ĆWICZENIE NR 72B (Teoria)

Transkrypt

1 * ĆWICZENIE NR 7B (Teoria) N. Mirowska WYZNACZANIE STAŁEJ RYDBERGA I MASY ZREDUKOWANEJ ELEKTRONU ZA POMOCĄ SPEKTROSKOPU Cel ćwiczeia: pozaie zasady działaia spektroskopu oraz metody wyzaczaia stałej Rydberga i zredukowaej masy elektrou. Zagadieia: widma optycze, serie widmowe wodoru, model atomu Bohra, fale de Broglie a, poziomy eergetycze atomu, atomy wodoropodobe. (zob. też ćwiczeia: 7, p.7.1 i, p..1). 7B.1. WPROWADZENIE Substacje pobudzoe do świeceia wysyłają (emitują) charakterystycze dla siebie promieiowaie elektromagetycze, które zawiera w sobie ogromą ilość iformacji o atomach tej substacji. Aby tę iformację uzyskać, ależy wiązkę promieiowaia rozłożyć (rozszczepić p. w pryzmacie) w widmo (spektrum), a astępie przeaalizować w im zależość zmia atężeia promieiowaia od długości fali λ lub od częstości ν. Widma promieiowaia, obejmujące umowy zakres długości fal od ultrafioletu UV (λ m = 5m) do dalekiej podczerwiei IR (λ 3 10 m = m), azywae są widmami optyczymi. Z zakresu widm optyczych wyłączoe jest, ze względu a odmieą aturę, promieiowaie X o długości fal poiżej 10m. Wąski zakres promieiowaia elekromagetyczego (umowie m) rejestroway przez oko ludzkie azywamy światłem. Aby substację, w szczególości atomy substacji, pobudzić do świeceia, ależy jej przekazać odpowiedią ilość eergii. Może to się odbywać kosztem p. pochłoięcia promieiowaia elektromagetyczego przez atom. Promieiowaie elektromagetycze, zgodie z kocepcją M. Placka ( ) rozszerzoą późiej przez A. Eisteia ( ), rozprzestrzeia się, jest pochłaiae (absorbowae) oraz wysyłae (emitowae) w postaci kwatów (miimalych porcji eergii) zwaych też fotoami. Eergia E przypisaa pojedyczemu kwatowi jest proporcjoala do częstotliwości promieiowaia ν: E = hν, gdzie h = 6, [kg m s -1 ] jest stałą, zaą jako stała Placka. Oddziaływaie promieiowaia elektromagetyczego z materią (absorpcja, emisja światła) sprowadza się zatem do oddziaływaia fotoów z cząstkami budującymi tę materię. Cząstka materii w elemetarym akcie absorpcji fotou uzyskuje całą jego eergię hν stając się tzw. cząstką wzbudzoą. W elemetarym akcie emisji wzbudzoa cząstka materii uwalia admiar eergii tj. wypromieiowuje foto o eergii hν. Aby zdać sobie sprawę z wielkości kwatu, obliczmy jego eergię z zależości E = hν. Dla światła czerwoego otrzymujemy 1,8 ev, dla zieloego,5 ev a dla światła 1

2 iebieskiego 3 ev. Są to eergie wystarczające do pobudzeia atomu czy erwu w siatkówce oka. Oko ludzkie jest tak czułe, że reaguje a pojedyczy kwat światła. Gdy patrzymy a zapaloą świecę, do aszego oka wpada około kwatów światła widzialego a sekudę. Gdy robimy zdjęcie, a kliszę fotograficzą pada około 10 1 kwatów ale już około 10 kwatów światła iebieskiego pozostawia a iej ślad. Przechodząc do promieiowaia podczerwoego (cieplego) i jeszcze iżej do fal radiowych stwierdzamy, że kwaty eergii tego promieiowaia są coraz miejsze i trudiej je mierzyć bezpośredio. Skutki ich pojawieia się są atomiast mierzale mogą a przykład spowodować ruch obrotowy cząsteczki lub jej drgaia a w efekcie rozgrzaie ciała. Poza fioletową częścią widma widzialego mamy kwaty o dużej eergii: adfiolet o eergii kilkuastu ev, promieie Roetgea rzędu ev i więcej, promieie γ rzędu milioów ev. Absorpcja wysokoeergetyczego, awet pojedyczego, kwatu może wpłyąć a jądro atomowe, a gey w żywej komórce lub awet zabić taką komórkę. Badaie widm ujawiło licze prawidłowości, których iterpretacja pozwoliła a wyciągięcie daleko idących wiosków o strukturze atomu. Te zakres zagadień jest przedmiotem badań spektroskopii atomowej. W zależości od rodzaju substacji, widma emisyje dzielą się a: liiowe gdy promieiowaie wysyłae jest przez atomy lub joy swobode (gaz jedoatomowy lub para pod iskim ciśieiem), pasmowe gdy promieiują cząsteczki lub ich joy, ciągłe gdy odpowiedziale za widmo są układy skodesowae (kryształy, ciecze, ciała bezpostaciowe, gazy pod bardzo wysokim ciśieiem), zajdujące się w odpowiedio wysokiej temperaturze. Widma emisyje z zakresu długości fal świetlych są postrzegae jako barwe. Emisyje widmo liiowe obserwujemy jako kolorowe liie a czarym tle, węższe lub szersze wielobarwe pasma a czarym tle to widmo pasmowe. Barwy w obrębie poszczególych pasm przechodzą jeda w drugą bez wyraźych graic. Podobie jest w widmie ciągłym z tą różicą, że w widmie ciągłym ie występują obszary czare. Procesem odwrotym do emisji światła jest jego absorpcja (pochłaiaie). Jeżeli wiązkę promieiowaia ciągłego przepuścimy przez warstwę substacji pochłaiającej światło, to uzyskamy charakterystycze dla iej widmo absorpcyje. Widma absorpcyje dzielą się (w zależości od rodzaju substacji) także a liiowe, pasmowe i ciągłe i są obserwowae a tle barwego widma ciągłego jako miej lub bardziej cieme pola odpowiadające zaabsorbowaym długościom fal. Długości fal λ w widmie absorpcyjym i emisyjym tej samej substacji pokrywają się. Skoro każdy pierwiastek (substacja) emituje (lub absorbuje) charakterystycze dla siebie widmo to może o być idetyfikoway a podstawie emitowaego (absorbowaego) światła. Badaie widm optyczych (aaliza spektrala, aaliza widmowa) jest stosukowo prostą i szybką metodą badaia składu substacji i, co ważiejsze, a ogół bardzo czułą. Przykładowo moża podać, że a drodze aalizy spektralej daje się stwierdzić w iezaej próbce materiału obecość p. 1/50 000mg Ca, 1/ mg Na. Z tego względu aaliza spektrala zalazła bardzo szerokie zastosowaie w wielu gałęziach auki i techiki, takich jak: fizyka, chemia, biologia, astrofizyka, metalurgia, ochroa środowiska i wiele iych. Aaliza widmowa przyczyiła się rówież do odkrycia wielu owych, iezaych przedtem pierwiastków. Właśie w te sposób odkryto prawie wszystkie pierwiastki ziem rzadkich, większość gazów szlachetych, a także pierwiastki występujące w skorupie ziemskiej w bardzo małych ilościach (p. id, gal). Optycze widma liiowe pierwiastków ależących do pierwszych trzech grup układu okresowego wykazują wyraźą prawidłowość; poszczególe liie układają się w ciągi staowiące tzw. serie widmowe. Liie serii widmowych zagęszczają się w miarę wzrostu

3 częstości i skupiają się przy graicy serii (graiczej długości fali λ gr ). Prawidłowość tę ajłatwiej było wykryć w widmie atomowego wodoru, który jako ajprostszy atom ma ajprostsze widmo. Widmo liiowe wodoru (rys.7b.1) zawiera w części widzialej pięć liii: H α (czerwoa), H β (iebieska), H γ, H δ i H ε (trzy fioletowe), których atężeie maleje wraz z długością fali λ. Trzy ajbardziej itesywe liie (H α, H β i H γ ) są szczególie dogode do obserwacji. k =3 = =5 =6 =7 IR λ [m] 656,31 86,13 3,05 10, , 01 UV H a H b H g H d H e Rys. 7B.1. Schematycza ilustracja widma wodoru seria Balmera. J. Balmer, szwajcarski fizyk, podał w 1885 r. empiryczy wzór określający długości fal odpowiedich liii w całym wówczas zaym widmie wodoru (1 liii obserwowaych m.i. w widmie iektórych gwiazd). Postać tego wzoru jest astępująca: λ = 36,56 [m] - gdzie: = 3,, 5,... W latach późiejszych adao temu wzorowi ią postać: =RH - λ Ł ł 3 (7B.1) Wielkość R H = 1, [ m -1 ] osi azwę stałej Rydberga dla wodoru, wielkość 1/λ jest to tzw. liczba falowa (ozaczaa rówież symbolem k), która określa ile długości fal mieści się a odciku 1m. Późiejsze badaia widm wodoru pozwoliły wykryć szereg iych serii zajdujących się w części iewidzialej widma promieiowaia, tj. w ultrafiolecie i podczerwiei. Szwedzki fizyk żyjący w latach , J. R. Rydberg, prowadząc badaia ad systematyką widm atomowych wykazał (1890 r.), że liczba falowa każdej liii w dowolej serii widma wodoru daje się przedstawić ogólym wzorem: k 1/λ = R H 1 k p 1 (7B.) gdzie p i k są liczbami całkowitymi, przy czym dla daej serii widmowej p = cost, a k = p + 1, p +, p + 3,, charakteryzując w te sposób poszczególe liie tej serii (rys.7b.). Na przykład ajwiększą długość fali λ max, występującą w daej serii o ustaloej początkowej liczbie p, możemy obliczyć dla k = p + 1, a miimalą długość fali λ gr dla końcowej liczby k. Łatwo też sprawdzić, że dla p = i k = 3,, 5,... wzór Rydberga

4 (7B.) przechodzi we wzór Balmera (7B.1a). Z tego względu, rówaie 7B. azywae jest często wzorem Balmera Rydberga. Obecie zaych jest sześć serii widmowych wodoru, z których każda osi azwę swego odkrywcy (patrz tabela 7B.1). W tabeli podao charakterystycze dla każdej serii długości fal, λ max i λ gr, wyliczoe a podstawie wzoru 7B.1b. Rys. 7 B.Schemat poziomów eergetyczych w atomie wodoru. Liczba kwatowa ozacza umer poziomu eergetyczego.ze względu a zagęszczaie się poziomów eergetyczych wraz ze wzrostem liczby ie uwidoczioo wszystkich serii widmowych oraz poziomów dla > 6.

5 Tabela 7B.1. Serie widmowe atomu wodoru. p. seria k rok odkrycia l max [m] l gr [m] 1 Lymaa,3,, ,50 91,13 Balmera 3,,5, ,11 36,51 3 Paschea,5,6, ,61 80,1 Bracketta 5,6,7, ,08 158,03 5 Pfuda 6,7,8, ,8 78,17 6 Humphreysa 7,8,9, ,19 380,56 Widać, że każda seria widmowa (grupa liii) ma właściwą sobie wartość liczby p, i że poszczególe serie rozpoczyają się od coraz dłuższej fali. Ujęcie teoretycze. Żeby zrozumieć, dlaczego widmo liiowe ma właśie takie uporządkowaie, trzeba zająć się atomową strukturą materii. W tym celu stworzoo wiele modeli budowy atomu. Jedym z ważiejszych był model zapropooway w roku 1913 przez młodego duńskiego fizyka N. Bohra ( ). W modelu tym elektroy krążą wokół ciężkiego i ieruchomego jądra po orbitach, czyli w sposób podoby do tego, w jaki plaety krążą wokół Słońca. Podstawowym i owatorskim założeiem przyjętym przez Bohra było, że momet pędu elektrou ( orbitaly momet pędu elektrou L = p r = mυ r, gdzie p jest pędem elektrou a tej orbicie o promieiu r ) przybiera wartości dae wzorem: h L= lub mυ r =h (7B.3) π gdzie: = 1,, 3,..., h = 6, [kg m s -1 ] - stała Placka, h = h =1, [kg m s -1 ], π m = 9, [kg] masa elektrou, υ prędkość elektrou a tej orbicie. Widać, że momet pędu dla ruchu elektrou po kołowej orbicie jest całkowitą wielokrotością stałej h, czyli że może zmieiać się tylko skokowo. W te sposób zostało wprowadzoe tzw. kwatowaie mometu pędu, tj. przypisaie mu dyskretych wartości. W fizyce klasyczej momet pędu może przyjmować dowole wartości jego wartości mogą zmieiać się w sposób ciągły. Z rówaia (7B.3) wyika, że jest możliwe wyzaczeie m.i. promieia - tej orbity, prędkości i eergii elektrou a orbicie. Oczywiście wartości tych wielkości będą zmieiały się rówież skokowo będą 5

6 skwatowae. Wyliczoy rozmiar pierwszej orbity ( = 1) w iewzbudzoym atomie wodoru, czyli promień tzw. pierwszej orbity bohrowskiej (często ozaczaej symbolem a H ) wyosi 5, [m] i jest zgody z daymi eksperymetalymi, co jest iezaprzeczalym sukcesem teorii Bohra. Teoria Bohra, dziś azywaa starą teorią kwatów, była pierwszą teorią usiłującą zdać sprawę ze zjawisk kwatowych zachodzących w atomie. Krytykowaa była główie za iekosekwecje opisu zjawisk, w którym pojęcia klasycze przeplatały się z kwatowymi. Późiej została oa zastąpioa bardziej kosekwetą teorią, jaką jest mechaika kwatowa. Nowsze badaia pokazały, że w zastosowaiu do mikrocząstek (m.i. elektroów, protoów, jąder atomowych) w ogóle ie mają sesu pojęcia określoego położeia i toru. Także zwyczaja kulka awet bardzo mała (makroskopowa) ie może być uważaa za pierwowzór mikrocząstki. Wraz ze zmiejszaiem się wymiarów zaczyają ujawiać się owe, ie obserwowae w przypadku makrocząstek, właściwości trude do wyjaśieia a grucie fizyki klasyczej. Prawa fizyki klasyczej, w szczególości mechaiki klasyczej, przestały mieć zastosowaia do cząstek lekkich (mikrocząstek), a więc i do zjawisk wewątrzatomowych. Wszystkie mikrocząstki posiadają osobliwe właściwości, które w sposób spójy wyjaśieia mechaika kwatowa. Fracuski fizyk, Louis de Broglie (czyt. broj), doszedł do wiosku (19 r.), że jeżeli światło ma dwoistą aturę, działając jak fala, a iym razem jak cząstki (korpuskuły), wobec tego jest prawdopodobe, że rzeczywiste cząstki też mają taką dwoistą aturę aturę korpuskularo falową. Zapropoował, aby cząstkom materialym przypisać własości falowe, używając do tego reguły kwatowej E = hν = λ hc, czyli takiej samej jak dla fotou. Zobaczmy jak reguła ta łączy ze sobą własości fal i własości cząstek w przypadku kwatów światła czyli iepodzielych porcji eergii. Ze wzoru Eisteia, E = m f c, mamy powiązaie masy fotou poruszającego się z prędkością światła c z jego eergią E. Porówując te dwie zależości otrzymamy wyrażeia a masę m f oraz pęd p fotou: p = m f c = m f = hν c hν hν = c λν = λ h (7B.) Po przekształceiach uzyskamy związek długość fali λ z eergią E i pędem p fotou: h hc h λ = = = (7B.5) p E m c Na podstawie tej zależości widać, że cechy korpuskulare fotou ( m f i c ) wiążą się bezpośredio z jego cechą falową ( λ ). Ruch elektrou wg de Broglie a (lub iej mikrocząstki) związay jest z procesem falowym podobie jak ruch fotou. A więc każdy mikroobiekt (atom, elektro, foto, itp.) staowi twór szczególego rodzaju, łączący w sobie własości zarówo fali jak i cząstki. Długość fali odpowiadająca cząstce o masie m poruszającej się z prędkością υ < c jest rówa h h λ = = (7B.6) p mυ 6 f

7 Jest to rówaie de Broglie a, w którym m jest masą spoczykową cząstki materialej (masą cząstki ieruchomej). Fale opisae tym rówaiem ie są falami elektromagetyczymi, ale falami zupełie owego rodzaju. Nazwao je falami de Broglie a lub falami materii i reprezetują oe cząstki w ujęciu kwatowym. Prędkość i masa (typowe parametry dla cząstek) odoszą się do obrazu korpuskularego υ E mikrocząstki, atomiast długość fali lub częstotliwość promieiowaia ν = = to pojęcia λ h czysto falowe. W wersji uściśloej powia w rówaiu de Broglie a występować masa relatywistycza m r (masa cząstki poruszającej się), a ie spoczykowa. Efekty relatywistycze są zauważale przy bardzo dużych prędkościach i objawiają się m.i. wzrostem masy. Z rówaia (7B.6) widać, że jeśli masa cząstek jest duża to fale materii są krótkie (małe λ) i typowe efekty falowe, takie jak iterferecja i dyfrakcja, ie są zauważale. Możemy też zauważyć (wzór 7B.), że fotoy albo poruszają się z prędkością światła c, albo ie istieją ich pęd i eergia są rówe zeru, gdy c = 0. Zerową prędkość osiągają fotoy jedyie w chwili całkowitej absorpcji, kiedy oddają całą swoją eergię ciału pochłaiającemu. Mówimy wtedy, że uległy oe aihilacji (uicestwieiu). Fotoy są zatem odmiee od cząstek materialych, które mogą i muszą mieć prędkość miejszą od c. Hipoteza de Broglie a spowodowała, że ściśle określoe orbity ustąpiły miejsca matematyczemu opisowi fal. Nie wchodząc w szczegóły tego opisu ozacza to, że ie moża przypisać elektroowi dokładego położeia w jakiejś chwili. Możemy tylko stwierdzić, że prawdopodobieństwo zalezieia elektrou w pewym elemecie przestrzei w pewej chwili jest większe lub miejsze. To prawdopodobieństwo związae jest z kwadratem amplitudy fali, która aturalie jest fukcją miejsca i czasu. Im fala w daym obszarze posiada większą amplitudę, tym większe jest prawdopodobieństwo, że zajduje się tam elektro. Z kolei częstotliwość fali wyzacza określoe stay eergetycze elektrou związaego z jądrem czyli tym samym stay eergetycze całego atomu. Elektro może zmieiać swój sta eergetyczy (swoją eergię) ie w sposób ciągły, lecz tylko skokowo. Ozacza to, że stay eergetycze atomu są skwatowae. Kolejym staom eergetyczym przypisaa jest liczba porządkowa = 1,, 3,..., zwaą główą liczbą kwatową. Tylko tak umerowae stay są dla elektrou eergetyczie dozwoloe, a jeśli ich eergia ie zależy rówież od czasu to są trwałe i wtedy oszą azwę staów stacjoarych. Nieciągłe (skwatowae) stay eergetycze, zwae rówież ieciągłymi poziomami eergii, moża przedstawić graficzie w postaci poziomych liii leżących jeda ad drugą. Tak więc częstotliwości fal wyzaczają dozwoloe stay eergetycze elektrou związaego w atomie, a amplituda fal prawdopodobieństwo, że elektro zajduje się a daym poziomie eergetyczym. Stąd zaś moża przewidzieć częstotliwości ν liii widmowych oraz ich jasość zależą od amplitudy fali. Obliczoe prawdopodobieństwa zalezieia elektrou w pewym obszarze daego atomu zgadzają się z wyikami doświadczalymi. Istieie dyskretych poziomów eergetyczych atomu zostało potwierdzoe za pomocą doświadczeń przeprowadzoych w 191r. przez J. Fracka i G. Hertza. Współcześie przyjmuje się, że cała eergia wewętrza atomu jest skwatowaa tz. zmieia się w sposób dyskrety (skokowy). Eergia wewętrza atomu jest to całkowita eergia jądra i elektroów poruszających się dookoła wspólego środka ciężkości. Najprościej widać to w odosobioym atomie. Przyjmuje się, że jeśli elektro zajduje się z dala od jądra i pozostaje w spoczyku to całkowita eergia rówa jest zeru zerowy poziom eergetyczy. Taka umowa sprawia, że skwatowae wartości eergii atomu są ujeme. Najiższy ze stacjoarych staów eergetyczych E = E 1 azywamy staem 7

8 ormalym lub podstawowym i leży o ajdalej od poziomu zerowego. Stay wyższe, umerowae liczbą kwatową =,3,,..., są zwae staami wzbudzoymi. Eergia potrzeba do usuięcia elektrou z atomu zajdującego się w staie ormalym ( = 1) do puktu ieskończeie dalekiego ( = ), w którym elektro jest ieruchomy (ie działają a iego już żade siły), azywamy eergią joizacji. Obszar, w którym ie działają żade siły jest próżią, a więc proces przeiesieia elektrou z poziomu E 1 do próżi ( E = 0 ) azywamy joizacją atomu. Eergię potrzebą do przeiesieia elektrou z określoego stau stacjoarego E do ieskończoości azywamy eergią joizacji i jest oa rówa eergii wiązaia tego stau. Eergię staów stacjoarych atomu wodoru, czyli całkowitą eergię elektrou przebywającego w tym staie eergetyczym, wyzaczyć moża a podstawie wzoru: gdzie: E = 0 me (7B.7) h = 1,, 3,..., główa liczba kwatowa, h = 6, [kg m s -1 ] stała Placka, e = 1, [C] ładuek elektrou, m = 9, [kg] masa elektrou, ε 0 = 8, [Fm -1 ] przeikalość elektrycza próżi. Jedyą zmieą w tym rówaiu jest liczba kwatowa = 1,,3,...,. Podstawiając = 1, otrzymujemy E 1 =, [ J ] = 13,61 [ev]. Jest to wartość eergii wiązaia elektrou przebywającego w staie podstawowym E 1 atomu wodoru. Eergie wiązaia elektrou zajdującego się w wyższych staach eergetyczych (większa wartość liczby ) wyzacza się a podstawie prostej zależości: 18, ,61 E = [] J = [ ev] (7B.8) Łatwo moża policzyć, że eergia wiązaia elektrou p. w staie eergetyczym E 3 jest miejsza i wyosi 1,51 [ev]. Wzbudzoemu elektroowi wystarczy więc odpowiedio miejsza porcja eergii, aby mógł oderwać się od atomu. Schemat poziomów eergetyczych w atomie wodoru oraz cztery jego emisyje serie widmowe przedstawioo a rys. 7B.. Należy zwrócić uwagę, że wraz ze wzrostem liczby kwatowej umerującej poziomy, odległość między imi szybko maleje ( E ~ 1/ ). Pomiędzy poziomem = 6 a = zagęszczaie się poziomów jest już bardzo duże. Ozacza to, że w tym obszarze zajduje się ieskończeie wielka liczba kwatowo dozwoloych staów eergetyczych. Poziomy eergetycze i odległości między imi są róże dla różych pierwiastków chemiczych, lecz są idetycze dla wszystkich atomów tego samego pierwiastka. Dla tej samej zmiay eergii E, będącej różicą eergii między staem początkowym p i staem końcowym k, zawsze jest taka sama zmiaa częstości promieiowaia. Jeśli duża liczba atomów (układ fizyczy) absorbuje lub emituje promieiowaie elektromagetycze to elektroy w każdym atomie wykoują skoki/przejścia kwatowe: od E do E w procesie absorpcji oraz od E k do E p w procesie emisji światła. Wiązka światła będzie się składać z pewej liczby kwatów, z których każdy będzie miał eergię hν. Eergia wiązki może zatem być rówa hν lub hν lub 3 hν, itd., czyli iymi słowy może składać 8 p k

9 się z 1,, 3, itd. kwatów. W dalszych rozważaiach ograiczymy się do procesów jedokwatowych, a więc dla pojedyczego atomu możliwą zmiaę eergii zapiszemy astępująco: E = E E = E E = hν (7B.9) p k gdzie: p - główa liczba kwatowa początkowego stacjoarego stau eergetyczego, k - główa liczba kwatowa końcowego stacjoarego stau eergetyczego. Towarzyszące tej zmiaie eergii promieiowaie rozprzestrzeia się w postaci jedobarwej (moochromatyczej) fali o długości λ. Jak wiadomo, częstotliwość ν i długość fali λ rozchodzącej się w próżi wiąże zależość ν = c/λ, gdzie c =, [ms -1 ] jest prędkością światła w próżi. Na tej podstawie możemy zapisać: k p lub ν = 1 λ = E E k k E h E hc p p E = E = p p E h E hc k k, (7B.10a). (7B.10b) Wielkość 1/λ = ν/c jest zaą am już liczbą falową k. Podstawiając eergię wyrażoą rówaiem (7B.7) do rówaia (7B.10a) uzyskamy wzór a częstotliwość ν promieiowaia elektromagetyczego p. emitowaego przez atom wodoru. Po prostych przekształceiach otrzymujemy: me ν 1 1 = (7B.11) 3 0 h p k Wyrażeie a liczbę falową przyjmie teraz postać: 1 ν me 1 1 k = = = (7B.1) λ c 3 0 h c p k Stały czyik w rówaiu (7B.1), zależy wyłączie od fudametalych stałych fizyczych, osi azwę stałej Rydberga: me 7 R H = = 1, [m -1 ] (7B.13) 3 0 h c Korzystając z rówaia (7B.13) możemy zapisać liczbę falową, częstotliwość i eergię elektrou w staie w astępujący sposób: 1 1 k = R H, (7B.1a) p k 1 1 ν = R H c, (7B.1b) p k 9

10 E me hc me hc = - = - = - 3 ε0 h hc 0 h c hc RH. (7B.1c) 8 Zauważmy, że jeśli p = 1 (sta podstawowy atomu wodoru) zaś k (atom zjoizoway), to k R H. Wyika stąd, że stała Rydberga wyraża w liczbach falowych eergię wiązaia elektrou w staie podstawowym atomu wodoru. Stała Rydberga opatrzoa ideksem H ozacza stałą dla atomu o liczbie atomowej Z=1, tz. dla jądra o ładuku (+Ze)=(+1e) i elektrou o ładuku (-e), czyli dla atomu wodoru. Gdybyśmy rozważali tzw. atomy wodoropodobe z jądrem o ładuku (+Ze) i jedym elektroem (p. joy He +1, Li +, B +, O +7 ), to powyższe wzory przybrałyby postać: Z me 1 1 k = 3 0 h c p 1 1 = Z RH, (7B.15a) k p k Z me 1 1 = ν 1 1 = Z R 3 H c, (7B.15b) 0 h p k p k Z me 1 hc E = - = - Z R H. (7B.15c) 0 h Łatwo zauważyć, że ze wzrostem liczby atomowej Z astępuje przesuięcie widma w kieruku fal krótszych (ν Z, a λ 1/Z ). Zależość stałej Rydberga od masy jądra. We wszystkich dotychczasowych rozważaiach zakładaliśmy, że jądro atomowe jest ieruchome, a więc prawie cała eergia kietycza atomu związaa jest z ruchem elektrou. Założeie takie było możliwe dzięki temu, że masa protou jest poad 1836 razy większa od masy elektrou. W rzeczywistości jądro ie jest ieruchome i w ścisłych obliczeiach ależy te fakt uwzględić. W tym celu rozpatruje się osobo ruch środka masy układu elektro jądro atomowe i ruch każdej z cząstek wokół wspólego środka ich masy. Przy braku sił zewętrzych ruch środka masy atomu podlega prawom Newtoa. Natomiast ruch dwóch ciał/cząstek względem ich środka masy wygodie jest sprowadzić do zagadieia ruchu jedej cząstki ale o masie rówej tzw. masie zredukowaej µ. Iymi słowy, ruch jedej cząstki zaiedbuje się, a drugiej cząstce przyporządkowuje się masę zredukowaą zamiast jej masy rzeczywistej. Dzięki temu ruch względy układu dwóch cząstek staje się rówoważy ruchowi jedej cząstki o masie µ określoej związkiem: mm m = + lub µ = = (7B.16) µ m M m + M m 1+ M Symbole M i m ozaczają masy rzeczywiste ciał/cząstek, p. M to masa jądra, a m to masa elektrou. Widać, że gdy M lub M >> m to µ m, czyli masa zredukowaa staje się porówywala z masą lżejszej cząstki. W przypadku atomów ajlżejszych, p. izotopów wodoru, masy jąder ie różią się tak drastyczie od masy elektrou, a więc iloraz m/m we wzorze (7B.16) ie jest do pomiięcia. Badaia widm wodoru wzbogacoego w izotop ciężki doprowadziły H.C. Ureya (193 r.) do odkrycia deuteru, którego masa jest tylko 10

11 około razy większa od izotopu lekkiego. Zaobserwowao wyraźe różice (około 10 m) w długościach fal odpowiedich liii widmowych pochodzących od każdego z izotopów. Różice te moża było przypisać właśie wpływowi różych wartości mas zredukowaych wodoru i deuteru. Wcześiejsze rówaia będą opisywały układ atomowy w sposób ścisły, jeśli masę elektrou m zastąpimy masą zredukowaą µ układu elektro-jądro. Uwzględieie ruchu jądra w obliczeiach pozwala precyzyjiej wyzaczyć liczby falowe k promieiowaia, a tym samym długości fal λ. Jeśli dla ieskończeie ciężkiego i ieruchomego jądra ozaczymy stałą Rydberga jako R (we wcześiejszych wzorach R H było właśie rówoważe R ) to dla jądra o masie M stałą Rydberga zapiszemy jako: µ e R R M = = (7B.17) 3 h c m 0 1+ M Jeśli w atomie wodoru uwzględimy ruch jądra, to otrzymamy miimalą wartość stałej Rydberga R M = 1, x 10 7 [m -1 ]. Najbardziej ogóla postać wzoru a liczbę falową promieiowaia to: 1 1 k = Z R M (7B.18) p k Obliczoe według wzoru (7B.18) długości fal (λ=1/k) pozostają w adzwyczaj dobrej zgodości z wartościami uzyskaymi doświadczalie. Zajomość stałej Rydberga dla jedego atomu wodoropodobego pozwala a obliczeie wartości R H dla dowolego atomu wodoropodobego lub dla różych izotopów tego samego pierwiastka, p. wodoru i deuteru. Z kolei, zajomość dokładej wartości stałej Rydberga różych pierwiastków oraz obserwacja widma pozwala a wykrycie obecości daego pierwiastka w substacji pobudzoej do świeceia lub absorbującej promieiowaie. Niezbęda jest do tego rówoczesa zajomość różicy liczb falowych (lub długości fal) dwóch liii spektralych, spowodowaej jedyie różicą mas. Różice w wartościach R M wyzaczoe w te sposób dla różych atomów są iewielkie, a ze wzrostem liczby atomowej Z wartości te szybko zbliżają się do R = [m -1 ]. 7B.. UKŁAD POMIAROWY W skład zestawu pomiarowego wchodzą: spektroskop dwuramiey, spektrala lampa wzorcowa (p. helowa) z zasilaczem, spektrala lampa wodorowa z zasilaczem oraz podstawka pod lampę. Lampę ustawiamy przed szczelią wejściową spektroskopu i prosimy prowadzącego o włączeie zasilacza. Czekamy chwilę aby lampa się rozgrzała. Przez okular spektroskopu (okular z itkami krzyża) obserwujemy obraz barwych liii widmowych (prążków), których położeie odczytujemy a poziomej skali z pokrętłem. Pokrętło to posiada 100 acięć, dzięki czemu dokładość odczytu wyosi 0,01działki. Kręcąc pokrętłem skali aprowadzamy pioowe ramię krzyża a poszczególe prążki widmowe. Szczegółowy opis przygotowaia zestawu pomiarowego do pracy zajduje się w istrukcji roboczej. 11

12 7B.3. ZADANIA DO WYKONANIA A) Pomiary. W doświadczeiu posługujemy się spektroskopem i wykoujemy takie same pomiary jak w ćwiczeiu 7A, a więc ustawiamy (justujemy) spektroskop dwuramiey, wyzaczamy przebieg krzywej dyspersji dla widma wzorcowego (p. rtęci) tj. skalujemy spektroskop, a astępie wyzaczamy długości poszczególych liii widma wodoru. Dla liii H α, H β i H γ obliczamy stałą Rydberga R H ze wzoru (7B.1) lub (7B.), a astępie wartość średią tej stałej. Masę zredukowaą μ elektrou w atomie wodoru wyzaczamy a podstawie wzoru (7B.17), w którym za R H podstawiamy wartość średią stałej Rydberga. Korzystając ze wzoru (7B.1c) obliczymy eergie odpowiadające poziomom eergetyczym atomu wodoru oraz odległości między tymi poziomami. Szczegółowy opis przebiegu pomiarów zajduje się w istrukcji roboczej. B) Opracowaie wyików. 1. Wykreślić krzywą skalowaia spektroskopu tj. zależość λ = ƒ(w), gdzie λ jest długością fali odpowiadającą każdej liii widma wzorcowego a w ozacza położeie tych liii a skali. Krzywa ta powia być gładka, a więc kreśloa staraie przy użyciu krzywika. Omówić wyik graficzy.. Dla każdego z puktów pomiarowych zazaczyć pola iepewości, przyjmując za dokładość długości fali Δλ wartość wskazaą przez prowadzącego. 3. Korzystając z krzywej skalowaia, przyporządkować położeiom x liii widmowych wodoru odpowiadające im długości fal λ, atomiast każdej iepewości położeia Δx - iepewości Δλ.. Dla każdej wartości λ obliczyć stałą Rydberga R H ze wzoru (7B.) lub (7B.1), a astępie, stosując metodę pochodej logarytmiczej, iepewość ΔR H. 5. Wyzaczyć wartość średią stałej R H oraz jej iepewość. 6. Wyzaczyć masę zredukowaą μ elektrou w atomie wodoru ( wzór 7B.17), biorąc do obliczeń wartość średią stałej R H. 7. Obliczyć iepewość Δμ metodą różiczki zupełej. 8. Obliczyć a podstawie wzoru (7B.1c) i średiej wartości stałej Rydberga eergie odpowiadające poziomom eergetyczym atomu wodoru, dla których obserwowao przejścia optycze. Wyzaczyć odległości eergetycze między tymi poziomami. Otrzymae wyiki omówić i aszkicować schemat eergetyczy poziomów zachowując wszelkie proporcje. C) Pytaia kotrole 1. Narysować bieg promiei w spektroskopie i omówić zasadę jego działaia(patrz ćwiczeie 7A).. Hipoteza de Broglie a i model atomu w ujęciu kwatowym. 3. Omówić rodzaje widm i podać waruki ich powstawaia.. Przedstawić serie widmowe wodoru. 5. Wyjaśić zaczeie stałej Rydberga i masy zredukowaej w aalizie widm atomowych. 1

13 Literatura [1] Poprawski R., Salejda W., Ćwiczeia laboratoryje z fizyki, cz. I, OWPWr., Wrocław [] Halliday D., Resick R., Fizyka, PWN, Warszawa 1996 [3] Ege H. A., Wehr M. R., Richards J. A., Wstęp do fizyki atomowej, PWN, Warszawa [] Meyer-Aredt J. R., Wstęp do optyki, PWN, Warszawa [5] Leś Z., Wstęp do spektroskopii atomowej, PWN, Warszawa 197 Kraków. 13