Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych. Definicja 1 0 := - liczba naturalna zero. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to następną po niej jest liczba

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych. Definicja 1 0 := - liczba naturalna zero. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to następną po niej jest liczba"

Franciszek Świątek
6 lat temu
Przeglądów:

1 Konsekt wykładu ELiTM 7 Konstrukcje liczbowe Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych. Definicja liczba naturalna zero. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to nastęną o niej jest liczba n {n} n. Istnienie liczb naturalnych gwarantują: Aksjomat zbioru ustego, Aksjomat ary nieuorządkowanej oraz Aksjomat sumy. Przykład = { } = { } 2 1 = 1 {1} = { } {{ }} = {, { }} 3 2 = 2 {2} = {, { }} {{, { }}} = {, { }, {, { }}} Uwaga 1 n n oraz n n. Aksjomat nieskończoności. Istnieje zbiór X (tzw. zbiór induktywny) taki, że: 1. X, 2. y (y X y {y} X). Aksjomat nieskończoności gwarantuje istnienie zbioru N wszystkich liczb naturalnych. Fakt 3 x x N (x = y (y N y = x)). Zbiór liczb naturalnych N jest najmniejszym (ze względu na inkluzję) zbiorem induktywnym. Twierdzenie 4 (O indukcji matematycznej.) Dla dowolnego zbioru P, jeśli P N P n n P n P to P = N. Fakt 5 Dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnego zbioru Y : Y n Y n. Własności liczb naturalnych. Niech n, m N. Wtedy 1. m = n m = n 2. m n m n m n 1

2 Konsekt wykładu ELiTM 7 Konstrukcje liczbowe 3. m n n m 4. m n albo m = n albo n m Porządek w zbiorze liczb naturalnych. Niech k, n, m N. Wtedy m n def m n m < n def m n. Własności relacji oraz <. Niech k, n, m N. Wtedy 1. m < n m n 2. (m n m n) m < n 3. m n n m 4. m < n albo m = n albo n < m 5. m = n (m n n m) 6. (n < n) 7. k m m n k n 8. k < m m n k < n 9. k m m < n k < n 10. k < m m < n k < n Działania w zbiorze liczb naturalnych. Definicja 6 Funkcję + : N N N zdefiniowaną nastęująco nazywamy dodawaniem liczb naturalnych. +(0, m) ozn = 0 + m m +(n, m) ozn = n + m (n + m) Definicja 7 Funkcję : N N N zdefiniowaną nastęująco nazywamy mnożeniem liczb naturalnych. (0, m) ozn = 0 m 0 (n, m) ozn = n m (n m) + m 2

3 Konsekt wykładu ELiTM 7 Konstrukcje liczbowe Własności działań w zbiorze liczb naturalnych. Niech k, n, m N. Wtedy 1. k + (m + n) = (k + m) + n 2. n + 0 = n 3. k + m = k + m 4. k + m = m + k 5. k 1 = k 6. k (m + n) = k m + k n 7. k (m n) = (k m) n 8. k 0 = 0 9. k m = m k Konstrukcja zbioru liczb całkowitych. Niech N N będzie relacją określoną nastęująco: (, q) (k, l) + l = q + k. jest relacją równoważności. Definicja 8 Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór ilorazowy relacji : Z N N/. Przykład 9 Niech n N. [(0, 0)] = {(x, y) N N x + 0 = y + 0} = {(x, x) x N} [(n, 0)] = {(x, y) N N x + 0 = y + n} = {(y + n, y) y N} [(0, n)] = {(x, y) N N x + n = y + 0} = {(x, x + n) x N} Działania w zbiorze liczb całkowitych. Niech (, q), (k, l) N N. Dodawanie : Mnożenie : Odejmowanie : [(, q)] [(k, l)] [( + k, q + l)] [(, q)] [(k, l)] [(k +, qk + l)] [(, q)] [(k, l)] [( + l, q + k)] Twierdzenie 10 Działania dodawania, mnożenia oraz odejmowania zdefiniowane w zbiorze liczb całkowitych są dobrze określone (tzn. klasy będące wynikiem działań nie zależą od wyboru rerezentantów). Uwaga 2 Dla dowolnych, q N, [(, q)] [(q, )] = [( + q, q + )] = [(0, 0)]. W szczególności, [(, 0)] [(0, )] = [(0, 0)]. 3

4 Konsekt wykładu ELiTM 7 Konstrukcje liczbowe Własności działań w zbiorze liczb całkowitychych. Niech x, y, z Z. Wtedy 1. x (y z) = (x y) z 2. x (y z) = (x y) z 3. x y = y x 4. x y = y x 5. x (y z) = (x y) (x z) Porządek w zbiorze liczb całkowitych. Niech k, n,, q N. Wtedy [(, q)] [(k, n)] + n q + k. Uwaga 3 Zbiór (Z, ) jest uorządkowany liniowo. Ponadto, dla n N [(0, 0)] [(n, 0)] [(0, n)] [(0, 0)] Funkcja i : N Z, n [(n, 0)] jest naturalnym włożeniem zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb całkowitych. Dla n, m N i(n + m) = i(n) i(m) i(n m) = i(n) i(m) i(n) i(m) n m Dzięki temu możemy utożsamiać liczbę całkowitą [(n, 0)] = i(n) z odowiadającą jej liczbą naturalną n oraz liczbę n [(0, n)] z liczbą rzeciwną do [(n, 0)]. Przy takich oznaczeniach Z N { n n N}. Konstrukcja zbioru liczb wymiernych. Niech Z Z \ {0} i niech ϱ Z Z będzie relacją określoną nastęująco: (, q) (k, l) l = qk. ϱ jest relacją równoważności. Definicja 11 Zbiorem liczb wymiernych nazywamy zbiór ilorazowy relacji ϱ: Q Z Z /ϱ. Klasę ary (, q) Z Z będziemy oznaczać jako ułamek [(, q)] q ϱ. 4

5 Konsekt wykładu ELiTM 7 Konstrukcje liczbowe Przykład 12 Niech Z. 0 = [(0, 1)] 1 ϱ = {(k, l) Z Z k 1 = l 0} = {(0, l) l Z } 1 = [(1, 1)] 1 ϱ = {(k, l) Z Z k 1 = l 1} = {(k, k) k Z } = [(, 1)] 1 ϱ = {(k, l) Z Z k 1 = l} = {(l, l) l Z } Działania w zbiorze liczb wymiernych. Niech, k Z, q, l Z : Dodawanie : Odejmowanie : Mnożenie : Dzielenie : q k l q k l q k l q k l l + kq l kq k l kq, dla k l 0 1 Twierdzenie 13 Działania dodawania, mnożenia, odejmowania oraz dzielenia zdefiniowane w zbiorze liczb wymiernych są dobrze określone (tzn. klasy będące wynikiem działań nie zależą od wyboru rerezentantów). Uwaga 4 Dla Z i q Z 1 q 1 = 1 q 1 = q. Porządek w zbiorze liczb wymiernych. Niech, k Z, q, l Z. Wtedy q k l l kq q, l > 0. Funkcja j : Z Q, k [(k, 1)] ϱ = k 1 liczb wymiernych. Dla k, l Z jest naturalnym włożeniem zbioru liczb całkowitych w zbiór j(k + l) = j(k) j(l) j(k l) = j(k) j(l) k l j(k) j(l) Dzięki temu możemy utożsamiać liczbę wymierną k = [(k, 1)] 1 ϱ = j(k) z odowiadającą jej liczbą całkowitą k. Przy takich oznaczeniach Q { q Z, q Z }. Twierdzenie 14 Relacja jest gęstym orządkiem liniowym zbioru Q. 5

Podobne dokumenty

n := {n} n. Istnienie liczb naturalnych gwarantują: Aksjomat zbioru pustego, Aksjomat pary nieuporządkowanej oraz Aksjomat sumy.

n := {n} n. Istnienie liczb naturalnych gwarantują: Aksjomat zbioru pustego, Aksjomat pary nieuporządkowanej oraz Aksjomat sumy. Konsekt wykładu ELiTM 6 Konstrukcje liczbowe Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych. Definicja 0 - liczba naturalna zero. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to nastęną o niej jest liczba n {n} n. Istnienie