2.2 Udowodnić,żejeżelif(x)=(x x 0 )(x x 1 )...(x x p ),to[x 0,x 1,...,x n ;f]= 0dlan p.jakajestwartośćtegoilorazu,gdyn=p+1?

Transkrypt

1 2.2 Udowodnić,żejeżelif(x)=(x x 0 )(x x 1 )...(x x p ),to[x 0,x 1,...,x n ;f]= 0dlan p.jakajestwartośćtegoilorazu,gdyn=p+1? Definicja ilorazu różnicowego: [x l,x l+1,...,x l+k ;f]= l+k l+k i=l j=l j i f(x i ) (x i x j ) Dowód.Zdefinicjiwynikazatem,żeprzyzałożeniun p,każdyskładniksumybędzierówny 0,gdyżponieważwartośćf(x)wpunktachx 0,x 1,...,x n wynosi0.zatemwartośćcałejsumy, a tym samym ilorazu różnicowego wyniesie , 2008, 2009, 2011, 2012 Trochę inaczej niż w rozwiazanie.pdf, ale o wiele prościej Dlan=p+1,n 1pierwszychskładnikówpowyższejsumybędzierównych0,natomiast składnik n-ty będzie wyglądał następująco(przyjmując p = n 1): f(x n ) p j=0 (x n x j ) =(x n x 0 )(x n x 1 )...(x n x p ) (x n x 0 )(x n x 1 )...(x n x p ) = 1 Ostateczniewartośćilorazuróżnicowego[x 0,x 1,...,x n ;f]=0dlan=p+1to Udowodnić,żejeślifunkcjaginterpolujefunkcjęfwwęzłachx 0,x 1,...,x n 1, afunkcjahinterpolujefunkcjęfwwęzłachx 1,x 2,...,x n,tofunkcja g(x)+ x 0 x x n x 0 [g(x) h(x)] interpolujefunkcjęfwewszystkichwęzłachx 0,x 1,...,x n (funkcjegih nie muszą być wielomianami). Dowód. Oznaczmy przez k(x) funkcję: 2007, 2008, 2008z, 2011z, 2012z, 2012 k(x)=g(x)+ x 0 x x n x 0 [g(x) h(x)] 1.Dlax=x 0 : k(x 0 )=g(x 0 )+ x 0 x 0 x n x 0 [g(x 0 ) h(x 0 )] (13) =g(x 0 )+0 [g(x 0 ) h(x 0 )] =g(x 0 ) 2.Dlax=x n : k(x n )=g(x n )+ x 0 x n x n x 0 [g(x n ) h(x n )] (14) =g(x n ) 1 [g(x n ) h(x n )] =g(x n ) g(x n )+h(x n ) =h(x n ) 17

2 3.Dlax=x i (i=1,2,...,n 1): zatem g(x i )=h(x i ), k(x i )=g(x i )+ x 0 x i x n x 0 [g(x i ) h(x i )] (15) =g(x i ) x 0 x i x n x 0 0 =g(x i ) Ponieważfunkcjag(x)interpolujefunkcjęfwwęzłachx 0,x 1,...,x n 1,afunkcjahinterpoluje funkcjęfwwęźlex n,zatemnapodstawierównań(13),(14)i(15)funkcjak(x)interpoluje funkcjęfwwęzłachx 0,x 1,...,x n. 2007, 2008, Udowodnić, że jeśli funkcja g(wielomian lub nie) interpoluje funkcję f wwęzłachx 0,x 1,...,x n 1,afunkcjahjestfunkcjątaką,żeh(x i )= δ in (0 i n),toistniejestałac,dlaktórejfunkcjag+chinterpoluje funkcjęfwpunktachx 0,x 1,...,x n Wstęp: SymbolKronecker a: δ ij = { 1, i=j 0, i j Dowód. Oznaczmy przez k(x) następującą funkcję: Być może to powinno być przez negację, że taka stała nie istnieje i dojść do sprzeczności.. k(x i )=g(x i )+c h(x i )=g(x i )+c δ in Dlai=0,1,...,n 1,wartośćsymboluKronecker aδ in wynosi0,gdyżi n,zatemk(x i )= g(x i ),zczegowynika,żedlai=0,1,...,n 1funkcjak(x)interpolujefunkcjęfwpunktach x 0,x 1,...,x n 1. Dlai=n,wartośćsymboluKronecker aδ in wynosi1,awięck(x n )=g(x n )+c.ponieważ funkcjak(x)mainterpolowaćfunkcjęf(x)wwęźlex n,zatemk(x n )=f(x n ).Znającwartość funkcjiinterpolowanejf(x)ifunkcjig(x)wwęźlex n,możnawyliczyćcnapodstawiewzoru: c=f(x n ) g(x n ) Istniejezatemtakastałac,dlaktórejfunkcjak(x)=g(x)+c h(x)interpolujefunkcjęfw węzłachx 0,x 1,...,x n. 3 Zadania 2007p 3.1 Na przykładzie trzech, matematycznie równoważnych zapisów funkcji fzmiennejrzeczywistejxorazprzedziału[x]=[ 1 2,3 2 ]pokazać,żerozszerzenia przedziałowe tej funkcji mogą być różne. Jaka jest wartość funkcji przedziałowej na tym przedziale? Wstęp: f(x)= 1 2 x x = 4 4 x x = 4 4 x2, x <2 18

3 1.2.3 Dowód- zbędne na egzaminie Niechx 0,x 1,...,x n będąwęzłamiinterpolacjifunkcjiftakie,żeznanesąwartościf(x 0 )= y 0,f(x 1 )=y 1,...,f(x n )=y n Możnazdefiniowaćfunkcjęl i : l i (x) def = sątowielomianystopnian,takieże Stąd wynika, że n j=0 j i l i (x j )=δ ij = x x j x i x j,i=0,1,...,n { 1dlai=j 0dlai j n n n L n (x)= f(x i )l i (x i )= f(x i ) i=0 i=0 j=0 j i x x j x i x j (1) jestwielomianemstopniaconajwyżejnprzyjmującymwwęzłachinterpolacyjnychx i wartościf(x i ),codowodziistnieniarozwiązania.wzór(1)nazywamywzoreminterpolacyjnym Lagrange a. δ ij-symbolkronecker a Wykazanie jednoznaczności rozwiązania Załóżmy,żeistniejądwatożsamościoworóżnewielomianyL 1 n(x)il 2 n(x)stopnian,przyjmującewwęzłachx 0,x 1,...,x n takiesamewartości.niechl 3 n(x)=l 1 n(x) L 2 n(x)będzie wielomianem. Jest on stopnia co najwyżej n(co wynika z własności odejmowania wielomianów).(*) PonieważL 1 n(x)il 2 n(x)wwęzłachx i : i 0,1,...,ninterpolujątęsamąfunkcję,to L 1 n(x i )=L 2 n(x i ),awięcl 3 n(x i )=0(węzłyinterpolacjisąpierwiastkamiL 4 n(x)).alekażdy niezerowy wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych, a ponieważ z (*)wiadomo,żel 3 n(x)man+1pierwiastków,tol 3 n(x)musibyćwielomianemtożsamościowo równym zeru. A ponieważ L 3 n(x)=l 1 n(x) L 2 n(x) 0 to L 1 n(x) L 2 n(x) cojestsprzecznezzałożeniem,żel 1 n(x)il 2 n(x)sąróżne. 1.3 Sformułować zadanie interpolacyjne Hermite a. Co można o nim powiedzieć? Zadanie interpolacyjne Hermite a polega na znalezieniu dla danej funkcji f oraz k + 1 węzłów x 0,x 1,...,x k wielomianuh n stopnianiewiększegoniżn,takiegoże H (j) n (x i )=f (j) (x i ), i=0,1,...,k; j=0,1,...,m i 1 (2) czyli że w węzłach interpolacji pochodne rzędu j tego wielomianu są równe pochodnym funkcji intepolowanej, przy czym k m i =n+1, m i N i=0 Liczbęm i nazywamykrotnościąwęzłax i. 2006, 2007, 2007p, 2008, 2008z, 2009, 2011, 2011z, 2012z, 2012 Właściwości: 5

4 Jeżeli 0 i k m i =1,tointerpolacjaHermite asprowadzasiędointerpolacjilagrange a. Zadanie interpolacyjne Hermite a(2) ma jednoznaczne rozwiązanie. 1.4 Sformułować zadanie interpolacji wymiernej. Co można o nim powiedzieć? Sformułowaniezadania. Zadanie interpolacji wymiernej polega na znalezieniu dla danej funkcji f funkcji wymiernej W mn postaci mk=0 a k x k W mn (x)= nk=0 b k x k, wktórejstopieńlicznikajestrównyconajwyżejm,astopieńmianownika-conajwyżejn, spełniającejdladanychwęzłówx i iwartościfunkcjiwtychwęzłachf(x i )(i=0,1,...,m+n) warunki W mn (x i )=f(x i ) Co można o nim powiedzieć? Zadanie interpolacji wymiernej nie zawsze jest rozwiązalne. Prawie każde rozwiązanie powyższego układu jest rozwiązaniem układu m n a k x k i f(x i ) b k x k i=0, i=0,1,...,m+n k=0 k= Sformułować zadanie interpolacji trygonometrycznej. Co można o nim powiedzieć? Sformułowaniezadania. Zadanie interpolacji trygonometrycznej polega na znalezieniu dla danej funkcji okresowej f o okresie 2π wielomianu trygonometrycznego: T n (x)=β 0 +β 1 e xi +β 2 e 2xi...+β n 1 e (n 1)xi, (3) e αi =cosα+isinα(wzóreulera;ioznaczajednostkęurojoną),takiegoże: T n (x k )=f(x k ), k=0,1,...,n 1. (4) Funkcjafjestfunkcjązmiennejrzeczywistejowartościachzespolonych.Współczynnikiβ k w ogólności mogą być liczbami zespolonymi Co można o nim powiedzieć? JeżelidanajestfunkcjagookresieT,tj.g(y+T)=g(y),todokonujączmianyzmiennej wedługzależnościx= 2π T yotrzymamyf(x)=g(yt 2π ),awięcfunkcjęokresowąookresie2π. Bez zmniejszania ogólności możemy zatem rozważać tylko funkcje o okresie 2π. Istnieje dokładnie jeden wielomian(3) spełniający warunki(4) 6

5 Pierwszapochodna: e x (,0) S 3x (x)= 2 x [0,1) 3 2 (x 1)2 +2a(x 1)+b x [1,3) g x [3,+ ) Drugapochodna: 0 x (,0) S 6x x [0,1) (x)= 3(x 1)+2a x [1,3) 0 x [3,+ ) Warunki: S (0 + )=S (0 ) 0=6 0 S (1 )=S (1 + ) 2a=6 a=3 S (3 )=S (3 + ) 6+2a=0 a= 3 sprzecznezpowyższym Ostatecznie nie istnieją takie parametry, dla których funkcja S(x) może być w przedziale [0, 3) naturalną funkcją sklejaną Dlajakichwartościa,b,cidfunkcjaS(x)jestfunkcjąsklejanąstopnia trzeciego? 1 2x x (, 3) S(x)= a+bx+cx 2 +dx 3 x [ 3,4) x x [4, ) Z definicji funkcja sklejana stopnia trzeciego musi być ciągła i posiadać ciągłe pochodne rzędu1,2 2007, 2008, 2008z, 2011z, 2012z, 2012 Dla podanej funkcji 1 2x x (, 3) S(x)= a+bx+cx 2 +dx 3 x [ 3,4) x x [4, ) należy sprawdzić jej ciągłość w węzłach: S( 3 )=S( 3 + ) S( 3 )=1 2 ( 3)=7 S( 3 + )=a+( 3) b+9 c+( 27) d a 3b+9c 27d=7 (21) S(4 )=S(4 + ) S(4 )=a+4 b+16 c+64 d S(4 + )= (4)=29 a+4b+16c+64d=29 (22) 29

6 Pierwszapochodna: 2 x (, 3) S (x)= b+2cx+3dx 2 x [ 3,4) 32 x [4, ) Co daje nam następujące zależności: S ( 3 )=S ( 3 + ) S ( 3 )= 2 S ( 3 + )=b+2 ( 3) c+3 9 d b 6c+27d= 2 (23) S (4 )=S (4 + ) S (4 )=b+2 4 c+3 16 d S (4 + )=32 b+8c+48d=32 (24) Drugapochodna: 0 x (, 3) S (x)= 2c+6dx x [ 3,4) 0 x [4, ) I wynikające z niej zależności: S ( 3 )=S ( 3 + ) S ( 3 )=0 S ( 3 + )=2c 18d 2c 18d=0 (25) S (4 )=S (4 + ) S (4 )=2c+24d S (4 + )=0 2c+24d=0 (26) Rozwiązującukładrównań(25)i(26)otrzymamyc=0id=0.Podstawiająctewyniki dorównania(24)otrzymujemyb=32,azrównania(23)b= 2.Otrzymujemytym samymsprzeczność,awięcnieistniejątakiewartościparametrówa,b,cid,dlaktórych funkcja S(x) byłaby funkcją sklejaną stopnia trzeciego. 30

7 Znalezienie współczynników sprowadza się zatem do rozwiązania układu równań liniowych: 2 w u 1 c 1 v 1 u 2 2 w c 2 v 2 0 u 3 2 w 3 0 c 3 v = u n 1 2 w n 1 c n 1 v n 1 w n 0 0 u n 2 c n v n gdzie u n = h n 1 h n 1 +h 0 w n = h n 1 +h 0 ( 3 f(x1 ) f(x n ) v n = f(x ) n) f(x n 1 ) h n 1 +h 0 h 0 h n 1 apozostałewielkościu i,w i iv i (i=1,2,...,n 1)sąokreślonejakw(10),(11)i(12) Macierz ta jest macierzą zbliżoną do trójdiagonalnej, różni się od niej jedynie o niezerowe elementyu 1 iw n.wcelurozwiązaniatakiegoukładurównań,macierzmożnarozłożyćna iloczyn LU np. metodą eliminacji Gaussa. Chcąc rozwiązać układ równań Ax = d, wystarczy rozwiązaćkolejnodwaukładyrównańly=diux=y. h Opisać algorytm eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementu podstawowego. Algorytm eliminacji Gaussa jest algorytmem rozwiązywania układu n równań z n niewiadomymi. Układ równań 2005, 2006, 2007, 2007p, 2008, 2008z, 2011, 2011z, 2012z, 2012 a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 + +a 1,n x n =b 1 a 2,1 x 1 +a 2,2 x 2 + +a 2,n x n =b 2... a n,1 x 1 +a m,2 x 2 + +a n,n x n =b n przekształcanyjestdopostacia (1) x=b (1) a 1,1... a 1,n x a n,1... a n,n x n Przed wykonaniem algorytmu dla wygody warto kolumny podpisać kolejnymi zmiennymi, a wiersze wyrazami wolnymi. Ułatwia to orientację w zmianach w układzie równań podczas zamiany kolumn(zmiana kolejności zmiennych) oraz wierszy(zmiana kolejności wyrazów wolnych). Wyrazy wolne podlegają tym samym operacjom co reszta macierzy. Algorytm zaczynamy od macierzy W = A; = b 1. b n 1. W macierzy W znajdź element s o maksymalnej wartości bezwzględnej. 2. Zamień wiersze macierzy W tak aby s znajdowała się w pierwszym wierszu. 9

8 3.ZamieńkolumnymacierzyWtakabysznajdowałasięnapozycji(1,1). 4.Odejmijodkażdegozpozostałychwierszywierszpierwszypomnożonyprzez w i,1 w 1,1,gdzie i to numer wiersza. 5. Nową macierzą W jest macierz W bez pierwszego wiersza i pierwszej kolumny. 6. Jeżeli otrzymałeś macierz zerową STOP- brak jednoznacznego rozwiązania. 7. Jeżeli wykonałeś n iteracji utwórz z odrzuconych wierszy, kolumn i etykiet macierz kwadratową o rozmiarze n i przejdź do odczytywanie kolejnych zmiennych. 8.Wróćdopunktu1. Otrzymujemy macierz górnotrójkątną postaci: i 1 i 2... i n q 1,1 q 1,2... q 1,n c 1 0 q 2,2... q 2,n = c q n,n gdziei 1,i 2,...,i n tozapamiętaneprzeznasindeksyzmiennychworyginalnejmacierzy,a c 1,c 2,...,c n toprzekształconewyrazywolne.wartościzmiennychodczytujemywnastępujący sposób: 1. Z ostatniego wiersza wyznaczamy x in = c n q n,n 2.Wanalogicznysposób,znającjużwartościx i+1,x i+2,...,x n obliczamykolejnewartości x i x ia= c a n k=a+1 (x ik q a,k ) c n q a,a 2006, 2007, 2007p, 2008, 2008p, 2009, 2010p, 2011, Co to znaczy, że rzeczywista macierz kwadratowa A jest dodatnio określona?jakmożnazastosowaćjejrozkłada=ll T dorozwiązaniaukładurównańliniowychax=b? Definicja macierzy dodatnio określonej: Zespoloną macierz A stopnia n nazywamy dodatnio określoną, gdy: 1.jestmacierząhermitowską,tj.A=A H (ĀT ) 2.x H Ax>0dlawszystkichwektorówx C n,x 0. Dla rzeczywistej macierzy A stopnia n mamy uproszczone warunki: A A T x R n :(x 0 x T Ax>0) Jak można zastosować rozkład Choleskiego takiej macierzy do rozwiązania układu równań liniowych? W metodzie Choleskiego rozwiązujemy dwa układy równań liniowych z macierzami trójkątnym.rozkładrzeczywistejmacierzyanailoczynll T wykonujemynapodstawienastępujących wzorów: 10

9 2008, 2009, OpisaćmetodęnumerycznegowyznaczaniamacierzyA 1 DowyznaczaniamacierzyA 1 stosujesięmetodęeliminacjigaussazczęściowymwyborem elementu podstawowego. Algorytm składa się z dwóch etapów: 1. wyznaczamy rozkład LU macierzy A(uwzględniając ewentualne przestawienia wierszy macierzy A) 2. rozwiązujemy n razy układ równań LUx (i) =e (i), i=1,2,...,n gdziee (i) oznaczai-tywersorwprzestrzenir n,tj. e (i) =[0,..., }{{} 1,...,0] T i-ta pozycja Rozwiązaniax (i) sąkolumnamimacierzya 1,przyczymnależyustawićjewkolejności wynikającej z przestawień wierszy macierzy. Można też równocześnie rozwiązywać n układów równańzprawymistronamirównymie (i) (i=1,2,...,n) Opisać zagadnienie aproksymacji średniokwadratowej wielomianami. W jaki sposób można rozwiązać powstały układ Haara? W jakim przypadku zagadnienie to jest interpolacją wielomianową? Rozwiązanie: W aproksymacji średniokwadratowej dla funkcji F(x) określonej na przedziale 2007p, 2009, 2011, 2012 [a,b] minimalizujemy F(x) f(x), czyli szukamy minimum całki: F(x) f(x) = b a w(x)[f(x) f(x)] 2 dx gdzie: w(x) jest funkcją wagową F(x) jest funkcją aproksymowaną f(x) jest funkcją aproksymującą natomiast dla funkcji F(x) danej na dyskretnym zbiorze argumentów będziemy poszukiwać minimum sumy: m F(x) f(x) = w(x i )[F(x i ) f(x i )] 2 Niech: i=0 przyczymw(x i ) 0dlai=0,1,...,m 1.funkcjay=F(x)przyjmujenapewnymzbiorzeX=x 0,x 1,...,x m wartościy 0,y 1,...,y m 2.ϕ i (x),i=0,1,...,noznaczaukładfunkcjibazowychpodprzestrzenix n+1 Poszukujemy takiej funkcji f(x), która będzie najlepszym przybliżeniem średniokwadrotowymfunkcjif(x)nazbiorzextj.funkcji: m f(x)= a i ϕ i (x) i=0 a i sątakokreślone,byminimalizować 15

10 Przyjmijmy: m n m H(a 0,a 1,...,a n )= w(x j )[F(x j ) a i ϕ i (x j )] 2 = w(x j )Rj 2 j=0 i=0 j=0 Obliczamywspółczynnikia i : H m n = 2 w(x j )[F(x j ) a i ϕ i (x j )]ϕ k (x j )=0 a k j=0 i=0 Otrzymaliśmywtensposóbukładn+1równańliniowychzn+1niewiadomymia i zwanyukłademnormalnym.jeżelijakofunkcjebazoweprzyjmiemyciągjednomianówx i (i=0,1,...,n) to po przekształceniach otrzymamy wówczas układ normalny w postaci: n α ik a i =β k Objaśnienie do powyższych wzorów: w(x)jestustalonazgóryitaka,żew(x j )>0dlaj=0,1,...,m R j -odchyleniewpunkciex j k=0,1,...,n α i k= m j=0 x i+k j,β k = m j=0 F(x j )x k j Jeżeli: i=0 1.n mipunktyx 0,x 1,...,x n sąróżne,towyznacznikukładujestróżnyodzera,awięc układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie 2. n = m, to wielomian aproksymacyjny f(x) pokrywa się z wielomianem interpolacyjnym dlapunktówx 0,x 1,...,x n iwówczash=0 2 Dowody 2009, Wykazać, że jeśli x oznacza liczbę maszynową, to dla dowolnego naturalnegokjestfl(x k )=x k (1+ε) k 1,gdzie ε <eps. Wstęp: f l(α) oznacza wartość wyrażenia α w arytmetyce zmiennopozycyjnej, eps oznacza dokładność maszynową. Dowód indukcyjny. wartość wyr. w ar. zm. dla l. maszynowej to ta liczba 1.Dlak=1: fl(x)=x Dlak=2zdefinicjiwynika,że: fl(x 2 )=fl(x x)=(x x)(1+ε)=x 2 (1+ε) 2.Jeżeliprzyjmiemy,żefl(x k 1 )=x k 1 (1+ε) k 2 to: fl(x k )=fl(x k 1 x)=(fl(x k 1 ) x)(1+ε)=x k 1 (1+ε) k 2 x(1+ε)=x k (1+ε) k 1 Wniosek: na mocy zasady indukcji matematycznej można stwierdzić, że podane twierdzenie jest prawdziwe. 16

11 Następnie korzystamy ze wzoru ma macierz Gausa Seidla: M GS = (D+L) 1 U D+L= (D+L) 1 = (D+L) 1 = (D+L) U= Odejmujemy od wynikowej macierz macierz λ I Wyznaczamy wielomian i jego pierwiastki λ 2 2 M GS λi= 0 2 λ λ λ 2 2 M GS λi= 0 2 λ 3 = λ (2 λ) λ λ=0 λ=2 Stądwidzimy,żeρ(M GS )=2>0,awięcmetodaniegwarantujezbieżności. 2007, 2008, 2008p, 2008z, 2010p, 2011z, 2012z, 2012 UWAGA: zwrócić uwagę na nawiasy! 3.24 Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby dodatnich pierwiastków rzeczywistych wielomianu: Wstęp: w(x)=x 3 2x 2 5x+5 Aby obliczyć liczbę pierwiastków rzeczywistych metodą Sturma w przedziale[a, b) należy postępować wg następujących kroków: 1.p 0 (x)=p(x) 2.p 1 (x)= (p(x)) [pochodnapierwszegostopniazp(x)pomnożonaprzez-1] 3.p i (x)=c p i 2 modp i 1 [resztazdzieleniadwóchpoprzedzającychwielomianówprzez siebie, ewentualnie pomnożona przez jakąś dodatnią stałą c] 4.jeślip i jestrówne0,postępujemyzgodniezalgorytmempokazanymwzadaniunr24. 38

12 Rozwiązanie p 0 (x)=x 3 2x 2 5x+5 p 1 (x)= 3x 2 +4x x x 2 +4x+5 ) x 3 2x 2 5x +5 x x x 2 3 x x x2 8 9 x x+35 9 p 2 (x)=38x x x 35 ) 3x 2 +4x +5 3x x x x p 3 (x)= Zmianyznaków x 0 inf p 0 (x) + + p 1 (x) + - p 2 (x) - + p 3 (x) Liczba pierwiastków w x = 0 Z uwagi na fakt, że musimy znaleźć liczbę pierwiastków dodatnich, bierzemy pod uwagę przedział(0,inf).niejesttojednakzgodneztreściązadania,gdyż0niejestdodatnie. Zatem musimy sprawdzić, czy w 0 jest jakiś pierwiastek i ewentualnie odjąć go od końcowego wyniku. w(0)=0 Brak pierwiastków w punkcie Liczba dodatnich pierwiastków rzeczywistych 3 1 0= Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby pierwiastków rzeczywistych wielomianu. p(x)=x 3 +x 2 x , 2008, 2008p, 2010p,