Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej.

Transkrypt

1 Pytania na egzaminie magisterskim dotyczą głównie zagadnień związanych z tematem pracy magisterskiej. Należy być przygotowanym również na pytania sprawdzające podstawową wiedzę ze wszystkich zaliczonych wykładów. Poniżej podane są przykładowe pytania. Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej Definicja liczby pierwszej. Dowód faktu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele Definicja liczby algebraicznej. Dowód istnienia liczb niealgebraicznych Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych Definicja zbioru przeliczalnego i nieprzeliczalnego. Przykłady takich zbiorów Dowód nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych Dowód nieprzeliczalności zbioru liczb niealgebraicznych Definicja liczby niewymiernej. Przykłady liczb niewymiernych Dowód niewymierności liczby Zasada indukcji matematycznej. Przykłady dowodów wykorzystujących zasadę indukcji Rozwinięcia dziesiętne liczb rzeczywistych Podstawowe twierdzenia o ciągach liczbowych (z dowodami) Dowód zupełności zbioru liczb rzeczywistych Udowodnić, że każdy ciąg monotoniczny i ograniczony na prostej rzeczywistej jest zbieżny Kryteria zbieżności szeregów. Przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych.

2 15. - Dowód rozbieżności szeregu harmonicznego Wykazać, że funkcja ciągła określona na odcinku domkniętym jest ograniczona Własnośc Darboux funkcji określonej na odcinku, definicja i zastosowania Przykład funkcji nie mającej własności Darboux. Związek między własnością Darboux i ciągłością funkcji Funkcje jednostajnie ciągłe. Przykłady Definicja pochodnej w punkcie funkcji rzeczywistej. Interpretacja geometryczna i fizyczna Wzór na pochodną funkcji złożonej (z dowodem) Związek między ciągłością i różniczkowalnością funkcji Definicja n tej pochodnej. Przykład funkcji mającej pierwszą i drugą pochodną i niemającej trzeciej pochodnej Twierdzenie Rolle a (z dowodem) Twierdzenie Lagrange a o wartości średniej. Interpretacja geometryczna Twierdzenie Taylora i jego zastosowania Warunki konieczne i wystarczające na istnienie ekstremum lokalnego funkcji rzeczywistej określonej na prostej rzeczywistej Funkcja pierwotna, definicja, podstawowe własności Całka Riemanna. Definicja i podstawowe własności Przykład funkcji rzeczywistej określonej na odcinku domkniętym niecałkowalnej w sensie Riemanna Dowód całkowalności w sensie Riemanna funkcji ciągłych na odcinku domkniętym.

3 32. - Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego Całkowanie przez części Całkowanie przez podstawienie Zastosowania całek oznaczonych do obliczania objętości brył, pól powierzchni i długości krzywych. Topologia Przestrzenie metryczne i ich przykłady. Kula, wnętrze zbioru i zbiór otwarty. Domknięcie i zbiór domknięty Definicja ciągu zbieżnego w przestrzeni metrycznej. Przykłady ciągów zbieżnych i rozbieżnych Podprzestrzeń i iloczyn kartezjański jako przykłady operacji na przestrzeniach metrycznych Definicja ciągłości funkcji w sensie Cauchy ego oraz sformułowania równoważne: w języku ciągów (warunek Heinego) i w języku przeciwobrazów Spójne przestrzenie metryczne. Opis wszystkich spójnych podzbiorów prostej Zwarte przestrzenie metryczne. Twierdzenie Cantora i Twierdzenie Borela-Lebesgue a Własności funkcji ciągłych na przestrzeniach zwartych Charakteryzacja podzbiorów zwartych w R n Charakteryzacja podzbiorów zwartych przestrzeni funkcji ciągłych określonych na odcinku domkniętym. Twierdzenie Arzéli-Ascoliego Przestrzenie zupełne, przykłady. Związek między zwartością i zupełnością Pojęcie przestrzeni topologicznej. Baza topologii. Przykłady przestrzeni topologicznych i niemetrycznych.

4 47. - Ciągłe odwzorowania przestrzeni topologicznych. Homeomorfizmy. Funkcje Wielu Zmiennych Definicja pochodnych cząstkowych. Związek między istnieniem pochodnych cząstkowych i ciągłością funkcji Definicja pochodnej funkcji rzeczywistej wielu zmiennych. Związek miedzy istnieniem pochodnej i ciągłością funkcji Twierdzenie o funkcji odwrotnej Gradient funkcji. Definicja i interpretacja geometryczna Twierdzenie o funkcji uwikłanej. Wzór na pochodną funkcji uwikłanej Warunki konieczne i wystarczające istnienia ekstremum funkcji rzeczywistej dwóch zmiennych Szukanie wartości minimalnej i maksymalnej funkcji rzeczywistej dwóch zmiennych określonej na zbiorze zwartym Ekstrema warunkowe. Mnożniki Lagrange a Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych Całka Riemanna z funkcji ciągłej wielu zmiennych. Definicja i podstawowe własności Miara Jordana zbioru, podstawowe jej własności Miara Jordana i Lebesgue a zbioru liczb wymiernych na odcinku Obliczanie całek n-krotnych. Twierdzenie Fubiniego Jakobian funkcji. Definicja i interpretacja geometryczna Wzór na zamianę zmiennych w całce n-krotnej i jego zastosowania Całka krzywoliniowa zorientowana i niezorientowana. Definicja i interpretacja fizyczna.

5 64. - Pole potencjalne. Kryteria potencjalności pola. Całka krzywoliniowa z pola potencjalnego Wzór Greena i jego zastosowania Całki powierzchniowe zorientowane i niezorientowane. Definicje, podstawowe własności, interpretacja fizyczna Dywergencja pola wektorowego. Definicja i interpretacja fizyczna Całka z dywergencji pola wektorowego. Twierdzenie Gaussa Rotacja pola wektorowego. Wzór Stokesa. Funkcje Zespolone Pochodna funkcji zespolonej. Definicja, interpretacja modułu i argumentu pochodnej Wzory Cauchy ego - Riemanna Związek między istnieniem pochodnej a rozwijalnościa funkcji w szereg potęgowy Całka krzywoliniowa z funkcji zespolonej. Wzór całkowy Cauchy ego Szereg Laurenta. Wzór na współczynniki tego szeregu Residua funkcji zespolonej. Zastosowanie do obliczania całek z funkcji rzeczywistej. Równania Różniczkowe Całkowanie równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych, w różniczce zupełnej, liniowych Twierdzenie Peano o istnieniu rozwiązań zagadnienia Cauchy ego Twierdzenie Picarda- Lindelofa (z dowodem) Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu.

6 80. - Układy równań liniowych. Portrety fazowe układów równań liniowych na płaszczyźnie. Rachunek Prawdopodobieństwa Klasyczna i aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa. Podstawowe własności prawdopodobieństwa Dowód ciągłości prawdopodobieństwa na ciągach zdarzeń wstępujących i zstępujących Pojęcie zm. losowej, wektora losowego, rozkładu, rozkładów brzegowych, parametrów rozkładu- wartość oczekiwana i wariancja, podstawowe własności Podstawowe rozkłady dyskretne i absolutnie ciągłe Nierówność Czebyszewa i jej dowód- przykłady zastosowań Niezależność zmiennych losowych, splot rozkładów. Dowód własności: E(XY ) = EXEY, dla niezależnych zm. losowych X, Y Rozkłady warunkowe, warunkowa wartość oczekiwana - podstawowe w własności, martyngały - przykłady Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych: zbieżność z prawdopodobieństwem jeden, wg prawdopodobieństwa, zb. w L 2, zb.wg rozkładuzwiązki miedzy nimi Mocne i Słabe Prawo Wielkich Liczb ( Chinczyna, Kołmogorowa) Funkcja charakterystyczna rozkładu i jej własności-zwiazek z rozkładem ( tw. Bochnera) Centralne Tw. Graniczne Lindenberga -Levy ego. Przykłady zastosowańaproksymacja rozkłądem normalnym. Analiza Funkcjonalna Przestrzenie Banacha i ich przykłady.

7 93. - Przykłady przestrzeni Hilberta i ich przykłady Przykład przestrzeni Banacha, która nie jest przestrzenią Hilberta Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha Postać funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta Charakteryzacja przestrzeni Banacha nieskończonego wymiaru. Algebra Liniowa Układy równań liniowych, postać kanoniczna Gaussa-Jordana, Twierdzenie Kroneckera-Capelliego Przestrzenie wektorowe (przykłady). Liniowa niezależność wektorów. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej Przekształcenia liniowe i ich macierzowe reprezentacje. Twierdzenie o wymiarze obrazu i jądra przekształcenia liniowego Wielomian charakterystyczny i wartości własne macierzy. Diagonalizacja macierzy Iloczyn skalarny wektorów, suma prosta podprzestrzeni, dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni. Algebra Abstrakcyjna Definicja i przykłady grup. Podgrupy, warstwy i Twierdzenie Lagrange a Homomorfizm grup, grupy ilorazowe i Twierdzenie o Homomorfizmie Pierścienie i ciała (definicje i przykłady). Twierdzenie o klasyfikacji ciał skończonych Ideały w pierścieniach, homomorfizm pierścieni i pierścienie ilorazowe Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach. Pierścienie Euklidesowe i Dziedziny Ideałów Głównych.

8 Ciało liczb zespolonych, grupa pierwiastków z jedynki stopnia n i Zasadnicze Twierdzenie Algebry Ciało liczb algebraicznych, ciało liczb konstruowalnych i Twierdzenie Gaussa (o konstruowalności wielokątów foremnych) Algebry ogólne, kongruencje w algebrach ogólnych i Zasadnicze Twierdzenie o Homomorfizmie.