y ( x) x i. y x i y( x) = ( x) x i,
|
|
- Maria Zalewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Teoria reprezentacji zmiennoprzecinkowej i błędu obliczeń () Zapisać liczby, /3, 275, 225 w arytmetyce M(2, 6, 2) (zapis dwójkowy, 6 miejsc na mantysę, 2 na wykładnik), M(6, 4, 4), M(2, 2, 2) (2) (W) Wykaż, że działania w dowolnej arytmetyce M(p, q, r) nie spełniają praw łączności i rozdzielności (3) Znajdź eps dla swojego komputera Wykonaj działania (w ulubionym programie) by uzyskać underflow i overflow Następujące dwa zadania należy rozwiązać używając przybliżonego wzoru na przenoszenie się błędów: Jeśli y(x,, x n ) jest funkcją, x jest przybliżeniem numerycznymx oraz x i = x i x i i y = y( x) y(x) oznaczają błędy, to y( x) = i= y x i ( x) x i, y i= y x i ( x) x i (4) Chcemy obliczyć wyrażenie ( 2 ) 6 używając wartości przybliżonej 4 pierwiastka z 2 Można podstawić tę wartość do powyższego wzoru albo zastosować jedno z następujących wyrażeń ( 2 + ) 6, (3 2 2) 3, ( ) 3, , Które z przybliżeń będzie najlepsze? (5) Z jaką dokładnością można obliczyć x + y jeśli 3x + ay =, 5x + by = 2, gdzie a = 2 ± 5 4, b = 33 ± 5 4 (6) Z jaką dokładnością można obliczyć x + y jeśli 3x + ay =, 5x + by = 2, gdzie a = 2 ± 5 4, b = 33 ± 5 4 (7) Następujące zadanie pokazuje, że błędy mogą pojawiać się również w czasie obliczeń: Rozwiązać różnymi metodami układ równań x + y = 2 x + y = 4, zaokrąglając wszystkie obliczenia do drugiego miejsca po przecinku Uzyskać co najmniej 3 różne wyniki (8) Niech dane będzie równanie x 2 2a x + a 2 =, < a 2 < a Problem: znaleźć mniejsze miejsce zerowe x = f(a, a 2 ) = a a 2 a 2 Algorytm: y := a a y 2 := y a 2, y 3 := y 2, x := y 4 = a y 3 Pokazać, że w podanym zakresie parametrów a, a 2 zadanie jest dobrze uwarunkowane (pochodne cząstkowe są ograniczone), natomiast wsteczny błąd przy stosowaniu algorytmu rośnie do nieskończoności dla a 2
2 2 2 Wstęp do algebry liniowej numerycznej (2) Obliczyć rząd, wyznacznik, ślad i wielomian charakterystyczny macierzy A = 2 3 λ 4 5 6, A 2 = λ, λ oraz A 3 = ( ) A, B przy założeniu, że rząd, wyznacznik, ślad i wielomian charakterystyczny macierzy A i B są dane (22) Rozpatrzmy macierz Pokazać, że wartości własne tej macierzy to,, Znaleźć wektory własne i macierz podobieństwa do macierzy diagonalej Czy macierz A jest normalna? (23) Wykazać, że jeśli A i B są odwracalnymi macierzami tego samego wymiaru i takimi, że macierz A + B jest odwracalna, to macierz (A + B ) jest odwracalna i (A + B ) = A(A + B) B = B(A + B) A (24) Wykazać, że jeśli A i B są macierzami tego samego rozmiaru, posiadającymi tylko proste wartości własne i ten sam zbiór wektorów własnych, to AB = BA Pokazać, że odwrotna implikacja nie jest prawdziwa (25) Rozwiązać układ równań { 3x + y = 2 x + (/3 + /)y = 4 Natępnie rozważyć przybliżony układ równań { 3x + y = 2 x +, 34y = 4 i rozwiązać go Porównać rezulaty Z czego wynika tak duży błąd? (26) Niech A będzie macierzą kwadratową i niech p będzie zespolonym wielomianem jednej zmiennej p(z) = c k z k Definiujemy p(a) jako c k A k Pokazać, że zachodzi następująca równość zbiorów p(σ(a)) = σ(p(a)), gdzie σ(b) oznacza widmo macierzy B
3 3 (27) Wykonać następujące eksperymenty numeryczne (w dowolnym programie np Matlab, Maple, Mathematica albo i nawet Excel - ale bez używania obliczeń symbolicznych): a) Wziąć macierz o nietrywialnej strukturze Jordana A i odwracalną macierz S Natępnie obliczyć B = S AS i obliczyć wartości własne B Zanalizować otrzymane wyniki! b) Odwrócić różnymi metodami macierz a następnie obliczyć AA ((i + j) ) 5 i,j=, 3 Eliminacja Gaussa (3) Rozwiązać metodą eliminacji Gaussa układ równań Ax = b, gdzie A = 2 4 3, b = (32) Dana jest macierz 2 + α 2 + α M n (R), 2 + α 2 + α gdzie α > Wykazać, że układ Ax = b można sprowadzić metodą Gaussa (bez dzielenia) do postaci Cx = d, gdzie c c C = c 2 c c n c n 2 c n, d = Wskazówka: Uzasadnić, że c =, c = 2 + α, c k+ = (2 + α)c k c k dla k =,, n Podać wzory na współczynniki d k (33) Rozwiązać metodą eliminacji Gaussa układ równań Ax = b, gdzie , b = d d n (34) Udowodnij, że iloczyn macierzy trójkątnych dolnych/górnych jest macierzą trójkątną dolną/górną
4 4 (35) Pokazać, że jeśli weźmiemy dowolną odwracalną macierz A i utworzymy macierz a a n [A I] := a 2 a 2n a n a nn to stosując metodę eliminacji Gaussa otrzymamy macierz [I A ] Obliczyć w ten sposób macierz odwrotną do (36) Stosując eliminację Gaussa policz macierz odwrotną poniższych macierzy (36) [7 ] 4, 3 2 (362) (363) , (37) Stosując metodę eliminacji Gaussa rozwiąż nad ciałem liczb rzeczywistych poniższe układy równań: 2x + 3x 2 + 8x 3 = 9 x x 2 4x 3 = 5 2x x 2 + 2x 3 = 6 3x + 2x 2 + x 3 = 5 2x + 3x 2 + x 3 = 2x + x 2 + 3x 3 = 4x + x 2 + 2x 3 = 9 2x + 4x 2 x 3 = 5 x + x 2 3x 3 = 9 4x x 2 + x 3 = 8 2x + 5x 2 + 2x 3 = 3 x + 2x 2 + 4x 3 = (38) Rozwiąż poniższe układy równań liniowych stosując rozkład LU: (38) 2x x 2 x 3 = 4, 3x + 4x 2 2x 3 =, 3x 2x 2 + 4x 3 = ; (382) x +x 2 +2x 3 =, 2x x 2 +2x 3 = 4, 4x +x 2 +4x 3 = 2 (39) Uzasadnić, że (a) w metodzie eliminacji Gaussa wykonuje się rzędu n3 3 operacji, natomiast (b) obliczenie wyznacznika macierzy n n bezpośrednio z definicji wymaga n!(n ) operacji (c) Porównać ilość operacji potrzebnych do rozwiązania układu równań liniownych Ax = b, gdzie A M n (R) jest macierzą nieosobliwą, za pomocą metody eliminacji Gaussa oraz metodą wyznaczników (wzory Cramera)
5 5 (3) Pokazać, że jeśli weźmiemy dowolną odwracalną macierz A i utworzymy macierz (A, I), to stosując metodę eliminacji Gaussa otrzymamy macierz (I, A ) Obliczyć w ten sposób odwrotność (3) Rozwiązać metodą eliminacji Gaussa układ równań Ax = b, gdzie A = 2 4 3, b = (32) Dana jest macierz 2 + α 2 + α M n (R), 2 + α 2 + α gdzie α > Wykazać, że układ Ax = b można sprowadzić metodą Gaussa (bez dzielenia) do postaci Cx = d, gdzie c c c 2 c d C =, d = c n c n 2 d n c n Wskazówka: Uzasadnić, że c =, c = 2 + α, c k+ = (2 + α)c k c k dla k =,, n Podać wzory na współczynniki d k 4 Rozkłady LU, Cholesky ego i QR (4) Dana jest macierz trójkątna górna U (4) Wyznaczyć ogólne wzory na rozwiązanie układu U x = b Oszacować ilość wykonywanych operacji (42) Znaleźć rozwiązanie układu U x = b, w przypadku gdy U = a a a a a a, b = e n = (43) Oszacować współczynniki x i rozwiązania układu Ux = e n, jeśli u ii = oraz u ij
6 6 (42) W przestrzeni R n definiujemy następujące normy: x = max x i, x = x i, x 2 = n x i 2 i n A = max i= (42) Uzasadnić, że powyższe normy są parami równoważne i dla każdej pary norm znaleźć optymalne stałe m, M >, takie że zachodzą nierówności m x a x b M x a, i= x R n, a, b {, 2, } (422) Dla ustalonej normy a (tutaj a =, 2, ) definiujemy normę macierzową (indukowaną przez a ) za pomocą wzoru A a := max x i n j= Ax a x a Wykazać, że a ij, A = max = max x a= Ax a, j n i= A M n (R) a ij, A 2 = λ max (A T A), gdzie A T oznacza transpozycję macierzy A, natomiast λ max (B) oznacza największą wartość własną macierzy B (423) Obliczyć normy macierzowe macierzy ( 2 (43) Dana jest macierz A M n (R), jej wiersze oznaczamy przez W, W 2,, W n (43) Wypisać macierz L k zamiany k-tego wiersza W k macierzy A na kombinację liniową W + αw k (α ) Znaleźć macierz odwrotną (432) Metodą eliminacji Gaussa, znaleźć rozkład LU macierzy (433) Zapoznać się z innymi metodami rozkładu LU macierzy A (44) Wygenerować losowo dużą macierz i znaleźć jej rozkład LU Z pomocą tego rozkładu obliczyć wyznacznik (45) Dana jest macierz ) (a) Znaleźć rozkład LU macierzy A, stosując metodę eliminacji Gaussa oraz metodę Crouta (b) Sprawdzić, czy iloczyn LU daje A (c) Porównać ilość operacji potrzebnych w obu metodach
7 (d) Zastosować rozkład do rozwiązania układu Ax = (e) Z rozkładu LU wyznaczyć det A (46) Rozkład Cholesky ego (a) Opisać algorytm znajdowania rozkładu LL T macierzy symetrycznej, dodatnio określonej (rozkład Cholesky ego) (b) Sprawdzić, że macierz jest dodatnio określona (c) Znaleźć jej rozkład Cholesky ego (47) Przekształć w układ ortonormalny wektory x = (2,, ), x 2 = (2,, 3), x 3 = (2,, ) (48) Wykazać, że przekształcenie Householdera H = I 2vv T, gdzie v jest wektorem jednostkowym ( v 2 = ) jest przekształceniem ortogonalnym Omówić metodę Householdera rozkładu QR na przykładzie macierzy Wykorzystując ten rozkład proszę rozwiązać równanie Ax = (3, 2, 3) T (49) Wykonać rozkład QR metodą odbić Householdera macierzy (4) Niech [ ] [ ] [ ] c s x = x s c x 2 2 Wskaż jak dobrać c i s tak, by macierz [ s c s c ] była ortogonalna i przekształcała x = (x, x 2 ) T w zadany wyżej sposób (4) Korzystając z rozwiązania poprzedniego zadania (tzw metody obrotów Givensa) zrób dekompozycję macierzy na iloczyn macierzy QR, gdzie Q jest macierzą ortogonalną zaś R trójkątną górną
8 8 (42) Znajdź rozkład QR macierzy dowolna metodą: 2 2 (42), 2 (422), 2 3 (423) 2, (424) 2 2, (425) (43) a) Znaleźć rozkład QR macierzy ε ε ε za pomocą zmodyfikowanej ortogonalizacji Gramma-Schmidta b) Znaleźć wektor x minimalizujący Ax b, gdzie b = (,,, ) T Należy wykorzystać twierdzenie mówiące, że taki x istnieje i jest jednoznacznie wyznaczony jeśli macierz A A jest nieosobliwa, ponadto x jest jedynym rozwiązaniem układu A Ax = b c) Niech eps będzie tak małe, że eps 2 = (np eps = 4 a pracujemy w arytmetyce zmiennoprzecinkowej o 5 cyfrach mantysy) Co się wtedy dzieje z macierzą A A? d) Niech D = Q T Q Pokazać, że x = D Q T b Wykorzystać ten wzór do obliczenia rozwiązania układu równań z punktu b) przyjmując, że ε 2 = (44) Wykazać, że przekształcenie Householdera H = I 2ww T, gdzie w jest wektorem jednostkowym ( w 2 = ) jest przekształceniem ortogonalnym Omówić metodę Householdera rozkładu QR na przykładzie macierzy Wykorzystując ten rozkład rozwiązać równanie Ax = (3, 2, 3) T 5 Metody iteracyjne (5) Niech a oznacza normę wektorową w R n oraz indukowaną przez nią normę macierzową (np a =, 2, ) Dla nieosobliwej macierzy A definujemy wskaźnik uwarunkowania cond a (A) := A a A a (5) Wykazać, że jeśli a oraz b są równoważnymi normami wektorowymi, to istnieją α, β > takie, że α cond a (A) cond b (A) β cond a (A) Ile wynosi α i β, jeśli a =, b = 2? (52) Niech a (, ) Obliczyć wskaźniki uwarunkowania dla macierzy ( a + a a a ) ( a, B = ),
9 9 korzystając z normy Dla jakich a macierze stają się źle uwarunkowane? (52) Dany jest układ równań Ax = b, gdzie ( ) ( , b = (52) Obliczyć wartość residuum r( x) = b A x dla przybliżonych rozwiązań: x = (999, ) T oraz x 2 = (34, 87) T Porównać dokładność rozwiązania z wartością residuum (522) Wyznaczyć wskaźnik uwarunkowania macierzy A w normie (523) Wyrazić wektor x = x x w zależności od residuum i wyjaśnić wyniki otrzymane w punkcie (a) Metodę iteracyjną postaci (*) x () dane, x (k+) = Bx (k) + f dla k nazywamy odpowiednią (ang consistent) dla problemu Ax = b, jeśli x = Bx + f lub równoważnie f = (I B)A b Metodę ( ) nazywamy zbieżną, jeśli rozwiązania przybliżone x (k) są zbieżne do rozwiązania problemu Ax = b lub równoważnie, jeśli promien spektralny macierzy B jest mniejszy od jeden (53) Opisać metodę Jacobiego i jej zastosowanie do macierzy 2 6 α 2 α 4 ) Dla jakich wartości parametru α R metoda ta jest zbieżna? (54) Aby rozwiązać układ równań Ax = b, gdzie ( ) ( 2 3, b = stosujemy metodę iteracyjną ), x (k+) = B(θ)x (k) + g(θ), k, gdzie θ jest parametrem rzeczywistym, x () jest dane oraz B(θ) = ( ) ( 2θ 2 + 2θ + 2θ 2 + 2θ + 4 2θ 2 + 2θ + 2θ 2, g(θ) = 2 θ + 2θ + 2 θ (54) Sprawdzić, że powyższa metoda jest odpowiednia dla wyjściowego problemu dla wszystkich θ R (542) Określić, dla jakich parametrów θ metoda jest zbieżna (543) Znaleźć optymalne θ, dla którego zbieżność jest najszybsza (ρ(b) najmniejsze) )
10 (55) Dana jest macierz i niech M = diag (2,, 2) i N = tridiag (,, ) (55) Wykazać, że macierz A jest dodatnio określona (552) Uzasadnić, że metoda Gaussa-Seidla jest zbieżna (553) Opisać algorytm pozwalający obliczać x (k) Uwzględnić kryterium stopu (554) Zastosować algorytm do obliczenia pierwszych sześciu przybliżeń rozwiązania równania x = 2 2 2, startując od x () = (,,, ) T (56) Dana jest macierz Wykazać, że macierz A jest dodatnio określona Uzasadnić, że metoda Jacobiego zastosowana do tej macierzy jest zbieżna (57) Rozwiązać poniższy układ metoda Jacobiego Obliczyć kolejne trzy przybliżenia rozwiązania (57) 4x x 2 = 2 x + 4x 2 x 3 = 6 x 2 + 4x 3 = 2 (572) 4x x 2 2x 3 + 2x 4 = 3 x + 5x 2 2x 4 = 2x + x 2 + x 3 x 4 = 2x 2 x 3 + 4x 4 = 5 (58) Rozwiązać poniższy układ metodą Gaussa-Seidla Przyjmując za przybliżenie początkowe wektor x = (3, 7, 5) T podać trzy kolejne przybliżenia rozwiązania 4x x 3 x 4 = 3 4x 2 x 3 x 4 = x x 2 + 4x 3 = 7 x x 2 + 4x 4 = 5
11 Zrób to samo z układem 4x x 2 + x 3 = 4 x + 6x 2 + x 3 = 9 x + 2x 2 + 5x 3 = 2 przyjmując za przybliżenie początkowe wektor x = (,, ) T (59) Rozważamy metodę iteracyjną x k+ = (I A)x k + b, k Proszę udowodnić, że jeśli macierz [a ij ] i,j n jest (silnie) diagonalnie dominująca i ma jedynki na przekątnej, tzn spełnia nierówności a ii = > n j=,j i a ij, i n, to metoda jest zbieżna 6 Wartości własne (6) Liczenie wartości własnych macierzy jako pierwiastów wielomianu charakterystycznego może być niestabilne numerycznie Rozważamy macierz ( ) α β M(2 2) β γ (6) Znaleźć współczynniki c, c wielomianu charakterystycznego macierzy p A (x) = x 2 + c x + c (62) Obliczyć współczynniki c, c w arytmetyce dzisiętnej zmiennopozycyjnej o ośmiu cyfrach mantysy, gdy α = γ = oraz β = 7 5 (63) W tej samej arytmetyce obliczyć λ i λ 2 jako zera wyznaczonego trójmianu Porównać wyniki z wartościami dokładnymi λ max = 7, λ min = (64) Mamy dany następujący algorytm (V): ξ := α + γ, δ := αγ β 2, ω := (α γ) 2 + 4β 2 if ξ = then [λ max := ω 2, λ min := λ max ] else [λ max: = sgn(ξ) ξ +ω 2, λ min := δ λ max ] Wykazać, że algorytm (V) w realizacji dokładnej wyznacza wartości własne macierzy A, przy czym λ max λ min (65) Obliczyć λ i λ 2 przy tych samych danych, co w punkcie (b), stosując algorytm (V) (62) Korzystając z tego twierdzenia (i innych znanych faktów), zlokalizować widmo macierzy (63) Niech A będzie macierzą diagonalną diag (a,, a n ) oraz à = A+E, gdzie e ii = dla i =,, n Wykazać, że jeśli λ σ(ã), to istnieje takie k ( k n) że zachodzi oszacowanie a k λ e kj j=,
12 2 (64) Dane są macierze ( 2 ) ( ε, E = ε Obliczyć wartości własne macierzy A oraz macierzy A + E Porównać wyniki z oszacowaniem w punkcie (b) (65) Wylosować dużą macierz (co najmniej na ) i spróbować wyznaczyć jej widmo poznanymi metodami Macierz może mieć pewną strukturę, na przykład tylko 3 niezerowe diagonale, macierz symetryczna, itd Proszę nie używać wbudowanej komendy eig(a) w Matlabie, choć dobrze jest porównać swoje wyniki z wartościami zwracanymi przez tą funkcję (66) Dana jest macierz ) (a) Wykazać, że macierz A jest dodatnio określona (b) Uzasadnić, że metoda Jacobiego zastosowana do tej macierzy jest zbieżna (c) Zilustrować tę metodę obliczając pierwszych sześć przybliżeń rozwiązania równania startując od x () = (,,, ) T x = 2 2 2, (67) Rozważamy metodę iteracyjną x (k+) = (I A)x (k) + b, k Udowodnić, że jeśli macierz A jest (silnie) diagonalnie dominująca i ma jedynki na diagonali, tzn spełnia nierówności a ii = > to metoda jest zbieżna j=,j i a ij, ( i n),
13 3 (68) Opisać algorytm wyznaczania największej co do modułu wartości własnej macierzy metodą potęgową Zastosować metodȩ do macierzy , startując od wektora x = (,, ) T (69) Proszę opisać algorytm wyznaczania największej co do modułu wartości własnej macierzy metodą potęgową Zastosować tą metodę do macierzy , startując od wektora x = (,, ) T (6) Dana jest macierz [a ij ] n i,j= Kołami Gershgorina macierzy A nazywamy zbiory D i := {z C : z a ii że n j=,j i σ(a) := {λ C : A λi jest osobliwa} (6) Zlokalizować σ(a) widmo macierzy a ij } Proszę wykazać, n D i (62) Niech A będzie macierzą diagonalną diag(a,, a n ) oraz à = A+E, gdzie e ii = dla i =,, n Wykazać, że jeśli λ σ(a), to istnieje takie k ( k n), że zachodzi oszacowanie a k λ e kj (63) Dane są macierze [ ] 2 j= E = [ ] ε ε Proszę obliczyć wartości własne macierzy A oraz macierzy A + E Porównaj wyniki z oszacowaniem w punkcie (62) (64) Zlokalizuj wartości własne poniższej macierzy stosując twierdzenie Gerszgorina i=
14 4 (65) Dana jest macierz: Znaleźć przybliżoną wartość własną wykonując 2 kroki iteracji metodą potęgową dla macierzy A i A Przyjąć wektor startowy x = (,, ) T (7) Niech 7 Równanie normalne, rozkład SVD 3 a) Rozwiązać zadanie minimalizacji, b = min x Ax b b) Pokazać, że w obliczona w arytmetyce o 6 cyfrach mantysy macierz A A jest nieodwracalna c) Rozwiązać równanie normalne w arytmetyce o 7 cyfrach mantysy, porównać z rozwiązaniem z punktu a d) Rozwiązać problem minimalizacji w arytmetyce o 7 cyfrach mantysy za pomocą rozkładu QR (72) Pokazać, że istnieje rozkład SVD macierzy wymiaru n i n (krok pierwszy dowodu indukcyjnego istnienia rozkładu SVD) (73) Obliczyć rozkład SVD macierzy 3 3 (74) Obliczyć wartości własne i singularne macierzy A + εe n e gdzie A jest blokiem Jordana rozmiaru n o wartości własnej zero (w wersji z jedynkami nad przekątną) 8 Numeryczne wyznaczanie zer (8) Stosując metodę połowienia (bisekcji) wyznaczyć pierwiastek równania f(x) = x 3 x + w przedziale [ 2, 2] (82) Znaleźć rozwiązanie równania x 2 = w przedziale [ 3, 5] metodą bisekcji zakładając wielkość błędu równą 25 (83) Za pomocą metody Newtona proszę obliczyć pierwiastek 2 (84) Rozwiąż podane równanie nieliniowe x 2 = metodą stycznych przyjmując punkt startowy x = 9 i wielkość błędu równą 25 9 Interpolacja (9) Wyznaczyć wielomian P stopnia 3 dla którego zachodz a warunki: P () = 3, P ( 3 2 ) =, P (2) =, P (3) = 2 Zapisać P przy pomocy wzoru interpolacyjnego Lagrange a oraz wzoru interpolacyjnego Newtona
15 5 (92) Niech x,, x n bȩd a różnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech L (x),, L n (x) bȩd a wielomianami stopnia n takimi, że L i (x k ) = δ i,k dla i, k =,,, n Obliczyć n i= L i()x j i dla j =,,, n + (93) Niech x, x,, x m bȩd a różnymi liczbami rzeczywistymi Pokazać, że f[x, x,, x m ] = m f(x i) i= Φ (x, gdzie Φ(x) = (x x i) )(x x ) (x x m ) (94) Funkcjȩ ln(x) interpolujemy wielomianem drugiego stopnia w wȩzłach,, 2 Oszacować bł ad interpolacji w punkcie (95) Niech f : [a, b] R bȩdzie funkcj a klasy C tak a, że dla pewnej stałej M > oraz dla każdego x [a, b] oraz i N zachodzi f (i) (x) < M Ponadto niech, dla każdego n N, A n bȩdzie (n + )-elementowym podzbiorem [a, b], a P n wielomianem stopnia n takim, że P n An = f An Czy ci ag {P n } jest zbieżny jednostajnie do f na [a, b]? (96) Dana jest funkcja I(x) = π π cos(x sin t)dt Niech P n (x) bȩdzie wielomianem stopnia n interpoluj acym funkcjȩ I w n + równoodległych wȩzłach na przedziale [, ] Czy ci ag {P n } jest zbieżny jednostajnie do I na przedziale [, ]? (97) Wyznaczyć wielomian Q(x) stopnia co najwyżej czwartego taki, że Q() = Q () =, Q() = Q () =, Q(2) = (98) Wyznaczyć wielomian P (x) stopnia co najwyżej czwartego taki, że P ( 2) = 3, P ( ) = 3, P ( ) = 2, P ( ) = 2 oraz P () = 3 (99) Funkcjȩ f C n+ ([, ]) interpolujemy w wȩzłach x, x,, x n [, ] wielomianem P n stopnia n Wtedy sup x [,] P n (x) f(x) α, gdzie α = max z [,] f (n+) (z) max x [,] (x x )(x x ) (x x n ) (n + )! W jaki sposób należy wybrać wȩzły, żeby α było najmniejsze? Wykonać odpowiednie rachunki (obliczyć również α) dla n = 2 oraz f(x) = x+3 (9) Pokazać, że dla n + wȩzłów x < x < < x n < π oraz wartości y,, y n istnieje dokładnie jeden wielomian trygonometryczny C(x) = a j cos(jx) j= taki, że C(x k ) = y k Czy teza twierdzenia pozostaje prawdziwa jeśli wȩzły wybieramy z przedziału [ π 2, π 2 ]?
16 6 (9) Wyznaczyć wielomian P stopnia 3 dla którego zachodzą warunki: P () = 3, P ( 3 2 ) =, P (2) =, P (3) = 2 Zapisać P przy pomocy wzoru interpolacyjnego Lagrange a oraz wzoru interpolacyjnego Newtona (92) Niech x,, x n będą różnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech L (x),, L n (x) będą wielomianami stopnia n takimi, że L i (x k ) = δ i,k dla i, k =,,, n Obliczyć n i= L i()x j i dla j =,,, n + (93) Niech x, x,, x m będą różnymi liczbami rzeczywistymi Pokazać, że f[x, x,, x m ] = m f(x i) i= Φ (x, gdzie Φ(x) = (x x i) )(x x ) (x x m ) (94) Funkcję ln(x) interpolujemy wielomianem drugiego stopnia w węzłach,, 2 Oszacować błąd interpolacji w punkcie (95) Niech f : [a, b] R będzie funkcją klasy C taką, że dla pewnej stałej M > oraz dla każdego x [a, b] oraz i N zachodzi f (i) (x) < M Ponadto niech, dla każdego n N, A n będzie (n + )-elementowym podzbiorem [a, b], a P n wielomianem stopnia n takim, że P n An = f An Czy ciąg {P n } jest zbieżny jednostajnie do f na [a, b]? (96) Dana jest funkcja I(x) = π π cos(x sin t)dt Niech P n (x) będzie wielomianem stopnia n interpolującym funkcję I w n + równoodległych węzłach na przedziale [, ] Czy ciąg {P n } jest zbieżny jednostajnie do I na przedziale [, ]? (97) Wyznaczyć wielomian Q(x) stopnia co najwyżej czwartego taki, że Q() = Q () =, Q() = Q () =, Q(2) = (98) Wyznaczyć wielomian P (x) stopnia co najwyżej czwartego taki, że P ( 2) = 3, P ( ) = 3, P ( ) = 2, P ( ) = 2 oraz P () = 3 (99) Funkcję f C n+ ([, ]) interpolujemy w węzłach x, x,, x n [, ] wielomianem P n stopnia n Wtedy sup x [,] P n (x) f(x) α, gdzie α = max z [,] f (n+) (z) max x [,] (x x )(x x ) (x x n ) (n + )! W jaki sposób należy wybrać węzły, żeby α było najmniejsze? Wykonać odpowiednie rachunki (obliczyć również α) dla n = 2 oraz f(x) = x+3 (92) Pokazać, że dla n + węzłów x < x < < x n < π oraz wartości y,, y n istnieje dokładnie jeden wielomian trygonometryczny C(x) = a j cos(jx) j= taki, że C(x k ) = y k Czy teza twierdzenia pozostaje prawdziwa jeśli węzły wybieramy z przedziału [ π 2, π 2 ]?
17 7 (92) Przeprowadzić następujący eksperyment Wybrać funkcję na odcinku [,] Następnie razy wybieramy losowo 5 różnych punktów na [,] jako węzły interpolacji Wyznaczyć, która z interpolacji (tzn który wybór punktów) była najlepsza Czy jest to zgodne z teorią? (922) Znaleźć wielomian Lagrange a L 3 (x), L 3 (x), L 3 3(x) dla podanych węzłów: ( 2, 3), (, ), (, ), (2, 5) (923) Znaleźć wielomian interpolacyjny Lagrange a dla funkcji f(x) = x dla x = 2, x = 25, x 2 = 4 (924) Obliczyć za pomocą interpolacji Lagrange a następujące wartości danych funkcji: a) f(x) = x dla x = 7, b) f(x) = 6 x dla x = 5, 2 c) f(x) = log x dla x = 3 (925) Wyznaczyć wielomiany interpolacyjne Lagrange a stopnia, 2, 3, 4 i obliczyć f(25) jeśli: f(2) = 54, f(22) = 528, f(24) = 54, f(26) = 483, f(28) = 4359 (926) Obliczyć ilorazy różnicowe dla funkcji, której wartości są następujące: f() =, f(2) =, f(4) = 3, f(5) = 2 (927) Znaleźć wielomian interpolacyjny Newtona mając dane węzły: (, 4), (, ), (, ), (2, 5) (928) Przedstaw wielomiany w postaci Newtona: a) f(x) = 3x 2 5x + 6 dla x =, 2, 3, b) f(x) = 3x 2 9x + 8 dla trzech dowolnie wybranych punktów, c) f(x) = x 3 2x + 8 dla czterech dowolnie wybranych punktów (929) Proszę wyznaczyć wielomian P stopnia 3 dla którego zachodzą następujące warunki: P () = 3, P ( 3 2 ) =, P (2) =, P (3) = 2 Zapisz P przy pomocy wzoru interpolacyjnego Lagrange a oraz wzoru interpolacyjnego Newtona (93) Niech x,, x n będą różnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech L (x),, L n (x) będą wielomianami stopnia n takimi, że L i (x k ) = δ ik dla i, k =,,, n Obliczyć n L i ()x j i dla j =,,, n + i= (93) Niech f : [a, b] R będzie funkcją klasy C taką, że dla pewnej stałej M > oraz dla każdego x [a, b] oraz i N zachodzi f (i) (x) < M Ponadto niech, dla każdego n N, A n będzie (n + )-elementowym podzbiorem [a, b], a P n wielomianem stopnia n takim, że P n An = f An Czy ciąg {P n } jest zbieżny jednostajnie do f na [a, b]? (932) Niech x,, x n będą różnymi liczbami rzeczywistymi Pokazać, że f[x, x,, x n ] = f(x i) Φ (x, gdzie Φ(x) = (x x i) )(x x ) (x x n ) i= (933) Znajdź wielomian interpolacyjny Hermite a, wiedząc, że: a) f(2) =, f (2) = 2, f (2) =, f(3) =, f (3) = 2; b) f(2) =, f(4) =, f (4) =, f (4) = (934) Oszacuj błąd powstały przy interpolacji Lagrange a przy: a) obliczaniu f(x) = 7 przy węzłach w punkach, 4 i 9; b) obliczaniu f(x) = sin π 36 znając wartości sin, sin π 6, sin π 4, sin π 3
18 8 (935) Dla funkcji f(x) = 3xe x e 2x obliczyć f(3) za pomocą wzorów interpolacyjnych Hermite a stopnia 3, przyjmując punkty węzłowe x = i x = 5 Oszacuj błąd interpolacyjny (936) Znaleźć wielomian interpolujący (trygonometryczny) funkcję daną wzorem { f(x) = x dla x [, π] 2π x dla x [π, 2π] w węzłach x =, x = π 2, x 2 = π, x 3 = 3π 2 (937) Wyznacz funkcję sklejaną stopnia 2, która w punktach x =, x =, x 2 = 2, x 3 = 3 ma wartości, 9, 2, (938) Dla tych samych danych z poprzedniego zadania wyznacz funkcję sklejaną stopnia 3 (939) Pokazać, że dla n + węzłów x < x < < x n < π oraz wartości y,, y n istnieje dokładnie jeden wielomian trygonometryczny W (x) = a j cos(jx) j= taki, że W (x k ) = y k Czy teza twierdzenia pozostaje prawdziwa jeśli węzły wybieramy z przedziału [ π 2, π 2 ]? Aproksymacja () Wyznaczyć rodziny wielomianów ortogonalnych związanych z następującymi funkcjami wagowymi: (a) w(x) = (x( x)) 2, dla x [, ], (b) w(x) =, dla x [, ] (2) Wyznaczyć wielomiany ortogonalne ϕ n (x) (n =,, 2, 3) ze współczynnikiem wiod"acym dla funkcji wagowej w(x) = + x 2 i x [, ] (3) Wyznaczyć wielomiany ortogonalne ϕ n (x) (n =,, 2, 3, 4) ze współczynnikiem wiod"acym na zbiorze { 2,,,, 2} z wag"a w i = dla i = 2,,,, 2 (4) Pokazać, że jeśli x = cos(φ) to U n (x) = sin(n+)φ sin φ jest wielomianem n-tego stopnia spełniającym wzór rekurencyjny: U n+ (x) = 2xU n (x) U n (x) Pokazać, że {U n } jest rodziną wielomianów ortogonalnych wzgl"edem funkcji wagowej w(x) = ( x 2 ) 2, dla x [, ] (5) Dla funkcji f(x) = π 2 x 2 oraz ustalonej liczby n N wyznaczyć wielomian trygonometryczny C(x) = n j= c j cos(jx) minimalizujący wartość wyrażenia π f(x) C(x) 2 dx (6) Wyznaczyć wielomian trygonometryczny H(t) = a + a sin( 2πt 2 ) + a 2 cos( 2πt 2 ) minimalizujący wartość wyrażenia 5 i= H(2s) G(2s) 2, jeśli G() =, G(2) = 6, G(4) = 4, G(6) = 6, G(8) = 2, G() = 8
19 9 (7) Niech {ϕ n } n= będzie ciągiem wielomianów zmiennej rzeczywistej o współczynnikach rzeczywistych takich, że ϕ n jest wielomianem stopnia n, ortogonalnym względem wszystkich wielomianów niższego stopnia w przedziale [a, b] z ciągłą wagą w : [a, b] [, ) Niech U n C n ([a, b]) będzie rozwiązaniem równania w(x)ϕ n (x) = dn U n (x) dx n Pokazać, że funkcja U n spełnia równanie [ U (n ) n q U (n 2) q + U (n 3) q + ( ) n U n q (n )] b = n n w którym q(x) jest dowolnym wielomianem stopnia co najwyżej n, a [ ] b F := F (b) F (a) dla dowolnej funkcji F na przedziale [a, b] a (8) Niech L n (x) = e x dn dx (e x x n ) dla n =,, 2, Pokazać, że {L n n } n= jest ciągiem wielomianów ortogonalnych względem funkcji wagowej w(x) = e x, gdzie x [, ) Wykazać, że zachodzi związek rekurencyjny L n+ = (2n + x)l n (x) n 2 L n (x), n (9) Dla funkcji f(x) = sin x określonej w przedziale [, π 2 ] znaleźć wielomian p Π 4 taki, że π 2 f(x) p(x) 2 dx = min q Π 4 π 2 f(x) q(x) 2 dx, gdzie Π 4 jest zbiorem wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych co najwyżej czwartego stopnia, (9) rozwiązując odpowiedni układ normalny, (92) stosując wielomiany Legendre a () Napisać program/funkcję która mając daną wagę i stopień wielomianu oblicza odpowiedni wielomian ortogonalny a następnie umieszcza na osi jego miejsca zerowe () Wyznacz funkcję liniową aproksymującą punkty (, ), (2, 25), (3, 35), (4, 4) Wyznacz błąd aproksymacji w sensie normy maksimum (2) Wyznacz parabolę aproksymującą punkty (, 5), (2, 7), (4, 5), (6, 4), (8, 25), (, 2) Wyznacz błąd aproksymacji w sensie normy maksimum (3) Dla zestawu danych x i znajdź wielomian aproksymacyjny stopnia a) pierwszego b) drugiego w bazie wielo- y i mianów ortogonalnych Wyznacz błąd aproksymacji w sensie normy maksimum (4) Wyznacz aproksymację trygonometryczną dla punktów (, 3), ( π 3, 2), (2π 3, 3), (π, ), ( 4π 3, ), (5π 3, 2) (5) Znaleźć wielomian drugiego stopnia najlepiej przybliżający, w sensie metryki średniokwadratowej funkcję f(x) = x w przedziale [, 2] (6) Wyznaczyć rodziny wielomianów ortogonalnych związanych z następującymi funkcjami wagowymi: (6) w(x) = (x( x)) 2 dla x [, ], a
20 2 (62) w(x) = dla x [, ] (7) Wyznaczyć wielomiany ortogonalne ϕ n (x) (n =,, 2, 3) ze współczynnikiem wiodącym dla funkcji wagowej w(x) = + x 2 i x [, ] (8) Proszę pokazać, że jeśli x = cos(φ) to U n (x) = sin(n+)φ sin φ jest wielomianem n-tego stopnia spełniającym wzór rekurencyjny: U n+ (x) = 2xU n (x) U n (x) Pokazać, że {U n } jest rodziną wielomianów ortogonalnych względem funkcji wagowej w(x) = x 2 dla x [, ] (9) Niech L n (x) = e x dn dx (e x x n ) dla n =,, 2, Proszę pokazać, że n {L n } n= jest ciągiem wielomianów ortogonalnych względem funkcji wagowej w(x) = e x, gdzie x [, ) Wykazać, że zachodzi związek rekurencyjny: L n+ = (2n + x)l n (x) n 2 L n (x), n Całkowanie numeryczne () Obliczyć xdx za pomocą metody prostokątów z h = /4 trapezów z h = /4 Newtona-Cotesa z węzłami inerpolacji w punktach /8, 3/8, 5/8, 7/8 (najwygodniej posłużyć się tu programem komputerowym do rozwiązania układu równań 4 4, można też ewentualnie zmniejszyć liczbę węzłów do trzech) Porównać otrzymane wyniki z rzeczywistą wartością xdx Który ze sposobów okazał się lepszy, dlaczego? (2) Wykazać, że wzór trapezów dla całkowania w przedziale o długości 2π i dla h = 2π/(n + ) jest dokładny dla wszystkich wielomianów trygonometrycznych stopnia n o okresie 2π, tzn dla funkcji postaci c k e ikt, c k C k= n (3) Wyprowadzić dwupunktowy wzór Gaussa dla całki f(x)dx Skorzystać z wzajemnie jednoznacznego przekształcenia afinicznego odcinka [a, b] (a < b) na [, ] i wyprowadzić dwupunktowy wzór Gaussa dla całki b a f(x)dx (4) W oparciu o wielomiany Czebyszewa wyprowadzić k + punktowy wzór całkowania dla całek postaci f(x)( x 2 ) /2 dx, dokładny dla wielomianów stopnia 2k + (5) Oszacować błąd obcięcia przy obliczaniu całki x4 sin xdx metodą Newtona- Cotesa z węzłami, /2,, /2, (Zastosować teorię z [Björck, Dahlquist, rozdział 746]) (6) (6) Pokazać, że dla dowolnego M i dla dowolnego n istnieje funkcja ciągła f na przedziale [, ] taka, że błąd obcięcia przy
21 obliczaniu całki f(t)dt metodą prostokątów z h = 2 k jest większy niż M dla k =, n (62) Pokazać, że f w punkcie (a) może być wybrane w klasie wielomianów (63) Czy powyższe zjawisko zachodzi dla również dla metod Newtona- Cotesa i Gaussa? (7) Stosując metodę trapezów oblicz całkę π 2 sin xdx dzieląc przedział na cztery części (8) Stosując metodę Simpsona oblicz poniższe całki dzieląc przedział całkowania na N części: (8) (x 2 + 2x)dx dla N = (82) 3 (x 2 3x + 5)dx dla 4, N = 3, (9) Stosując metodę Newtona-Cotesa (przy interpolacji wielomianem 3-go stopnia), obliczyć całkę: 2 ( 8x 3 + 4x 2 + 2x + 8)dx () Wyznacz współczynniki kwadratury, która jest oparta na interpolacji Lagrange a dla węzłów x =, x =, x 2 = 2, x 3 = 3 () Policz przybliżoną wartość całki funkcji (2) Policz dla węzłów z poprzedniego zadania π 3 x x 2 dx stosując kwadraturę + sin xdx korzystając z przybliżenia funkcji podcałkowej wielomianem interpolacyjnym Lagrange a dla węzłów x =, x = π 3, x 2 = 2π 3, x 3 = π Podaj górne oszacowanie na błąd tej kwadratury (3) Oblicz xdx za pomocą metody: (3) prostokątów z h = 4, (32) trapezów z h = 4, (33) Newtona-Cotesa z węzłami interpolacji w punktach 8, 3 8, 5 8, 7 8 (najwygodniej posłużyć się tu programem komputerowym do rozwiązania układu równań 4 4, można też ewentualnie zmniejszyć liczbę węzłów do trzech) Proszę porównać otrzymane wyniki z rzeczywistą wartością xdx Który ze sposobów okazał się lepszy, dlaczego? (4) Oblicz współczynniki (węzły i wagi) dla kwadratury Gaussa, gdy n = 2 (5) Wyprowadzić dwupunktowy wzór Gaussa dla całki f(x)dx Skorzystać z wzajemnie jednoznacznego przekształcenia afinicznego odcinka [a, b],
22 22 gdzie (a < b) na [, ] i wyprowadzić dwupunktowy wzór Gaussa dla całki b a f(x)dx (6) Stosując kwadraturę Gaussa dla dwóch węzłów oblicz całkę )dx (7) Oblicz całkę π/2 (4x 3 +5x 2 + sin xdx stosując kwadraturę Gaussa dla trzech węzłów (8) W oparciu o wielomiany Czebyszewa wyprowadzić k + -punktowy wzór całkowania dla całek postaci f(x)( x 2 ) 2 dx, dokładny dla wielomianów stopnia 2k +
Bardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005
kolokwium2a-15grudnia2005 1.Niechf(x)=a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 0.Jakąwartośćprzyjmujeilorazróżnicowy f[x 0,...,x n ]dladowolnychn+1paramiróżnychwęzłówx j?odpowiedźuzasadnić. 2. Pokazać, że zamiana zmiennych
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1
Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne /7 Warunkiem koniecznym (nie wystarczającym) uzyskania zaliczenia jest rozwiązanie co najmniej 3 z poniższych zadań, przy czym zadania oznaczone literą O
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.
INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl METODY NUMERYCZNE Metody numeryczne zbiór metod rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe i Metody Numeryczne Przykładowe zadania z Analizy Numerycznej z poprzednich lat 5 października 2009
Obliczenia Naukowe i Metody Numeryczne Przykładowe zadania z Analizy Numerycznej z poprzednich lat 5 października 2009 1. Co to jest epsilon maszynowy? Napisać schemat algorytmu obliczania w komputerze
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski
Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowo, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.
Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykład 8 Interpolacja wielomianowa Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Wielomian interpolujący Wzór interpolacyjny Newtona Wzór interpolacyjny
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Obliczenia Naukowe Nazwa w języku angielskim : Scientific Computing. Kierunek studiów : Informatyka Specjalność
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoElementy Analizy Numerycznej - opracowanie pytań egzaminacyjnych
Elementy Analizy Numerycznej - opracowanie pytań egzaminacyjnych baszmen, entereczek, JG, kubked, MK, PajdziuPaj Vertyk WI-INFA września 0 Spis treści Teoria. Co to znaczy, że algorytm obliczeniowy jest
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoMetody dekompozycji macierzy stosowane w automatyce
Metody dekompozycji macierzy stosowane w automatyce Grzegorz Mzyk Politechnika Wrocławska, WydziałElektroniki 23 lutego 2015 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Rozkład LU 3 Rozkład spektralny 4 Rozkład Cholesky
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
5. Aproksymacja Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Paweł Urban Jakub Ptak Łukasz Janeczko
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowo2.2 Udowodnić,żejeżelif(x)=(x x 0 )(x x 1 )...(x x p ),to[x 0,x 1,...,x n ;f]= 0dlan p.jakajestwartośćtegoilorazu,gdyn=p+1?
2.2 Udowodnić,żejeżelif(x)=(x x 0 )(x x 1 )...(x x p ),to[x 0,x 1,...,x n ;f]= 0dlan p.jakajestwartośćtegoilorazu,gdyn=p+1? Definicja ilorazu różnicowego: [x l,x l+1,...,x l+k ;f]= l+k l+k i=l j=l j i
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1: Zagadnienia do opanowania:
Laboratorium komputerowe oraz Ćwiczenia rachunkowe z przedmiotu Metody obliczeniowe Prowadzący: L. Bieniasz (semestr letni 018) Zagadnienia do opanowania przed zajęciami, pomocnicze zadania rachunkowe
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 14 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoLaboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowo04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia. Przykład 1 A =
04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia 1. Wstęp Środowisko Matlab można z powodzeniem wykorzystać do rozwiązywania układów równań z wykorzystaniem rozkładów macierzy m.in. Rozkładu Choleskiego,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowo3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x
Bardziej szczegółowo5. Twierdzenie Weierstrassa
Pytania egzaminacyjne z Metod Numerycznych 1. Jaką największą liczbę można zapisać w postaci znormalizowanej w dwójkowym systemie liczenia na 8-miu bitach podzielonych 4 + 4 na mantysę i cechę, jeśli zarówno
Bardziej szczegółowoPrzykładowy program ćwiczeń
Przykładowy program ćwiczeń Ćwiczenie 1. Obliczenie funkcji elementarnych za pomocą szeregów. Opracowanie wyrażeń rekurencyjnych. 3 4 Realizacja w Ecelu funkcji e 1. 1!! 3! 4! Przykład 1: Obliczenie wartości
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoInterpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne
Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures.
Algorytmy i struktury danych. Metody numeryczne ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures. dzienne magisterskie Numerical methods. (Part 2. Numerical methods)
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowodr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska
Program wykładów z metod numerycznych na semestrze V stacjonarnych studiów stopnia I Podstawowe pojęcia metod numerycznych: zadanie numeryczne, algorytm. Analiza błędów: błąd bezwzględny i względny, przenoszenie
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowo