przynależności
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowodr ANNA NIEWULIS CENTRUM NAUCZANIA MATEMATYKI i KSZTAŁCENIA na ODLEGŁOŚĆ pokój 310
dr ANNA NIEWULIS CENTRUM NAUCZANIA MATEMATYKI i KSZTAŁCENIA na ODLEGŁOŚĆ pokój 310 LITERATURA Praca zbiorowa pod. red. B. Wikieł Matematyka, Podstawy z elementami matematyki wyższej W.Krysicki, L.Włodarski
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoUwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Bardziej szczegółowoLogika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoZagadnienia AI wykład 1
Zagadnienia AI wykład Podręcznik do wykładu: Leszek Rutkowski Metody i techniki sztucznej inteligencji Wydawnictwo Naukowe PWN Prezentacje do wykładu będą sukcesywnie umieszczane na stronie: http://merlin.fic.uni.lodz.pl/mskulimowski/
Bardziej szczegółowoMETODY INTELIGENCJI OBLICZENIOWEJ wykład 6
METODY INTELIGENCJI OBLICZENIOWEJ wykład 6 2 ZBIORY ROZMYTE I WNIOSKOWANIE PRZYBLIŻONE 965 Lotfi A. Zadeh: : Fuzzy sets In almost every case you can build the same product without fuzzy logic, but fuzzy
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoWykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoInżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe. Niepewność wiedzy. dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska
Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe Niepewność wiedzy dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska http://torus.uck.pk.edu.pl/~beretam/ beretam@torus.uck.pk.edu.pl 1 Logika Rozmyta (Fuzzy Logic) Mimo
Bardziej szczegółowoDowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Bardziej szczegółowoUniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych ELEMENTY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Laboratorium nr 6 SYSTEMY ROZMYTE TYPU MAMDANIEGO
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowo4 Klasyczny rachunek zdań
4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo
Bardziej szczegółowoRekurencyjna przeliczalność
Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Bardziej szczegółowoWykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowo