Teoria Decyzji Wykład 13 N-osobowe gry kooperacyjne - wartość Shapleya

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria Decyzji Wykład 13 N-osobowe gry kooperacyjne - wartość Shapleya"

Transkrypt

1 Teoria Decyzji Wykład 13 N-osobowe gry kooperacyjne - wartość Shapleya Na poprzednim wykładzie mówiliśmy o dwóch rodzajach pojęcia rozwiązania" gry kooperacyjnej: o rdzeniu i o zbiorach stabilnych. Oba te rozwiązania odwołują się do koncepcji dominacji albo kwestionowania pewnych podziałów przez pewne koalicje. Pojęcia te, pomimo swojej intuicyjnej oczywistości, mają pewne wady: zachowują się w dość nieregularny sposób, rdzeń może być zbiorem pustym, a zbiorów stabilnych może być z kolei bardzo wiele. Tych wad nie ma inna koncepcja rozwiązania" gry, którą zajmiemy się w tym rozdziale. Jest nią wartość Shapleya. Wprowadzimy to pojęcie posługując się przykładem muzyków opisanym na poprzednim wykładzie. Przypomnijmy samą tylko tabelkę tej gry prezentującą jej postać charakterystyczną Koalicja Wypłata {Skrzypek, Pianista, Basista} 200 { Pianista, Basista} 130 {Skrzypek,Basista} 100 {Skrzypek, Pianista} 160 {Skrzypek} 40 { Pianista} 60 { Basista} 0 Przypuśćmy, że trzej muzycy umówili się w jednym miejscu, na przykład na przystanku metra o piątej po południu. Nigdy nie przyjdą na spotkanie w tym samym momencie: ze względów losowych będą się pojawiać w jakiejś kolejności. Co więcej teoretycznie nie wszyscy musza się pojawić. Jeśli się dany muzyk pojawi, to jaka jest z tego korzyść? Otóż to ta korzyść - zależy nie tylko od tego, który to muzyk, ale też od tego w którym momencie tworzenia koalicji się pojawi. Ową korzyść z przyjścia danego muzyka, ogólnie nazywamy wkładem w koalicję. Jest sześć możliwych kolejności pojawiania się muzyków, czyli jak mówimy - tworzenia koalicji: {Skrzypek, Pianista, Basista} {Skrzypek, Basista, Pianista} {Pianista, Basista, Skrzypek} {Pianista, Skrzypek, Basista} {Basista, Skrzypek, Pianista} {Basista, Pianista, Skrzypek}

2 Wybierzmy sobie jednego z artystów, na przykład Basistę i przeanalizujmy jego sytuację w każdym z możliwych wymienionych wyżej przypadków. Przypuśćmy, że każdą kolejność przyjścia interpretujemy jako proces tworzenia się zespołu w pewnej kolejności. Interesuje nas wielkość wypłaty, jaką dany gracz muzyk wnosi do już zastanej koalicji. W przypadku kolejności numer l, Basista zastaje koalicję {Skrzypek, Pianista} wartą" (jak wynika z tabeli) 160. Po jego przyjściu wartość koalicji wzrasta do 200 dolarów, czyli o 40 dolarów. W przypadku kolejności numer 2, Basista zastaje koalicję { Skrzypek } wartą" 40 dolarów. Po jego przyjściu wartość tej koalicji wzrasta do 100 dolarów, czyli o 60 dolarów. Postępujemy tak dalej, na przykład dla kolejności numer 5, czy 6, Perkusista przychodzi pierwszy i wnosi 0 dolarów, jako że sam nie jest nic wart". Otrzymujemy w ten sposób poniższą tabelę, w której wypisano wszystkie możliwe kolejności tworzenia się zespołu, a obok kwoty, jakie poszczególni muzycy wnoszą przychodząc w tej właśnie kolejności. W ostatnim wierszu tej tabeli umieściliśmy średni wkład każdego z muzyków ze względu na wszystkie możliwe kolejności tworzenia się zespołu. W ten sposób otrzymaliśmy podział Xs == 70, Xp, = 95. Xb, = 35. Ten podział nazywa się wartością Shapleya danej gry. Wartość Shapleya, ze względu na sposób, w jaki ją skonstruowano, można interpretować jako średni oczekiwany podział w danej grze przy rozegraniu dużej ilości partii. Zaletą wartości Shapleya jest jej matematyczna prostota. Jest jeszcze jedna bardzo ważna rzecz: wartość Shapleya zawsze istnieje i zawsze jest tylko jedna. Zobaczmy jeszcze jak wygląda wartość Shapleya dla gry opisującej sytuację trzech kolegów, Zygi, Wieśka i Mietka, a przedstawionej na poprzednim wykładzie. Postać charakterystyczna tej gry była następująca:

3 Koalicja Wypłata { Zyga, Wiesiek, Mietek } 100 { Wiesiek, Mietek } 100 { Zyga, Mietek } 100 { Zyga, Wiesiek } 100 { Mietek } 0 { Zyga, } 0 { Wiesiek } 0 Wkłady poszczególnych graczy w różnych konfiguracjach kolejności tworzenia koalicji przedstawia poniższa tabela: Wartość Shapleya tej gry stanowi więc podział Xz =Xw= Xm = Otrzymany 3 wynik jest symetryczny, co nie jest przypadkiem. Historycznie bowiem rzecz ujmując, Lloyd Shapley który w latach 50 ubiegłego wieku analizował sposoby rozwiązania problemu podziału wypłaty w koalicji - zaczął od sformułowania trzech aksjomatów, dotyczących wartości podziału, które jego zdaniem oddają idee sprawiedliwości. Następnie wykazał, że taka wartość istnieje i jest tylko jedna. Podał także sposób jej obliczania, był on jednak znacznie bardziej skomplikowany niż ten, który poznali Państwo. Wspomnianych aksjomatów nie podamy w tym miejscu, bo wykorzystują one pewne pojęcia formalne obce Państwu, jednak powszechnie uznano je podobnie jak aksjomaty sprawiedliwości sformułowane przez Nasha dla gier dwuosobowych za sensowne i intuicyjne i raczej wszyscy się z nimi zgadzają, choć oczywiście są sytuacje, w których idee te budzą pewne wątpliwości. Jeden z tych aksjomatów mówi właśnie, że jeśli sytuacje graczy w grze koalicyjnej są w pełni symetryczne, to ich wypłaty powinny być równe. A tak właśnie było w rozważanej sytuacji trzech kolegów dźwigających skrzynie.

4 Wartość Shapleya bardzo szybko została zaakceptowana w teorii i praktyce jako dobra propozycja rozwiązania problemu podziału wypłaty w koalicji. Znaleziono dla niej także inne zastosowania. O jednym z nich powiemy w kolejnej części wykładu. Ważone gry większości Głosowanie na walnym zgromadzeniu akcjonariuszy spółki to również pewien szczególny rodzaj gry kooperacyjnej. Jest to gra, której każdy uczestnik dysponuje pewną ilością głosów zależną od jego udziałów w spółce. Sytuacja jest zatem taka: Mamy N graczy - udziałowców. Udział i-tego gracza w firmie wyraża się liczbą w i, i=1,,n. Suma wszystkich udziałów wynosi więc W głosów. Jest więc jakaś ustalona liczba A większa niż i w i. Do przyjęcia dowolnej uchwały potrzebna jest większość W. ale nie większa niż W, która 2 wyznacza większość". Koalicja, która łącznie zbierze A głosów albo więcej, decyduje o przyjęciu albo odrzuceniu uchwały. Koalicje taka nazywać będziemy koalicją nazywana wygrywającą Przypisujemy jej wypłatę w wysokości l. Koalicja, która nie ma większości jest przegrywająca i przypisujemy jej wypłatę 0. Takie gry nazywamy ważonymi grami większości. Weźmy pod uwagę prosty przykład: czterech akcjonariuszy, których udziały wynoszą, odpowiednio: 30, 30, 30 i 10 procent. Załóżmy, że statutowa większość potrzebna do podjęcia jakiejś uchwały wynosi 55. Taką grę będziemy umownie oznaczać przez [30, 30, 30, 10; 55]. Umówmy się, że graczy numerujemy, a zbiory indeksów oznaczają możliwe koalicje. Przykładowo, koalicja {l, 2, 4} składa się z akcjonariuszy numer l, 2 i 4. Stosując tę notacje poniżej przedstawiamy tabelkę prezentującą postać charakterystyczna tej gry:

5 Na przykład, widzimy że koalicja {l, 2. 4} jest wygrywająca (suma udziałów koalicjantów jest równa 70 i przekracza 55, zatem przypisujemy jej wypłatę l. Przypomnijmy sobie obliczanie wartości Shapleya w poprzednim przykładzie. Braliśmy tam pod uwagę wszystkie możliwe ustawienia graczy, teraz będą to 24 ustawienia Każde takie ustawienie interpretuje się jako pewien proces tworzenia się koalicji i przyjmuje się, że wszystkie ustawienia są równie prawdopodobne. Patrzymy następnie, dla każdego gracza z osobna, o ile wzrosła, w każdym ustawieniu, wartość koalicji, którą ten gracz już zastał, po jego dołączeniu się do niej. W naszym przypadku tą liczbą będzie zero: kiedy gracz zastał koalicję przegrywającą, która pozostała nadal przegrywająca po jego dołączeniu, albo kiedy gracz zastał już koalicję wygrywającą. Tą liczbą będzie natomiast jeden, kiedy gracz zastał koalicję przegrywającą, która po jego dołączeniu stała się wygrywająca; w takiej sytuacji mówimy, że ten gracz jest przy tym ustawieniu decydujący. Odpowiednie ustawienia kolejności zawierania koalicji i wartość dodana przez poszczególnych graczy przedstawione są w tabeli

6 Na przykład, w pierwszym wierszu powyższej tabeli gracz drugi dodał wartość 1 pozostali po 0. Zauważmy jeszcze raz, że w tych grach zawsze tylko jeden gracz dodaje dokładnie jeden a pozostali dokładnie zero. Liczymy teraz średni" wkład każdego gracza; łatwo widzimy, że trzech pierwszych graczy po osiem razy dodawało wartość 1, podczas gdy ostatni zawsze wnosił zero. Ponieważ wszystkich możliwych kolejności zawierania koalicji jest 24 otrzymujemy następującą wartość Shapleya gry, czyli podział X1 = X2= X3=1/3 oraz X4= 0. Wartość Shapleya wyraża w jakimś sensie możliwości przetargowe poszczególnych graczy, ich zdolność do tworzenia skutecznych koalicji. Sytuacja graczy l, 2 i 3 jest identyczna, więc wartość Shapleya daje im równe udziały w wygranej. Gracz 4 jest natomiast pionkiem: jego głos nie liczy się w żadnej sytuacji i dlatego wartość Shapleya daje mu 0. W takich zastosowaniach jak te omawiane teraz obliczone wypłaty dla poszczególnych graczy

7 wynikające ze znalezionej wartości Shapleya nazywane sa indeksem siły Shapleya-Shubika. Indeks ten mierzy wartość gracza jako potencjalnego koalicjanta to ważne i często wykorzystywane w analizach zastosowanie wartości Shapleya. Indeks ten został zastosowany w takim celu po raz pierwszy w 1954 roku. Aby zobaczyć jak ciekawe wnioski mogą wynikać z analizy indeksu siły popatrzmy jak zmieni się wartość Shapleya, kiedy trochę zmodyfikujemy wyjściową grę. Przyjmijmy teraz, że udziały akcjonariuszy l, 2, 3 i 4 w firmie wynoszą, po odpowiednich zakupach akcji na giełdzie, odpowiednio, 45, 30, 15 i 10. Większość wymagana do podjęcia wiążących decyzji nadal wynosi 55. Mamy więc do czynienia z ważoną grą większości [45, 30, 15, 10; 55]. Tabela wypłat poszczególnych koalicji wygląda już teraz inaczej, konkretnie zmieniły się wypłaty koalicji {l, 4} i {2, 3}. Oto ona

8 Kolejności dla których zmienili się gracze dodający wartość 1 zaznaczyliśmy w tabeli tłustą czcionką. Widzimy więc, że gracz numer l jest decydujący przy dwunastu ustawieniach; po podzieleniu 12 przez 24 (liczbę wszystkich ustawień) dostajemy 1/2 podobnie robimy dla pozostałych graczy i stwierdzamy, że wartość Shapleya dla gry otrzymanej po transferze akcji wynosi X1 =1/2, X2=X3=X4=1/6. Otrzymany wynik jest więc zupełnie inny niż poprzednio, może nawet trochę zaskakujący. Możliwości przetargowe graczy numer 2, 3 i 4, mających istotnie różniące się udziały w firmie, a więc 30, 15 i 10, zostały identycznie ocenione przez wartość Shapleya. Dzieje się tak dlatego, że identyczne są możliwości tworzenia skutecznych koalicji przez tych akcjonariuszy. W pewnym sensie nadwyżka udziałów gracza 2 zostaje zmarnowana" i nie znajduje właściwego przełożenia na jego możliwości zarządzania przedsiębiorstwem. Podobnie ciekawych spostrzeżeń można dokonać analizując wpływ wartości progowej A ( u nas 55) na siłę poszczególnych graczy. Może to być bardzo pouczające. Można np. zobaczyć że na zmianie tego progu mogą zyskać mali gracze właśnie poprzez to, że ich siłę zrównuje się z graczem dużo większym. Przecież w sytuacji naszego hipotetycznego walnego zgromadzenia, gdyby próg wynosił 60, to znowu gracz 4 byłby bez znaczenia. Zatem warto czasami dokładnie się przyjrzeć faktycznym skutkom zmian tego progu decydującego o uznaniu decyzji za ważnie podjętą. Teoria wartości Shapleya może równie dobrze służyć do prowadzenia analizy sytuacji w politycznych ciałach ustawodawczych. Wtedy graczami są partie i kluby, a udziałom odpowiada ilość głosów, jakimi te partie i kluby dysponują. Sytuacja jest jednak w tym wypadku bardziej złożona, bo akcjonariusz z poprzednich przykładów sam decydował o oddaniu swoich głosów (proporcjonalnych do jego udziału) za taką, czy inną opcją, natomiast w Sejmie czy Senacie ostatecznej decyzji, jak głosować, nie podejmuje partia, ale sam poseł czy senator. Problem do rozważenia Oblicz indeks siły Shapleya Subika koalicjantów w poniższych ważonych grach większości: a) [45, 30, 15, 10; 65] b) [45, 30, 15, 10; 60] c) [45,25,15,10,5; 51]

Teoria Decyzji Wykład 12 N-OSOBOWE GRY KOOPERACYJNE - POSTAĆ CHARAKTERYSTYCZNA GRY

Teoria Decyzji Wykład 12 N-OSOBOWE GRY KOOPERACYJNE - POSTAĆ CHARAKTERYSTYCZNA GRY Teoria Decyzji Wykład 12 N-OSOBOWE GRY KOOPERACYJNE - POSTAĆ CHARAKTERYSTYCZNA GRY Na poprzednich wykładach zajmowaliśmy się głównie takimi sytuacjami, w których gracze podejmowali decyzje jednocześnie

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych

Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych Oskar Skibski Institute of Informatics, University of Warsaw 15 października 2013 Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października

Bardziej szczegółowo

Wartość Shapleya w grach koalicyjnych

Wartość Shapleya w grach koalicyjnych Wartość Shapleya w grach koalicyjnych Dawid Migacz, i LO w Tarnowie 1 Wprowadzenie W zasadzie każdą sytuację występującą na świecie można wymodelować matematycznie. W przypadku sytuacji, w których kilka

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 2015/16

Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 2015/16 Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 2015/16 Oskar Skibski MIMUW 4 października 2015 Oskar Skibski (MIMUW) ATGK-16 4 października 2015 1 / 21 Przykład Oskar Skibski (MIMUW) ATGK-16 4 października 2015

Bardziej szczegółowo

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce. Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Wartość Shapleya. Oskar Skibski. Institute of Informatics, University of Warsaw. 8 października 2012

Wartość Shapleya. Oskar Skibski. Institute of Informatics, University of Warsaw. 8 października 2012 Wartość Shapleya Oskar Skibski Institute of Informatics, University of Warsaw 8 października 2012 Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 1 / 17 Przykład Oskar Skibski (University

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie wartości Shapleya w podejmowaniu decyzji przez importerów

Zastosowanie wartości Shapleya w podejmowaniu decyzji przez importerów Zastosowanie wartości Shapleya w podejmowaniu decyzji przez importerów dr hab. Leszek S. Zaremba 1. Postawienie problemu RozwaŜmy zagadnienie decyzyjne, jakie pojawia się w przypadku importerów pewnego

Bardziej szczegółowo

Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień. Tom I: Optymalizacja. Nie panikuj!

Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień. Tom I: Optymalizacja. Nie panikuj! Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień Tom I: Optymalizacja Nie panikuj! Autorzy: Iwo Błądek Konrad Miazga Oświadczamy, że w trakcie produkcji tego tutoriala nie zginęły żadne zwierzęta,

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane 11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

Programowanie w Baltie klasa VII

Programowanie w Baltie klasa VII Programowanie w Baltie klasa VII Zadania z podręcznika strona 127 i 128 Zadanie 1/127 Zadanie 2/127 Zadanie 3/127 Zadanie 4/127 Zadanie 5/127 Zadanie 6/127 Ten sposób pisania programu nie ma sensu!!!.

Bardziej szczegółowo

Tworzenie gier na urządzenia mobilne

Tworzenie gier na urządzenia mobilne Katedra Inżynierii Wiedzy Teoria podejmowania decyzji w grze Gry w postaci ekstensywnej Inaczej gry w postaci drzewiastej, gry w postaci rozwiniętej; formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry z

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania

Bardziej szczegółowo

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek...

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek... Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski gnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. gnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.

Bardziej szczegółowo

WYBUCHAJĄCE KROPKI ROZDZIAŁ 1 MASZYNY

WYBUCHAJĄCE KROPKI ROZDZIAŁ 1 MASZYNY WYBUCHAJĄCE KROPKI ROZDZIAŁ 1 MASZYNY Witaj w podróży. Jest to podróż matematyczna oparta na historii mojej, Jamesa, która jednak nie wydarzyła się naprawdę. Kiedy byłem dzieckiem, wynalazłem maszynę -

Bardziej szczegółowo

Wyszukiwanie binarne

Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne to technika pozwalająca na przeszukanie jakiegoś posortowanego zbioru danych w czasie logarytmicznie zależnym od jego wielkości (co to dokładnie znaczy dowiecie

Bardziej szczegółowo

Gry o sumie niezerowej

Gry o sumie niezerowej Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a

Bardziej szczegółowo

Liczby pierwsze. Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku.

Liczby pierwsze. Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku. Liczby pierwsze Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku. Liczbą pierwszą nazywany każdą taką liczbę naturalną, która posiada dokładnie dwa dzielniki naturalne, czyli jest podzielna

Bardziej szczegółowo

UCHWAŁA nr /2011 Nadzwyczajnego Walnego Zgromadzenia Powszechnej Kasy Oszczędności Banku Polskiego Spółki Akcyjnej z dnia 14 kwietnia 2011 r.

UCHWAŁA nr /2011 Nadzwyczajnego Walnego Zgromadzenia Powszechnej Kasy Oszczędności Banku Polskiego Spółki Akcyjnej z dnia 14 kwietnia 2011 r. UCHWAŁA nr /2011 Nadzwyczajnego Walnego Zgromadzenia Powszechnej Kasy Oszczędności Banku Polskiego Spółki Akcyjnej z dnia 14 kwietnia 2011 r. w sprawie wyboru Przewodniczącego Nadzwyczajnego Walnego Zgromadzenia

Bardziej szczegółowo

Przeliczanie cen walutowych na dokumentach

Przeliczanie cen walutowych na dokumentach Przeliczanie cen walutowych na dokumentach (wersja 1.0) Soneta Sp z o.o. ul. Wadowicka 8a, wejście B 31-415 Kraków tel./fax +48 (12) 261 36 41 http://www.enova.pl e-mail: handel@enova.pl 1 Spis treści

Bardziej szczegółowo

Lekcja : Tablice + pętle

Lekcja : Tablice + pętle Lekcja : Tablice + pętle Wprowadzenie Oczywiście wiesz już jak dużo można osiągnąć za pomocą tablic oraz jak dużo można osiągnąć za pomocą pętli, jednak tak naprawdę prawdziwe możliwości daje połączenie

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy

Bardziej szczegółowo

Katarzyna Niemczewska Paweł Pieskowski Tomasz Próchniak Radosław Socha Jakub Woźniakowski Grzegorz Żarłok. Opis eksperymentu z mikroekonomii III

Katarzyna Niemczewska Paweł Pieskowski Tomasz Próchniak Radosław Socha Jakub Woźniakowski Grzegorz Żarłok. Opis eksperymentu z mikroekonomii III Katarzyna Niemczewska Paweł Pieskowski Tomasz Próchniak Radosław Socha Jakub Woźniakowski Grzegorz Żarłok Opis eksperymentu z mikroekonomii III Warszawa 07.06.001 Wstęp Przeprowadzony przez naszą grupę

Bardziej szczegółowo

OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie

OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie Poznań, 1.10.2016 r. Dr Grzegorz Paluszak OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Teoria gier na kierunku Zarządzanie I. Informacje ogólne 1. Nazwa modułu : Teoria gier 2. Kod modułu : 1 TGw

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd. 4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające

Bardziej szczegółowo

UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE

UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną

Bardziej szczegółowo

TRENER MARIUSZ MRÓZ - JEDZ TO, CO LUBISZ I WYGLĄDAJ JAK CHCESZ!

TRENER MARIUSZ MRÓZ - JEDZ TO, CO LUBISZ I WYGLĄDAJ JAK CHCESZ! TRENER MARIUSZ MRÓZ - JEDZ TO, CO LUBISZ I WYGLĄDAJ JAK CHCESZ! Witaj! W tym krótkim PDFie chcę Ci wytłumaczyć dlaczego według mnie jeżeli chcesz wyglądać świetnie i utrzymać świetną sylwetkę powinieneś

Bardziej szczegółowo

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 6 Model matematyczny elementu naprawialnego Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

Które z poniższych adresów są adresem hosta w podsieci o masce 255.255.255.248

Które z poniższych adresów są adresem hosta w podsieci o masce 255.255.255.248 Zadanie 1 wspólne Które z poniższych adresów są adresem hosta w podsieci o masce 255.255.255.248 17.61.12.31 17.61.12.93 17.61.12.144 17.61.12.33 17.61.12.56 17.61.12.15 Jak to sprawdzić? ODPOWIEDŹ. Po

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE I CEL GRY ELEMENTY GRY

WPROWADZENIE I CEL GRY ELEMENTY GRY WPROWADZENIE I CEL GRY Masz nadzieję zostać ministrem handlu Maharadży. Osiągniesz swój cel, jeśli pod koniec każdego tygodnia (rundy) będziesz bogatszy od swojego przeciwnika. Fortunę zdobędziesz, zbierając

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II

Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy

Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy Spółka: KŁADY AZOTOWE W TARNOWIE-MOŚCICACH S.A. Rodzaj walnego zgromadzenia: nadzwyczajne Data, na która walne zgromadzenie zostało zwołane: 15 marca 2013

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Modelowanie niezawodności prostych struktur sprzętowych

Modelowanie niezawodności prostych struktur sprzętowych Modelowanie niezawodności prostych struktur sprzętowych W ćwiczeniu tym przedstawione zostaną proste struktury sprzętowe oraz sposób obliczania ich niezawodności przy założeniu, że funkcja niezawodności

Bardziej szczegółowo

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera 1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy spółki z portfela. Uchwały podjęte przez Walne Zgromadzenie

Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy spółki z portfela. Uchwały podjęte przez Walne Zgromadzenie Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy spółki z portfela Spółka: ROVESE S.A (dawniej Cersanit) Rodzaj walnego zgromadzenia: Nadzwyczajne Data walnego zgromadzenia: 24 październik 2011 r. Liczba

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 12 Teoria gier II Spis treści Wstęp Oligopol, cła oraz zbrodnia i kara Strategie mieszane Analiza zachowań w warunkach dynamicznych Indukcja wsteczna Gry powtarzane

Bardziej szczegółowo

Co to jest niewiadoma? Co to są liczby ujemne?

Co to jest niewiadoma? Co to są liczby ujemne? Co to jest niewiadoma? Co to są liczby ujemne? Można to łatwo wyjaśnić przy pomocy Edukrążków! Witold Szwajkowski Copyright: Edutronika Sp. z o.o. www.edutronika.pl 1 Jak wyjaśnić, co to jest niewiadoma?

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa w grach losowych.

Rachunek prawdopodobieństwa w grach losowych. Rachunek prawdopodobieństwa w grach losowych. Lista zawiera kilkadziesiąt zadań dotyczących różnych gier z użyciem kart i kości, w tym tych najbardziej popularnych jak brydż, tysiąc itp. Kolejne zadania

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. Przypomnienie Gra o sumie zerowej Kryterium dominacji Kryterium wartości oczekiwanej Diagram przesunięć Równowaga Can a Round

Bardziej szczegółowo

Dzielenie sieci na podsieci

Dzielenie sieci na podsieci e-damiangarbus.pl Dzielenie sieci na podsieci dla każdego Uzupełnienie do wpisu http://e-damiangarbus.pl/podzial-sieci-na-podsieci/ Dwa słowa wstępu Witaj, właśnie czytasz uzupełnienie do wpisu na temat

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne

Programowanie dynamiczne Programowanie dynamiczne Ciąg Fibonacciego fib(0)=1 fib(1)=1 fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2), gdzie n 2 Elementy tego ciągu stanowią liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem

Bardziej szczegółowo

Ruletka czy można oszukać kasyno?

Ruletka czy można oszukać kasyno? 23 stycznia 2017 Ruletka czy można oszukać kasyno? M. Dworak, K. Maraj, S. Michałowski Plan prezentacji Podstawy ruletki System dwójkowy (Martingale) Czy system rzeczywiście działa? 1/22 Podstawy ruletki

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Czytanie wykresów to ważna umiejętność, jeden wykres zawiera więcej informacji, niż strona tekstu. Dlatego musisz umieć to robić.

Czytanie wykresów to ważna umiejętność, jeden wykres zawiera więcej informacji, niż strona tekstu. Dlatego musisz umieć to robić. Analiza i czytanie wykresów Czytanie wykresów to ważna umiejętność, jeden wykres zawiera więcej informacji, niż strona tekstu. Dlatego musisz umieć to robić. Aby dobrze odczytać wykres zaczynamy od opisu

Bardziej szczegółowo

Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu

Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Teoria gier w ekonomii Kod przedmiotu 11.9-WZ-EkoP-TGE-S16 Wydział Kierunek Wydział Ekonomii i Zarządzania Ekonomia Profil ogólnoakademicki

Bardziej szczegółowo

Przydziały (limity) pojemności dyskowej

Przydziały (limity) pojemności dyskowej Przydziały (limity) pojemności dyskowej W dużych sieciach lokalnych bądź w przypadku, gdy z danego komputera korzysta kilku różnych użytkowników, administrator może zechcieć mieć kontrolę nad przydziałem

Bardziej szczegółowo

Priorytetyzacja przypadków testowych za pomocą macierzy

Priorytetyzacja przypadków testowych za pomocą macierzy Priorytetyzacja przypadków testowych za pomocą macierzy W niniejszym artykule przedstawiony został problem przyporządkowania priorytetów do przypadków testowych przed rozpoczęciem testów oprogramowania.

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratoriu m 30 30 1,5 1,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI CELE PRZEDMIOTU

Wykład Ćwiczenia Laboratoriu m 30 30 1,5 1,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI CELE PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ELEMENTY TEORII GIER Nazwa w języku angielskim ELEMENTS OF GAME THEORY Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Przekierowanie portów w routerze - podstawy

Przekierowanie portów w routerze - podstawy Przekierowanie portów w routerze - podstawy Wyobraźmy sobie, że posiadamy sieć domową i w tej sieci pracują dwa komputery oraz dwie kamery IP. Operator dostarcza nam łącze internetowe z jednym adresem

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Materiał porównawczy do ustawy z dnia 23 października 2008 r. o zmianie ustawy Kodeks spółek handlowych (druk nr 319 )

Materiał porównawczy do ustawy z dnia 23 października 2008 r. o zmianie ustawy Kodeks spółek handlowych (druk nr 319 ) BIURO LEGISLACYJNE/ Materiał porównawczy Materiał porównawczy do ustawy z dnia 23 października 2008 r. o zmianie ustawy Kodeks spółek handlowych (druk nr 319 ) USTAWA z dnia 15 września 2000 r. KODEKS

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej 5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

14. Ekonomia Behawioralna - Wady Klasycznej Teorii Gier

14. Ekonomia Behawioralna - Wady Klasycznej Teorii Gier 14. Ekonomia Behawioralna - Wady Klasycznej Teorii Gier Klasyczna teoria gier zakłada że gracze tylko interesują się swoimi wypłatami, a nie wypłatami innych graczy. W dodatku, z założenia gracze maksymalizują

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

2. Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych 2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /

Bardziej szczegółowo

POLITYKA SŁUCHANIE I PISANIE (A2) Oto opinie kilku osób na temat polityki i obecnej sytuacji politycznej:

POLITYKA SŁUCHANIE I PISANIE (A2) Oto opinie kilku osób na temat polityki i obecnej sytuacji politycznej: POLITYKA SŁUCHANIE I PISANIE (A2) Oto opinie kilku osób na temat polityki i obecnej sytuacji politycznej: Ania (23 l.) Gdybym tylko mogła, nie słuchałabym wiadomości o polityce. Nie interesuje mnie to

Bardziej szczegółowo

6.4. Efekty specjalne

6.4. Efekty specjalne 6.4. Efekty specjalne W programie MS PowerPoint 2010 znajdziemy coś takiego jak efekty specjalne. Służą one po to by prezentacja nie stała się monotonna i zachęcała widzów do uwagi poprzez zastosowane

Bardziej szczegółowo

PLANSZA. Plansza składa się z następujących pól:

PLANSZA. Plansza składa się z następujących pól: PLANSZA Plansza składa się z następujących pól: Pole Będzie Się Działo gracz, który stanie na to pole losuje zadanie z listy zadań. Pole 69 jeżeli gracz stanie na to pole, gracze przyjmują pozycję 69 i

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Teoria gier i decyzji Theory of games and decisions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji:

Bardziej szczegółowo

Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne.

Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne. Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Karty kontroli jakości: przypomnienie Załóżmy, że chcemy mierzyć pewną charakterystykę.

Bardziej szczegółowo

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule.

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. Jeśli obie wylosowane kule są tego samego koloru to zwycięża G

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja harmonogramów budowlanych - szeregowanie zadań. Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Optymalizacja harmonogramów budowlanych - szeregowanie zadań. Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Optymalizacja harmonogramów budowlanych - szeregowanie zadań Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Opis zagadnienia Zadania dotyczące szeregowania zadań należą do szerokiej

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).

Bardziej szczegółowo

UCHWAŁA Nr NADZWYCZAJNEGO WALNEGO ZGROMADZENIA Grupy LOTOS S.A. z dnia 28 listopada 2012 r.

UCHWAŁA Nr NADZWYCZAJNEGO WALNEGO ZGROMADZENIA Grupy LOTOS S.A. z dnia 28 listopada 2012 r. UCHWAŁA Nr NADZWYCZAJNEGO WALNEGO ZGROMADZENIA Grupy LOTOS S.A. z dnia 28 listopada 2012 r. w sprawie : wyboru Przewodniczącego Nadzwyczajnego Walnego Zgromadzenia. Działając na podstawie art. 409 1 Kodeksu

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy

Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy Spółka: GRUPA LOTOS SA Rodzaj walnego zgromadzenia: nadzwyczajne Data, na która walne zgromadzenie zostało zwołane: 28 listopada 2012 roku Liczba głosów

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie wykresów.

Przekształcanie wykresów. Sławomir Jemielity Przekształcanie wykresów. Pokażemy tu, jak zmiana we wzorze funkcji wpływa na wygląd jej wykresu. A. Mamy wykres funkcji f(). Jak będzie wyglądał wykres f ( ) + a, a stała? ( ) f ( )

Bardziej szczegółowo

Wyliczanie premii dla przedstawicieli handlowych lub innych typów osób powiązanych z dokumentami.

Wyliczanie premii dla przedstawicieli handlowych lub innych typów osób powiązanych z dokumentami. KOLHurt analizy i raporty Wyliczanie premii dla przedstawicieli handlowych lub innych typów osób powiązanych z dokumentami. Generalnie rzecz ujmując KOLHurt pozwala dla danego przedstawiciela handlowego

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy

Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy Spółka: CERSANIT S.A. Rodzaj walnego zgromadzenia: nadzwyczajne Data, na która walne zgromadzenie zostało zwołane: 24 października 2011 roku Liczba głosów

Bardziej szczegółowo

Dielektryki. właściwości makroskopowe. Ryszard J. Barczyński, 2016 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego

Dielektryki. właściwości makroskopowe. Ryszard J. Barczyński, 2016 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Dielektryki właściwości makroskopowe Ryszard J. Barczyński, 2016 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Przewodniki i izolatory Przewodniki i izolatory Pojemność i kondensatory Podatność dielektryczna

Bardziej szczegółowo

b) (dwadzieścia tysięcy) akcji zwykłych imiennych serii M1 o kolejnych numerach od do 20000;

b) (dwadzieścia tysięcy) akcji zwykłych imiennych serii M1 o kolejnych numerach od do 20000; 2015-12-09 17:40 MIRACULUM SA Rejestracja przez sąd zmiany wysokości i struktury kapitału zakładowego i zmian statutu Spółki Raport bieżący 162/2015 Zarząd spółki Miraculum S.A. ("Spółka") informuje, że

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji

Bardziej szczegółowo

SKĄD WYWODZI SIĘ NAZWA PROGRAMU?

SKĄD WYWODZI SIĘ NAZWA PROGRAMU? SKĄD WYWODZI SIĘ NAZWA PROGRAMU? Nazwa programu wywodzi się z turntablizmu, czyli techniki miksowania muzyki (tworzenia tzw. skreczy) przez hip-hopowych didżejów. Instrument turntablisty gramofon CO TO

Bardziej szczegółowo

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia.

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia. Opcje na GPW (II) Wbrew ogólnej opinii, inwestowanie w opcje nie musi być trudne. Na rynku tym można tworzyć strategie dla doświadczonych inwestorów, ale również dla początkujących. Najprostszym sposobem

Bardziej szczegółowo

Propozycja struktury treśći i nawigacji dla strony

Propozycja struktury treśći i nawigacji dla strony Propozycja struktury treśći i nawigacji dla strony www.jankarski.org Przyjęta struktura działów 1) Postać karskiego a) Historia o Karskim b) Karski o sobie c) Inni o Karskim d) Echa Karskiego 2) Edukacja

Bardziej szczegółowo

Systemy rozgrywek sportowych OGÓLNE ZASADY ORGANIZOWANIA ROZGRYWEK SPORTOWYCH

Systemy rozgrywek sportowych OGÓLNE ZASADY ORGANIZOWANIA ROZGRYWEK SPORTOWYCH Systemy rozgrywek sportowych OGÓLNE ZASADY ORGANIZOWANIA ROZGRYWEK SPORTOWYCH Rozgrywki sportowe moŝna organizować na kilka róŝnych sposobów, w zaleŝności od liczby zgłoszonych druŝyn, czasu, liczby boisk

Bardziej szczegółowo

XXII Konferencja SNM. Porozmawiajmy o walorach dydaktycznych SET Game

XXII Konferencja SNM. Porozmawiajmy o walorach dydaktycznych SET Game 1 XXII Konferencja SNM AKTYWNOŚCI MATEMATYCZNE Katarzyna Sikora, (Chorzów) ksikora35@gmail.com Porozmawiajmy o walorach dydaktycznych SET Game Streszczenie. Podczas warsztatów uczestnicy poznali historię

Bardziej szczegółowo

Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe

Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe Empik każdego inspiruje inaczej Aleksander Puszkin (1799 1837) Andrey (Andrei) Andreyevich Markov (1856 1922) Wśród 20 tysięcy początkowych

Bardziej szczegółowo