Metryzowalne przestrzenie topologiczne.

Transkrypt

1 I-1 H. Toruńczyk, Wykład z Topologii I, jesień Notatki te są uzupełnieniem wykładu. Układ materiału i jego ujęcie są bliskie skryptowi [BCPP], osiągalnemu pod i notatkom [P] prof. R. Pola, których kopie można uzyskać w punkcie xero na parterze budynku Wydziału MIM UW. Podstawowa literatura w języku polskim wymieniona jest w opisie przedmiotu w USOSie. Znacznie bogatsze wiadomości dotyczące większości wykładu zawierają piękne książki R. Engelkinga: Topologia Ogólna i Wstęp do topologii ogólnej. Dodatkową literaturę dotyczącą końcowej części wymienię dalej. Znak oznacza koniec rozumowania; znak ma podobne znaczenie, lecz używam go, gdy pewne fragmenty rozumowania wymagają uzupełnienia. Zadaniami nazwane są wyniki (różnej trudności, na ogół bardzo proste), które z pożytkiem powinny być udowodnione przez Czytelnika lub omówione na ćwiczeniach; polecenie dowieść bywa pomijane. Gwiazdka oznacza materiał trudniejszy lub dalej nie wykorzystywany, a przy tym wykraczający poza program. I Metryzowalne przestrzenie topologiczne. 1. Przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji między nimi. Definicja. Metryką na zbiorze X nazywamy tu taką funkcję d : X X [0, ], że (m0) d(x, x) = 0 dla x X, (m1) gdy x, y X i x y, to d(x, y) = d(y, x) > 0 (symetria i dodatność); (m2) d(x, y) + d(y, z) d(x, z) dla x, y, z X (nierówność trójkąta). Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór z wyróżnioną metryką na nim. Podprzestrzenią przestrzeni metrycznej (X, d) nazywamy każdy zbiór A X, rozpatrywany z metryką d A A, indukowaną przez d na A. Bywa, że dla krótkości metrykę d A A oznaczamy też przez d A, lub niekiedy nadal przez d. 1 Uwaga 1. a) W większości podręczników żąda się od metryki, by nie przyjmowała wartości. Gdy chcemy to zastrzec, będziemy mówić o metryce skończonej. b) Z (m2) wynika, że gdy d(x, z) + d(y, z) <, to d(x, y) d(x, z) d(y, z). Przykład 1. a) X = [, ], d(x, y) := x y (znane z AM I; gdy x = ± lub y = ± i x y, przyjmujemy x y = ); b) X = R k, d e (x, y) := k k i=1 (x i y i ) 2 (znane z geometrii, AM II, GAL II); c) X = C k, d(x, y) := i=1 x i y i 2 (znane (?) z GAL II); d) Gdy {(X s, d s ) : s S} jest rodziną przestrzeni metrycznych, to na zbiorze s S X s określimy metrykę ρ wzorem ρ((x s ), (y s )) := sup s S d s (x s, y s ); nazwiemy ją 1 Jednak d Z piszemy dla zaznaczenia, że d Z jest metryką na danym zbiorze Z tak więc trzeba odróżniać d Z od d Z.

2 I 1. I-2 metryką pudełkową na iloczynie s X s, wyznaczoną przez rodzinę {d s } s S metryk na jego osiach. (Sprawdzenie nierówności trójkąta pozostawione jest jako zadanie.) e) Gdy (X, d) jest przestrzenią metryczną, a S dowolnym zbiorem, to następujący wzór definiuje metrykę d sup na zbiorze X S wszystkich funkcji z S do X: d sup (f, g) := sup{d(f(s), g(s)) : s S}. Wynika to z d), gdy przyjąć tam X s = X s i utożsamić X S z s S X s. f) W szczególności, przestrzenią metryczną jest (R S, d sup ), gdzie R S to zbiór funkcji rzeczywistych, określonych na S, zaś d sup (f, g) := sup s S f(s) g(s) dla f, g R S. g) O rodzinie {(X s, d s ) : s S} z d) założmy dodatkowo, że zbiory X s są parami rozłączne. Niech X := s S X s i dla x, y X przyjmijmy d(x, y) = d s (x, y) jeśli x, y X s dla pewnego s S, zaś d(x, y) = w przeciwnym razie. Wówczas (X, d) jest przestrzenią metryczną, którą nazwiemy sumą rozłączną (lub: dyskretną) rozważanej rodziny przestrzeni metrycznych. h) Płaszczyzna R 2 z metryką rzeka d r, określoną w [BCPP]. i) Płaszczyzna R 2 z metryką kolejową d k, określoną w [BCPP]. j) Znaczenie w Analizie mają przestrzenie liniowe nad ciałem F {R, C}, wyposażone w normę, tzn. taką funkcję V v v [0, ), że v + w v + w, λv = λ v i v = 0 dla v, w V \ {0} i λ F. Normie odpowiada metryka skończona d, zdefiniowana wzorem d(v, w) := v w dla v, w V. (Sprawdzenie własności (m0), (m1) i (m2) pozostawione jest jako zadanie.) Ważna jej własność to przesuwalność: dla u, v, w V zachodzi d(v, w) = d(u+v, u+w). k) Przykłady takich przestrzeni i dalsze przykłady przestrzeni metrycznych podane będą na ćwiczeniach. Metryka umożliwia wprowadzenie ciągów zbieżnych i przekształceń ciągłych. Definicja. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. a) Dla x 0 X, przez B d (x 0, r) := {x X : d(x, x 0 ) < r} oznaczamy kulę otwartą w metryce d, o środku w x 0 i promieniu r. Gdy mowa o kulach otwartych, zakładamy r > 0. b) Ciąg punktów (x n ) n N w (X, d) nazywamy zbieżnym do punktu x 0 X, co oznaczamy x n x lub x = lim n x n, jeśli d(x n, x 0 ) 0. Stwierdzenie 1. Niech (X, d X ) i (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi, niech x 0 X i niech f : X Y będzie przekształceniem. Wówczas równoważne są warunki: (cp1) dla każdego ciągu (x n ) n N punktów przestrzeni X, zbieżnego do x 0 w przestrzeni (X, d X ), ciąg (f(x n )) jest zbieżny do f(x 0 ) w przestrzeni (Y, d Y ). (cp2) ε > 0 δ > 0 takie, że f(b dx (x 0, δ)) B dy (f(x 0 ), ε).

3 I-3 H. Toruńczyk, Wykład z Topologii I, jesień Definicja. Gdy powyższe dwa warunki są spełnione, przekształcenie f nazywamy ciągłym w punkcie x 0. Przekształcenie, ciągłe w każdym punkcie x 0 X, nazywamy ciągłym. By zaznaczyć wybór metryk, w miejsce f : X Y piszemy niekiedy f : (X, d X ) (Y, d Y ). (Wybór ten jest istotny!) Oto przykład wykorzystania definicji: Lemat 1. Niech (X, d) oraz (Y i, d i ) (i I) będą przestrzeniami metrycznymi, zaś (f i : X Y i ) i I układem przekształceń ciagłych. Wyposażmy Y := i I Y i w metrykę pudełkową ρ, opisaną w części d) przykładu 1. Gdy zbiór indeksów I jest skończony, to przekształcenie f : (X, d) (Y, ρ), dane wzorem f(x) = (f i (x)) i I dla x X, jest ciągłe. Dowód. Niech ε > 0 i x 0 X będą dane. Wobec ciągłości każdej z funkcji f i i skończoności zbioru I istnienieje taka liczba δ > 0, że f i (B d (x 0, δ)) B di (f(x 0 ), ε) i I. Z definicji metryki ρ wynika, że f(b d (x 0, δ)) B ρ (f(x 0 ), ε), co dowodzi tezy. Zadanie 1. a) Dla i N, niech (X, d) := (Y, d i ) := (R, d e ) oraz f i (x) = ix. Czy zdefinowane w lemacie przekształcenie f jest ciągłe? b) Dowieść, że przekształcenie f z lematu będzie ciągła jeśli I = N i założyć dodatkowo, że dla pewnego układu (c i ) i V liczb dodatnich, zbieżnego do zera, zachodzi d i c i i I. Ze względu na warunek (cp2), pochodzący od Cauchy ego, warto mieć wyobrażenie o postaci kul w badanych przestrzeniach. Możemy też warunek (cp2) modyfikować, posługując się pojęciem otoczenia i zbioru otwartego. Zadanie 2. Naszkicować kule otwarte o promieniu r w sytuacjach opisanych w przykładzie 1: w b) przy k = 2 i k = 3, w e) przy S = {1, 2} i X = [0, 1], w g) przy X s = R {s} i S = {1, 2}, oraz w h) i i). Definicja. W przestrzeni metrycznej (X, d), otoczenie puktu x 0 to zbiór, zawierający pewną kulę otwartą B d (x 0, r) wokół x 0 ; zbiór otwarty to taki, który jest otoczeniem każdego swego punktu; rodzinę wszystkich zbiorów otwartych w (X, d) oznaczmy przez T (d), a rodzinę wszystkich kul otwartych przez B(d). (Zauważmy, że T (d)!) Uwaga 2. Gdy G 1 i G 2 są otoczeniami punktu x 0, to G 1 G 2 też nim jest. Zadanie 3. a) B(d) T (d) czyli kule otwarte są zbiorami otwartymi. b) Wywnioskować, że gdy B 1, B 2 B(d) i x B 1 B 2, to x B B 1 B 2 dla pewnej kuli B B(d). Stwierdzenie 2. Warunki (cp1) i (cp2) są też równoważne każdemu z następujących:

4 I 1. I-4 (cp3) Dla każdej kuli otwartej B w przestrzeni (Y, d Y ), o środku w f(x 0 ), jej przeciwobraz f 1 (B) jest otoczeniem punktu x 0 w przestrzeni (X, d X ). (cp4) Dla każdego otoczenia G punktu f(x 0 ) w przestrzeni (Y, d Y ), jego przeciwobraz f 1 (G) jest otoczeniem punktu x 0 w przestrzeni (X, d X ). Wniosek 1. Gdy (X i, d i ) są przestrzeniami metrycznymi, i = 1, 2, 3, a przekształcenia f : (X 1, d 1 ) (X 2, d 2 ) i g : (X 2, d 2 ) (X 3, d 3 ) są ciągłe w punktach x 0 X oraz f(x 0 ), odpowiednio, to złożenie g f : (X 1, d 1 ) (X 3, d 3 ) jest ciągłe w punkcie x 0. W szczególności, gdy f i g są ciągłe, to ich złożenie g f też jest ciągłe. Gdy zastosować kryterium (cp4), dowód wynika z równości (g f) 1 (G) = f 1 (g 1 (G)) dla G X 3. Twierdzenie 1. Przeształcenie f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru W T (d Y ) zachodzi f 1 (W ) T (d X ) (czyli: gdy przeciwobraz każdego zbioru, otwartego w przestrzeni (Y, d Y ), jest otwarty w przestrzeni (X, d X )). Dowód. Niech przekształcenie f będzie ciągłe i niech W T (d X ). Dla dowolnego punktu x 0 f 1 (W ) zachodzi f(x 0 ) W, skąd W jest otoczeniem punktu f(x 0 ), wobec otwartości zbioru W. Na podstawie stwierdzenia 1 i ciągłości f w punkcie x 0, zbiór f 1 (W ) jest więc otoczeniem (każdego swego) punktu x 0 a zatem jest otwarty. Odwrotnie, niech f 1 (W ) T (d X ) dla każdego zbioru W T (d Y ). By dowieść ciągłości f w dowolnym punkcie x 0 X, obierzmy otoczenie G jego obrazu f(x 0 ). Zauważmy, że f(x 0 ) W G dla pewnego W T (d Y ) możemy bowiem za W przyjać kulę wokół f(x 0 ), zawartą w G. Ponieważ (z założenia) f 1 (W ) T X, więc zbiór f 1 (G), zawierający f 1 (W ), jest (z definicji) otoczeniem punktu x 0. Warunek (cp4) jest więc spełniony i funkcja f jest ciągła w x 0. Uwaga 2. Jest ważne, że w twierdzeniu występują przeciwobrazy zbiorów otwartych w Y, nie zaś obrazy zbiorów otwartych w X. Dla przykładu rozpatrzmy podprzestrzenie X = [0, 1] {0} i Y = {(0, 1) (0, 1] {0} płaszczyzny (R 2, d e ), zaś przekształcenie f : X Y określmy wzorem f(x) = x gdy x (0, 1] i f(0, 0) = (0, 1). Przekształcenie to nie jest ciągłe w punkcie x 0 = (0, 1), choć f(u) T Y dla każdego U T X. W oparciu o twierdzenie 1, można nie tylko badać ciągłość funkcji, ale poniekąd odwrotnie dowodzić otwartości zbiorów w oparciu o ciagłość odpowiednich funkcji. Jest to schemat dość skuteczny, bo wcześniejsze wyniki ułatwiają uzasadnienie ciągłości. Przykład 2. Niech U := {(x, y) R 2 : sin(x 2 + y 3 ) < exp(xy)}; dowiedziemy otwartości zbioru U w płaszczyźnie R 2, wyposażonej w metrykę d sup opisaną w części f) przykładu 1, dla S = {1, 2}. W tym celu zauważmy, że U = f 1 ((0, )), gdzie f(x, y) := exp(xy) sin(x 2 +y 3 ). Ponieważ zbiór (0, ) jest otwarty w R, więc zbiór U będzie otwarty w R 2, o ile funkcja f jest ciągła. Oczywiście, f = g (u, v), gdzie g, u, v : R 2 R są takie:

5 I-5 H. Toruńczyk, Wykład z Topologii I, jesień g(s, t) = s t, u(x, y) = exp(xy) i v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ) Wobec lematu 1 i wniosku 1, pozostaje dowieść ciągłości każdej z tych funkcji. Z nich, u i v można w podobny sposób przedstawić jako złożenie, w odpowiedniej kolejności, następujących funkcji (niżej, nadal R i R 2 rozpatrujemy z opisanymi już metrykami): x x 2 i y y 3 (obie z R do R), (s, t) s + t i (x, y) xy (obie z R 2 do R), z exp(z) i z sin(z) (obie z R do R). Ponieważ ciągłość funkcji exp, sin i wielomianowych zapewniają odpowiednie wyniki z AM1, więc rzecz sprowadza się do wykazania ciągłości funkcji (s, t) s + t (co zapewni także ciągłość funkcji g) oraz funkcji (x, y) xy. Uwaga 3. Podkreślmy, że dowiedliśmy otwartości zbioru U na płaszczyźnie R 2, wyposażonej w metrykę d sup. Zbiór U jest też otwarty, gdy R 2 wyposażyć w metrykę euklidesową d e, lecz uzasadnienie da dopiero zadanie 3 w następnym paragrafie. Użyteczne są proste kryteria, ułatwiające rozpoznawanie funkcji ciągłych. Zadanie 4. Niech (X, d) i (Y, ρ) będą przestrzeniami ze skończonymi metrykami. a) Jeśli przekształcenie f : (X, d) (Y, ρ) spełnia warunek Lipschitza, tzn. istnieje stała L > 0 taka, że ρ(f(x 1 ), f(x 2 )) L d(x 1, x 2 ), to jest ono ciągłe. b) Gdy F jest rodziną funkcji z (X, d) do (R, d e ), spełniających warunek Lipschitza z daną stałą L, to funkcje x inf f F f(x) i x sup f F f(x) też ten warunek spełniają lub są stale równe lub, odpowiednio. c) W szczególności, gdy = A X, to funkcja x dist d (x, A) := inf a A d(x, a) spełnia warunek Lipschitza ze stałą 1 i zeruje się dokładnie na domknięciu zbioru A. d) Dowieść, że gdy K i L są rozłącznymi zbiorami domkniętymi w (X, d), to istnieje funkcja ciągła f : X [0, 1] taka, że f 1 (0) = K i f 1 (1) = L. Gdy zaś ponadto zbiory U K i V L są otwarte w X i rozłączne, to można też żądać, by f 1 ( 1 2 ) = X\(U V ). Uwaga 4. Przy oznaczeniach przykładu 1d), każde rzutowanie π t : ( s S X s, ρ) (X t, d t ) spełnia warunek Lipschitza ze stałą 1, więc jest ciągłe. Zadanie 5. Niech A będzie wypukłym podzbiorem przestrzeni unormowanej (E, ). Dowieść, że dist d (tx + (1 t)x, A) tdist d (x, A) + (1 t)dist d (x, A) dla x, x E i t [0, 1], wobec czego dist d ( n i=1 t ix i, A) n i=1 t idist d (x i, A). (Tu, d jest metryką wyznaczoną przez normę, patrz przykład 1j).) 2. Ogólne przestrzenie topologiczne: podstawowe pojęcia. Dla zadanej przestrzeni metrycznej (X, d), zapiszmy podstawowe własności rodzin T = T (d) i B = B(d), złożonych z jej wszystkich zbiorów otwartych i wszystkich kul otwartych, odpowiednio. Rodzina B ma takie własności (co do (B2), patrz zadanie 3b) w 1):

6 I 2. I-6 (B1) B = X (B2) gdy B 1, B 2 B i x B 1 B 2, to x B B 1 B 2 dla pewnego B B. Z definicji rodziny T = T (d) wynika związek między B i T : (Z) U T (U = B U dla pewnej rodziny B U B). 2 Z (B1), (B2) i (Z) wynikają zaś łatwo trzy proste własności rodziny T zbiorów otwartych: (O1) X T i T (zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami otwartymi); (O2) (O3) U 1 U 2 T dla U 1, U 2 T ; Gdy U T, to U T. Rodzina T jest więc zamknięta względem tworzenia przecięć skończenie wielu swych elementów czy tworzenia sum mnogościowych dowolnie wielu swych elementów. Twierdzenie 1 w 1 posłużyć może do rozpoznania ciągłości funkcji f : (X, d) (Y, ρ), gdy tylko znane są rodziny T (d) i T (ρ) zbiorów otwartych w (X, d) i w (Y, ρ); znajmość metryk d i ρ nie jest do tego potrzebna. Warto też zauważyć, że zagadnienie związane z ciągłością lub zbieżnością nie zawsze umiemy badać posługując się topologią wyznaczoną przez metrykę. Na przykład, nie umiemy przy pomocy żadnej metryki opisać zbieżnoś ciągu funkcji w każdym punkcie t [0, 1]; można to jednak zrobić, jeśli posłużyć się ogólniejszą topologią, spełniającą tylko warunki (O1), (O2), (O3). Tymi ogólnymi topologiami zajmiemy się bliżej dopiero w rozdziale II, lecz już teraz warto zwracać uwagę na to, które z przyjmowanych definicji lub dowodzonych wyników wymagają użycia metryki, a które tylko własności (O1), (O2) i (O3). Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy zbiór X, wyposażony w rodzinę T swych podzbiorów, spełniającą warunki (O1), (O2) i (O3). (Tak więc przestrzenią jest para (X, T ).) Rodzinę T nazywamy topologią tej przestrzeni, a jej elementy zbiorami otwartymi. Często przestrzenią nazywamy zbiór X, zakładając, że topologia T została wskazana. Definicja. Zbiór F w przestrzeni topologicznej (X, T ) nazywamy domkniętym, jeśli zbiór X \ F jest otwarty (czyli X \ F T ). Oczywiście, z własności (O1) (O3) rodziny T i praw de Morgana wynika, że: (C1) (C2) (C3) zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami domkniętymi; suma skończenie wielu zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym; część wspólna dowolnie wielu zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym. Definicja. a) Dla zbioru A w przestrzeni topologicznej (X, T ) przyjmujemy: IntA := {U T : U A}, A := {F : F A i F jest zbiorem domkniętym X} 2 Dopuszczamy mołiwość, że rodzina B U jest pusta dzięki czemu równoważność ma miejsce dla U =.

7 I-7 H. Toruńczyk, Wykład z Topologii I, jesień IntA nazywamy wnętrzem, a A domknięciem zbioru A; inne oznaczenie na A to cla. b) Zbiór A nazywamy gęstym, gdy A = X, zaś brzegowym gdy IntA =. c) Zbiór G X nazywamy otoczeniem zbioru A X w przestrzeni (X, T ), jeśli A IntG (równoważnie: jeśli A U G dla pewnego zbioru U T ). Zamiast otoczenie zbioru {x 0 } mówimy krócej otoczenie punktu x 0 X. Zadanie 1. Gdy (X, d) jest przestrzenią metryczną i T = T (d), to powyższa definicja otoczeń punktu x 0 jest zgodna z podaną w 1. Uwaga 1. a) Zbiór A jest domknięty, na podstawie (C3), i zawiera A; z definicji wynika więc, że jest on najmniejszym (wględem inkluzji) zbiorem o tych własnościach. Podobnie, IntA jest największym zbiorem otwartym, zawartym w A. b) Stąd zaś wynika, że A = A gdy zbiór A jest domknięty, jak również, że operacja domkniecia A A jest monotoniczna: gdy A B, to A B. Tak samo, operacja wnętrza jest monotoniczna i IntA = A gdy zbiór A jest otwarty. c) Ponadto, X \ IntA = X \ A, bo dopełnienie największego zbioru otwartego, zawartego w A, jest najmniejszym zbiorem domkniętym, zawierającym X \ A. Tak więc IntA = X \ X \ A, A = X \ Int(X \ A). (1) Stwierdzenie 1. a) A B = A B i Int(A B) = IntA IntB. b) x A (G A dla każdego otoczenia G punktu x). Dowód. Ad a). Inkluzja A B A B wynika stąd, że zbiór po prawej jest domknięty (jako suma dwóch zbiorów domkniętych) i zawiera zbiór A B więc zawiera i jego domknięcie. Z drugiej strony, A B A, bo A B A, i podobnie A B B, skąd A B A B. Równość Int(A B) = IntA IntB wynika z definicji i własności (O2). Ad b). Na podstawie (1), x A x Int(X \ A) U T : x U X \ A. Uwaga 2. Z części b) wynika, że zbiór gęsty to taki, który zawiera punkty każdego niepustego otwartego podzbioru przestrzeni. Również, jeśli T = T (d) dla pewnej metryki d, to x A wtedy i tylko wtedy, gdy d(a n, x) 0 dla pewnego ciągu {a n } n=1 A. Definicja. a) Gdy (X, T X ) i (Y, T Y ) są przestrzeniami topologicznymi, to przekształcenie f : X Y nazywamy ciągłym w puncie x 0 X, jeśli przeciwobraz przy f każdego otoczenia punktu f(x 0 ) (w przestrzeni Y ) jest otoczeniem punktu x 0 (w przestrzeni X). Przekształcenie, ciągłe w każdym punkcie, nazywamy ciągłym. b) Przekształcenie f : X Y nazywamy homeomorfizmem, jeśli jest bijektywne i oba przekszałcenia f i f 1 są ciągłe. Wyżej, piszemy czasem f : (X, T X ) (Y, T Y ) w miejsce f : X Y, by zaznaczyć wybór topologii T X i T Y (od którego definicje zależą), a także piszemy f : (X, d X ) (Y, d Y ) w miejsce f : (X, T (d X )) (Y, T (d Y )). W ostatnim przypadku, definicje z a) są zgodne z podanymi w 1, ze względu na zadanie 1.

8 I 2. I-8 Przykład 1. Traktujmy X := {0, 1, 2,...} i Z := {0, 1, 1/2, 1/3,...} jako podprzestrzenie prostej (R, d e ). Przekształcenie f : (X, d X ) (Z, d Z ), dane wzorem f(0) = 0 i f(n) = 1/n dla n > 0, jest ciągłe i bijektywne, lecz nie jest homeomorfizmem. Zadanie 2. Dla powyższych przestrzeni X i Z, czy istnieje homeomorfizm X na Z? Przykład 2. Gdy f : (X, d) (Y, ρ) jest izometrią, tzn. f(x) = Y i ρ(f(x 1 ), f(x 2 )) = d(x 1, x 2 ) dla wszystkich x 1, x 2 X, to f jest homeomorfizmem. (Wynika to z zadania 4a) w 1, zastosowanego do f i do f 1.) Zadanie 3. Niech (A, d A ) będzie podprzestrzenią przestrzeni (X, d) i niech funkcja f : (A, d A ) (Y, d Y ) będzie ciągła. Dowieść, że przekształcenie A a (a, f(a)) jest homeomorfizmem przestrzeni (A, d A ) na wykres W (f) := {(a, f(a)) : a A} funkcji f, traktowany jako podprzestrzeń przestrzeni X Y, wyposażonej w metrykę pudełkową. Zadanie 4. Przedział w R, nie składający się z jednego punktu, jest homeomorficzny z którymś z przedziałów [0, 1], [0, 1) lub (0, 1). (Przedziały rozpatrujemy z metryką (x, y) x y ; mogą one być nieograniczone.) Uwaga 3. a) Gdy przeksztalcenia f : (X, T X ) (Y, T Y ) i g : (Y, T Y ) (Z, T Z ) są ciągłe, to ich złożenie g f : (X, T X ) (Z, T Z ) też jest ciągłe. b) Wynika stąd, że złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem. c) Gdy f : (X, T X ) (Y, T Y ) jest homeomorfizmem, to wzór W f 1 (W ) ustala bijekcję z T Y na T X : jej odwrotność jest zadana analogicznym wzorem, przy f zastąpionym przez f 1 czyli wzorem wzorem U f(u) dla U T X. Opiszmy też ciągłość w sposób równoprawnie traktujący zbiory otwarte i domknięte: Stwierdzenie 2. Dla przekształcenia f : X Y pomiędzy przestrzeniami topologicznymi (X, T X ) i (Y, T Y ), równoważne są warunki: a) Przekształcenie to jest ciągłe; b) Przeciwobraz, przy f, każdego zbioru otwartego w Y jest otwarty w X (tzn. f 1 (U) T X dla każdego zbioru U T Y ); c) Przeciwobraz, przy f, każdego zbioru domkniętego w Y jest domknięty w X. Dowód. Dowód równoważności a) b) jest taki, jak dowód twierdzenia 1 w 1. Równoważność zaś b) c) wynika stąd, że f 1 (Y \ A) = X \ f 1 (A) dla A Y. Zadanie 5. Warunki powyższe są równoważne każdemu z następujących: d) f 1 (B) f 1 (B) dla każdego zbioru B Y ; e) f(a) f(a) dla każdego zbioru A X; f) f 1 (IntA) Int(f 1 (A)) dla każdego zbioru A Y. Definicja. Nech d i ρ będą metrykami na zbiorze X. Topologią, generowaną przez metrykę d, nazywamy topologię T (d);

9 I-9 H. Toruńczyk, Wykład z Topologii I, jesień metryki d i ρ są równoważne, jeśli generują tę samą topologię. (Inaczej: gdy identyczność jest homeomorfizmem z (X, d) do (X, ρ). Przykład 3. Niech przestrzeń (X, T ) będzie dyskretna, tzn. niech każdy zbiór w X będzie otwarty. Wówczas T = T (d) dla metryki d określonej tak, że d(x 1, x 2 ) = 1 dla każdej pary różnych punktów x 1, x 2 X. Zadanie 6. Udowodnić, że przekształcenie identycznościowe z (R n, d e ) do (R n, d sup ) spełnia warunek Lipschitza ze stałą 1, a z (R n, d sup ) do (R n, d e ) ze stałą n. Wywnioskować, że metryki d e i d sup są równoważne. Zadanie 7. a) Dla A X dowieść równości: T (d A ) = {U A : U T (d)} (2) Wywnioskować, że: b) Zbiór F jest domknięty w przestrzeni (A, d A ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest postacj K A dla pewnego zbioru K, domkniętego w (X, d). c) Gdy A T (d), to T (d A ) T (d) (czyli: zbiór otwarty w otwartej podprzestrzeni przestrzeni (X, d) jest otwarty w (X, d)). d) Gdy metryki d i ρ na X są równoważne, to metryki d A i ρ A na zbiorze A też. Przestrzeń topologiczną nazywamy metryzowalną, jeśli jej topologia jest generowana przez pewną metrykę. Nie każda topologia jest metryzowalna (przykłady podamy dalej); ponadto różne metryki mogą wyznaczać tę samą topologię patrz zadanie 5. Uwaga 4. Przestrzeń, homeomorficzna z przestrzenią metryzowalną, jest metryzowalna. Co więcej, gdy f jest homeomorfizmem z (X, T ) na (Y, T (ρ)), to topologia T jest generowana przez metrykę d, określoną wzorem d(x, x ) := ρ(f(x), f(x )). Istotnie, przekształcenie identycznościowe (X, T ) (X, T (d)) jest homemomorfzmem, jako złożenie przekształceń f : (X, T ) (Y, T (ρ)) i f 1 : (Y, T (ρ) (X, T (d)), z których każde jest homeomorfizmem: pierwsze z założenia, a drugie bo jest izometrią. Dla dalszych celów zauważmy, że gdy przestrzeń (Y, ρ) jest zupełna, to (X, d) też, bo jest izometryczna z przestrzenią zupełną (Y, ρ). (Brakujące definicje będą w 3). 3. Powrót do przestrzeni metrycznych: przestrzenie metryczne zupełne. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Definicja. Ciąg {x n } n=1 X spełnia warunek Cauchy ego, jeśli dla każdej liczby ε > 0 istnieje liczba naturalna n = n(ε) taka, że d(x k, x l ) < ε dla wszystkich k, l > n. (Gdyby od n = n(ε) żądać tylko, by d(x n, x k ) < ε dla k > n, otrzymamy warunek

10 I 3. I-10 równoważny dlaczego?) Można ten warunek zapisać też tak: lim diam d({x n, x n+1,...}) = 0, gdzie diam d (A) := sup{d(a, a ) : a, a A}. (3) n Krótko, mówimy też o ciągach Cauchy ego (lub d Cauchy ego, by uwidocznić rolę d). Uwaga 1. a) Ciąg zbieżny w (X, d) spełnia warunek Cauchy ego w metryce d. b) Ciąg Cauchy ego, posiadający podciąg zbieżny, sam jest zbieżny. Definicja. Przestrzeń (X, d), lub metrykę d, nazywamy zupełną, jeśli każdy ciąg d Cauchy ego jest zbieżny. Przykład 1. Przestrzeń (R, d e ) jest zupełna dowiedziono tego na AM I. Uwaga 2. Z definicji wynika, że domknięta podprzestrzeń (A, d A ) przestrzeni metrycznej zupełnej (X, d) też jest przestrzenią zupełną. Również odwrotnie, jeśli podprzestrzeń (A, d A ) jest zupełna, to A jest zbiorem domkniętym w X. (Wynika to z uwagi 1a).) Zadanie 1. Niech dwie przestrzenie metryczne będą izometryczne, tzn. niech istnieje izometria jednej z nich na drugą. Udowodnić, że jeśli jedna z tych przestrzeni jest zupełna, to druga też. Zupełność przestrzeni (X, d) zależy od metryki d, a nie tylko od topologii T (d): Przykład 2. Odcinek J := ( 1, 1) nie jest zupełny w metryce d e, bo nie jest domknięty w (R, d e ); patrz wyżej. Gdy jednak przyjmiemy d(x, y) := f(x) f(y), gdzie f : J R jest homeomorfizmem (można n.p. wziąć f(t) = tan(πt/2)), to otrzymamy metrykę d na J, która na podstawie uwagi 1 w I.3 jest zupełna i równoważna metryce d e J J. Lemat 1 (G. Cantora). Niech F 1 F 2... będzie ciągiem domkniętych, niepustych podzbiorów przestrzeni zupełnej (X, d). Jeśli diam d (F n ) 0, to n F n. Dowód. Obierzmy punkty x 1 F 1, x 2 F 2,... Ponieważ diam d {x i } i=n diam d(f n ) 0, więc ciąg (x n ) n=1 spełnia warunek Cauchy ego (3) i wobec tego jest zbieżny do pewnego punktu x. A że dla n N zachodzi {x i } i n F n = F n, to x = lim i x i F n, n N. Uwaga 3. Założenie diam d (F n ) 0 i zupełność metryki d są wyżej istotne. Świadczą o tym ciągi zbiorów F n = [n, ) w przestrzeni (R, d e ) oraz F n = (0, 1/n] w przestrzeni ((0, ), d e ), odpowiednio. By nadać twierdzeniu 1 postać poręczną dla zastosowań w Analizie i związaną z badanym dalej pojęciem zwartości, nazwijmy rodzinę zbiorów F scentrowaną, jeśli każda jej skończona podrodzina ma niepuste przecięcie. Twierdzenie 1 (G. Cantora, postać poszerzona). Niech F będzie scentrowaną rodziną domkniętych podzbiorów zupełnej przestrzeni metrycznej (X, d). Jeśli inf{diam d (F ) : F F} =0, to zbiór F składa się z jednego punktu.

11 I-11 H. Toruńczyk, Wykład z Topologii I, jesień Dowód. Obierzmy zbiory H 1, H 2,... F tak, by diam d (H n ) < 1/n dla n N. Dla zadanego zbioru H 0 F, rodzina (F n ) n=1, gdzie F n := n k=0 H n, spełnia założenia lematu. (Korzystamy z tego, że rodzina F jest scentrowana.) Istnieje więc punkt x n F n n=0 H n; a że diam d n=1 H n = 0, to n=1 H n = {x} co wyznacza x w sposób niezależy od H 0. Przy tym x H 0 i H 0 F można obrać dowolnie, więc x należy do każdego zbioru H 0 F. Zatem F = {x}. Twierdzenie Cantora zastosujmy do przedłużania funkcji jednostajnie ciągłych. Definicja. Niech (X, d) i (Y, ρ) będą przestrzeniami metrycznymi. Przekształcenie f : X Y jest jednostajnie ciągłe, jeśli każdej liczbie ε > 0 można przyporządkować liczbę δ = δ(ε) > 0 tak, by dla każdych δ bliskich punktów x 1, x 2 X, ich obrazy przy f były ε bliskie (tzn., by d(x 1, x 2 ) δ ρ(f(x 1 ), f(x 2 )) ε dla x 1, x 2 X.) Modułem jednostajnej ciągłości funkcji f nazwiemy każdą funkcję ϕ : (0, ) (0, ) taką, że lim r 0 ϕ(r) = 0 i nierówność ρ(f(x 1 ), f(x 2 )) ϕ(r) zachodzi dla wszystkich x 1, x 2 X z d(x 1, x 2 ) < r. Odnotujmy, że funkcja jednostajnie ciągła ma pewien moduł jednostajnej ciągłości, i vice versa. Twierdzenie 2. Niech (X, d) i (Y, ρ) będą przestrzeniami metrycznymi, a f : A Y jednostajnie ciągłą funkcją, określoną na zbiorze A X. Jeśli przestrzeń (Y, ρ) jest zupełna, to funkcję f można przedłużyć do jednostajnie ciągłej funkcji f : A Y. Ponadto, moduł ϕ jednostajnej ciągłości funkcji f pozostaje nim i dla f. (A i A rozpatrujemy jako podprzestrzenie przestrzeni (A, d).) Dowód. Ustalmy punkt x A \ A i przyjmijmy C r := f(b d (x, r) A) dla r > 0. Otrzymujemy scentrowaną rodzinę {C r : r > 0} niepustych zbiorów domkniętych, przy czym diam ρ C r = diam ρ C r 2ϕ(r). (Niepustość wynika stąd, że B(x, r) A, bo x A.) Wobec lim r 0 ϕ(r) = 0 mamy więc inf r diam ρ C r = 0, skąd na mocy twierdzenia Cantora istnieje jedyny punkt należący do r>0 C r; oznaczmy go f(x). Prowadzi to do funkcji A {x} Y, równej f na A i f(x) w punkcie x. Jest ona ciągła w x, bo dla a B(x, r) A otrzymujemy ρ(f(x), f(a)) diam ρ f(b d (x, r)) 2ϕ(r). Gdy więc przeprowadzimy tę konstrukcję dla każdego x A \ A, to wobec ciągłości f na A {x, y} zachodzi ρ(f(x), f(y)) ϕ(r) dla punktów x, y A takich, że d(x, y) < r. (Korzystamy z tego, że każdy z punktów x, y można aproksymować punktami z A, a dla nich nierówność jest spełniona.) Tak więc ϕ jest modułem jednostajnej ciągłości otrzymanej funkcji f : A Y. Zadanie 2. Niech f : A Y będzie przekształceniem ciągłym podzbioru A przestrzeni (X, d) w przestrzeń (Y, ρ). Dla x A niech osc(f, x) := inf r>0 diam ρ f(b(x, r) A). ( osc(f, x) jest od oscylacja funkcji f w punkcie x.) Udowodnić, że: a) Jeśli metryka ρ jest zupełna, to f można przedłużyć do funkcji ciągłej f : (Ã, d) (Y, ρ), gdzie à := {x A : osc(f, x) = 0}.

12 I 4. I-12 b) Zbiór à jest typu G δ w A, a tym samym i w X. (Definicja będzie dopiero w 4.) Innym bezpośrednim zastosowaniem zupełności jest zasada odwzorowań zwężających, w tak ogólnej postaci podana przez S. Banacha. Twierdzenie 3. Niech (X, d) będzie przestrzenią ze skończoną metryką zupełną d, a przekształcenie f : X X niech spełnia w tej metryce warunek Lipschitza ze stałą L < 1. Wówczas istnieje jedyny punkt stały przekształcenia f (tzn., taki punkt x X, że f(x) = x). Dowód. Przypomnijmy, iż wymieniony warunek Lipschitza oznacza, że d(f(x 1 ), f(x 2 )) L d(x 1, x 2 ) dla x 1, x 2 X. Jeśli więc f(x) = x i f(x ) = x, to d(x, x ) Ld(x, x ), co wobec L < 1 daje d(x, x ) = 0 i x = x. Pozostaje dowieść istnienia punktu stałego x. W tym celu obierzmy dowolny punkt x 0 X i przyjmijmy indukcyjnie x n+1 = f(x n ) dla n 0. Mamy d(x n, x n+1 ) = d(f(x n 1 ), f(x n )) Ld(x n 1, x n ), skąd d(x n, x n+1 ) Ld(x n 1, x n ) L 2 d(x n 2, x n 1 )... L n d(x 0, x 1 ). Tym samym d(x n, x n+k ) (L n +...+L n+k )d(x 0, x 1 ) L n C, gdzie C = d(x 0, x 1 )/(1 L). Ciąg (x n ) spełnia więc warunek Cauchy ego (bo L < 1) i wobec zupełności (X, d) jest zbieżny do pewnego punktu x X. f(x n ) = x n+1 x, to x = f(x). (Odnotujmy, że także d(x 0, x) d(x 0,x 1 ) 1 L Z ciągłości f wynika, że f(x n ) f(x); a że dlaczego?) Zadanie 3. Niech F będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni B(X, R) wszystkich ograniczonych funkcji z X do R, przy czym taką, że 1 F i f 2 F dla każdej funkcji f F. Udowodnić, że jeśli F jest zbiorem domkniętym w metryce d sup, to f F dla każdej nieujemnej funkcji f F. Rozumować następująco: a) Gdy 1 f ε dla pewnego ε > 0, rozpatrzeć przekształcenie u (1 + u 2 f)/2 i dowieść, że przy L := 1 ε przekształca ono kulę B(0, L) w siebie i spełnia na tej kuli warunek Lipschitza ze stałą L < 1. b) Gdy u ε jest punktem stałym tego przekształcenia i v ε := 1 u ε, to v 2 ε = f i v ε 0. c) Gdy 1/2 f, to rozpatrzeć ciąg funkcji {v n } n N F, taki, że v n 0 i v 2 n = f + 1 n. 4. Twierdzenie Baire a; przykładowe zastosowania. Twierdzenie 1 (R. L. Baire a). 3 W przestrzeni metrycznej zupełnej (X, d), a) przecięcie przeliczalnie wielu zbiorów, które są gęste i otwarte, jest zbiorem gęstym. b) (sformułowanie dualne) suma przeliczalnie wielu brzegowych zbiorów domkniętych jest zbiorem brzegowym. Przypomnjmy, że zbiór nazywamy brzegowym, jeśli jego wnętrze jest puste (równoważnie: gdy zbiór ten nie zawiera niepustego zbioru otwartego w (X, d)). 3 Baire dowiódł tego twierdzenia dla (R n, d e ) w 1899r, niezależnie od W. F. Osgooda, który w 1897r. rozważył przypadek n = 1.

13 I-13 H. Toruńczyk, Wykład z Topologii I, jesień Dowód. Ad a). Niech zbiory U 1, U 2,... będą gęste i otwarte w X; dowiedziemy, że n U n ma punkty wspólne z dowolnym zbiorem otwartym U. Ustalmy więc U i obierzmy za B 0 kulę domkniętą, o dodatnim promieniu, zawartą w U 0 := U. Gdy znamy już zbiór domknięty B n U n, o niepustym wnętrzu, to obierzmy punkt x Int(B n ) U n+1. (Punkt taki istnieje, bo zbiór gęsty U n+1 ma punkty wspólne z każdym niepustym zbiorem otwartym.) Następnie obierzmy kulę domkniętą B n+1 wokół x, o promieniu r (0, 1/n) tak małym, by B n+1 B n U n+1. W ten sposób utworzone zbiory domknięte B n tworzą ciąg, spełniający założenia twierdzenia Cantora. Ponieważ n B n n U n, więc z twierdzenia tego wynika teza a). Ad b). Ta część wynika z poprzedniej, przez przejście do dopełnień i wykorzystanie wzorów de Morgana. (Sprawdzić to!) By twierdzenie to sformułować dogodniej, nazwijmy podzbiór A przestrzeni topologicznej X: zbiorem typu G δ, jeśli A = n U n dla pewnych zbiorów otwartych U 1, U 2,... zbiorem typu F σ, jeśli A = n F n dla pewnych zbiorów domkniętych F 1, F 2,... Powiemy też, że przestrzeń topologiczna (X, T ) jest metryzowalna w sposób zupełny, jeśli T = T (d) dla pewnej metryki zupełnej d. Wniosek 1. W przestrzeni, metryzowalnej w sposób zupełny, a) gdy G 1, G 2,... są gęstymi zbiorami typu G δ, to n G n też ma te (obie) własności; b) gdy F 1, F 2,... są brzegowymi zbiorami typu F σ, to n F n też ma te własności. Wniosek ten uwidacznia, że w przestrzeniach metryzowalnych w sposób zupełny, brzegowe zbiory typu F σ zachowują się podobnie, jak zbiory miary 0 w przestrzeniach z miarą, a gęste zbiory typu G δ podobnie jak zbiory pełnej miary. Analogii tej poświęcona jest książka J. Oxtoby ego Measure and category. Warto też wspomnieć o twierdzeniu Erdösa: przy założeniu aksjomatu wyboru istnieje inwolucja f : R R, zamieniająca podzbiory brzegowych podzbiorów typu F σ ze zbiorami miary Lebegue a 0. Przykład 1. Przestrzeń Q liczb wymiernych, traktowana jako podprzestrzeń prostej (R, d e ), nie jest więc metryzowalna w sposób zupełny, bo jest sumą przeliczalnie wielu zbiorów jednopunktowych, z których każdy jest w Q brzegowy i domknięty. Zadanie 1. W przestrzeni metryzowalnej, każdy podzbiór domknięty jest typu G δ, a otwarty typu F σ. Zadanie 2. W dowolnej przestrzeni topologicznej, przecięcie skończenie wielu zbiorów, z których każdy jest gęsty i otwarty w X, jest zbiorem gęstym w X. Pewne zastosowania twierdzenia Baire a (zadania). Niżej, (X, d) i Y, ρ) to przestrzenie metryczne, przy czym (X, d) jest zupełna i ρ 1.

14 I 4. I Niech przestrzeń X będzie sumą przeliczalnie wielu zbiorów domkniętych F n. Dowieść, że zbiór n IntF n jest gęsty w X. (Wskazówka: zbiory F n \ IntF n są brzegowe.) 4. Dowieść następującego twierdzenia Osgooda: gdy ciąg funkcji ciągłych f n : X [0, ) jest punktowo ograniczony, to na pewnym niepustym zbiorze otwartym wszystkie funkcje f n są z góry ograniczone wspólną stałą. (Ciąg (f n ) jest punktowo ograniczony, jesli sup n f n (x) < x X.) 5. Niech ciąg funkcji ciągłych f n : X Y będzie zbieżny punktowo do funkcji ϕ, być może nieciągłej. (Oznacza to, że lim n f n (x) = ϕ(x) x X.) Dowieść, że: a) Dla każdego ε > 0 pewien ze zbiorów F ε n = {x X : ρ(f k (x), f n (x)) ε k n} ma niepuste wnętrze; co więcej, zbiór U ε := n intf ε n jest gęsty w X. b) Zbiór G := ε>0 U ε ma tę własność, że dla dowolnych x G i ε > 0 istnieje otoczenie punktu x (w przestrzeni X), na którym prawie wszystkie funkcje f i różnią się od ϕ o mniej, niż ε. c) Powyższy zbiór G jest gęsty i typu G δ w X, a funkcja graniczna ϕ jest ciągła w każdym punkcie x G. (Jest to jedno z twierdzeń Baire a). 6. Wywnioskować z zadania 5, że gdy ϕ j : X Y (j N) są funkcjami, z których każda jest granicą punktową ciągu funkcji ciągłych, to istnieje taki gęsty zbiór G typu G δ w X, że w każdym jego punkcie wszystkie funkcje ϕ j są ciągłe. Problem 1. (Funkcja Weierstrassa.) Udowodnić istnienie funkcji ciągłej f : [0, 1] R, nie różniczkowalnej w żadnym punkcie. (Wolno użyć twierdzenia 2 z 5, znanego z AM.) Problem 2. (Twierdzenie Baire a o rozdzielnej ciągłości; wersja późniejsza. Definicje bazy topologii i iloczynu kartezjańskiego przestrzeni topologicznych będą dane w II.2 II.4.) Niech funkcja f : X S Y będzie ciągła ze względu na każdą zmienną przy ustalonej pozostałej, przy czym o S zakładamy, że ma bazę przeliczalną. Udowodnić, że: a) Dla dowolnych podzbiorów S 1, S 2,... przestrzeni S istnieje gęsty zbiór G X, typu G δ w X i taki, że wszystkie funkcje X x diam ρ f({x} S n ) są ciągłe w każdym jego punkcie. (Wskazówka: użyć zadania 6 i tego, że gdy ciąg (s j ) jest gęsty w S n, to diam ρ f({x} S n ) = sup k,l ρ(f(x, s k ), f(x, s l )).) b) Gdy wyżej za (S n ) przyjąć bazę topologii przestrzeni S, to otrzymany zbiór G ma tę własność, że funkcja f jest ciągła w każdym punkcie zbioru G S. Problem 3. Dla n N, niech (X n, d n ) będzie zupełną przestrzenią metryczną, przekształcenie T n : X n+1 X n będzie ciągłe i ma gęsty obraz, a zbiór U n X n będzie otwarty i gęsty. Udowodnić za C. Lennardem, że zbiór n T 1T 2...T n (U n+1 ) jest gęsty w X 1. (Wskazówka: gdy U n = X n dla n N, rozumować następująco: wychodząc od x 1 X 1 obrać indukcyjnie x n+1 X n+1 tak, by d k (T kn (x n ), T k,n+1 (x n+1 )) < 2 n dla k = 1,..., n, gdzie przyjmujemy T kl := T k... T l 1 dla k < l i T kk := id Xk. Następnie dowieść, że k p k := lim n T kn (x n ) i że T k 1 (p k ) = p k 1, przy czym d 1 (p 1, x 1 ) 1.)

15 I-15 H. Toruńczyk, Wykład z Topologii I, jesień Konstrukcje, prowadzące do zupełnych przestrzeni metrycznych. Wiele zastosowań zupełności uzależnionych jest od umiejętności rozpoznania pewnych przestrzeni, n.p. funkcyjnych, jako zupełne. Omówmy więc wybrane konstrukcje, prowadzące do przestrzeni zupełnych. Lemat 1. Dla rodziny {(X s, d s ) : s S} zupełnych przestrzeni metrycznych, zupełna jest metryka pudełkowa ρ na zbiorze X = s S X s, opisana w przykładzie 1e) z I.1. Dowód. Niech ciąg (x n ) n=1 spełnia warunek Cauchy ego w (X, ρ). Dla każdego s S, naturalne rzutowanie π s : (X, ρ) (X s, d s ) spełnia warunek Lipschitza ze stałą 1, wobec czego ciąg (π s (x n )) n=1 spełnia warunek Cauchy ego w (X s, d s ) i jest zbieżny w metryce d s do pewnego punktu y s. Dla s S i k N mają miejsce oszacowania d s (y s, π s (x k )) = lim n d s (π s (y n ), π s (x k )) lim sup ρ(x n, x k ) diam ρ ({x n } n=k), n skąd punkt y := (y s ) s S X jest granicą ciągu (x k ) k=1, bo ρ(y, xk ) = sup s d s (y s, π s (x k )) diam ρ ({x n } n=k ) 0 na mocy warunku Cauchy ego (3) dla ciągu (xn ) n N. Definicja. Przestrzeń topologiczną nazwiemy metryzowalną w sposób zupełny, jeśli jej topologia jest generowana przez pewną metrykę zupełną. Przykład 1. Ocinek ( 1, 1), z topologią euklidesową, jest metryzowalny w sposób zupełny; patrz przykład 2 w 1. Twierdzenie 1. Niech (X, d X ) i (Y, d) będą przestrzeniami metrycznymi. a) Zbiór C(X, Y ) funkcji ciągłych z X do Y jest domknięty w przestrzeni metrycznej Y X wszystkich funkcji z X do Y, wyposażonej w metrykę d sup. Domknięty w tej przestrzeni jest też zbiór B(X, Y ) wszystkich ograniczonych funkcji z X do Y (tzn. takich, których obraz ma skończoną średnicę diam d ). b) Jeśli przestrzeń (Y, d) jest zupełna, to zupełne w metryce d sup są przestrzenie Y X, C(X, Y ), B(X, Y ) i C b (X, Y ) := C(X, Y ) B(X, Y ). Dowód. Ad a). Sprawdzimy tylko domkniętość zbioru C(X, Y ). Niech f n C(X, Y ) dla n N, przy czym d sup (f n, f) 0 dla pewnej funkcji f : X Y. By dowieść ciągłości f w punkcie x, dla danego ε > 0 ustalmy n N tak, by d sup (f n, f) < ε/3. Ponieważ funkcja f n jest ciągła w x, więc diam d (f n (B dx (x, δ)) < ε/3 dla pewnego δ > 0. Wówczas diam d (f(b dx (x, δ)) < ε/3 + 2 ε/3 = ε, skąd f(b dx (x, δ)) B d (f(x), ε). Ad b). Wobec a) i uwagi 2 w 1, wystarczy dowieść zupełności przestrzeni (Y X, d sup ). Ta jednak wynika z lematu, zastosowanego przy S := X i (X s, d s ) := (Y, d) dla s S. Twierdzenie 2 (o istnieniu i jednoznaczności uzupełnienia). Niech (X, d) będzie przestrzenią ze skończoną metryką d.

16 I 5. I-16 a) Istnieje uzupełnienie tej przestrzeni, tzn. zupełna przestrzeń metryczna (Y, ρ), ze skończoną metryką ρ, zawierająca (X, d) jako gęstą podprzestrzeń: ρ X = d i cl ρ X = Y. b) Jeśli (Y, ρ) i (Y, ρ ) są uzupełnieniami przestrzeni (X, d), to istnieje izometria przestrzeni Y na Y, będąca identycznością na X. Dowód. Ad a). Ustalmy punkt p X i każdemu punktowi x X przyporządkujmy funkcję ϕ x R X, określoną wzorem ϕ x (x ) = d(x, x ) d(p, x ). Na ćwiczeniach dowiedziono, że zanurzenie Kuratowskiego X x ϕ x jest izometrią przestrzeni (X, d) na pewien podzbiór Y 0 przestrzeni (C b (X), d sup ). Gdy przyjmiemy Y := Y 0 (domknięcie w C b (X)) i ρ := d sup Y, to przestrzeń (Y, ρ) będzie zupełna na podstawie twierdzenia 2b), wraz z uwagą 2 z 1. Warunki tezy są więc spełnione, z tym, że X należy przy pomocy ii f utożsamić z gęstym podzbiorem f(x) przestrzeni Y. (Jeśli chcieć dosłownie uzyskać inkluzję X Y, należy przyjąć Y := X (Y \ Y 0 ) i zdefiniować metrykę ρ odpowiednio; szczegóły pomijamy.) Ad b) Z definicji uzupełnienia, identyczność id X, jako przekształcenie poprzestrzeni przestrzeni (Y, ρ) w przestrzeń zupełną (Y, ρ ), spełnia warunek Lipschitza ze stałą 1. Przedłuża się więc ono do przekształcenia f : (Y, ρ) (Y, ρ ), też spełniającego ten warunek. (Korzystamy z twierdzenia 2 w 1 i gęstości X w (Y, ρ).) Tak samo, istnieje przekształcenie g : (Y, ρ ) (Y, ρ), spełniajace warunek Lipschitza ze stałą 1 i będące identycznością na X. Ponieważ złożenie gf : Y Y jest identycznością na zbiorze gęstym X, to jest identycznością wszędzie; tak samo, fg jest identycznością na Y. Stąd już wynika, że f i g są wzajemnie odwrotnymi izometriami. Zakończmy podając charakteryzację przestrzeni, metryzowalnych w sposób zupełny: Twierdzenie 3. Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). a) (Twierdzenie Aleksandrowa.) Jeśli A jest typu G δ w X i metryka d jest zupełna, to przestrzeń (A, T (d A )) jest metryzowalna w sposób zupełny. b) (Twierdzenie Mazurkiewicza i Lawrientiewa.) Odwrotnie, jeśli podprzestrzeń (A, T (d A )) jest metryzowalna w sposób zupełny, to A jest zbiorem typu G δ w przestrzeni (X, d). Dowód. Ad a). W dowodzie oznaczymy przez (R n, d n ) prostą R, z metryką d n = min( 1 n, d e). Przyjmijmy Y := X R 1 R 2..., zaś na Y i n R n rozpatrzmy metryki pudełkowe ρ i ρ 0, odpowiednio, wyznaczone przez metryki d, d 1, d 2,... na osiach X, R 1, R 2,... Zgodnie z lematem 1, metryka ρ jest zupełna. Niech A = k U n, gdzie zbiory U n są otwarte w X. Obierzmy funkcje ϕ n : X R n tak, by ϕ 1 n (0) = X \ U n, np. przyjmimy ϕ n (x) = dist d (x, X \ U n ). Z zadań 1b) w 1 i 2 w 2 wynika, że funkcja ψ = (1/ϕ 1, 1/ϕ 2,...) : (A, d) ( n R n, ρ 0 ) jest ciągła, a przekształcenie A a (a, ψ(a)) jest homeomorfizmem na jej wykres Z, traktowany jako podprzestrzeń przestrzeni (Y, ρ). Jeśli dowiedziemy, że zbiór Z jest domknięty w Y, to zakończymy dowód a), bo przestrzeń (A, d A ) okaże się homeomorficzna z domkniętą

17 I-17 H. Toruńczyk, Wykład z Topologii I, jesień podprzestrzenią Z zupełnej przestrzeni metrycznej (Y, ρ) a przez to będzie metryzowalna w sposób zupełny. (Korzystamy z uwagi 2 w 3.) Domkniętość zbioru Z wynika jednak stąd, że gdy ciąg punktów (a k, ψ(a k )) k=1 jest ρ zbieżny w Y = X n R n do punktu (x, (t n ) n=1), to przy x U l dla pewnego l, zachodziłoby też 1/ϕ l (a k ) wbrew temu, że lim k 1/ϕ l (a k ) = t l R n. Tak więc x A i (a k, ψ(a k )) (x, ψ(x)) Z (z ciągłości funkcji ψ) czego należało dowieść. Ad b). Tym razem oznaczmy przez ρ metrykę zupełną na A, dla której T (ρ) = T (d A ), a przez f funkcję a a (a A), z podprzestrzeni (A, d) w przestrzeń (A, ρ). (Metryki, indukowane przez d na podzbiorach zbioru X, nadal oznaczajmy przez d.) Na podstawie zadania 1 z 1, f przedłuża się w sposób ciągły na podprzestrzeń à typu G δ w (X, d), zawartą w domknięciu cl d A zbioru A. Daje to funkcję ciągłą f : (Ã, d) (Ã, d) taką, że im( f) A i f(a) = a dla a A; a że zbiór A jest gęsty w Ã, to f(a) = a wszędzie w Ã. Stąd A = à co kończy dowód, bo à jest typu G δ w (X, d). Uwaga 1. Dowód części a) prowadzi do jawnych wzorów na metrykę zupełną na A, równoważną metryce d A. Jednym z nich jest wzór (x, y) d(x, y)+sup n min( 1 n, 1 ϕ n (x) 1 ϕ n (x) ), gdzie ϕ n są jak w dowodzie. (Żądanych metryk jest wiele.) W dotychczasowej dyskusji zabrakło ustalenia, przy jakich założeniach iloczyn kartezjański przestrzeni, metryzowalnych w sposób zupełny, też jest metryzowalny w sposób zupełny. Wiąże się to z tym, że dopiero w następnym rozdziale ustalimy, w jaką topologię chcemy ten iloczyn wyposażyć.

18 II 2. II-18 II Topologia ogólna: iloczyny kartezjańskie, aksjomaty oddzielania i konstrukcja funkcji ciągłych. 1. Podstawowe pojęcia topologiczne (uzupełnienie). W tym rozdziale badać będziemy ogólne przestrzenie topologiczne, nie zakładając ich metryzowalności. Prócz definicji z I.2 wykorzystywać będziemy następującą: Definicja. Brzegiem podzbioru A przestrzeni topologicznej (X, T ) nazywamy zbiór Fr(A) = A X \ A. (Inne spotykane oznaczenie to Bd(A).) Z (1) w I.2 wynika, że Fr(A) = A \ IntA. (4) Zadanie 1. Udowodnić, że gdy zbiory K 1, K 2 są domknięte w przestrzeni (X, T ) i rozłączne, to Fr(K 1 K 2 ) = Fr(K 1 ) Fr(K 2 ). Czy założenie domkniętości jest istotne? Czy bez niego można ustanawić inkluzję między rozważanymi zbiorami? Zadanie 2. Udowodnić, że funkcja f : (X, T X ) (Y, T Y )) jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy Fr(f 1 (A)) f 1 (Fr(A)) dla każdego zbioru A Y. (Wcześniejsze charakteryzacje ciągłości są w I.3, stwierdzenie 2 i zadanie 4.) 2. Sposoby generowania topologii. Opiszemy sposoby otrzymywania topologii, z ktorymi najczęściej się tu spotkamy. A. Generowanie topologii przez metrykę patrz poprzedni rozdział. B. Generowanie topologii przez bazę lub podbazę. Definicja. Gdy T jest topologią na pewnym zbiorze, to rodzinę B nazywamy jej bazą, jeśli T = { B : B B}. Mówimy też wtedy, że topologią T jest generowana przez bazę B. (Zadanie 1 z I.2 pokazuje, że topologia może mieć różne bazy). Zadanie 1. a) Rodzina B wtedy i tylko wtedy jest bazą topologii T, gdy B T i dla każdego zbioru U T i każdego punktu x U istnieje zbiór B B taki, że x B U. b) Gdy B jest bazą pewnej topologii na zbiorze X, to spełnione są warunki (B1) i (B2) z I.2, tzn. B = X i B 1 B 2 B B 1, B 2 B. c) Odwrotnie, gdy te dwa warunki są spełnione, to rodzina T := { B : B B} jest topologią w zbiorze X. Przykład 1. a) Rodzina B(d) kul otwartych w metryce d jest bazą topologii T (d). a) W zbiorze X z liniowym porządkiem <, rodzina przedziałów {x : a < x < b}, {x : x < a} i {x : x > a}, gdzie a, b X, spełnia warunki (B1) i (B1) jeśli #X > 1. Topologię generowaną przez tę rodzinę oznaczamy T (<).

19 II-19 H. Toruńczyk, Wykład z Topologii I, jesień b) Gdy X = [0, 1] 2 jest kwadratem na płaszczyźnie R 2, a < porządkiem leksykograficznym, to otrzymaną przestrzeń ([0, 1] 2, T (<)) nazywamy kwadratem leksykograficznym. Wyżej, porządek leksykograficzny zdefiniowany jest tak: [(a 1, a 2 ) < (b 1, b 2 )] [(a 1 < a 2 ) lub (a 1 = a 2 i b 1 < b 2 )]. Uwaga 1. Ogólniej, dla każdej rodziny B 0 podzbiorów zbioru X, istnieje topologia T, zawierająca U i zawarta w każdej topologii, zawierającej B 0 co wyrażamy mówiąc, że jest ona najsłabsza z nich. Topologia T ma jako bazę rodzinę B, składającą się z, X i wszystkich przecięć skończenie wielu zbiorów z B 0. Jest widoczne, że B spełnia warunki (B1) i (B2), a także, że generowana przez B topologia ma żądane własności. W tym kontekście mówimy, że B 0 jest podbazą topologii T. Ćwiczenie. Przeczytać w of_the_infinitude_of_primes dowód, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowód ten (podany przez H. Fürstenberga, gdy był studentem) wykorzystuje topologię na prostej R, której podbazą jest rodzina wszystkich postępów arytmetycznych. Czy jest ona zarazem bazą topologii? Przykład 2. Podbazą topologii T (<) z części a) przykładu 1 jest rodzina, złożona z przedziałów {x : x < a} i {x : x > a}, gdzie a przebiega X. Zadanie 2. Do ciągłości przekształcenia f : (Z, T Z ) (X, T ) wystarcza, by warunek f 1 (B) T Z był spełniony dla wszystkich zbiorów B z pewnej podbazy B 0 topologii T. C. Generowanie przez przekształcenia z przestrzeni topologicznych. Niech Y będzie zbiorem, a (f s : X s Y ) s S rodziną przekształceń, z których każde określone jest na odpowiedniej przestrzeni topologicznej (X s, T s ). Przyjmijmy T = {U Y : fs 1 (U) T s s S}; wówczas z definicji i własności przeciwobrazów zbiorów wynika, że T jest topologią na zbiorze Y, i to najsilniejszą wśród topologii T, dla których każde przekształcenie f s : (X s, T s ) (Y, T ) jest ciągłe. Najsilniejszą oznacza tu, że T ma wymienioną własność i zawiera, jako rodzina zbiorów, każdą topologię T o tej własności. Zadanie 3. Przy powyższych oznaczeniach i dowolnej przestrzeni topologicznej (B, T B ), funkcja h : (Y, T ) (B, T B ) jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy ciągłe jest każde złożenie h f s : (X s, T s ) (B, T B ). Uwaga 2. Już dla jednego surjektywnego przekształcenia f : X Y z przestrzeni topologicznej (X, T X ) do zbioru Y, konstrukcja powyższa prowadzi do ważnej topologii ilorazowej na Y = im(f); nazywamy ją też topologią wypchniętą przez f z X do Y. Wygodniej nam będzie omówić ją w V.2, w oparciu o dalsze wiadomości. Poniżej ograniczymy się do przykładów, w których każde przekształcenie f s jest różnowartościowe. Przykład 3. Niech Y będzie sumą parami rozłącznych zbiorów X s (s S), przy czym na

20 II 2. II-20 każdym z nich zadana jest pewna topologia T s. Przy f s : X s Y oznaczającym włożenia (s S), konstrukcja powyższa prowadzi do przestrzeni (Y, T ), nazywanej sumą rozłączną rodziny przestrzeni {(X s, T s ) : s S}. Bazą topologii T jest rodzina s S T s. Odnotujmy, że w topologii T zbiory X s są zarazem otwarte i domknięte. Ponadto, jeśli każda z przestrzeni (X s, T s ) jest metryzowalna i generuje ją metryka d s, to topologię T generuje metryka d opisana w przykładzie 1g) w I.1. (Co wymaga uzasadnienia.) Przykład 4. Niech R f := {(x n ) R N : x n = 0 dla prawie wszystkich n}. Wówczas R f = k=1 Ek, gdzie E k := {(x n ) R N : x n = 0 dla n > k}. Każdy zbiór E k identyfikujemy z R k i wyposażamy w topologię euklidesową T k. Przy f k : E k R N f oznaczającym inkluzję, oznaczmy przez T opisaną wyżej najsilniejszą topologię, w której wszystkie przekształcenia f k : (E k, T k ) (R N f, T ) są ciągłe. Zauważmy, że U T (U E k T k k N}, lub równoważnie, zbiór A Y jest domknięty w (R N f, T ) jeśli każde jego przecięcie z E k, k N, jest domknięte w przestrzeni (E k, T k ). Otrzymana przestrzeń (R N f, T ) nie jest metryzowalna. Istotnie, jeśliby T = T (d) dla pewnej metryki d, to każda kula B d (0, 1/k), bedąc zbiorem T otwartym, przecinałaby E k wzdłuż zbioru otwartego (w topologii T k ) a tym samym zawierałaby punkt p k E k o niezerowej k-tej współrzędnej. Ponieważ d(0, p k ) < 1/k 0, to zbiór A := {p k : k N} nie byłby domknięty w T (d) (bo 0 A). Jednak każde przecięcie A E k jest zbiorem skończonym (mocy k), a więc domkniętym w (E k, T k ) wbrew temu, że T = T (d). D. Generowanie przez przekształcenia do przestrzeni topologicznych. Niech teraz X będzie zbiorem, a (f s : X Y s ) s S rodziną przekształceń, z których każde prowadzi do odpowiedniej przestrzeni topologicznej (Y s, T s ). Tym razem celowe jest rozważenie najsłabszej topologii T na zbiorze X, dla której każde z przekształceń f s : (X, T ) (Y s, T s ) staje się ciągłe. Jest widoczne, że żądaną własność ma topologia, której podbazą jest rodzina B 0 := {f 1 s (U) : s S, U T s }. Uwaga 3. Gdy #S = 1, to rodzina B 0 jest już topologią. Dla przekształcenia f : X Y w przestrzeń topologiczną (Y, T Y ), otrzymaną topologię T = {f 1 (U) : U T Y } na X (najsłabszą, czyniącą przekształcenie f : (X, T ) (Y, T Y ) ciągłym) nazywamy topologią cofniętą przez f (z Y do X). Zadanie 4. Przy powyższych oznaczeniach i dowolnej przestrzeni topologicznej (A, T A ), funkcja g : (A, T A ) (X, T ) jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy ciągłe jest każde złożenie f s g : (A, T A ) (X s, T s ). (Wskazówka: zadanie 2.) Zadanie 5. Jeśli wyżej przekształcenie f jest różnowartościowe, a topologia T Y jest generowana przez metrykę d, to topologia cofnięta jest generowana przez metrykę cofniętą, zadaną wzorem d X (x 1, x 2 ) := d(f(x 1 ), f(x 2 )) dla x 1, x 2 X. Definicja. Niech X będzie podzbiorem przestrzeni topologicznej (Y, T ) i niech f : X