Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013
|
|
- Władysław Grzybowski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria Mnogości, PWN Warszawa 1966, 2. K. Kunen: The Foundations of Mathematics, College Publications 2009, 3. K. Kuratowski: Wstęp do Teorii Mnogości I Topologii, PWN Warszawa 1980, 4. R. Engelking: Topologia Ogólna, PWN Warszawa 1989, 5. R. Engelking, K. Sieklucki: Wstęp do Topologii, PWN Warszawa 1986, 6. F. Leja: Geometria Analityczna, PWN Warszawa 1977, 7. K. Borsuk: Geometria Analityczna Wielowymiarowa, PWN Warszawa A. Białynicki-Birula, Algebra Liniowa z Geometrią, PWN Warszawa Literatura dodatkowa: 9. T. J. Jech, The Axiom of Choice, North-Holland H. Herrlich, Axiom of Choice, Springer-Verlag Berlin Heidelberg Wykłady będą realizowane według programu przygotowanego przez Tomasza Weissa i przeze mnie, po zapoznaniu się z planem S. Godlewskiego. Będę też nawiązywać między innymi do Feynmana wykładów z fizyki oraz do Historii Fizyki A. K. Wróblewskiego, aby pokazać także powiązania prezentowanej przeze mnie teorii z fizyką. Wykład 1. Wprowadzenie. Każdą porządną teorię powinno się rozpocząć od ustalenia jej układu aksjomatów. Zakładamy zatem na ogół dogodną interpretację układu ZFC zapoczątkowanego w 1907/1908 przez E. Zermelo [ ], uzupełnionego o aksjomat zastępowania przez A. A. Fraenkela [ ], o aksjomat ufundowania przez J. von Neumanna [ ] i niezależnie od von Neumanna przez Zermelo, dokładniej przeanalizowanego np. w [1] i [2]. Jednym z aksjomatów tego układu jest pochodzący od E. Zermelo pewnik wyboru (AC) orzekający, że dla każdej niepustej rodziny parami rozłącznych zbiorów niepustych istnieje zbiór mający z każdym ze zbiorów tej rodziny po dokładnie jednym elemencie wspólnym. Aksjomat ten nie jest powszechnie akceptowany w tym sensie, że nie ma pewności, iż jest absolutnie prawdziwy. W teorii ZFC czyni się jedynie hipotetyczne założenie, iż aksjomat ten orzeka prawdę. Od pewnego czasu na przykład w Niemczech, Portugalii, Francji i USA prowadzone są badania matematyki opartej o aksjomaty ZF bez użycia pewnika wyboru (zob.[2], [9], [10] ). Innym kontrowersyjnym aksjomatem teorii ZFC jest tak zwany aksjomat nieskończoności (oznaczany Inf) o tym, że istnieje zbiór nieskończony, choć nie może być pewności, że zbiory nieskończone istnieją we wszechświecie. W teorii ZFC-Inf+ Inf każdy zbiór jest skończony, 1
2 natomiast w teorii ZFC-Inf istnienie zbiorów nieskończonych jest niedowodliwe i żaden wiarygodny przykład zbioru nieskończonego zaistnieć nie może. W teorii ZFC istnienie zbiorów nieskończonych jest konsekwencją hipotetycznych aksjomatów tej teorii, a nie zdań na pewno orzekających prawdę absolutną. Podsumowując, przyjmujemy umowę dotyczącą wszystkich naszych zajęć: Umowa. Jeśli nie zaznaczymy, że jest inaczej, zakładamy układ ZFC i jego dogodną dla nas interpretację. Od czasu do czasu, będziemy badać niektóre problemy w podteoriach teorii ZFC, na przykład w ZF lub ZFC-Inf. Ustalamy zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych w sensie Hilberta-Huntingtona (D. Hilbert [ ], E. V. Huntington [ ]), mając na myśli ustalone liniowo uporządkowane ciało algebraiczne (R,+,, ), którego każdy niepusty ograniczony z góry ze względu na podzbiór ma w R kres górny względem. W ZFC takie ciało jest jedno z dokładnością do izomorfizmu. Przez przedział będziemy rozumieć taki podzbiór zbioru R, że dla dowolnej pary elementów, zbioru i dowolnego elementu zbioru R, jeśli < <, to. Przedziały w R będziemy oznaczać tradycyjnie: (- ; ), (- ; ], ( ; ), ( ; ], [ ; b), [ ; ], [ ; + ), ( ;+ ). Warto przyjąć, że liczbami całkowitymi nieujemnymi w R są: 0=Ø (zbiór pusty), 1={0}, 2={0,{0}},, +1={0,1,., }=,., gdy jest już określoną liczbą naturalną ( należy powołać się na korespondencję Grellinga z E. Zermelo z 1912 roku i artykuł von Neumanna z 1923 roku, gdzie taki pomysł określenia liczby całkowitej nieujemnej został wyeksponowany po raz pierwszy). Już tradycyjnie, klasę wszystkich takich liczb całkowitych nieujemnych oznacza się, a N= \{0} jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych dodatnich (naturalnych). Zwykle, dla zbiorów,, symbol oznacza zbiór wszystkich funkcji określonych na, o wartościach w. Zatem, dla, R jest zbiorem wszystkich funkcji określonych na zbiorze, o wszystkich swoich wartościach w R, przy czym, gdy R, możemy pisać: =( (0),, ( -1)) lub na przykład: =(,, ). Przestrzenie metryczne, wiadomości wstępne. Właściwy rozwój teorii przestrzeni metrycznych oraz topologicznych został zapoczątkowany pracą M. Frécheta [ ] wydrukowaną w 1906 roku oraz monografią F. Hausdorffa [ ] z 1914 roku, ale już w wieku XIX matematyk niemiecki J. B. Listing[ ] użył terminu topologia w swoim artykule z 1847 roku, a wcześniej w korespondencji. Zajmiemy się na razie głównie przestrzeniami metrycznymi. Definicja metryki. Metryką lub odległością w zbiorze nazywamy funkcję : R mającą następujące własności: (m1), [ (, )=0 = ]; (m2 warunek symetrii), (, )= (, ); (m3- warunek trójkąta),, (, ) (, )+ (, ). 2
3 Definicja przestrzeni metrycznej. Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną (, ), gdzie jest zbiorem, a jest metryką w zbiorze. Definicje odległości między punktami i między zbiorami. Niech będzie metryką w zbiorze. Wówczas: (i) gdy,, liczbę (, ) nazywamy odległością lub -odległością punktu od ; (ii) jeżeli oraz jest niepustym podzbiorem zbioru, liczbę (, )=inf{ (, ): } nazywamy odległością w tej przestrzeni metrycznej lub -odległością punktu od zbioru ; (iii) jeżeli, jest parą niepustych podzbiorów zbioru, to liczbę (, )=inf{ (, ): i } nazywamy odległością w tej przestrzeni metrycznej lub -odległością między zbiorami i. Stwierdzenie o nieujemności wartości metryk. Wszystkie wartości każdej metryki są liczbami rzeczywistymi nieujemnymi. Dowód. Niech, będzie parą punktów zbioru, a metryką w. Korzystając po kolei z (m1), (m3), (m2) otrzymujemy: 0= (, ) (, )+ (, )=2 (, ), skąd wnioskujemy, że 0 (, ). Niemożność dokładnego mierzenia odległości w fizyce. Gdy R. Feynman przygotowywał swoje wykłady QED, osobliwa teoria światła i materii ( wyd. w 1985 roku), za najmniejszą mierzalną przez fizyków odległość uznawano w przybliżeniu 10 cm. Dokonywanie doskonale dokładnych pomiarów odległości między wszelkimi parami różnych obiektów w fizyce nie jest możliwe. Ze względu na uogólnioną zasadę nieoznaczoności, teoretycznie żadnej długości w fizyce mniejszej niż długość Plancka, która wynosi w przybliżeniu (97) 10 m nie można zmierzyć (zob. Wikipedia), a długość Plancka to w jakimś przybliżeniu 10 średnicy protonu. R. Feynman [ ] amerykański fizyk teoretyk, nagrodzony wraz z J. Schwingerem (USA) i S. I. Tomonagą (Japonia) w 1965 Nagrodą Nobla za badania w dziedzinie elektordynamiki kwantowej. M. Planck [ ]-fizyk niemiecki, w 1918 roku uhonorowany Nagrodą Nobla za wkład w rozwój fizyki dzięki odkryciu przez niego kwantów energii, elementarnych kwantów działania. Definicja metryki dyskretnej i przestrzeni metrycznej dyskretnej. Metryką dyskretną lub zerojedynkową w zbiorze niepustym nazywamy funkcję : {0,1} określoną jak następuje: (, )=0 dla każdego, natomiast (, )=1 dla każdej pary różnych punktów, zbioru. Przestrzeń metryczną, której metryka jest zero-jedynkowa nazywamy przestrzenią metryczną dyskretną. Uwaga o metrykach dyskretnych i niedowodliwości istnienia przestrzeni metrycznych. W teorii ZFC każda metryka dyskretna jest metryką. W teorii ZFC-Inf, nie można udowodnić, że metryka dyskretna jest metryką, bo nie wiadomo w takiej teorii, czy zbiór R istnieje. W teorii ZFC-Inf istnienie przestrzeni metrycznych jest nieudowadniane, nie ma w tej teorii żadnych wiarygodnych przykładów przestrzeni metrycznych. W teorii ZFC-Inf+ Inf, żadna metryka dyskretna w zbiorze niepustym nie jest metryką i w tej teorii nie istnieją przestrzenie metryczne. Przestrzeniami metrycznymi będziemy zajmować się przede wszystkim w teorii ZFC. 3
4 Przykłady metryk w przestrzeni R. Niech N. Dla, R możemy określić: (i) (, )= ( ) ( ), (ii) (, )=max ( )- ( ), (iii) (, )= ( ( ) ( )). (iv) Standardową metryką w R jest metryka wyznaczona przez wartość bezwzględną: (, )= -, gdzie, R. Tak określone funkcje,, są metrykami w R, przy czym badać będziemy szczególnie metrykę zwaną euklidesową lub pitagorejską, a to, że funkcja ta jest metryką udowodnimy przy omawianiu iloczynów skalarnych i norm przez nie wyznaczonych. Metryka, zwłaszcza w R, bywa nazywana taksówkową. Załóżmy dalej, że (, ) jest przestrzenią metryczną. Wtedy nazywamy przestrzenią lub całą przestrzenią, a elementy zbioru punktami tej przestrzeni. Gdy oraz (0; + ), to kulą otwartą o środku w punkcie i promieniu w tej przestrzeni metrycznej nazywamy zbiór: (,r)= (, )={ : (, )< }, natomiast zbiór (, )= (, )={ : (, ) } nazywamy kulą domkniętą o środku w punkcie i promieniu w tej przestrzeni metrycznej. Definicje zbioru otwartego i topologii przestrzeni metrycznej. Zbiór nazywamy otwartym w przestrzeni metrycznej (, ) dokładnie wtedy, gdy: ( ; ) (,r), natomiast rodzinę (oznaczaną też ) wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (, ) nazywamy topologią tej przestrzeni metrycznej lub topologią w zbiorze wprowadzoną lub wyznaczoną przez metrykę. Definicja metryk równoważnych. Metryki w zbiorze nazywamy równoważnymi, gdy topologie w wyznaczone przez te metryki są identyczne. Metryki,, określone powyżej w przykładach metryk w R są równoważne, ale nie są równoważne metryce dyskretnej w R. Twierdzenie o topologii przestrzeni metrycznej. Rodzina wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (, ) ma następujące własności: (T1) i (zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami otwartymi), (T2) (suma mnogościowa zbiorów otwartych w danej przestrzeni jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni), (T3), (część wspólna dwu zbiorów otwartych w danej przestrzeni jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni. 4
5 (T4) ( ; (,r) ( każda kula otwarta w danej przestrzeni metrycznej jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni), (H) ( warunek Hausdorffa) dla każdej pary, różnych punktów zbioru, istnieje para, rozłącznych zbiorów otwartych w (, ) taka, że i. Dowody powyższych faktów pozostawiam jako ćwiczenie. Definicje topologii i przestrzeni topologicznej, zbiorów otwartych i domkniętych w przestrzeni topologicznej. Niech będzie rodziną podzbiorów jakiegoś zbioru mającą własności (T1)-(T3). Wówczas nazywamy topologią w zbiorze, a parę (, ) przestrzenią topologiczną, przy czym zbiorami otwartymi w przestrzeni topologicznej (, ) nazywamy zbiory należące do topologii tej przestrzeni, a zbiór nazywamy zbiorem domkniętym w przestrzeni topologicznej (, ), gdy \. Definicja przestrzeni metryzowalnej. Przestrzeń topologiczną, nazywamy przestrzenią metryzowalną, gdy istnieje metryka w zbiorze taka, że jest topologią przestrzeni metrycznej,. Przykład przestrzeni topologicznej niemetryzowalnej. Gdy jest zbiorem mającym co najmniej dwa różne punkty, np. gdy 2 0,1, to rodzina ={, } jest topologią w zwaną antydyskretną, ale nie istnieje metryka w wyznaczająca topologię. Zatem nie każda topologia jest wyznaczona przez metrykę. Topologia naturalna w. Topologię w wyznaczoną przez metrykę euklidesową w tej przestrzeni zwie się topologią naturalną. W szczególności, topologia naturalna w jest wyznaczona przez metrykę standardową (wyznaczoną przez wartość bezwzględną w ). Definicja zbioru domkniętego w przestrzeni metrycznej. Zbiór nazywamy domkniętym w przestrzeni metrycznej (, ), gdy dopełnienie do zbioru jest zbiorem otwartym w (, ). Uwaga o części wspólnej skończonej ilości zbiorów otwartych. Wykorzystując zasadę indukcji matematycznej oraz warunek (T3), można udowodnić, że część wspólna skończonej ilości zbiorów otwartych w danej przestrzeni metrycznej (ogólniej, topologicznej) jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni. Stąd, z własności (T1)-(T3) oraz z praw de Morgana wnioskujemy, że prawdziwe jest następujące: Twierdzenie o rodzinie wszystkich zbiorów domkniętych w danej przestrzeni. Rodzina wszystkich zbiorów domkniętych w danej przestrzeni metrycznej (ogólniej: w przestrzeni topologicznej ) ma następujące podstawowe własności: (D1) zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami domkniętymi w tej przestrzeni, (D2) część wspólna dowolnej rodziny zbiorów domkniętych w tej przestrzeni jest też zbiorem w niej domkniętym, (D3) suma mnogościowa skończonej ilości zbiorów domkniętych w tej przestrzeni jest zbiorem w niej domkniętym. 5
6 Definicje wnętrza, domknięcia i brzegu zbioru. Niech będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (ogolniej: topologicznej). Wówczas: (i) wnętrzem zbioru w tej przestrzeni nazywamy zbiór int będący sumą mnogościową wszystkich tych zbiorów otwartych w tej przestrzeni, które są zawarte w ; (ii) domknięciem zbioru w danej przestrzeni nazywamy zbiór cl będący częścią wspólną wszystkich tych zbiorów domkniętych w tej przestrzeni, w których zawarty jest zbiór ; (iii) brzegiem zbioru w danej przestrzeni nazywamy zbiór bd cl \ int. Dokładniejsze oznaczenia. Gdy, natomiast jest metryką w lub jest topologią w, bywają stosowane oznaczenia: int, int, int,, cl itd. Twierdzenie podające warunek konieczny i wystarczający przynależności punktu do wnętrza (odp.: domknięcia, brzegu zbioru ). Jeżeli jest podzbiorem przestrzeni metrycznej (, ) oraz, to: (i) int,, ; (ii) cl,, ; (iii) bd,,, \. Definicje (zbiory gęste, brzegowe, nigdziegęste). Podzbiór przestrzeni metrycznej (, ) (odp. topologicznej (, )) nazywamy: (i) (ii) (iii) gęstym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni ma jakiś element ze zbioru ; brzegowym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni ma jakiś element nie należący do ; nigdziegęstym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni zawiera pewien niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni rozłączny ze zbiorem. Definicje (ośrodki, przestrzenie ośrodkowe). Przestrzeń metryczną (odp. topologiczną) nazywamy przestrzenią ośrodkową, gdy istnieje jej przeliczalny podzbiór gęsty w tej przestrzeni. Każdy przeliczalny zbiór gęsty w danej przestrzeni nazywamy jej ośrodkiem. Uwaga o ośrodkowości przestrzeni. Przestrzeń z nadaną jej topologią naturalną jest przestrzenią ośrodkową. Jej ośrodkiem jest na przykład zbiór wszystkich takich, że jest liczbą wymierną dla każdego. W szczególności, zbiór wszystkich liczby wymiernych w R jest ośrodkiem przestrzeni R wszystkich liczb rzeczywistych wyposażonej w jej topologię naturalną. Uwaga o pojęciu zbioru przeliczalnego. Dla wygody, przez zbiór przeliczalny będziemy rozumieć zbiór równoliczny z jakimś podzbiorem klasy. Zbiory przeliczalne w tym sensie bywają nazywane co najwyżej przeliczalnymi, a niektórzy przez zbiór przeliczalny rozumieją zbiór równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych. Istnieje też następująca definicja zbioru przeliczalnego: Definicja zbioru przeliczalnego (Wajch). Zbiorem przeliczalnym nazywamy taki i tylko taki zbiór, który jest równoliczny z każdym ze swoich nieskończonych podzbiorów. Nie można udowodnić, że w teorii ZF ta definicja zbioru przeliczalnego jest równoważna podanej powyżej definicji zbioru co najwyżej przeliczalnego. 6
7 Zadania. Zadanie 1. Uzasadnić, że każdy podzbiór przestrzeni dyskretnej jest w niej zarówno otwarty jak i domknięty, a jedynym zbiorem gęstym w danej przestrzeni dyskretnej jest cała ta przestrzeń. Zadanie 2. Niech będzie metryką w zbiorze, a metryką w zbiorze. Sprawdzić, że funkcja określona wzorem: a) ((, ),(, ))= (, )+ (, ), b) ((, ),(, ))=max, ),, } jest metryką w zbiorze taką, że = :,,. Zadanie 3. Uzasadnić, że na przykład w R z topologią naturalną część wspólna przeliczalnie wielu zbiorów otwartych nie musi być zbiorem otwartym, a suma mnogościowa przeliczalnie wielu zbiorów domkniętych nie musi być zbiorem domkniętym. Zadanie 4. Quasi-metryką w zbiorze nazywamy funkcję : [0, + mającą własności m1 i m3. Pokazać, że nie każda quasi-metryka musi być metryką. Zadanie 5. Uzasadnić, że funkcja : R mająca własności m1 i m3 nie musi być quasimetryką. Zadanie 6. Załóżmy, że jest quasi-metryką w zbiorze. a Sprawdzić, że funkcja =max,, gdzie, =, dla każdego,, jest metryką w zbiorze. b Dla oraz 0,+, niech (,r)={ : (, )< }. Udowodnić, że rodzina ={ : (, ) } jest topologią w zbiorze (zwaną wprowadzoną przez quasi-metrykę ) taką, że (,r) dla każdego i każdego 0,+. c Zauważyć, że równość = nie musi zachodzić. d Uzasadnić, że topologia nie musi spełniać warunku Hausdorffa. Zadanie 7. Uzasadnić, że kula domknięta w przestrzeni metrycznej jest zbiorem domkniętym w tej przestrzeni. Zadanie 8. Niech będzie metryką w zbiorze. Czy dla i 0,+, domknięcie w, kuli otwartej, musi być kulą domkniętą,? Zadanie 9. Niech, będzie rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią unormowaną. Wykazać, że funkcja : R określona wzorem, = - dla, jest metryką w zbiorze zwaną wyznaczoną przez normę. Uzasadnić, że przestrzeń unormowana nie jest przestrzenią metryczną. Zadanie 10. Czy każda metryka w R jest wyznaczona przez jakąś normę w tej przestrzeni? Zadanie 11. Uzasadnić, że każdy podzbiór skończony przestrzeni metrycznej jest domknięty w tej przestrzeni. 7
8 Zadanie 12. Uzasadnić, że w R z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną zbiór { + :, {0 nie jest domknięty ani otwarty. Znaleźć domknięcie oraz wnętrze tego zbioru w tej przestrzeni metrycznej. Zadanie 13.. Niech będzie metryką w zbiorze, a metryką w zbiorze. W zbiorze rozważmy metrykę określoną wzorem: ((, ), (, ))= (, )+ (, ), gdzie, i,. Załóżmy, że i. Sprawdzić, czy muszą zachodzić równości: cl ( ) = cl cl oraz int ( ) = int int. Zapisać sensowny związek między bd ( ) oraz bd i bd. Zadanie 14. W R z metryką euklidesową wskazać wszystkie te punkty domknięcia zbioru = {sin : R 0, które nie należą do. Zadanie 15. Czy w R z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną istnieje zbiór nieprzeliczalny nigdziegęsty? Zadanie 16. Uzasadnić, że przestrzeń wszystkich liczb niewymiernych z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną w tym zbiorze jest ośrodkowa w teorii ZFC. Zadanie 17. Uzasadnić, że przestrzeń topologiczna, ( ), gdzie ( ) jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru, jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem przeliczalnym. Czy taka przestrzeń topologiczna jest na pewno metryzowalna w teorii ZFC? Czy jest ona na pewno metryzowalna w teorii ZF-Inf? Uwaga. Przestrzeń topologiczną, ( ) nazywamy przestrzenią dyskretną. Zadanie 18. Załóżmy układ ZF i załóżmy dodatkowo, że R jest zbiorem nierównolicznym z żadną liczbą należącą do, ale skończonym w sensie Dedekinda, to znaczy nierównolicznym z żadnym ze swoich podzbiorów właściwych. Uzasadnić, że przestrzeń metryczna (, ) nie ma żadnego równolicznego z podzbiorem klasy zbioru gęstego, więc nie jest ośrodkowa (zob. [9]). Zadanie 19. Uzasadnić, że przestrzeń metryczna dyskretna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalna. Zadanie 20. Uzasadnić dokładniej, że w teorii ZF-Inf jest niedowodliwe, że istnieje zbiór taki, iż funkcja : 0.1 określona wzorem: 0 dla =,, ) = 1 dla, gdzie,, jest metryką w zbiorze. Czy zdanie, że w każdym niepustym zbiorze jest jakaś metryka, na przykład zero-jedynkowa, można traktować jako absolutnie prawdziwe? Uwaga o quasi-odległościach w rzeczywistym wszechświecie. W praktyce, przy mierzeniu odległości między obiektami materialnymi, zatraca się symetrię pomiarów i posługujemy się w pomiarach raczej niesymetrycznymi funkcjami odległości niż metrykami. Między innymi dlatego niektórzy naukowcy badają quasi-metryki, ale powinni oni uświadomić sobie, że w ZFC-Inf nie może zaistnieć żaden wiarygodny przykład quasi-metryki. Pojęcie quasi-metryki wprowadził W. A. Wilson w 1931 roku. 8
Eliza Wajch: Topologia
General Topology in ZF a brief introduction Eliza Wajch Abstract. This is a collection of my lectures on general topology in ZF for Polish students who apply for Master s degree in mathematics and are
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoUwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoWeronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))
Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowoWstęp do topologii Ćwiczenia
Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoWstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Topologia Topology Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Semestr: IV Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Liczba godzin/tydzień:
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowo1,5 1,5. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Analiza matematyczna M1 2. Wstęp do logiki i teorii mnogości
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim TOPOLOGIA Nazwa w języku angielskim TOPOLOGY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli dotyczy): Matematyka
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (2)
Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoDekompozycje prostej rzeczywistej
Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii
Bardziej szczegółowoCiągłość i topologia. Rozdział Ciągłość funkcji wg. Cauchy
Rozdział 1 Ciągłość i topologia Nadanie precyzyjnego sensu intiucyjnemu pojęciu ciągłości jest jednym z głównych tematów dziedziny matematyki, zwanej topologią. Definicja funkcji ciągłej znana z podstawowego
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoMetoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych
Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 8 IX AD MMXIII Streszczenie Celem pracy jest zaprezentowanie jednej z metod dowodzenia istnienia
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW
Kod przedmiotu Nazwa przedmiotu KARTA PRZEDMIOTU AM1_M w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Forma
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowo19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoTopologia I Wykład 4.
Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych
Bardziej szczegółowoWykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoInformatyka, I stopień
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Informatyka, I stopień Sylabus modułu: Podstawy logiki i teorii mnogości (LTM200.2) wariantu modułu (opcjonalnie): 1. Informacje ogólne
Bardziej szczegółowoZad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoZadania z forcingu. Marcin Kysiak. Semestr zimowy r. ak. 2002/2003
Zadania z forcingu Marcin Kysiak Semestr zimowy r. ak. 2002/2003 Dokument ten zawiera zadania omówione przeze mnie na ćwiczeniach do wykładu monograficznego dr. A. Krawczyka "Zdania nierozstrzygalne w
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoWykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoZadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoAlgebra zbiorów. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Algebra zbiorów Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria mnogości Teoria mnogości jest działem matematyki zajmującym się
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści
Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoTopologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).
Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoZał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim TOPOLOGIA OGÓLNA Nazwa w języku angielskim GENERAL TOPOLOGY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoMatematyka II - Organizacja zajęć. Egzamin w sesji letniej
Matematyka II - Organizacja zajęć Wykład (45 godz.): 30 godzin - prof. zw. dr hab. inż. Jan Węglarz poniedziałek godz.11.45 15 godzin - środa godz. 13.30 (tygodnie nieparzyste) s. A Egzamin w sesji letniej
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Bardziej szczegółowof(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf
9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf
Bardziej szczegółowoSpis treści: 3. Geometrii innych niż euklidesowa.
Matematyka Geometria Spis treści: 1. Co to jest geometria? 2. Kiedy powstała geometria? 3. Geometrii innych niż euklidesowa. 4. Geometrii różniczkowej. 5. Geometria. 6. Matematyka-konieckoniec Co to jest
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (1)
Wstęp do Matematyki (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (1) Wprowadzenie 1 / 41 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWykład 1. Przestrzeń Hilberta
Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach
Bardziej szczegółowoElementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoStanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania
Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale MIM Uniwersytetu
Bardziej szczegółowoUltrafiltry. Dominik KWIETNIAK, Kraków. 1. Ultrafiltry
W niniejszym artykule zero nie jest liczbą naturalną! Ultrafiltry Dominik KWIETNIAK, Kraków Artykuł ten stanowi zapis referatu jaki został wygłoszony na XLVII Szkole Matematyki Poglądowej Ekstrema. Przedstawiono
Bardziej szczegółowo