Paul Erdős i Dowody z Księgi

Transkrypt

1 Paul Erdős i Dowody z Księgi Antoni Kijowski, Michał Król, Krzysztof Kwiatkowski Faculty of Mathematics and Information Science Warsaw University of Technology Warsaw, 9 January 013 (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

2 Dowody z Księgi Dowody z Księgi to ksiażka z dowodami matematycznymi napisana przez Martina Aignera i Guntera M. Zieglera. Jest dedykowana matematykowi Paulowi Erdősowi, który często nawiazywał do Księgi, w której według niego Bóg gromadził najdoskonalsze dowody twierdzeń matematycznych. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January 013 / 1

3 Paul Erdős (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

4 Paul Erdős -Urodzony 6 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 0 września 1996 w Warszawie. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

5 Paul Erdős -Urodzony 6 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 0 września 1996 w Warszawie. -Jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

6 Paul Erdős -Urodzony 6 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 0 września 1996 w Warszawie. -Jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku. -Zrobił doktorat w 1934 w Budapeszcie. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

7 Paul Erdős -Urodzony 6 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 0 września 1996 w Warszawie. -Jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku. -Zrobił doktorat w 1934 w Budapeszcie. -Wykładał na wielu uniwersytetach, miedzy innymi w Menchesterze, Princeton czy Notre Dame. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

8 Paul Erdős -Urodzony 6 Marca 1913 w Budapeszcie, zmarły 0 września 1996 w Warszawie. -Jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku. -Zrobił doktorat w 1934 w Budapeszcie. -Wykładał na wielu uniwersytetach, miedzy innymi w Menchesterze, Princeton czy Notre Dame. -Członek U.S. National Academy of Science oraz UK Royal Society (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

9 Paul Erdős (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

10 Paul Erdős Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

11 Paul Erdős Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki. Głównie zajmował się: (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

12 Paul Erdős Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki. Głównie zajmował się: -teoria liczb (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

13 Paul Erdős Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki. Głównie zajmował się: -teoria liczb -teoria grafów (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

14 Paul Erdős Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki. Głównie zajmował się: -teoria liczb -teoria grafów -kombinatoryka (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

15 Paul Erdős Autor ponad 1500 artykułów z koncepcji matematyki. Głównie zajmował się: -teoria liczb -teoria grafów -kombinatoryka (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

16 Dowody z Księgi W ksiażce można znaleźć 3 dowody twierdzeń z: (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

17 Dowody z Księgi W ksiażce można znaleźć 3 dowody twierdzeń z: Teorii liczb, Geometrii, Analizy, Kombinatoryki oraz Teorii Grafów. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

18 Dowody z Księgi W ksiażce można znaleźć 3 dowody twierdzeń z: Teorii liczb, Geometrii, Analizy, Kombinatoryki oraz Teorii Grafów. Nie sa to wszystkie dowody z Księgi, ale jedynie kilka przykładów wybranych przez autorów, którzy pragnęli, aby była ona dostępna dla każdego, nie tylko dla matematyków. Do zrozumienia tych dowodów wystarczy odrobina algebry liniowej, analizy matematycznej i teorii liczb oraz elementarne pojęcia z matematyki dyskretnej. Erdős sam dołożył wiele sugestii do ksiażki, ale zmarł przed jej publikacja. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

19 Teraz przedstawimy bardzo ciekawy dowód twierdzenia z analizy matematycznej, zaczerpnięty oczywiście z Księgi (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

20 Teraz przedstawimy bardzo ciekawy dowód twierdzenia z analizy matematycznej, zaczerpnięty oczywiście z Księgi Twierdzenie n=1 1 n = π 6 (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

21 Dowód Dowód polega na dwukrotnym obliczeniu (różnymi sposobami) całki podwójnej I = dx dy 1 xy (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

22 Rozwińmy 1 1 xy I = w szereg geometryczny. n 0(xy) n dx dy = n x n dx = 1 1 n + 1 n + 1 = 1 (n + 1) = 1 n n 0 n 0 n y n dy = (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

23 Drugi sposób obliczenia I polega na zamianie zmiennych: obrót o 45 o prowadzi do zmiennych u = y + x, v = y x (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

24 Drugi sposób obliczenia I polega na zamianie zmiennych: obrót o 45 o prowadzi do zmiennych u = y + x, v = y x lub inaczej x = u v, y = u + v (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

25 Podstawiajac nowe zmienne, otrzymujemy 1 xy = 1 u v (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

26 Podstawiajac nowe zmienne, otrzymujemy a zatem 1 xy = 1 u v 1 1 xy = u + v (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

27 Nowy obszar całkowania, jak i funkcja, która należy scałkować, sa symetryczne względem osi u, musimy sięc jedynie obliczyć całkę po górnej połowie obszaru, która dzielimy na dwie części: (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

28 I = 4 0 u 0 u + v dv du + 4 u 0 u + v dv du (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

29 I = 4 0 u 0 u + v dv du + 4 u 0 u + v dv du Korzystajac ze wzoru otrzymujemy dx a + x = 1 a arctan x a + C (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

30 I = ( 1 arctan u u u ( 1 u arctan u u ) du+ ) du (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

31 Pierwsza całkę obliczymy korzystajac z podstawienia: (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

32 Pierwsza całkę obliczymy korzystajac z podstawienia: u = sin θ Przedział 0 u 1 odpowiada wartościom 0 θ π 6 (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

33 Pierwsza całkę obliczymy korzystajac z podstawienia: u = sin θ Przedział 0 u 1 odpowiada wartościom 0 θ π 6 du = cosθdθ u = 1 sin θ = cosθ (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

34 4 0 ( 1 arctan u u u ) du = (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

35 = 4 4 π ( 1 arctan u u u ) du = ( ) 1 sin θ arctan cos θdθ = cosθ cos θ (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

36 = 4 4 π ( 1 arctan u u u ) du = ( ) 1 sin θ arctan cos θdθ = cosθ cos θ = 4 π 6 0 θdθ = 4 1 ( π ) 1 = 6 3 π 6 (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

37 W drugiej całce korzystamy z podstawienia u = cos θ. Granice całkowania 1 u trzeba zmienić na π 6 θ 0 Otrzymujemy du = sin θdθ u = 1 cos θ = sin θ = cos θ sin θ u = (1 cos θ) = sin θ (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

38 W drugiej całce korzystamy z podstawienia u = cos θ. Granice całkowania 1 u trzeba zmienić na π 6 θ 0 Otrzymujemy du = sin θdθ u = 1 cos θ = sin θ = cos θ sin θ u = (1 cos θ) = sin θ ( u ) A zatem 4 1 arctan du = u u 0 ( ) 1 4 arctan sin θ ( ) sin θ cos θ sin θ π 6 4 ( π 6 ) = π 3 6 sin θdθ = 4 π 6 0 θdθ = (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

39 Dodajac obie całki, otrzymujemy: I = 1 π π 3 6 = π 6 (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

40 Dodajac obie całki, otrzymujemy: W ostateczności dostajemy: I = 1 π π 3 6 = π 6 n 1 1 n = π 6 (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

41 Twierdzenie Dla każdej konfiguracji n niewspółliniowych punktów płaszczyzny istnieje linia prosta, która przechodzi przez dokładnie dwa z tych punktów. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

42 Twierdzenie Niech P będzie zbiorem n (n 3) niewspółliniowych punktów płaszczyzny. Wtedy zbiór L wszystkich prostych, które przechodza przez co najmniej dwa punkty zbioru P, zawiera co najmniej n prostych. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

43 Twierdzenie Niech X będzie zbiorem n-elementowym, n 3. Załóżmy, że A 1,...A m sa podzbiorami właściwymi X, takimi, że dla każdego a, b X istnieje dokładnie jeden zbiór A i zawierajacy je. Wówczas m n. (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1

44 To koniec! Dziękujemy za uwagę ;) (Krótki kurs historii matematyki) P. Erdős i Dowody z Księgi Warsaw, 9 January / 1