1. CAŁKI KRZYWOLINIOWE NIEZORIENTOWANE
|
|
- Kazimierz Mazur
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 CAŁKI KRZYWOLINIOWE NIEZORIENTOWANE ŁUKI NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI Def (funcja weorowa jednej zmiennej 3 a Funcją weorową jednej zmiennej nazwam odwzorowanie r : I R lub r : I R gdzie I oznacza przedział na prosej Funcje weorowe będziem zapiswali odpowiednio w posaci r ( ( ( ( lub r ( ( ( ( gdzie I Rs Funcja weorowa jednej zmiennej na płaszczźnie b Mówim że funcja weorowa r jes różnowarościowa na przedziale I gd dla dowolnch I prawdziwa jes impliacja r ( r ( Funcja r jes loalnie różnowarościowa na przedziale I jeżeli ażd pun ego przedziału ma ooczenie na órm funcja r jes różnowarościowa Rs Funcja weorowa jednej zmiennej w przesrzeni c Jeżeli funcje lub z są ciągłe na przedziale I o mówim że funcja weorowa r jes ciągła na I d Podobnie jeżeli funcje lub z są różniczowalne w sposób ciągł na I o mówim że funcja weorowa r jes różniczowalna w sposób ciągł na I Pochodną funcji weorowej r oreślam wzorem: def def / / / / / / / r ( ( ( r ( ( ( z ( ( lub ( Rs 3 Pochodna funcji weorowej
2 Def (łui na płaszczźnie a Niech funcja r :[ α β ] R nazwam zbiór: będzie ciągła i różnowarościowa na przedziale [αβ] Łuiem zwłm na płaszczźnie { ( : [ α β ]} r Rs 4 Łu zwł na płaszczźnie b Niech funcja r : I R gdzie I oznacza dowoln odcine półprosą lub prosą (z ońcem lub nie będzie ciągła i loalnie różnowarościowa na I Łuiem na płaszczźnie nazwam zbiór: r ( : I { } c Jeżeli dla łuu { ( : [ α β ]} Rs 5 Łu na płaszczźnie r spełniona jes równość r ( α r( β o mówim że łu en jes zamnię W przeciwnm przpadu mówim że łu jes niezamnię Rs 6 Łu zamnię na płaszczźnie d Jeżeli funcja r w definicji łuu zwłego jes różniczowalna w sposób ciągł na [αβ] oraz dla ażdego [αβ] spełnion jes warune: r ( O o mówim że łu en jes gładi Mówim że łu jes awałami gładi jeżeli można go podzielić na sończoną liczbę łuów gładich Rs 7 Łu awałami gładi na płaszczźnie
3 Uwaga Podobnie definiuje się łui analogicznch rodzajów w przesrzeni Funcję weorową r lub funcje z opisujące łu nazwam jego paramerzacją Obrazowo łu zwł można przedsawić jao powginan odcine ma płaszczźnie lub w przesrzeni Wginan odcine można wdłużać lub sracać ale nie wolno go rozrwać ani slejać Fa 3 (o przedsawianiu łuów na płaszczźnie i w przesrzeni Łuami na płaszczźnie są wres funcji ciągłch posaci: : ( a b : ( c d Łuami w przesrzeni są części wspólne ciągłch powierzchni walcowch: 3 ] [ ( ( : b a z z 4 ] [ ( ( : d c z z 5 ] [ ( ( : q p z z z Jeżeli funcje z mają ciągłe pierwsze pochodne o łui są gładie Rs 8 Łu jes wresem funcji ( gdzie [ab] Rs 9 Łu jes wspólną częścią powierzchni walcowch ( oraz z gdzie [ab] Fa 4 (paramerzacje ważniejszch łuów na płaszczźnie i w przesrzeni Odcine AB o ońcach A ( B ( ma przedsawienie paramerczne: [] ( ( Orąg o środu w puncie S ( i promieniu R > ma przedsawienie paramerczne: ] [ sin cos π R R
4 3 Elipsa o środu w puncie S ( i półosiach a > b > ma przedsawienie paramerczne: ] [ sin cos π b a 4 Odcine AB o ońcach A ( z B ( z ma przedsawienie paramerczne: [] ( ( ( z z z z 5 Linia śrubowa o sou h > nawinięa na walec ( ( R gdzie R > ma przedsawienie paramerczne: R h z R R π sin cos Jeden zwój linii śrubowej orzmam gd [π] Uwaga Równania fragmenów łuów oreślonch wżej orzmam zmniejszając odpowiednio zares zmienności parameru Na rsunach srzałą zaznaczono ierune przebiegu łuów prz wzroście parameru Def 5 (długość łuu Długością łuu nazwam res górn długości łamanch wpisanch w en łu; : sup n i i i i N n def P P P Rs Długość łuu
5 Tw 6 (długość łuu Niech {(( ( : α β} będzie łuiem gładim na płaszczźnie Wed długość ego łuu wraża się wzorem: β / / [ ] [ ( ] ( d α Podobnie niech {(( ( : α β} będzie łuiem gładim w przesrzeni Wed długość ego łuu wraża się wzorem: β / / / [ ] [ ( ] [ z ( ] ( d α Uwaga Jeżeli łu jes wresem funcji ( a b o jego długość wraża się wzorem: b / [ ( ] a d DEFINICJE I WŁASNOŚCI CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH Oznaczenia w definicji całi rzwoliniowej niezorienowanej Niech {(( ( : [αβ]} będzie łuiem gładim na płaszczźnie Wprowadzam nasępujące oznaczenia: P { n} gdzie α < < < n β podział odcina [αβ] na n N odcinów; - długość -ego odcina podziału P n; δ(p ma{ : n } średnica podziału P; Ξ { n } gdzie [ ] dla n zbiór punów pośrednich podziału P A (( ( pun podziału łuu induowane przez podział P n; A ( ( ( pun pośrednie na łuu A -A induowane przez wbór punów pośrednich podziału P ( n; l długość łuu A -A n Rs Podział odcina [αβ] i podział łuu induowan przez podział ego odcina Def (cała rzwoliniowa niezorienowana Niech f będzie funcją dwóch zmiennch oreśloną i ograniczoną na łuu gładim Całę rzwoliniową niezorienowaną z funcji f po łuu definiujem wzorem: def n f ( dl lim δ ( P f ( l o ile granica po prawej sronie znau równości nie zależ od sposobu podziału P odcina [αβ] ani od sposobu wboru punów pośrednich Ξ Uwaga Warość całi rzwoliniowej nie zależ od wbranej paramerzacji łuu Całę rzwoliniową niezorienowaną z funcji rzech zmiennch po łuu położonm w przesrzeni definiujem analogicznie Całę rzwoliniową niezorienowaną na płaszczźnie ja i w przesrzeni oznaczam róo smbolem f dl
6 Rs Ilusracja do definicji całi rzwoliniowej niezorienowanej Def (cała rzwoliniowa po łuu awałami gładim Niech będzie łuiem awałami gładim złożonm z łuów gładich m oraz niech f będzie funcją oreśloną i ograniczoną na łuu Całę rzwoliniową niezorienowaną z funcji f po łuu definiujem wzorem: def f dl o ile całi po prawej sronie znau równości isnieją f dl f dl m f dl Tw 3 (liniowość całi rzwoliniowej niezorienowanej Jeżeli isnieją całi rzwoliniowe niezorienowane z funcji f i g po awałami gładim łuu i c R o: a isnieje cała rzwoliniowa niezorienowana z funcji f g po łuu oraz ( f g dl f dl gdl b isnieje cała rzwoliniowa niezorienowana z funcji cf po łuu oraz cf dl c f dl ( Def 4 (cała rzwoliniowa niezorienowana z funcji weorowej Niech będzie łuiem awałami gładim na płaszczźnie oraz niech funcje P i Q będą całowalne na Całę rzwoliniową niezorienowaną po łuu z funcji weorowej F ( c ( P( Q( oreślam wzorem: def F( dl P( dl Q( dl Uwaga Podobnie oreśla się całę rzwoliniową niezorienowaną z funcji weorowej F ( c ( P( Q( R( po łuu położonm na płaszczźnie O oraz całę rzwoliniową niezorienowaną z funcji weorowej F ( c P( Q( R( po łuu położonm w przesrzeni ( 3 ZAMIANA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ POJEDYNCZĄ Tw 3 (o zamianie całi rzwoliniowej niezorienowanej na całę pojednczą a Jeżeli łu {(( ( : [αβ]} jes gładi i niezamnię funcja f jes ciągła na łuu o β / / f dl f ( ( ( [ ( ] [ ( ] ( d b Podobnie jeżeli łu {(( ( : [αβ]} jes gładi i niezamnię funcja f jes ciągła na łuu o α β / / / f dl f ( ( ( [ ( ] [ ( ] [ z ( ] ( d Uwaga W zapisie weorowm powższe wzor przjmują jednolią posać β f ( r dl f r ( r / ( d α α (
7 Jeżeli funcja f jes ciągła na łuu gładim opisanm równaniem ( gdzie a b o b / f dl f ( ( [ ( ] ( d a 4 ZASTOSOWANIA CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH Fa 4 (zasosowania w geomerii Długość łuu na płaszczźnie lub w przesrzeni wraża się wzorem: dl Niech oznacza powierzchnię boczną walca o worzącch przechodzącch przez łu R Tworzące walca są równoległe do osi Oz i w puncie ( mają długość f( Wed pole powierzchni wraża się wzorem: f ( dl Fa 4 (zasosowania w fizce Masa łuu maerialnego R o gęsości liniowej mas λ wraża się wzorem: M λ ( dl Momen saczne względem osi uładu łuu maerialnego R o gęsości liniowej mas λ wrażają się wzorami: MS ( dl MS λ ( dl λ 3 Współrzędne środa mas łuu maerialnego R o gęsości liniowej mas λ wrażają się wzorami: MS C M MS C M
8 4 Masa łuu maerialnego R 3 o gęsości liniowej mas λ wraża się wzorem: M λ ( dl 5 Momen saczne względem płaszczzn uładu współrzędnch łuu maerialnego R 3 o gęsości liniowej mas λ wrażają się wzorami: MS z ( dl MS z ( dl MS z λ ( dl λ λ 6 Współrzędne środa mas łuu maerialnego R 3 o gęsości liniowej mas λ wrażają się wzorami: MS z C M MS MS z C M z C M 7 Momen bezwładności względem osi lub począu uładu współrzędnch łuu maerialnego R 3 o gęsości liniowej mas λ wrażają się wzorami: I z λ ( dl ( ( z I λ ( dl ( z I z λ ( dl ( z I λ ( dl 8 Naężenie pola elercznego induowane w puncie r przez ładune elerczn o gęsości liniowej ładunu λ rozłożon na łuu R (R 3 wraża się wzorem: E ( r r λ( r dl 3 4πε r r gdzie r ( ( r ( a ε oznacza sałą dielerczną próżni 9 Siła przciągania grawiacjnego mas m supionej w puncie r przez łu maerialn R (R 3 o gęsości liniowej mas λ wraża się wzorem: ( r r λ( r dl F Gm 3 r r gdzie r ( ( r ( a G oznacza sałą grawiacji
9 Energia ineczna łuu maerialnego R 3 o gęsości liniowej mas λ podczas obrou woół osi O z prędością ąową ω wraża się wzorem: ω I ω E ( z λ( dl Uwaga Wzór na naężenie pola grawiacjnego jes analogiczn do wzoru na naężenie pola elercznego Taże wzór na siłę przciągania pochodzącą od ładunów elercznch jes analogiczn do wzoru na siłę przciągania grawiacjnego Fa 43 (środi mas łuów smercznch Jeżeli łu maerialn ma środe smerii i gęsość liniowa mas jes funcją smerczną względem ego środa (np jes sała o środe mas łu porwa się z jego środiem smerii Jeżeli łu maerialn ma oś lub płaszczznę smerii i gęsość liniowa mas jes funcją smerczną odpowiednio względem ej osi lub płaszczzn (np jes sała o środe mas łuu leż na ej osi lub na płaszczźnie smerii CAŁKI KRZYWOLINIOWE ZORIENTOWANE DEFINICJE I WŁASNOŚCI CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH ZORIENTOWANYCH Def (pole weorowe na płaszczźnie i w przesrzeni a Niech D będzie obszarem na płaszczźnie Polem weorowm na D nazwam funcję weorową F : D R gdzie F ( P( Q( dla ( D ( Rs Pole weorowe na płaszczźnie Rs Pole weorowe w przesrzeni
10 3 b Niech V będzie obszarem w przesrzeni Polem weorowm na V nazwam funcję weorową F : D R gdzie F ( P( Q( R( dla ( V ( c Jeżeli funcje P Q lub P Q R są ciągłe odpowiednio na obszarach D lub V o mówim że pole weorowe F jes ciągłe na ch obszarach d Podobnie jeżeli funcje P Q lub P Q R mają ciągłe wszsie pochodne cząsowe pierwszego rzędu odpowiednio na obszarach D lub V o mówim że pole weorowe F jes różniczowalne w sposób ciągł na ch obszarach Uwaga Będziem aże pisali róo F( r ( P( r Q( r r ( gdzie r ( gdzie lub F( r ( P( r Q( r R( r Def (łu zorienowan Łu zwł niezamnię na órm usalono począe i oniec (ierune nazwam łuiem zorienowanm Łu zorienowan oznaczam m samm smbolem co łu Łu o orienacji przeciwnej do orienacji łuu oznaczam przez Jeżeli ze wzrosem parameru łuu zorienowanego poruszam się po nim w ierunu orienacji o mówim że paramerzacja łuu jes zgodna z jego orienacją Rs 3 Łu zorienowan Rs 4 Łu - o orienacji przeciwnej do łuu zorienowanego ( Oznaczenia w definicji całi rzwoliniowej zorienowanej Niech będzie łuiem zorienowanm na płaszczźnie opisanm równaniem paramercznm r r ( [ α β ] gdzie r ( oraz r ( ( ( ( Załadam prz m że orienacja łuu jes zgodna z jego paramerzacją Wprowadzam nasępujące oznaczenia: P { n} gdzie α < < < n β podział odcina [αβ] na n N odcinów; - długość -ego odcina podziału P n; δ(p ma{ : n } średnica podziału P; Ξ { n } gdzie [ ] dla n zbiór punów pośrednich podziału P A r pun podziału łuu induowane przez podział P n (A jes począiem a A n ońcem łuu zorienowanego ; r r ( ( ( ( ( pun pośrednie na łuu A -A induowane przez wbór punów pośrednich podziału P n; r r ( r ( ( gdzie ( ( ( ( n Rs 5 Podział odcina [αβ] i podział łuu zorienowanego induowan przez en podział
11 Def 3 (cała rzwoliniowa zorienowana Niech F ( P Q będzie polem weorowm oreślonm na łuu zorienowanm R Całę rzwoliniową zorienowaną z pola weorowego F po łuu definiujem wzorem: def P( d Q( d lim δ ( P n ( P( Q( o ile granica po prawej sronie znau równości isnieje oraz nie zależ od sposobu podziału P przedziału [αβ] ani od sposobu wboru punów pośrednich Ξ Powższą całę oznaczam róo przez Pd Q d Uwaga Całę rzwoliniową zorienowaną z pola weorowego F ( P Q R po łuu położonm w przesrzeni definiujem analogicznie i oznaczam smbolem: P ( d Q( d R( dz lub róo P d Q d R dz W zapisie weorowm definicja całi rzwoliniowej zorienowanej z pola weorowego F ( P Q lub pola weorowego F ( P Q R po łuu zorienowanm położonm odpowiednio na płaszczźnie lub w przesrzeni przjmuje jednolią formę: def n F( r dr lim F( r r δ ( P gdzie dr def ( d d lub dr def ( d d dz Całę rzwoliniową z pola weorowego F po łuu oznaczam eż róo smbolem F dr Rs 6 Ilusracja do definicji całi rzwoliniowej zorienowanej w formie weorowej Def 4 (cała rzwoliniowa po sumie łuów zorienowanch Niech łu zorienowan będzie sumą łuów niezamnięch zorienowanch m prz czm oniec łuu jes począiem łuu m Ponado niech F będzie polem weorowm oreślonm na łuu Całę rzwoliniową zorienowaną z pola F po łuu oreślam wzorem: def F dr F dr F dr F dr o ile całi po prawej sronie znau równości isnieją Uwaga Jeżeli łu zorienowan na płaszczźnie jes zamnię o wed piszem w miejsce m Rs 7 Ilusracje do definicji całi rzwoliniowej zorienowanej po sumie łuów Tw 5 (liniowość całi rzwoliniowej zorienowanej Jeżeli isnieją całi rzwoliniowe z pól weorowch F i G po awałami gładim łuu zorienowanm oraz jeżeli c jes sałą dowolną o:
12 a isnieje cała rzwoliniowa z pola weorowego F G po łuu oraz F G dr F dr G dr ( b isnieje cała z pola weorowego cf po łuu oraz cf dr c F dr ( c isnieje cała rzwoliniowa z pola weorowego F po łuu o orienacji przeciwnej oraz F dr F dr Tw 6 (zależność międz całami rzwoliniowmi Niech pole weorowe F ( P Q będzie ciągłe na łuu gładim Wed [ P( cos ( Q( cos ( ] P( d Q( d α β dl gdzie α( oznacza ą międz weorem scznm do łuu w puncie ( a dodanią częścią osi O naomias β( oznacza ą międz m samm weorem i dodanią częścią osi O Załadam prz m że zwro weora scznego jes zgodn z orienacją łuu Uwaga Prawdziwa jes aże analogiczna równość dla całe rzwoliniowch po łuu położonm w przesrzeni Równości e nieórz auorz przjmują jao definicję całi rzwoliniowej zorienowanej Rs 8 Ilusracja do wierdzenia o zależności międz dwoma rodzajami całe rzwoliniowch ZAMIANA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ ZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ POJEDYNCZĄ Tw (o zamianie całi rzwoliniowej na całę pojednczą a Jeżeli łu {(( ( : [αβ]} jes niezamnię i gładi orienacja łuu jes zgodna z jego polarzacją 3 pole weorowe F ( P Q jes ciągłe na o β / / [ P( ( ( ( Q( ( ( ( ] P ( d Q( d d b Podobnie jeżeli łu {(( ( : [αβ]}jes niezamnię i gładi orienacja łuu jes zgodna z jego polarzacją 3 pole weorowe F ( P Q R jes ciągłe na o P( d Q( d Q( dz α β / / / [ P( ( ( ( Q( ( ( ( R( ( ( z ( ] α Uwaga Powższe wzor w formie weorowej przjmują jednolią posać: β F ( r dr F r ( r / ( d [ ( ] α r r ( jes paramerzacją łuu oraz / ( / / r ( ( ( / / / / lub r ( ( ( ( z ( gdzie d
13 Jeżeli pole weorowe F ( P Q jes ciągłe na łuu gładim opisanm równaniem ( gdzie a b i orienacja łuu jes zgodna ze wzrosem zmiennej o b / [ P( ( Q( ( ( ] P ( d Q( d d a 3 NIEZALEŻNOŚĆ CAŁKI OD DROGI CAŁKOWANIA Def 3 (pole poencjalne poencjał pola Pole weorowe F oreślone na obszarze D nazwam polem poencjalnm gd isnieje funcja U: D R aa że F gradu Funcję U nazwam poencjałem pola weorowego F Uwaga Dla pola weorowego na płaszczźnie F ( P Q powższ warune ma posać U U P Q Podobnie dla pola weorowego w przesrzeni F ( P Q R mam U U U P Q R Tw 3 (cała rzwoliniowa z pola poencjalnego a Niech pole weorowe F ( P Q będzie ciągłe na obszarze D R pole weorowe F będzie poencjalne na obszarze D z poencjałem U Wed AB ( P( d Q( d U ( U ( U ( gdzie AB jes dowolnm zorienowanm awałami gładim łuiem o począu w puncie A ( i ońcu w puncie B ( całowicie zawarm w obszarze D b Podobnie niech pole weorowe F ( P Q R będzie ciągłe na obszarze V R 3 ( pole weorowe F będzie poencjalne na obszarze V z poencjałem U Wed ( z P( d Q( d R( dz U ( U ( z U ( z ( z AB gdzie AB jes dowolnm zorienowanm awałami gładim łuiem o począu w puncie A ( z i ońcu w puncie B ( z całowicie zawarm w obszarze V Uwaga W formie weorowej powższe wzor przjmują jednolią posać: B grad U dr U ( r U ( B U ( A A AB Inaczej mówiąc cała zorienowana w polu poencjalnm nie zależ od drogi całowania i jes równa różnic poencjałów w punach ońcowm i począowm drogi całowania W szczególności w polu poencjalnm F mam F dr gdzie jes dowolnm łuiem zamnięm zawarm w rozważanm obszarze Tw 33 (warune onieczn i wsarczając poencjalności pola a Niech obszar D R będzie wpuł pole weorowe F ( P Q będzie różniczowalne w sposób ciągł na D Wówczas pole weorowe F jes poencjalne na D wed i lo wed gd P Q ( ( dla ażdego punu ( D b Niech obszar V R 3 będzie wpuł
14 pole weorowe F ( P Q R będzie różniczowalne w sposób ciągł na V Wówczas pole weorowe F jes poencjalne na V wed i lo wed gd P Q P R Q R ( ( ( ( ( ( dla ażdego punu ( V Uwaga Zamias wpułości obszarów D i V można założć że są one obszarami jednospójnmi odpowiednio na płaszczźnie lub w przesrzeni Def 34 (roacja pola weorowego Niech pole weorowe F ( P Q R będzie różniczowalne w sposób ciągł na obszarze V R 3 Roacją pola weorowego F nazwam pole weorowe oreślone wzorem: i j R Q P R Q P F def i ro j P Q R Fa 35 (rerium poencjalności pola weorowego Pole weorowe F ( P Q R na obszarze V R 3 jes poencjalne wed i lo wed gd ro F 4 TWIERDZENIE GREENA Def 4 (zna orienacji Niech będzie awałami gładim łuiem zamnięm (bez samoprzecięć na płaszczźnie zn rzwą Jordana Mówim że orienacja łuu jes dodania względem swego wnęrza D gd podczas ruchu łuu w ierunu jego orienacji obszar D leż cał czas po lewej sronie łuu W przeciwnm przpadu mówim że orienacja łuu jes ujemna Rs 4 Łu jes zorienowan dodanio względem obszaru D Rs 4 Łu jes zorienowan ujemnie względem obszaru D Tw 4 (wzór Greena Niech obszar domnię D R będzie normaln względem obu osi uład brzeg obszaru D będzie zorienowan dodanio 3 pole weorowe F ( P Q będzie różniczowalne w sposób ciągł na D Wed Q P P d Qd dd D Uwaga Wzór Greena jes prawdziw aże dla obszaru D ór można podzielić na sończoną liczbę obszarów normalnch (względem obu osi Def 43 (crulacja pola weorowego Crulacją pola weorowego F po łuu zamnięm zorienowanm nazwam całę rzwoliniową zorienowaną F dr
15 5 ZASTOSOWANIA CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH ZORIENTOWANYCH Fa 5 (zasosowania w geomerii Pole obszaru D R ograniczonego łuiem zamnięm awałami gładim dodanio zorienowanm względem obszaru D wraża się wzorami: D d d d d Fa 5 (zasosowania w fizce Praca w polu weorowm F wonana wzdłuż łuu zorienowanego od punu począowego do ońcowego wraża się wzorem: W F dr Ilość płasiej (umownej ciecz przepłwającej w jednosce czasu przez łu zorienowan wraża się wzorem: A Q( d P( d gdzie v ( ( P( Q( oznacza prędość przepłwu ciecz w puncie ( ego łuu 3 CAŁKI POWIERZCHNIOWE NIEZORIENTOWANE 3 PŁATY POWIERZCHNIOWE Def 3 (funcja weorowa dwóch zmiennch w przesrzeni a Niech D będzie obszarem na płaszczźnie Funcją weorową dwóch zmiennch w przesrzeni nazwam odwzorowanie 3 r : D R Funcję aą będziem zapiswać w posaci r ( ( ( gdzie ( D ( 3 Rs 3 Funcja weorowa r : D R
16 3 b Mówim że funcja weorowa r : D R jes różnowarościowa gd dla dowolnch punów (u v (u v D prawdziwa jes impliacja ( u v ( u v r ( u v r ( u v 3 c Mówim że funcja weorowa r : D R jes ciągła gd funcje z są ciągłe na D 3 d Mówim że funcja weorowa r : D R jes różniczowalna w sposób ciągł gd funcje z mają ciągłe wszsie pochodne cząsowe pierwszego rzędu na obszarze D Def 3 (pła powierzchniow 3 Niech D będzie prosoąem na płaszczźnie oraz niech funcja weorowa r : D R gdzie r ( ( ( ( dla ( D będzie ciągła i różnowarościowa na prosoącie D Płaem powierzchniowm nazwam zbiór warości funcji weorowej r j zbiór: { r ( : ( D} Zbiór w przesrzeni ai że ażd jego pun ma ooczenie domnięe óre jes płaem prosm nazwam płaem powierzchniowm Uwaga Funcję weorową r lub uład funcji z nazwam paramerzacją płaa Pła pros można wobrazić sobie jao powginan w przesrzeni prosoą Prz m przeszałcaniu prosoąa nie można rozrwać ani slejać Rs 3 Zbiór nie jes płaem powierzchniowm Rs 33 Zbiór jes płaem powierzchniowm Def 33 (pła powierzchniow gładi Pła powierzchniow { r ( : ( D} gdzie D jes obszarem domnięm z brzegiem awałami gładim a funcja weorowa r ( ( ( ( jes różnowarościowa i różniczowalna w sposób ciągł na obszarze D nazwam płaem gładim gd na obszarze D spełnion jes warune r r u gdzie r r oraz u u u u Pła ór można podzielić na sończoną liczbę płaów gładich nazwam płaem awałami gładim Rs 34 Pła powierzchniow gładi Rs 35 Pła powierzchniow awałami gładi Fa 34 (równania paramerczne ważniejszch płaów powierzchniowch Płaszczzna przechodząca przez pun r ( z i rozpięa na weorach a ( z b ( z przedsawienie paramerczne: ma
17 u v : u u u R v R z z uz vz W formie weorowej paramerzacja płaszczzn ma posać: { r r ua vb u R v R : Sfera o środu w począu uładu współrzędnch i promieniu r > ma przedsawienie paramerczne: r cos u cos v π π : r sin u cos v u [π ] v z r sin v 3 Powierzchnia soża oreślona równaniem z gdzie v cos u : v sin u u [ π ] v [ r ] z v r ma przedsawienie paramerczne: 4 Powierzchnia paraboloid obroowej oreślona równaniem z ( gdzie paramerczne: v cos u : v sin u u [ π ] v [ r ] z v 5 Powierzchnia walcowa opisana równaniem r gdzie z H ma przedsawienie paramerczne: r cos u : r sin u u [ π ] v [ H ] z v r ma przedsawienie
18 Uwaga Równania fragmenów ch płaów powierzchniowch orzmam zmniejszając odpowiednio zares paramerów v Fa 35 (o posaci płaów powierzchniowch Płaami powierzchniowmi są wres funcji ciągłch posaci: z ; ( D gdzie D jes obszarem na płaszczźnie O ( ; ( D gdzie D jes obszarem na płaszczźnie Oz 3 ( ; ( D3 gdzie D 3 jes obszarem na płaszczźnie Oz Jeżeli funcje e mają ciągłe pochodne cząsowe pierwszego rzędu na rozważanch obszarach o e pła powierzchniowe są gładie Uwaga Równania ważniejszch płaów powierzchniowch óre są wresami funcji posaci z f( podane są w części Analiza maemaczna w facie 35 Tw 36 (pole płaa powierzchniowego Niech { r( : ( D} będzie gładim płaem powierzchniowm Wed pole ego płaa wraża się wzorem: r r dudv u Uwaga Jeżeli pła gładi jes wresem funcji z gdzie ( D o jego pole wraża się wzorem: dd D Analogicznie wglądają wzor na pola płaów gładich będącch wresami funcji ( oraz ( D 3 DEFINICJA I WŁASNOŚCI CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ Oznaczenia w definicji całi powierzchniowej niezorienowanej Niech { r( : ( D} będzie gładim płaem powierzchniowm załadam prz m że D jes domnięm obszarem regularnm na płaszczźnie Wprowadzam nasępujące oznaczenia: P { D D D n} podział obszaru D na obszar regularne D (o rozłącznch wnęrzach n; d średnica obszaru D j res górn odległości punów zbioru D n; δ(p ma{d : n } średnica podziału P; Ξ {( u v ( u v ( u n v n } gdzie ( u v D dla n zbiór punów pośrednich podziału P część płaa odpowiadająca obszarowi D w podanej wżej paramerzacji r n; pole płaa n; ( z pun płaa odpowiadając punowi ( u v D w podanej paramerzacji r n Rs 3 Ilusracja do definicji całi powierzchniowej niezorienowanej
19 Def 3 (cała powierzchniowa niezorienowana Niech będzie płaem powierzchniowm gładim oraz niech funcja niezorienowaną z funcji f po płacie definiujem wzorem: f ( ds lim δ ( P def n f f : R będzie ograniczona Całę powierzchniową ( z o ile granica po prawej sronie znau równości isnieje oraz nie zależ od sposobu podziału P obszaru D ani od sposobu wboru punów pośrednich Ξ Uwaga Warość całi powierzchniowej niezorienowanej nie zależ od sposobu paramerzacji płaa Całę powierzchniową niezorienowaną z funcji f po płacie oznaczam róo smbolem f ds Def 3 (cała powierzchniowa po płacie awałami gładim Niech będzie płaem awałami gładim złożonm z płaów gładich m oraz niech f będzie funcją oreśloną i ograniczoną na płacie Całę powierzchniową niezorienowaną z funcji f po płacie definiujem wzorem:; f ds o ile całi po prawej sronie znau równości isnieją def f ds f ds m f ds Tw 33 (liniowość całi powierzchniowej niezorienowanej Jeżeli funcje f i g są całowalne na awałami gładim płacie powierzchniowm oraz jeżeli c jes dowolną sałą o: a funcja f g jes całowalna na płacie oraz ( f g ds f ds g ds b funcja cf jes całowalna na płacie oraz ( cf ds c f ds Def 34 (cała powierzchniowa niezorienowana z funcji weorowej Niech będzie awałami gładim płaem powierzchniowm oraz niech funcje P Q R będą całowalne na Całę powierzchniową niezorienowaną po płacie z funcji weorowej F ( P Q R oreślam wzorem: def F ds P ds Q ds R ds 33 ZAMIANA CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ PODWÓJNĄ Tw 33 (o zamianie całi powierzchniowej na całę podwójną Jeżeli obszar D R jes regularn pła { r( : ( D} jes gładi 3 funcja f : R jes ciągła o r r f ( ds f ( r ( du dv u D Uwaga Jeżeli pła gładi jes wresem funcji z gdzie ( D oraz funcja f jes ciągła na o wzór na zamianę całe przjmuje posać: f ( ds f ( ( ( d d D Analogiczne wzor orzmujem w przpadu płaów powierzchniowch opisanch równaniami ( lub ( 34 ZASTOSOWANIA CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH Fa 34 (zasosowania w geomerii Pole awałami gładiego płaa wraża się wzorem: ds
20 Fa 34 (zasosowania w fizce Masa płaa maerialnego o gęsości powierzchniowej mas σ wraża się wzorem: M σ ( ds Momen saczne względem płaszczzn uładu współrzędnch płaa maerialnego o gęsości powierzchniowej mas σ wrażają się wzorami: MS z σ ( ds MS z σ ( ds MS zσ ( ds 3 Współrzędne środa mas płaa o gęsości powierzchniowej mas σ wrażają się wzorami: MS z C M MS MS z C M z C M 4 Momen bezwładności względem osi oraz względem począu uładu współrzędnch płaa maerialnego o gęsości powierzchniowej mas σ wrażają się wzorami: I z σ ( ds ( ( z I σ ( ds ( I z σ ( ds ( z I σ ( ds
21 5 Naężenie pola elercznego w puncie r pochodzące od ładunu elercznego rozłożonego na płacie o gęsości powierzchniowej ładunu σ wraża się wzorem: gdzie ε oznacza sałą dielerczną próżni ( r r σ ( r ds 4 πε r r E 3 6 Siła przciągania grawiacjnego mas m supionej w puncie r przez pła maerialn o gęsości powierzchniowej mas σ wraża się wzorem: gdzie G oznacza sałą grawiacji ( r r σ ( r F Gm ds 3 r r Fa 343 (środi mas płaów smercznch Jeżeli pła powierzchniow ma środe smerii i gęsość powierzchniowa mas jes funcją smerczną względem ego środa (np jes sała o środe mas płaa porwa się z jego środiem smerii Jeżeli pła powierzchniow ma oś lub płaszczznę smerii i gęsość powierzchniowa mas jes funcją smerczną względem ej osi lub płaszczzn (np jes sała o środe mas ego płaa leż na jego osi lub płaszczźnie smerii 4 CAŁKI POWIERZCHNIOWE ZORIENTOWANE I ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ 4 DEFINICJA I WŁASNOŚCI CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ ZORIENTOWANEJ Def 4 (pła powierzchniow zorienowan Pła powierzchniow dwusronn na órm wróżniono jedną ze sron nazwam płaem powierzchniowm zorienowanm Wróżnioną sronę płaa zorienowanego nazwam sroną dodanią Pła zorienowan oznaczam m samm smbolem co pła Pła powierzchniow zorienowan przeciwnie do płaa zorienowanego oznaczam przez Dla płaów zamnięch ograniczającch pewien obszar w przesrzeni za sronę dodanią płaa przjmujem z reguł jego sronę zewnęrzną Dla płaów będącch wresami funcji posaci z f( g( h( za sronę dodanią przjmujem zwle górną część aiego płaa Rs 4 Pła powierzchniow jednosronn Rs 4 Pła powierzchniow dwusronn; wres funcji z f(
22 Fa 4 (posać wersora normalnego płaa Niech pła gładi zorienowan ma przedsawienie paramerczne { r ( : ( D} Wed wersor normaln n do płaa wsawion w puncie ( z ego płaa odpowiadającm punowi (u v obszaru D w powższej paramerzacji wraża się wzorem: r r n ± u r r u r r gdzie weor oraz są obliczone w puncie (u v Zna sojąc przed wersorem n usala się na podsawie orienacji u płaa Przjmujem że wersor normaln jes sierowan od sron ujemnej do dodaniej płaa zorienowanego Jeżeli pła gładi jes wresem funcji z gdzie ( D o wersor normaln n do płaa wsawion w puncie ( z ego płaa gdzie z wraża się wzorem: p q n p q p q p q gdzie p ( q ( Wersor normaln n można przedsawić w posaci n (cosα cos β cos γ gdzie α β γ oznaczają ą międz m wersorem a dodanimi częściami osi O O Oz Rs 43 Wersor normaln do płaa zorienowanego Rs 44 Kosinus ierunowe weora normalnego n Def 43 (cała powierzchniowa zorienowana Niech F ( P Q R będzie polem weorowm na płacie gładim zorienowanm Całę powierzchniową zorienowaną z pola weorowego F po płacie definiujem wzorem: P( ddz Q( dzd R( dd gdzie n (cosα cos β cosγ płaa ( F( n( ( P( cosα Q( cos β R( cosγ def ds oznacza wersor normaln do płaa zorienowanego wsawion w puncie ( ego Uwaga W zapisie weorowm powższa definicja przjmuje posać: def F( r ds F( r n( r ds ( gdzie ds def ( ddz dzd dd Całę powierzchniową zorienowaną z pola weorowego F po płacie oznaczam eż róo P ddz Q dzd R dd a w noacji weorowej F ds ds
23 Rs 45 Ilusracja do definicji całi powierzchniowej zorienowanej z pola weorowego F po płacie zorienowanm Def 44 (cała powierzchniowa po płacie awałami gładim Niech będzie awałami gładim płaem zorienowanm uworzonm z płaów gładich m o orienacjach porwającch się z orienacją płaa Ponado niech F będzie polem weorowm oreślonm na płacie Całę powierzchniową zorienowaną z pola weorowego F po płacie definiujem wzorem: def F ds F ds F ds F ds o ile całi po prawej sronie znau równości isnieją Jeżeli jes płaem zorienowanm zamnięm ograniczającm pewien obszar w przesrzeni o wed piszem w miejsce Tw 45 (liniowość całi powierzchniowej zorienowanej Jeżeli isnieją całi powierzchniowe z pól weorowch F i G po awałami gładim płacie powierzchniowm zorienowanm oraz jeżeli c jes dowolną sałą o a isnieje cała z pola weorowego F G po płacie oraz F G ds F ds G ds ( b isnieje cała z pola weorowego cf po płacie oraz cf ds c F ds ( c isnieje cała z pola weorowego F po płacie o orienacji przeciwnej oraz F ds F ds m 4 ZAMIANA CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ ZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ PODWÓJNĄ Tw 4 (o zamianie całi powierzchniowej na całę podwójną Jeżeli {( ( ( : ( D} jes gładim płaem zorienowanm gdzie D jes obszarem regularnm na płaszczźnie pole weorowe F ( P Q R jes ciągłe na płacie o P( ddz Q( dzd R( dd ± D P ( ( ( u Q( ( ( u Zna sojąc przed całą podwójną usala się na podsawie orienacji płaa R Uwaga W zapisie weorowm wzór en przjmuje posać r r F ( r ds ± F ( r ( dudv u D u u ( ( ( u du dv u
24 Jeżeli gładi pła zorienowan jes wresem funcji z gdzie ( D oraz pole weorowe F ( P Q R jes ciągłe na o P( ddz Q( dzd R( dd P D Podobne równości mają miejsce gd pła jes wresem funcji ( lub ( 43 ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ ( Q( R( dd Def 43 (operaor Hamilona nabla Operaor Hamilona (nabla oreślon jes wzorem: def i j Def 43 (gradien funcji Niech f będzie funcją różniczowalną na obszarze V R 3 Gradien funcji f jes oreślon wzorem: f f f grad f def f Fa 433 (własności gradienu Niech funcje f i g będą różniczowalne na obszarze V R 3 oraz niech a b R Wed a grad ( af bg agrad f bgrad g b grad ( fg g grad f f grad g f g grad f f grad g c grad g g / d grad h( f h ( f grad f gdzie h jes funcją różniczowalną na pewnm przedziale e f cons grad f o f f v ( grad f gdzie v jes wersorem Def 434 (pole weorowe poencjalne Pole weorowe F nazwam polem poencjalnm na obszarze V R 3 jeżeli isnieje funcja U : V R aa że F gradu Funcję U nazwam poencjałem pola weorowego F Def 435 (roacja pola weorowego Niech F ( P Q R będzie różniczowalnm polem weorowm oreślonm na obszarze V R 3 Roację pola weorowego F oreślam wzorem: i j F def ro F P Q R Fa 436 (własności roacji Niech f będzie funcją różniczowalną na obszarze V R 3 oraz niech pola weorowe F i G będą różniczowalne na m obszarze Wed a ro ( af bg aro F brog gdzie a b R b ro ( ff ( grad f F f ro F c ro ( grad U o gdzie U jes funcją dwuronie różniczowalną w sposób ciągł na V Def 437 (dwergencja pola weorowego
25 Niech F ( P Q R będzie polem weorowm różniczowalnm w sposób ciągł na obszarze V R 3 Dwergencję pola weorowego F oreślam wzorem: P Q R F def div F Fa 438 (własności dwergencji Niech f będzie funcją różniczowalną w sposób ciągł na obszarze V R 3 oraz niech pola weorowe F i G będą różniczowalne w sposób ciągł na m obszarze Wed a div ( af bg adiv F bdivg gdzie a b R b div ( ff ( grad f F f div F c div ( F G G ro F F rog d ( ro F div gdzie pole weorowe F ma współrzędne dwuronie różniczowalne w sposób ciągł na V 44 TWIERDZENIE GAUSSA I STOKESA Tw 44 (wzór Gaussa Jeżeli jes zorienowanm awałami gładim płaem zamnięm ór jes brzegiem obszaru domnięego V R 3 pole weorowe F ( P Q R jes różniczowalne w sposób ciągł na V o F ds div F dv Po rozwinięciu powższa równość (wzór Gaussa przjmuje posać: P d dz Q dz d R d d V V P Q R dv Rs 44 Ilusracja do wzoru Gaussa Tw 44 (wzór Soesa Jeżeli jes płaem awałami gładim zorienowanm órego brzeg jes łuiem awałami gładim zorienowanm zgodnie z orienacją płaa pole weorowe F ( P Q R jes różniczowalne w sposób ciągł na płacie (łącznie z brzegiem o F dr ro F ds ( Po rozwinięciu powższa równość (wzór Soesa przjmuje posać: R Q P R Q P Pd Qd Rdz d dz dz d d d
26 Rs 44 Ilusracja do wzoru Soesa Uwaga Wzór Greena podan w rozdziale 4 jes szczególnm przpadiem wzoru Soesa Rzeczwiście przjmując że O jes płaem zorienowanm o brzegu oraz że pole weorowe F oreślone na m płacie ma posać F ( P Q prz czm funcje P i Q zależą lo od zmiennch orzmam Q P Pd Qd d d 45 ZASTOSOWANIA CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH ZORIENTOWANYCH Fa 45 (zasosowania w geomerii Objęość obszaru V ograniczonego płaem zamnięm zorienowanm na zewnąrz wraża się wzorami: V zdd ddz dzd ddz dzd zdd 3 Fa 45 (zasosowania w fizce Ilość ciecz przepłwającej w jednosce czasu przez pła zorienowan (ze sron ujemnej na dodanią wraża się wzorem: A v( ds gdzie v ( oznacza prędość ciecz w puncie ( ego płaa Parcie ciecz o ciężarze właściwm C na dodanią sronę płaa zorienowanego ór jes zanurzon w ej ciecz wraża się wzorem: P C zddz zdzd zdd
27
Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza
FUNKCJE WÓCH I TRZECH ZMIENNYCH (było w semestrze II) ef 1 (funcja dwóch zmiennych) Funcją f dwóch zmiennych oreśloną na zbiorze A R o wartościach w R nazywamy przyporządowanie ażdemu puntowi ze zbioru
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2: CAŁKI POTRÓJNE
WYKŁAD : CAŁKI OTRÓJNE 1 CAŁKI OTRÓJNE O ROSTOADŁOŚCIANIE Oznaczenia w definicji całi po prostopadłościanie: = {(: a x, c y d, p z q} prostopadłościan w przestrzeni; = { 1,,, n } podział prostopadłościanu
Bardziej szczegółowoKrzywe na płaszczyźnie.
Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które
Bardziej szczegółowogdzie M to mówimy, że na tym obszarze jest określone pole skalarne u( M) u( r)
Wykłady z Maemayki sosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład. CAŁKA KRZYWOINIOWA ZORIENTOWANA.. Definicje i własności całek krzywoliniowych zorienowanych... Nekóre zasosowania całek krzywoliniowych
Bardziej szczegółowoLista 3 CAŁKI KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE. K cykloida c x y ds K x y x r t t t y r t t t t ) ( 2 ) + ( 2 ) = {(, ) : 1 1 = }
Lista CAŁI RZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE Zad 1. Obliczć całki krzwoliniowe nieskierowane po wskazanch krzwch: ds a) = {(, ) : 0 1 = } + + ds = {(, ) : = r( t sin t), = r(1 cos t), 0 t } r > 0 ustalone
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 9 ALGEBRA
Algebra WYKŁAD 9 Krzwe sożkowe Definicja Prosa sczna do krzwej K w punkcie P jes o prosa, będąca granicznm położeniem siecznch s k przechodzącch przez punk P i P k gd punk P k dąż zbliża się do punku P
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13 Geomeria różniczkowa Geomeria różniczkowa o dział maemayki, w kórym do badania obieków geomerycznych wykorzysuje się meody opare na rachunku różniczkowym. Obieky geomeryczne
Bardziej szczegółowooznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim
WYKŁAD 9 34 Pochodna nkcji w pnkcie Inerpreacja geomerczna pochodnej Własności pochodnch Twierdzenia Rolle a Lagrange a Cach ego Regla de lhôspiala Niech ( ) O( ) będzie nkcją określoną w pewnm ooczeni
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe w R n
Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoPrzemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia
1 Przemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia + 0 k k 0 Przemieszczenie jes wekorem. W przypadku jednowymiarowym możliwy jes ylko jeden kierunek, a zwro określamy poprzez znak. Przyjmujemy, że
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1 ZASADY ELEKTROMECHANICZNEGO PRZETWARZANIA ENERGII
WYKŁAD 1 ZASADY ELEKTROMECHANICZNEGO RZETWARZANIA ENERGII 1.1. Zasada zachowania energii. unem wyjściowym dla analizy przewarzania energii i mocy w pewnym przedziale czasu jes zasada zachowania energii
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoRuch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
Bardziej szczegółowo5. Równania Maxwella. 5.1 Równania Maxwella 5.2 Transformacja pól 5.3 Fala elektromagnetyczna
5 Równania Maxwella 5 Równania Maxwella 5 Transformaja pól 53 ala eleromagnezna 86 5 Równania Maxwella Wśród poazanh uprzednio równań Maxwella znajduje się prawo Ampere a j Jedna można pozać, że posać
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi
Literatura pomocnicza Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 8/9 G.M. Fichtenholz - Rachunek różniczkowy i całkowy. B. Demidowicz - Zbiór zadań z analizy matematycznej. T 2,3 Krysicki, Włodarski - Analiza
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoZwiązek między ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okręgu
Związek międz ruchem harmonicznm a ruchem jednosajnm po okręgu Rozważm rzu Q i R punku P na osie i : Q cos v r R sin R Q P δ Q cos ( δ ) R sin ( δ ) Jeżeli punk P porusza się ruchem jednosajnm po okręgu,
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ
ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ Marian Gewert Zbigniew Skoczlas ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ Teoria, przkład, zadania Wdanie szóste zmienione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoPierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrotechniki
Wydział Mechaniczno-Energeyczny Podsawy elekroechniki Prof. dr hab. inż. Juliusz B. Gajewski, prof. zw. PWr Wybrzeże S. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław Bud. A4 Sara kołownia, pokój 359 Tel.: 7 320 320
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Zmienna losowa ozszerzenie znaczenia funcji zmiennej rzeczwistej na przpadi, ied zmienna niezależna nie jest liczbą rzeczwistą: odległość to funcja par puntów, obwód trójąta, to funcja oreślona na zbiorze
Bardziej szczegółowoG:\WYKLAD IIIBC 2001\FIN2001\Ruch falowy2001.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC
3-- G:\WYKLAD IIIBC \FIN\Ruh falow.do Drgania i fale II ro Fii BC Ruh falow: Fala rohodąe się w presreni aburenie lub odsałenie (pole). - impuls lub drgania. Jeśli rohodi się prędośią o po asie : ( r)
Bardziej szczegółowoPowierzchnie stopnia drugiego
Algebra WYKŁAD 3 Powierchnie sopnia drugiego Deinicja Powierchnią sopnia drugiego kwadrką nawam biór punków presreni rójwmiarowej, spełniającch równanie A B C D E F G H I K gdie A, B,, K są sałmi i prnajmniej
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Analiza matematyczna II Rok akademicki: 2013/2014 Kod: MIS-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Informatyka Stosowana Specjalność: - Poziom
Bardziej szczegółowoElementy analizy wektorowej. Listazadań
Elementy analizy wektorowej Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Listazadań % Całki krzywoliniowe niezorientowane 1. Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną f dl, jeżeli: 1 a)fx,y)=
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowoElektrostatyka, cz. 1
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 3 Elektrostatyka, cz. 1 Prawo Coulomba F=k q 1 q 2 r 2 1 q1 q 2 Notka historyczna: 1767: John Priestley - sugestia 1771: Henry Cavendish - eksperyment 1785: Charles Augustin
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 1.1 : Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach. π 4. (a) sin(x + y) dxdy, R = π 4, π ] [ dy = sin(x + y)dy = dx =
achunek prawdopodobieństwa MAP6 Wdział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wkładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przkład do list : Całki podwójne Przkład do zadania. : Obliczć dane całki podwójne po wskazanch
Bardziej szczegółowoStrumień Prawo Gaussa Rozkład ładunku Płaszczyzna Płaszczyzny Prawo Gaussa i jego zastosowanie
Problemy elektrodynamiki. Prawo Gaussa i jego zastosowanie przy obliczaniu pól ładunku rozłożonego w sposób ciągły. I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku 19 marca 2012 Nowe spojrzenie na prawo Coulomba
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoSzeregi Fouriera (6 rozwiązanych zadań +dodatek)
PWR I Załad eorii Obwodów Szeregi ouriera (6 rozwiązanych zadań +dodae) Opracował Dr Czesław Michali Zad Znaleźć ores nasępujących sygnałów: a) y 3cos(ω ) + 5cos(7ω ) + cos(5ω ), b) y cos(ω ) + 5cos(ω
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoElektrostatyka. Prawo Coulomba Natężenie pola elektrycznego Energia potencjalna pola elektrycznego
Elektrostatyka Prawo Coulomba Natężenie pola elektrycznego Energia potencjalna pola elektrycznego 1 Prawo Coulomba odpychanie naelektryzowane szkło nie-naelektryzowana miedź F 1 4 0 q 1 q 2 r 2 0 8.85
Bardziej szczegółowo2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich.. CHRKTERSTKI GEOMETRCZNE FIGUR PŁSKICH.. Definicje podstawowch charakterstk geometrcznch Podczas zajęć z wtrzmałości materiałów
Bardziej szczegółowoGłównie występuje w ośrodkach gazowych i ciekłych.
W/g ermodynamiki - ciepło jes jednym ze sposobów ransporu energii do/z bila, zysy przepływ ciepła może wysąpić jedynie w ciałach sałych pozosających w spoczynku. Proces wymiany ciepla: przejmowanie ciepła
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyki Stosowanej
Fizka dla Informaki Sosowanej Jacek Golak Semesr zimow 08/09 Wkład nr 7 Na poprzednim wkładzie zajmowaliśm się elemenami saki i dnamiki brł szwnej. Jes o z definicji zbiór punków maerialnch o ej własności
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji wykład 5
Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoWykłady 11 i 12: Całka oznaczona
Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy; rok akademicki 2016/2017 Pole trójkata parabolicznego Problem. Chcemy obliczyć
Bardziej szczegółowoPraca domowa nr 1. Metodologia Fizyki. Grupa 1. Szacowanie wartości wielkości fizycznych Zad Stoisz na brzegu oceanu, pogoda jest idealna,
Praca domowa nr. Meodologia Fizyki. Grupa. Szacowanie warości wielkości fizycznych Zad... Soisz na brzegu oceanu, pogoda jes idealna, powierze przeźroczyse; proszę oszacować jak daleko od Ciebie znajduje
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna przestrzeni
ALGEBRA LINIOWA 1 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr zimowy 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Wetory, długość wetora Geometria analityczna przestrzeni Zadanie 1 [5.1] Obliczyć długości podanych
Bardziej szczegółowoRównanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki
napisał Michał Wierzbici Równanie Fresnela W anizotropowych ryształach optycznych zależność między wetorami inducji i natężenia pola eletrycznego (równanie materiałowe) jest następująca = ϵ 0 ˆϵ E (1)
Bardziej szczegółowo21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,
CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre
Bardziej szczegółowoEGZAMIN Z ANALIZY II R
EGZAMIN Z ANALIZY II R Instrukcja obsługi Za każde zadanie można dostać 4 punkty Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie W nagłówku rozwiązania należy umieścić
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoAnaliza na rozmaitościach Calculus on Manifolds. Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: Przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: Liczba godzin/tydzień: Liczba punktów: wykład, ćwiczenia W, C 5 ECTS PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Bardziej szczegółowoCechy szeregów czasowych
energecznch Cech szeregów czasowch Rozdział Modelowanie szeregów czasowch 7 proces deerminisczn proces kórego warość może bć preczjnie określona w dowolnm czasie =T+τ = a +b T T+τ czas = sin(ω) T T+τ czas
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowo14.1. Całka powierzchniowa niezorientowana
Wkład z Mateatki stosowanej w inżnierii środowiska, II se. Wkład 4-5 4. CAŁKA POWIERZCHNIOWA 4.. Całka powierzchniowa niezorientowana. 4.. Nektóre zastosowania całek powierzchniowch niezorientowanch. 4..
Bardziej szczegółowowięc powyższy warunek będzie zapisany jako dy dt
Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz Wprowadzenie DEFINICJA. Równaniem różniczkowm zwczajnm rzędu pierwszego nazwam równanie posaci gdzie f : f (, ), () U jes daną funkcją. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowo