WST P DO KRYPTOGRAFII. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2012/13

Transkrypt

1 WST P DO KRYPTOGRAFII Grzegorz Szkibiel Jesie«2012/13

2 Spis tre±ci 1 Kryptograa a steganograa Steganograa Szyfry przestawieniowe Systemy kryptograczne Klasyczne metody szyfrowania Szyfry cykliczne Monoalfabetyczny szyfr Beauforta Kody aniczne jednowymiarowe Permutacje alfabetu Analiza cz sto±ci wyst powania liter Homofony i nulle Jednostki dwuliterowe czyli digramy Szyfr Playfaira Podwójny szyfr Playfaira szyfr Delastelle'a Jednostki wieloliterowe Szyfry polialfabetyczne Ša«cuch szyfrów i DES Maszyny szyfruj ce Zasada dziaªania Jak zªamano szyfr ENIGMY Macierze szyfruj ce Algebra liniowa modulo N Szyfry Hill'a Aniczne przeksztaªcenia szyfruj ce

3 5 Pakowanie plecaka Postawienie problemu Szybko rosn ce ci gi Kryptosystem oparty na problemie pakowania plecaka Systemy z publicznym kluczem Numeryczna funkcja jednokierunkowa Funkcje skrótu poufno± i autentyczno± Wymiana kluczy funkcje jednokierunkowe System RSA Rozkªad liczb na czynniki Liczby wybrane losowo Zasada dziaªania systemu RSA Wpadka systemowa wspólny moduª Wpadka systemowa niski wykªadnik Teorio-liczbowe podstawy RSA Systemy pozycyjne Iterowane podnoszenie do kwadratu Twierdzenie Eulera i Maªe Twierdzenie Fermata liczby pseudo-pierwsze Chi«skie twierdzenie o resztach Kongruencje stopnia Gra w orªa i reszk przez telefon Zastosowania arytmetyki modulo m do rozkªadu liczb Wzory skróconego mno»enia Metoda ρ rozkªadu na czynniki Metoda faktoryzacji Fermata Bazy rozkªadu

4 10 Logarytm dyskretny Poj cie logarytm dyskretny System DiegoHellmana uzgadniania klucza System kryptograczny Masseya-Omury System ElGamala Protokoªy o zerowej wiedzy i przekazy nierozró»nialne Kolorowanie mapy Logarytm dyskretny Przekazy nierozró»nialne Dowód faktoryzacji

5 Rozdziaª 5 Pakowanie plecaka 5.1 Postawienie problemu Jak zauwa»yli±my, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie s przera»aj co trudne do zªamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na nast puj cym problemie pakowania plecaka: Zaªó»my,»e musimy zabra ze sob na wycieczk w góry wiele,,potrzebnych przedmiotów. Jednak»e do dyspozycji mamy jedynie plecak o ograniczonej pojemno±ci S. Przedmioty maj obj to±ci a 1, a 2,..., a n, które po zsumowaniu daj obj to± wi ksz od S. Musimy zatem z czego± zrezygnowa. Jedynym kryterium jest tu tylko to, by plecak byª zapakowany optymalnie, tj. bierzemy tylko te przedmioty, których obj to±ci daj sum S. Co zatem wªo»y do plecaka? 5.1 Przykªad. Niech (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 ) = (2, 7, 8, 11, 12) oraz niech S = 21. Wówczas mamy a 1 + a 3 + a 4 = S oraz a 1 + a 2 + a 5 = S. Zatem zabieramy ze sob przedmioty pierwszy, trzeci i pi ty, lub pierwszy, drugi i szósty. Powy»szy problem mo»na sformuªowa nast puj co: Dla danych liczb naturalnych a 1, a 2,..., a n oraz S, znale¹ taki ci g x 1, x 2,..., x n zªo»ony z zer i jedynek,»eby zachodziªa równo± a 1 x 1 + a 2 x a n x n = S. (5.1) Rozwa»aj c ci g z przykªadu 5.1 dostajemy dwa rozwi zania: x 1 = x 3 = x 4 = 1, x 2 = x 5 = 0 oraz 51 x 1 = x 2 = x 5 = 1, x 3 = x 4 = 0.

6 Aby znale¹ ci g x 1, x 2,..., x n, dla którego (5.1) zachodzi musimy wykona co najwy»ej n dodawa«, jednak»eby rozwi za problem pakowania plecaka metod prób i bª dów, musimy sprawdzi wszystkie 2 n mo»liwo±ci. Oznacza to,»e rozwi zanie powy»szego problemu zajmuje O(2 n ) czasu. Najszybszy znany algorytm dziaªa w czasie O(2 n 2 ). Je±li n = 100, to komputer wykonuj cy 2 20 (procesor 1MHz) operacji na sekund potrzebuje na rozwi - zanie problemu pakowania plecaka czas rz du 2 30, czyli okoªo miliard sekund albo ponad 30 lat! Pewne warto±ci liczb a 1, a 2,..., a n zdecydowanie przy±pieszaj rozwi - zanie problemu pakowania plecaka. Na przykªad, je±li s to pot gi dwójki, to rozwi zanie sprowadza si do znalezienia rozwini cia liczby S w systemie dwójkowym. Rozwini cie to znajdujemy w czasie logarytmicznym stosuj c tzw.,,chciwy algorytm, który opiszemy poni»ej. 5.2 Szybko rosn ce ci gi Ci g liczb naturalnych a 1, a 2,..., a n nazywamy szybko rosn cym, je±li j 1 a i < a j i=1 dla j {2, 3,..., n}. Przykªadem szybko rosn cego ci gu jest 2, 3, 7, 14, 27. Niech S = 37. Wówczas,,chciwy algorytm dziaªa nast puj co: Zawsze bierzemy najwi kszy przedmiot jaki si mie±ci. Tak wi c x 5 = 1, ale x 4 = 0 poniewa» > 37. x 3 = 1 gdy» < 37. Podobnie, x 2 = 1 oraz x 1 = 0. Ogólnie, je±li mamy szybko rosn cy ci g a 1, a 2,..., a n, to wyznaczamy x n, x n 1,..., x 1 korzystaj c ze wzorów { 1, je±li S a n x n = 0, je±li S < a n oraz x j = { 1, je±li S n i=j+1 x ia i a j 0, je±li S n i=j+1 x ia i < a j dla j {n 1, n 2,..., 1}. Problem pakowania plecaka dla ci gów szybko rosn cych mo»e by wi c rozwi zany bardzo szybko. Poni»szy system kryptograczny MerklegoHell- 52

7 mana, który do roku 1982 byª uwa»any za najlepszy system o tzw. kluczu publicznym opiera si na,,zamianie problemu trudnego na problem ªatwy. Zaªó»my,»e a 1, a 2,..., a n jest szybko rosn cym ci giem liczb naturalnych. Niech m b dzie liczb naturaln wi ksz od 2a n. We¹my dowoln liczb caªkowit nieujemn w wzgl dnie pierwsz z m i utwórzmy ci g b 1, b 2,..., b n bior c wa 1, wa 2,..., wa n modulo m. Je»eli b 1, b 2,..., b n nie jest ci giem szybko rosn cym, to»eby rozwi za problem pakowania plecaka n i=1 x ib i = S, nie mo»emy u»y chciwego algorytmu. Jednak»e, je±li znamy w 1, to mo»emy rozwi za problem pakowania plecaka n x i a i = S 0, (5.2) i=1 gdzie S 0 Sw 1 (mod m). Kiedy mamy ju» rozwi zany problem (5.2), to wiemy,»e n n w 1 S = w 1 x i b i x i a i (mod m). i=1 i=1 Powy»sz procedur opiszemy na przykªadzie. 5.2 Przykªad. Rozwa»my szybko rosn cy ci g (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 ) = (3, 5, 9, 20, 44), m = 89 oraz w = 67. Zauwa»my,»e w 1 = 4. Wówczas (b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 ) = (23, 68, 69, 5, 11). eby rozwi za problem pakowania plecaka 23x x x 3 + 5x x 5 = 84, mno»ymy obie strony powy»szego równania przez 4 i redukujemy modulo 89 otrzymuj c 3x 1 + 5x 2 + 9x x x 5 = 69. Teraz rozwi zujemy ªatwo powy»szy problem pakowania plecaka otrzymuj c x 1 = x 3 = 0; x 2 = x 4 = x 5 = 1. Zatem nasz pierwotny problem ma rozwi zanie =

8 5.3 Kryptosystem oparty na problemie pakowania plecaka System kryptograczny oparty na problemie pakowania plecaka dziaªa nast puj co. Wybieramy szybko rosn cy ci g a 1, a 2,..., a n, liczb m > 2a n oraz liczb w wzgl dnie pierwsz z m. Nast pnie obliczamy wyrazy ci gu b 1, b 2,..., b n, który jest kluczem szyfruj cym. W celu zaszyfrowania wiadomo±ci, zamieniamy j najpierw na ci g bitów, zgodnie z poni»sz tabelk. Nast pnie otrzymany ci g zer i jedynek dzielimy na bloki dªugo±ci n. Dla ka»dego bloku x 1, x 2,..., x n, obliczamy sum n i=1 x ib i i otrzymany ci g sum wysyªamy jako tekst zaszyfrowany, lub w omówiony wcze±niej z adresatem sposób, zamieniamy liczby na bloki liter i nast pnie wysyªamy. litera odpowiednik litera odpowiednik A N B O C P D Q E R F S G T H U I V J W K X L Y M Z Dla przykªadu zaszyfrujemy wiadomo± REPLY IMMEDIATELY u»ywaj c ci gu C = (2002, 3337, 2503, 2170, 503, 172, 3347, 855). Najpierw zamieniamy litery na bity i otrzymany ci g dzielimy na bloki 8-bitowe. Jak zwykle, ostatni blok uzupeªniamy dowolnie, aby tak jak pozostaªe miaª 8 bitów

9 W kolejnym kroku obliczamy odpowiednie sumy wyrazów ci gu C otrzymuj c kryptogram (3360, 3192, 7350, 3358, 2677, 7509, 1358, 5027, 8513). (5.3) Na przykªad dodajemy 2002, 503 i 855»eby otrzyma Je±li chcemy otrzyma kryptogram zapisany alfabetycznie, mo»emy zamieni liczby z systemu dziesi tnego na pozycyjny o podstawie 26. Wtedy cyframi s pozycje liter, wi c zamiast liczb dziesi tnych mamy bloki liter. Zauwa»my,»e suma wszystkich elementów ci gu C, to i jest to liczba mniejsza od Mo-»emy wi c ka»d liczb kryptogramu (5.3) zast pi blokiem trzech liter. Na przykªad, 7350 = , wi c zast pujemy j blokiem KWS. Ostatecznie otrzymujemy EZGJEE KWSEZE DYZDSH LCVCAG HLJMPL. Zauwa»my teraz,»e klucz szyfruj cy mo»e by podany do publicznej wiadomo±ci: Mamy tekst jawny oraz kryptogram wªa±nie otrzymany, ale czy jeste±my w stanie odczyta inny kryptogram, np. lub w postaci numerycznej, NCZKQL KENNCO LWMKEN (8865, 7187, 6877, 8854, 8020, 6877), (5.4) zaszyfrowany tym samym kluczem? W sumie, to nawet nie wiemy od razu, ile liter jest w tek±cie jawnym. Powy»sza idea prowadzi do powstania sieci korespondentów. Ka»dy u»ytkownik sieci ma swój prywatny klucz rozszyfrowuj cy, a klucze szyfruj ce mog by umieszczone w swoistej,,ksi»ce telefonicznej, która jest dostarczona ka»demu u»ytkownikowi sieci. Ide t omówimy w nast pnym rozdziale, a teraz poka»emy jak mo»na ªatwo rozszyfrowa szyfr (5.4). Do rozszyfrowania potrzebujemy oryginalnego ci gu szybko rosn cego, jakim jest (2, 11, 14, 29, 58, 119, 241, 480), liczby m = 3837 oraz w 1 = 23. Znajdujemy kolejno: (mod 3837) (mod 3837) (mod 3837) (mod 3837) (mod 3837), 55

10 a nast pnie 534 = = = = = Zatem wiadomo± (5.4) w wersji binarnej, to , co daje wiadomo± jawn OFF COURSE. Trzy ostatnie bity zostaªy dodane przy szyfrowaniu, aby dopeªni blok. Zauwa»my,»e je»eli dªugo± ci gu jest równa 5, to opisany szyfr jest bardziej skomplikowan wersj klasycznego szyfru permutacyjnego - litera alfabetu jest zast piona liczb w sposób wzajemnie jednoznaczny. W opisanym przykªadzie liczb, lub blokiem trzech liter zast pujemy osiem bitów tekstu jawnego, co jest niepeªnym digramem. W ten sposób istotnie zmieniamy dotychczas poznane reguªy szyfrowania, gdzie dªugo± szyfrowanego bloku liter byªa zawsze liczb naturaln. W roku 1983 A. Shamir opublikowaª prac, która zdyskwalikowaªa system kryptograczny oparty na problemie pakowania plecaka jako system bezpieczny. Otó» okazaªo si,»e szyfr ten mo»na zªama w czasie wielomianowym. Po roku 1983 starano si utrudni szyfr, ale poniewa» ka»da próba ko«czyªa si szybko podobn publikacj, szyfry oparte na problemie pakowania plecaka nie maj dzi± du»ego powodzenia, mimo»e niektóre z nich w dalszym ci gu s nie zªamane. 56